三角形各心性質(zhì)

1、三角形各心性質(zhì)重心的性質(zhì)：（三條中線的交點(diǎn)）1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1。2、重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為（X+X+X）/3,123（Y+Y+Y）/3。1235、以重心為起點(diǎn)，以三角形三定點(diǎn)為終點(diǎn)的三條向量之和等于零向量。外心的性質(zhì)：（三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)）1、若O是AABC的外心，則ZBOC=2ZA（ZA為銳角或直角）或ZBOC=360-2ZACZA為鈍角）。2、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外

2、心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。3、計(jì)算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時(shí)變量：d，d，d分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)123向量的點(diǎn)乘。C二dd,c二dd,c二dd；c=c+c+c。外心坐標(biāo)：（c+c）/2c，（c+c）/2c，（c+c）/2c）。1232133121232313124、外心到三頂點(diǎn)的距離相等垂心的性質(zhì)：（三條高的交點(diǎn)）1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。2、三角形外心0、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG:GH=1:2。（此直線稱為三角形的歐拉線）3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離

3、為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。內(nèi)心的性質(zhì)：（三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)）1、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。2、P為AABC所在空間中任意一點(diǎn)，點(diǎn)0是AABC內(nèi)心的充要條件是：Po=（aXPA+bXPB+cXPC）/（a+b+c）.3、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長(zhǎng)AO交BC邊于N,則有AO:ON二AB:BN二AC:CN=（AB+AC）:BC4、（歐拉定理）AABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則Ol2=R2-2Rr.5、（內(nèi)角平分線分三邊長(zhǎng)度關(guān)系）ABC中

4、，0為內(nèi)心，ZA、ZB、ZC的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R,則BQ/QC二c/b,CP/PA二a/c,BR/RA=a/b.6、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。旁心的性質(zhì)：（外角的角平分線的交點(diǎn)）1、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。2、旁心到三邊的距離相等。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時(shí)重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。設(shè)AABC的內(nèi)切圓為OI（r），角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=（a+b+c）/21、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心.2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.3、r=S/p.4、在RtAABC中，ZC=90,r=（a+b-

5、c）/2.5、ZBIC=90+A/2.6、點(diǎn)0是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是厶ABC內(nèi)心的充要條件是:（向量OA）+b（向量OB）+c（向量0C）=向量0.7、點(diǎn)0是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)1是厶ABC內(nèi)心的充要條件是：向量0I=a（向量OA）+b（向量OB）+c（向量OC）/（a+b+c）.8、ABC中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），那么ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是：（ax1/（a+b+c）+bx2/（a+b+c）+cx3/（a+b+c），ay1/（a+b+c）+by2/（a+b+c）+cy3/（a+b+c）.9、（歐拉定理）/ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，0

6、和I分別為其外心和內(nèi)心，則02二R2-2Rr.10、(內(nèi)角平分線分三邊長(zhǎng)度關(guān)系)AABC中，0為內(nèi)心,ZA、ZB、ZC的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R,則BQ/QC二c/b,CP/PA二a/c,BR/RA=a/b.三角形外心的性質(zhì)設(shè)/ABC的外接圓為OG(R)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,p=(a+b+c)/2.1、三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2、銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合.3、GA=GB=GC=R.3、ZBGC=2ZA，或ZBGC=2(180-ZA).4、R=abc

7、/4S/ABC.5、點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是/ABC外心的充要條件是：(向量GA+向量GB)向量AB二(向量GB+向量GC)向量BC=(向量GC+向量GA)向量CA二向量0.6、點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)G是/ABC外心的充要條件是：向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).7、點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是/ABC外心的充要條件是：向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量

8、PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.8、設(shè)d1，d2，d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c二c1+c2+c3。重心坐標(biāo)：(c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c)。9、外心到三頂點(diǎn)的距離相等。三角形重心的性質(zhì)1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。三角形垂心的性質(zhì)設(shè)/ABC的三條高為AD、BE、CF,其中D、E、F為垂足，垂心為H,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=（a+b+c）/21、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角

9、形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在ABC的外接圓上。4、ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組（每組四個(gè)）相似的直角三角形，且AHHD=BHHE二CHHF。5、H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心（并稱這樣的四點(diǎn)為一一垂心組）。6、ABC，AABH，ABCH，AACH的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過(guò)H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則AB/APtanB+AC/AQtanC二tanA+tanB+tanC。8、三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍。9、設(shè)0，H分別為ABC的外心和垂心，則ZBAO=ZHAC，ZABH=ZOBC，ZBCO=ZHCA010、銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與