chap5-6麥克斯韋速率分布律

1、 偶然事件偶然事件：大量出現(xiàn)不可預(yù)測(cè)的事件。多次大量出現(xiàn)不可預(yù)測(cè)的事件。多次重復(fù)觀察同樣的事件，可獲得該偶然事件的分布，重復(fù)觀察同樣的事件，可獲得該偶然事件的分布，從而得到其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從而得到其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。1.1.分布函數(shù)和平均值分布函數(shù)和平均值麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律 分布函數(shù)分布函數(shù): :它是一它是一統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)大量偶然事，對(duì)大量偶然事件，按某一件，按某一性質(zhì)（屬性）性質(zhì)（屬性）研究其發(fā)生的幾率的規(guī)研究其發(fā)生的幾率的規(guī)律。律。例例: : 統(tǒng)計(jì)某城市中每個(gè)商店里職工的分布情況。統(tǒng)計(jì)某城市中每個(gè)商店里職工的分布情況。 可用下列方法。可用下列方法。表示該城市中的商店總數(shù)表示該城

2、市中的商店總數(shù)表示該城市中有表示該城市中有 個(gè)職工個(gè)職工的商店數(shù)，稱分布數(shù)。的商店數(shù)，稱分布數(shù)。iNiiNN商店的百分?jǐn)?shù)名職工的表示有歸一化的分布數(shù),iNNfii,條件歸一化,1)(NNfii例例: :我們以人的我們以人的身高身高為例，來(lái)引入分布函數(shù)。為例，來(lái)引入分布函數(shù)。 設(shè)設(shè) N 為總?cè)藬?shù)，為總?cè)藬?shù)，dN（h）為身高在）為身高在 h-h+dh 間間 的人數(shù)。顯然的人數(shù)。顯然 NhN)(d令令 f（h）=dN（h）/ N dh，則，則1d)(hhf我們把我們把 f（h）稱為歸一化分布函數(shù)。）稱為歸一化分布函數(shù)。f（h）表征在單位高度內(nèi)，身高為）表征在單位高度內(nèi)，身高為 h 的人數(shù)占總的人數(shù)占

3、總?cè)藬?shù)的比率。人數(shù)的比率。h h f f（h h） h h+dhh h+dho oN 個(gè)人的平均身高個(gè)人的平均身高為為d( )( )dh N hhf h N hNNh( )dhhf hh推廣至任一變量推廣至任一變量x （或物理量（或物理量g(x)g(x)） 有有( )dxxf xx 對(duì)具有統(tǒng)計(jì)性的系統(tǒng)來(lái)講，總存在著確定的對(duì)具有統(tǒng)計(jì)性的系統(tǒng)來(lái)講，總存在著確定的分布函數(shù)分布函數(shù)f f（x x），因此，寫出分布函數(shù)），因此，寫出分布函數(shù)f f（x x）是）是研究一個(gè)系統(tǒng)的關(guān)鍵之處，具有普遍的意義。研究一個(gè)系統(tǒng)的關(guān)鍵之處，具有普遍的意義。( )( )( )dg xg x f xx2. 2. 測(cè)定氣體分

4、子速率分布的實(shí)驗(yàn)測(cè)定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)llvv2實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)驗(yàn)裝置lHg金屬蒸汽金屬蒸汽顯示屏顯示屏狹狹縫縫接抽氣泵接抽氣泵分子速率分布圖分子速率分布圖N：分子總數(shù)分子總數(shù) 為速率在為速率在 區(qū)間的分子數(shù)區(qū)間的分子數(shù).Nvvv)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比 . .NNSvvvv)(vfoSfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函數(shù)分布函數(shù) 表示速率在表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比百分比vvvd00( )1NdNf v dvN歸一化條件歸一化條件vvv

