第六節(jié)行列式按行列展開

1、第六節(jié)行列式按行列展開第1頁，共18頁。決這個問題決這個問題, ,先學(xué)習(xí)余子式和代數(shù)余子式的概念先學(xué)習(xí)余子式和代數(shù)余子式的概念. .一般來說一般來說, ,低階行列式的計算比高階行列式低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便的計算要簡便, ,于是于是, ,自然地考慮用低階行列式來自然地考慮用低階行列式來表示高階行列式的問題表示高階行列式的問題. .本節(jié)我們要解決的問題本節(jié)我們要解決的問題是是, , 如何把高階行列式降為低階行列式如何把高階行列式降為低階行列式, ,從而把高從而把高階行列式的計算轉(zhuǎn)化為低階行列式的計算階行列式的計算轉(zhuǎn)化為低階行列式的計算. .為了解為了解第2頁，共18頁。 求求余余

2、子子式式求求余余子子式式模模型型模模型型A=21-511-30-602-1214-76式式和和代代數(shù)數(shù)余余子子式式M-30-62-124-76=A-30-62-124-76=1 11 11 11 1元元素素a的的余余子子分分別別為為= 36= 361 11 1第3頁，共18頁。 D D = =a aijijA Aijij. .先先 證證aij 位位 于于 第第1行行 第第1列列 的的 情情 形形 , ,00212222111nnnnnaaaaaaaD二二 、 引引 理理二二 、 引引 理理一一 個個一一 個個n n階階 行行 列列 式式階階 行行 列列 式式 , , , , 如如 果果 其其

3、中中 第第如如 果果 其其 中中 第第 i i 行行 所所 有有 元元 素素 除除行行 所所 有有 元元 素素 除除a aij ij 外外 都都 為為 零零外外 都都 為為 零零 , , , , 那那 么么 這這 行行 列列 式式 等等 于于那那 么么 這這 行行 列列 式式 等等 于于a aijij與與 它它 的的 代代 數(shù)數(shù) 余余與與 它它 的的 代代 數(shù)數(shù) 余余子子 式式 的的 乘乘 積積子子 式式 的的 乘乘 積積 , , , , 即即即即此此 時時證證 明明證證 明明D D = =a aijijA Aijij. .先先 證證aij 位位 于于 第第1行行 第第1列列 的的 情情 形形

4、 , ,00212222111nnnnnaaaaaaaD二二 、 引引 理理二二 、 引引 理理一一 個個一一 個個n n階階 行行 列列 式式階階 行行 列列 式式 , , , , 如如 果果 其其 中中 第第如如 果果 其其 中中 第第 i i 行行 所所 有有 元元 素素 除除行行 所所 有有 元元 素素 除除a aij ij 外外 都都 為為 零零外外 都都 為為 零零 , , , , 那那 么么 這這 行行 列列 式式 等等 于于那那 么么 這這 行行 列列 式式 等等 于于a aijij與與 它它 的的 代代 數(shù)數(shù) 余余與與 它它 的的 代代 數(shù)數(shù) 余余子子 式式 的的 乘乘 積積

5、子子 式式 的的 乘乘 積積 , , , , 即即即即此此 時時證證 明明證證 明明第4頁，共18頁。 這個定理叫做這個定理叫做.第5頁，共18頁。任意輸入一個三階或四階行列式，利用任意輸入一個三階或四階行列式，利用行列式按行（列）展開法則計算行列式按行（列）展開法則計算.第6頁，共18頁。 行列式行列式113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaad稱為稱為 n 階階 (Vandermonde) 行列式行列式.證明證明. )(1nijjiaad證證 明明證證 明明對對 n 作作 歸歸 納納 法法 .當(dāng)當(dāng) n = 2 時時 ，,111221aaaa結(jié)結(jié) 論論

6、成成 立立 .設(shè)設(shè) 對對 于于 n 1 階階 范范 德德 蒙蒙 德德 行行 列列 式式 結(jié)結(jié) 論論成成 立立 ， 現(xiàn)現(xiàn) 在在 來來 看看 n 階階 的的 情情 形形 .在在 n 階階 范范 德德 蒙蒙 德德 行行列列 式式 中中 ， 第第 n 行行 減減 去去 第第 n 1 行行 的的 a1倍倍 ， 第第 n 1 行行減減 去去 第第 n 2 行行 的的 a1倍倍 .也也 就就 是是 由由 下下 而而 上上 依依 次次 地地 從從每每 一一 行行 減減 去去 它它 上上 一一 行行 的的 a1倍倍 ， 有有第7頁，共18頁。由由或或或或D D= = a a1 1 j jA A1 1 j j+

7、+ a a2 2 j jA A2 2 j j+ + + + a an jn jA An jn j( ( j j = 1 , 2 ,= 1 , 2 , , , n n ) .) .定定理理定定理理3 3行行列列式式等等于于它它的的任任一一行行行行列列式式等等于于它它的的任任一一行行( ( ( ( 列列列列) ) ) ) 的的各各元元的的各各元元素素與與其其對對應(yīng)應(yīng)的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式乘乘積積之之和和素素與與其其對對應(yīng)應(yīng)的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式乘乘積積之之和和, , , ,D D= = a ai i 1 1A Ai i 1 1+ + a ai i 2 2A Ai i 2 2+ + + + a

