計算機數(shù)據(jù)庫(經(jīng)濟會計類)概率與概率分布隨堂講義

1、2022-6-261第四章 概率與概率分布第一節(jié) 基本概念第二節(jié) 概率的定義及基本運算法則第三節(jié) 條件概率與事件的獨立性第四節(jié) 全概率公式與貝葉斯定理第五節(jié) 隨機變量及其概率分布第六節(jié) 常用的隨機變量的概率分布第一節(jié) 基本概念2022-6-262第四章 概率與概率分布 在自然界和社會經(jīng)濟生活中，隨機現(xiàn)象普遍存在。如在1小時內(nèi)到達商場的顧客人數(shù)；向空中拋一枚硬幣，硬幣落地后朝上的可能是硬幣的“正面”也可能是硬幣的“反面”。 諸如此類現(xiàn)象都是隨機現(xiàn)象，其特點是在基本條件不變的情形下，重復做試驗或觀察可能會得到不同的結果，具體哪個結果會出現(xiàn)事先是不清楚的，并且呈現(xiàn)出一種偶然性。然而我們可以通過做隨機

2、試驗等方法來認識此類隨機現(xiàn)象的規(guī)律性。2022-6-263 3 隨機試驗滿足以下三個條件：u每次試驗所有可能的結果事先是明確可知的，并且所有可能的結果不止一個；u試驗可以在相同的條件下重復進行；u每次試驗的結果總是出現(xiàn)所有可能結果中的一個，但試驗之前不能確定是哪個結果會出現(xiàn)。2022-6-264 4 隨機事件一般可分解為更簡單的事件，在一定條件下，不可以再分解的事件稱為基本事件，一般用 、 、 等來表示。隨機試驗的所有基本事件組成的集合，稱為樣本空間，記為 ，在樣本空間中， 、 、 等成為樣本點。由若干基本事件組合而成的事件稱為復合事件。2022-6-265 5123、 12, 123 【例4

3、-1】擲硬幣，結果可能是“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”，“出現(xiàn)正面”簡記為“正”，“出現(xiàn)反面”簡記為“反”。現(xiàn)假設連續(xù)擲硬幣兩次，那么所有可能的結果共有 種，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。 上述結果表示的涵義是：括號中的第一個字表示第一次擲硬幣的結果，第二個字表示第二次擲硬幣的結果。這些事件是投擲2次硬幣所有可能的結果，不能再分解成更簡單的結果了，故 =(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)為該試驗的樣本空間。隨機事件“擲兩次硬幣至少有一次是正面”的結果就不是基本事件，它是由基本事件(正，正)，(正，反)，(反，正) 組合而成。2022-6-266 62022-6-26

4、7 7 事件間的關系主要包括以下幾類：事件間的關系主要包括以下幾類：設事件設事件A A發(fā)生必然導致事件發(fā)生必然導致事件B B發(fā)生，則稱事件發(fā)生，則稱事件A A包含于事件包含于事件B B，或稱為事件，或稱為事件B B包含包含A A，記為，記為 ，如果，如果 并且并且 ，則稱，則稱A A與與B B相等，記為相等，記為 ；“事件事件A A與事件與事件B B至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生”這一事件，稱為事件這一事件，稱為事件A A與與B B的并，記為的并，記為 ；將將“事件事件A A與事件與事件B B同時發(fā)生同時發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為A A與與B B的交，記的交，記作作 ，或，或 。將將“事件事

5、件A A發(fā)生而事件發(fā)生而事件B B不發(fā)生不發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為A A與與B B的差，的差，記作記作 ，或，或 ；將將“ ”即即“樣本空間樣本空間 與事件與事件A A之差之差”這一事這一事件稱為事件件稱為事件A A的逆事件或互補事件，記作的逆事件或互補事件，記作 ；如果兩個事件如果兩個事件A A與與B B不可能同時發(fā)生，即不可能同時發(fā)生，即 ，則稱，則稱事件事件A A與與B B為互不相容事件，或互斥事件。為互不相容事件，或互斥事件。BA BA AB BA ABABABBABAAAAB 第二節(jié) 概率的定義及基本運算法則2022-6-268第四章 概率與概率分布 由于現(xiàn)實中所具備的條件不同