5、 dSd 表示在溫度為表示在溫度為 的平衡的平衡狀態(tài)下，速率在狀態(tài)下，速率在 附近單位附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的速率區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比百分比 . .v物理意義物理意義Tv)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 內(nèi)分子數(shù)內(nèi)分子數(shù)vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 區(qū)間的分子數(shù)區(qū)間的分子數(shù)21vv vvvvvvd)()(2121fNNS速率位于速率位于 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比21vv 麥克斯韋麥克斯韋的生平與主要科學(xué)活動(dòng)的生平與主要科學(xué)活動(dòng)麥克斯韋麥克斯韋Maxwell，James Clerk(18

6、311879)0 3. 3. 麥克斯韋氣體速率分布定律麥克斯韋氣體速率分布定律 1859 1859年英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋、玻爾茲曼等年英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋、玻爾茲曼等（MaxwellMaxwell，BoltzmanBoltzman等）從理論上（概率論、統(tǒng)等）從理論上（概率論、統(tǒng)計(jì)力學(xué)）推導(dǎo)氣體分子按速率分布的規(guī)律，即在平計(jì)力學(xué)）推導(dǎo)氣體分子按速率分布的規(guī)律，即在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體間的相互作用可忽略時(shí)，分布在任衡態(tài)下，當(dāng)氣體間的相互作用可忽略時(shí)，分布在任一速率區(qū)間一速率區(qū)間v-v+dvv-v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，后被實(shí)驗(yàn)所證明。后被實(shí)驗(yàn)所證明。vvvde

7、)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麥?zhǔn)消準(zhǔn)戏植己瘮?shù)分布函數(shù)熱力學(xué)溫度熱力學(xué)溫度單個(gè)分子的質(zhì)量單個(gè)分子的質(zhì)量玻爾茲曼常量玻爾茲曼常量Tmk麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布曲線1v2v)(vfvO)(vf面積面積NNvvfdd)( 面積面積NNvvfvv21d)(vdv速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于于 區(qū)間內(nèi)的幾率。區(qū)間內(nèi)的幾率。),(vvvd),(vvvd速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于分子速率位于 區(qū)間內(nèi)的幾率

8、。區(qū)間內(nèi)的幾率。 ),(21vv),(21vv(1)( )nfv dv( ),dNNf vnNdvV( )nf v dvdNV 表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。vv dv f(v) f(v)為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， n n為分子數(shù)密度，為分子數(shù)密度，說(shuō)明下式的物理意義：說(shuō)明下式的物理意義：(2)( )N fv dv( )dNf vNdvd N()N fv d v表示分布在速率區(qū)間表示分布在速率區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。vv dv f(v) f(v)為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， n n為分子數(shù)密度，為分子數(shù)密度，說(shuō)明下式的物理意義

9、：說(shuō)明下式的物理意義：21(3)( )vvnf v dv( ),dNNf vnNdvV21( )vvnfv dvNNNVNV 表示分布在單位體積內(nèi)，速率區(qū)間表示分布在單位體積內(nèi)，速率區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)。內(nèi)的分子數(shù)。21vv f(v) f(v)為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， n n為分子數(shù)密度，為分子數(shù)密度，說(shuō)明下式的物理意義：說(shuō)明下式的物理意義：2121(4)d( )d(vvvvfvvvvfv21dNNNNNvN表示速率在區(qū)間表示速率在區(qū)間 內(nèi)的分子的平均速率。內(nèi)的分子的平均速率。)(21vv，( )dNf vNdv21NNNNv d f(v) f(v)為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， n n

10、為分子數(shù)密度，為分子數(shù)密度，說(shuō)明下式的物理意義：說(shuō)明下式的物理意義：)(vfvpvO最最 概概 然然 速速 率率4. 4. 氣體的三種統(tǒng)計(jì)速率氣體的三種統(tǒng)計(jì)速率32222()42m vkTmfvevkT 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù) 中的極大值對(duì)應(yīng)的分子速中的極大值對(duì)應(yīng)的分子速率率 。pv)(vf0d)(dvvf極值條件極值條件(1)最概然速率最概然速率:2pkTvm21.41molmolRTRTMM)(vfvvO平平 均均 速速 率率平平 均均 速速 率率氣體分子速率的算術(shù)平均值。氣體分子速率的算術(shù)平均值。NNvvN0dvNNvfdd)( 8kTmv(2)平均速率：平均速率：0d)(vvvf22