8、ai ni nA Ai ni n( ( i i = 1 , 2 ,= 1 , 2 , , , n n ) ,) ,還可得下述重要推論還可得下述重要推論.證證 明明證證 明明把把 行行 列列 式式 D = d et( aij) 按按 第第 j 行行 展展 開開 ，有有,1111112211nnnjnjininjnjnjjjjaaaaaaaaAaAaAa在在 上上 式式 中中 把把 ajk換換 成成 aik( k = 1, 2 , 販 , n )， 可可 得得證證 明明證證 明明把把 行行 列列 式式 D = d et( aij) 按按 第第 j 行行 展展 開開 ，有有,1111112211nn

9、njnjininjnjnjjjjaaaaaaaaAaAaAa在在 上上 式式 中中 把把 ajk換換 成成 aik( k = 1, 2 , 販 , n )， 可可 得得第8頁，共18頁。綜合綜合及其推論，有關(guān)于代數(shù)余子及其推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：式的重要性質(zhì)：；當(dāng)當(dāng)jijiDDAaijnkkjki,0,1；當(dāng)當(dāng)jijiDDAaijnkjkik,0,1.,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)或或或或D D= = a a1 1 j jA A1 1 j j+ + a a2 2 j jA A2 2 j j+ + + + a an jn jA An jn j( ( j j = 1 , 2 ,= 1 , 2

10、, , , n n ) .) .定定理理定定理理3 3行行列列式式等等于于它它的的任任一一行行行行列列式式等等于于它它的的任任一一行行( ( ( ( 列列列列) ) ) ) 的的各各元元的的各各元元素素與與其其對對應(yīng)應(yīng)的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式乘乘積積之之和和素素與與其其對對應(yīng)應(yīng)的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式乘乘積積之之和和, , , ,D D= = a ai i 1 1A Ai i 1 1+ + a ai i 2 2A Ai i 2 2+ + + + a ai ni nA Ai ni n( ( i i = 1 , 2 ,= 1 , 2 , , , n n ) ,) ,第9頁，共18頁。仿照上述推論證

11、明中所用的方法，在行列式仿照上述推論證明中所用的方法，在行列式det(aij) 按第按第 i 行展開的展開式中，用行展開的展開式中，用 b1 , b2 , , bn依次代替依次代替 ai1 , ai2 , , ain ，可得，可得.221111 , 11 , 11, 11 , 1111inniinnniinniinAbAbAbaaaabbaaaa第10頁，共18頁。類似地，用類似地，用 b1 , b2 , , bn 代替代替 det(aij) 中的中的第第 j 列，可得列，可得.22111,1,111, 111, 111njnjjnnjnnjnnnjjAbAbAbaabaaaabaa第11頁，

12、共18頁。設(shè)設(shè),3142313150111253DD 的（的（i , j）元的余子式和代數(shù)余子式依次記作）元的余子式和代數(shù)余子式依次記作 Mij和和 Aij ，求，求A11 + A12 + A13 + A14 及及 M11 + M21 + M31 + M41 .第12頁，共18頁。 到現(xiàn)在為止到現(xiàn)在為止, ,我們已能計算任意階的行列式我們已能計算任意階的行列式. .行列式的計算是我們這一章的重點行列式的計算是我們這一章的重點, ,也是同學(xué)們必也是同學(xué)們必須掌握的基本技能須掌握的基本技能. .行列式有以下三種計算方法行列式有以下三種計算方法: :第13頁，共18頁。行列式時行列式時, ,應(yīng)根據(jù)實

13、際情況靈活選擇計算方法應(yīng)根據(jù)實際情況靈活選擇計算方法. .在這三種方法中在這三種方法中, ,主要用于理論分析主要用于理論分析, ,很少用來計算具體的行列式很少用來計算具體的行列式, ,但對于低階行列式但對于低階行列式( (如二階、三階如二階、三階) )或有很多零元素的高階行列式或有很多零元素的高階行列式, ,有時也可用此方法來計算有時也可用此方法來計算; 適用于行列式適用于行列式的階不確定的高階行列式的計算的階不確定的高階行列式的計算;主要用主要用于階為已知的高階行列式的計算于階為已知的高階行列式的計算. .當(dāng)然在計算一個當(dāng)然在計算一個下面看幾個例子下面看幾個例子. .第14頁，共18頁。 下面再舉幾個下面再舉幾個 n 階行列式計算的例子階行列式計算的例子. . 設(shè)設(shè).111222333222111nnnnnnnnnD第15頁，共18頁。證明遞推關(guān)系式證明遞推關(guān)系式 Dn = nDn- -1 - - n- -1n- -1Dn- -2 ( n 2 ).1222333222111nnnnnnnD按按Dn的的 第第n列列 展展 開開 , ,得得證證 明明證證 明明關(guān)系式在計算數(shù)學(xué)中常被引用關(guān)