6、，概率對于不同的場合不同的人意味著不同的含義。通常有三種定義事件概率的方法：古典概率法；相對發(fā)生頻率法；主觀概率法。2022-6-269 9 （一）古典概率法： 假設隨機試驗的樣本空間是包含 個樣本點的有限集合，所有樣本點出現(xiàn)的可能性相等，則包含 個樣本點的事件A的概率計算公式如下：2022-6-261010樣本點總數(shù)包含的樣本點個數(shù)AnmAP)( 【例4-2】商場搞周末促銷活動，凡購物金額夠200元的顧客都有從一個大盒子中抽取一張禮品券的機會。假設盒子中共有禮品券500張，其中一等獎5張，二等獎50張，三等獎200張，現(xiàn)顧客張強消費450元，按規(guī)則可以抽取兩張禮品卷，求抽取結果一張是一等獎，

7、另一張是二等獎的概率。 解：設事件A是“抽取兩張禮品卷，其中一張是一等獎，另一張是二等獎”，因為每張禮品券被抽中的可能性是相等的，并且樣本空間是有限的，所以可以利用上述古典概率的公式計算事件A發(fā)生的概率。這里從500張禮品券中抽取2張的樣本點總數(shù) 組成的樣本，不考慮順序，是組合問題，應有 種可能的結果。即：2022-6-2611112500500!2!498!124750nC 抽取兩張禮品卷，其中抽取結果一張是一等獎，另一張是二等獎的的樣本點個數(shù)應有 種取法。即因此： 2022-6-261212115505!50!1!4! 1!49!250mC C樣本點總數(shù)包含的樣本點個數(shù)AnmAP)(250

8、0.002004124750 （二）相對發(fā)生頻數(shù)法： 相對發(fā)生頻數(shù)法是建立在大量試驗基礎上得到的，也稱為概率統(tǒng)計定義法。其計算方法是用一個事件A發(fā)生次數(shù)除以試驗總共進行的次數(shù)所得的商作為事件A發(fā)生的概率。2022-6-261313( )AP A 發(fā)生的次數(shù)試驗總次數(shù) 【例4-3】某商場調(diào)查得到部分顧客的基本情況，數(shù)據(jù)如表4-1所示： 求：（1）顧客是男性的概率是多少？（2）一個顧客年齡在20到40歲之間的概率是多少？2022-6-261414表表4-1 顧客基本情況顧客基本情況 解：（1）為了計算顧客是男性的概率，我們可根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算出男性顧客總數(shù)并除以顧客總數(shù)： (顧客是男性)=678/1

9、336=0.51。 因此顧客是男性的概率是51%。 （2）抽到一個顧客年齡在20到40歲之間的概率等于20到40歲之間的顧客數(shù)除以顧客總數(shù)： （一個顧客年齡在20到40歲之間）=630/1336=0.47。 因此一個顧客年齡在20到40歲之間的概率是47%。2022-6-261515 （三）主觀概率法： 在現(xiàn)實經(jīng)濟管理活動中，運用上述的古典概率法和相對發(fā)生頻率法計算概率往往有一定的局限性，因為不能做大量的試驗，只能憑決策者的經(jīng)驗來給出事件發(fā)生的可能性的大小。例如某企業(yè)投資獲得成功的概率。因此主觀概率度量的是決策者對事件的某種結果是否會發(fā)生所持的看法。2022-6-261616 【例4-4】某建

10、筑公司準備投標一項橋梁建設項目，公司的工程師對于定義該橋梁項目的所有成本費用等都很專業(yè)，現(xiàn)在的問題是：管理層采用成本加成法來確定最終投標金額，利潤加成多少更為合適。因為加價高，可能競標失敗，如果加價低，雖然得到了項目，但利潤也會有損失?，F(xiàn)在管理層在下述三種加價幅度上猶豫不決，這三種加價方案中利潤占成本的比例為： 為了最終決策，管理層必須找出每種加價幅度上贏得項目訂單的概率。由于以往沒有做過與此一模一樣的項目，故只能根據(jù)現(xiàn)有信息，采用主觀概率法確定贏得項目訂單的概率，評估結果如下： (10%的加價幅度下中標)=30% (15%的加價幅度下中標)=25% (20%的加價幅度下中標)=10%2022