11、32224)(vekTmvfkTmv81.60molmolRTRTMM2v)(vfvO方方 均均 根根 速速 率率方方 均均 根根 速速 率率氣體分子速率平方的平均值的平方根。氣體分子速率平方的平均值的平方根。2331.73molmolkTRTRTmMMvNNvvN022d02dv)v( fvmkT3(3)方均根速率：方均根速率：vNN)v( fdd32222()42m vkTmfvevkT平均速率平均速率088( )d1.60molmolkTRTRTvvf vvmMM方均根速率方均根速率22033( )d1.73molmolkTRTRTvv f vvmMM最概然速率（最可幾速率最概然速率（最

12、可幾速率) )221.41pmolmolkTRTRTvmMM小結(jié)：小結(jié)：2v)(vfvpvvO2vvvp三種速率均與三種速率均與 ,成反比，但三者有一個(gè)成反比，但三者有一個(gè)確定的比例關(guān)系確定的比例關(guān)系;三種速三種速率使用于不同的場(chǎng)合。率使用于不同的場(chǎng)合。mT三種速率比較三種速率比較2vvvp三種速率均與三種速率均與 ,成反比，但三者有一個(gè)成反比，但三者有一個(gè)確定的比例關(guān)系確定的比例關(guān)系;三種速三種速率使用于不同的場(chǎng)合。率使用于不同的場(chǎng)合。mT)(vfvO3pv1pv2pv)(1pvf)(2pvf)(3pvf3T2T1T321TTT溫度越高，速率溫度越高，速率大的分子數(shù)越多大的分子數(shù)越多同一氣體

13、同一氣體(m)不同溫度下速率分布比較不同溫度下速率分布比較同一溫度同一溫度T下不同種氣體速率分布比較下不同種氣體速率分布比較321mmm)(vfvO3m2m1m分子質(zhì)量越小，速率分子質(zhì)量越小，速率大的分子數(shù)越多。大的分子數(shù)越多。同一溫度下不同氣體同一溫度下不同氣體的速率分布的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfomkT2pvmkT8vmkT32vN N2 2 分子在不同溫度下分子在不同溫度下的速率分布的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo例：例： 例例: 計(jì)算在計(jì)算在 時(shí)，氫氣和氧氣分子的方均根時(shí)，氫氣和氧氣分子的方均根速率速率 。vC2710.002HMkg mol1

14、0.032oMkg mol118.31RJ Kmol300TK3RTvM311.93 10vm s氫氣分子氫氣分子-1483vms氧氣分子氧氣分子討論討論 麥克斯韋速率分布中最概然速率麥克斯韋速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪種表述正確？下面哪種表述正確？（A A） 是氣體分子中大部分分子所具有的速率；是氣體分子中大部分分子所具有的速率；（B B） 是速率最大的速度值；是速率最大的速度值；（C C） 是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值；是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值；（D D）速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比率）速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比率 最大。最大。pvpvpvpvp

15、()dN fvvvv1）p21()( )d2mNfvvvv2） 例：例： 已知分子數(shù)已知分子數(shù) ，分子質(zhì)量，分子質(zhì)量 ，分布函數(shù)，分布函數(shù) 求求 1） 速率在速率在 間的分子數(shù)；間的分子數(shù)； 2）速率速率在在 間所有分子動(dòng)能之和間所有分子動(dòng)能之和 . vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 間的分子數(shù)間的分子數(shù)vvvd 例：例： 如圖示兩條如圖示兩條 曲線分別表示氫氣和曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線， 從圖從圖上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最可幾速率上數(shù)據(jù)求出氫氣和氧氣的最可幾速率 。vv )( fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o例題：例題： 試計(jì)算氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的大小介于試計(jì)算氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的大小介于 v vp p- v- vp p/100 /100 和和 v vp p