11、-6-26171710%15%20% 由上述定義可以得到概率的如下性質：性質1： ，即事件的概率介于 之間。性質2： ，即必然事件發(fā)生的概率為1。性質3：如果事件A與事件B互不相容，則兩個事件A和B之和的概率為： 。2022-6-261818、 0( )1P A( )1P ()( )( )P ABP AP B 根據(jù)上述概率的性質有如下概率基本運算規(guī)則：規(guī)則1： ，即不可能事件發(fā)生的概率為0；規(guī)則2： ， 表示事件A的對立事件，即 和A必有一事件發(fā)生，但又不能同時發(fā)生。規(guī)則3:如果事件A和事件B相容，則兩個事件A和B之和的概率為： 。2022-6-261919、 ( )1( )P AP A ()

12、0P ()( )( )()P ABP AP BP ABAA 【例4-5】一項問卷調(diào)查顯示，有70%的受訪者喜歡喝牛奶，30%的受訪者喜歡喝咖啡，24%的人同時喜歡喝這兩種飲品。問有多大比例的人喜歡喝牛奶或咖啡？ 解：設事件A：喜歡喝牛奶；事件B：喜歡喝咖啡。 則根據(jù)題意有： =70%， =30%， =24% 從而 =70%+30%-24%=76% 即有76%的人喜歡喝牛奶或咖啡。2022-6-2620202022-6-262121 事件間的關系主要包括以下幾類：事件間的關系主要包括以下幾類：設事件設事件A A發(fā)生必然導致事件發(fā)生必然導致事件B B發(fā)生，則稱事件發(fā)生，則稱事件A A包含于事件包含

13、于事件B B，或稱為事件，或稱為事件B B包含包含A A，記為，記為 ，如果，如果 并且并且 ，則稱，則稱A A與與B B相等，記為相等，記為 ；“事件事件A A與事件與事件B B至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生”這一事件，稱為事件這一事件，稱為事件A A與與B B的并，記為的并，記為 ；將將“事件事件A A與事件與事件B B同時發(fā)生同時發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為A A與與B B的交，記的交，記作作 ，或，或 。將將“事件事件A A發(fā)生而事件發(fā)生而事件B B不發(fā)生不發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為A A與與B B的差，的差，記作記作 ，或，或 ；將將“ ”即即“樣本空間樣本空間 與事件與事件A

14、A之差之差”這一事這一事件稱為事件件稱為事件A A的逆事件或互補事件，記作的逆事件或互補事件，記作 ；如果兩個事件如果兩個事件A A與與B B不可能同時發(fā)生，即不可能同時發(fā)生，即 ，則稱，則稱事件事件A A與與B B為互不相容事件，或互斥事件。為互不相容事件，或互斥事件。BA BA AB BA ABABABBABAAAAB 第三節(jié) 條件概率與事件的獨立性2022-6-2622第四章 概率與概率分布 條件概率的定義： 設任意兩事件A、B，且 ，則稱事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率為條件概率，記為 。其計算公式是： 2022-6-262323( )0P B ()P A B()()( )P AB

15、P A BP B 【例4-6】為了解不同性別的客戶其網(wǎng)絡使用習慣是否有差別，并由此制定公司的市場策略，調(diào)查收集的信息如下： 事件A：每月使用網(wǎng)絡時間在2040個小時之間； 事件B：用戶為女性。 問已知事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的概率，即計算 ： 。2022-6-262424()P A B每 月 上網(wǎng)時間性別合計女性男性404503001005008003509501100450總計85016502500表表4-2 4-2 按性別分類匯總的上網(wǎng)時間表按性別分類匯總的上網(wǎng)時間表 解：待研究事件的相對頻率：我們可以通過下面兩種方法計算 ，并通過比較認識條件概率的涵義。方法一：（1）我們已知事件B

16、發(fā)生（用戶為女性）。該調(diào)查中共有850名女性用戶。（2）在這850名女性用戶中，300人每月上網(wǎng)時間在2040個小時之間。（3）由此， 方法二：直接利用條件概率公式來計算，即：（1） ;（2） （3）由此，2022-6-262525300/850.(35)0P A B 每月上網(wǎng)時間（小時）性別合計女性男性40450/2500=0.18300/2500=0.12100/2500=0.04500/2500=0.2800/2500=0.32350/2500=0.14950/2500=0.381100/2500=0.44450/2500=0.18總計850/2500=0.341650/2500=0.6

17、62500/2500=1.00()0.12P AB 4(3)0.P B ()()( )0.12/0.340.35P ABP A BP B 通常情況下， 條件概率 不等于 ，即事件B的出現(xiàn)對于事件A出現(xiàn)的概率是有影響的。特別地，如果事件B的出現(xiàn)并不影響事件A的出現(xiàn)，這時我們就稱事件A對事件B獨立。 獨立事件的條件概率為 ， 。 獨立事件的乘法定理 : 。 2022-6-262626()P A B()( )P A BP A( )P A()( )P B AP B()( )( )P ABP AP B第四節(jié) 全概率公式與貝葉斯定理2022-6-2627第四章 概率與概率分布 設事件 是樣本空間的一個分割

18、，即所有 兩兩互不相容， ，并且： 則有， 并且 ， ，兩兩互不相容，由概率的可加性有： 又由乘法定理可知： 所以式4-1可有下列等價形式： 這個公式稱為全概率公式。2022-6-26282812,nA AAiA1,2,in12nBBABA BA B 1AB12nAAA ()0iP A 2A B12( )()()()nP BP ABP A BP A BnA B()()()1,2,iiiP ABP AP B Ain，1( )()()niiiP BP AP B A 【例4-7】設某企業(yè)的甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一規(guī)格產(chǎn)品，現(xiàn)有產(chǎn)成品500件，已知其中的300件、150件、50件分別來自甲、乙、丙三

19、個生產(chǎn)車間，假設三個車間的次品率分別為5%、4%、1%?，F(xiàn)從中任取一件，求該件產(chǎn)品為次品的概率。2022-6-262929 解：以 、 、 分別表示取得的產(chǎn)品來自于甲、乙、丙三個生產(chǎn)車間，則 、 、 兩兩互斥。以 表示取得的產(chǎn)品為次品。則有： ， ， ， ， 由全概率公式得到： 即該件產(chǎn)品為次品的概率為4.3%。2022-6-2630301300()60%500P A B2150()30%500P A2()4%P B A350()10%500P A1()5%P B A 3A2A1A1A2A3A3()1%P B A31( )()()60% 5%30% 4% 10% 1%4.3%iiiP BP A

20、P B A 貝葉斯定理： 假設事件 是樣本空間的一個分割，即所有 兩兩互不相容，假設事件 已經(jīng)發(fā)生并可能影響到 ，則事件 發(fā)生概率的貝葉斯公式為： 上式本質上是一個條件概率，同時分子應用了乘法定理，分母應用了全概率公式。 稱為事件 發(fā)生的先驗概率， 稱為事件 發(fā)生的后驗概率。用貝葉斯公式計算的后驗概率體現(xiàn)了在獲得新的相關決策信息后對先驗概率的修正。2022-6-2631311,2,iAin()iP A12,nA AA1() ()()()( )() ()iiiiniiiP A P B AP ABP A BP BP A P B A1,2,iAin()iP A1,2,iAin()iP A B1,2,

21、iAin 【例4-8】設某飲料公司有兩個制造工廠，分別位于甲地和乙地，這兩個工廠生產(chǎn)的飲料是一樣的，其中甲廠生產(chǎn)了60%的產(chǎn)品，乙廠生產(chǎn)了40%的產(chǎn)品。兩個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品被放在同一倉庫，混合堆放在一起。經(jīng)大量抽查檢驗，甲廠產(chǎn)品不合格率為5%，乙廠產(chǎn)品不合格率為10%。如果公司出售了不合格品，除了要發(fā)生退換貨成本外，還有信譽損失，所以公司考慮要在這兩個工廠之間公平地分攤相關的損失，為此要首先確定一件不合格品來自于兩個工廠的概率，并根據(jù)概率分攤相應的損失。試回答如果一件產(chǎn)品是次品，那么它由甲廠生產(chǎn)出來的概率是多少？由乙廠出產(chǎn)出來的概率是多少？2022-6-263232 解：記 表示事件“產(chǎn)品由甲廠

22、生產(chǎn)”； 表示事件“產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)”； 記 表示事件“產(chǎn)品是不合格品”。 根據(jù)已知條件，有： 因為公司銷售的產(chǎn)品不是來自于甲廠就是來自于乙廠，即事件 、 是樣本空間的一個分割，由全概率公式有： 故如果一件產(chǎn)品是次品，那么它由甲廠出產(chǎn)出來的概率由貝葉斯公式計算： 同理如果一件產(chǎn)品是次品，那么它由乙廠出產(chǎn)出來的概率由貝葉斯公式計算： 故可以將42.86%的損失分攤給甲工廠，57.14%的損失分攤給乙工廠。2022-6-263333、 1A2A1122( )() ()() ()P BP A P B AP A P B AB1212()60%()40%()5%()10%P AP AP B AP B A；

23、2A1A11112111()()()60%5%()0.4286()60%5%40%10%()()iP AP B AP A BP ABP BP AP B A22222111()()()40%10%()=0.5714()60%5%40%10%()()iP AP B AP A BP ABP BP AP B A 【例4-9】設某大夫在病人的化驗結果出來之前認為該病人患肺炎的概率是70%，據(jù)以往的根據(jù)化驗結果診斷數(shù)據(jù)表明，如果患者真的患了肺炎，則化驗結果也表明是患肺炎的概率是95%，如果患者確實沒有患肺炎，而化驗結果卻表明患肺炎的概率是20%?，F(xiàn)化驗結果表明該患者感染了肺炎，那么大夫對“該病人患肺炎”這

24、一事件的修正概率是多少?2022-6-263434、 解：記 表示事件“患者感染了肺炎”； 表示事件“患者沒有感染肺炎”. 記 表示事件“化驗結果表明患者感染了肺炎”，則根據(jù)題意有： ； ； ；由全概率公式有： 于是根據(jù)貝葉斯公式： 即根據(jù)化驗結果，大夫對病人感染肺炎的概率從70%修正為91.7%。2022-6-2635351AB1()70%P A 2A1()95%P B A 1122( )() ()() ()70% 95%30% 20%72.5%P BP A P B AP A P B A2()30%P A2()20%P B A11112111() ()()70% 95%()91.7%( )7

25、2.5%() ()iP A P B AP ABP A BP BP A P B A第五節(jié) 隨機變量及其概率分布2022-6-2636第四章 概率與概率分布2022-6-263737 隨機變量可定義為：為一次隨機試驗的每種可能隨機變量可定義為：為一次隨機試驗的每種可能結果賦一個數(shù)字值的變量。結果賦一個數(shù)字值的變量。u 當隨機變量的所有可能取值的集合只包含有限個元素或當當隨機變量的所有可能取值的集合只包含有限個元素或當隨機變量可能取值集合是無窮可數(shù)集合時，就稱其為離散型隨機變量可能取值集合是無窮可數(shù)集合時，就稱其為離散型隨機變量。隨機變量。 u 當一個隨機變量的可能取值的集合為無窮不可數(shù)集合時，當一

26、個隨機變量的可能取值的集合為無窮不可數(shù)集合時，該隨機變量就是連續(xù)型隨機變量。該隨機變量就是連續(xù)型隨機變量。2022-6-263838 由隨機變量由隨機變量 的所有可能取值的所有可能取值 ，及相應的概率，及相應的概率 構構成的全部成為離散型隨機變量的概率分布，其表現(xiàn)形成的全部成為離散型隨機變量的概率分布，其表現(xiàn)形式可以是表格、公式或圖形等。式可以是表格、公式或圖形等。 離散型隨機變量離散型隨機變量 的概率分布有以下性質：的概率分布有以下性質： 離散型隨機變量的累積分布函數(shù)是反映其概率分布情況的離散型隨機變量的累積分布函數(shù)是反映其概率分布情況的另一種方式，公式如下：另一種方式，公式如下：X1x2x

27、nxP1()P x2()P x()nP x表表4-4 離散型隨機變量離散型隨機變量0( )11,2,iP xi1)(iixPixXiiixPxXPxF)()()(2022-6-263939 假設連續(xù)型隨機變量假設連續(xù)型隨機變量 落在任意區(qū)間落在任意區(qū)間 內(nèi)（這里內(nèi)（這里a,ba,b為任意為任意實數(shù)）的概率實數(shù)）的概率 等于以下定積分值：等于以下定積分值： 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x)f (x)是隨機變量是隨機變量X的概率密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。 由于概率由于概率 ，故有，故有 。同時概率。同時概率 ，故必然事件，故必然事件 ，即，即 。 上述概率密度函數(shù)上述概率密度函數(shù) 的幾何意義是，對于任意

28、連續(xù)實數(shù)的幾何意義是，對于任意連續(xù)實數(shù)區(qū)間區(qū)間 , ,事件事件 發(fā)生的概率值等于由發(fā)生的概率值等于由x軸、直線軸、直線x=a、直線直線x=b以及曲線以及曲線f (x)圍成的曲邊梯形的面積。圍成的曲邊梯形的面積。X()P aXb, a b()( )baP aXbf x dx( )0f x ()0P aXbaXb()1P aXb()1PX 1)()(dxxfXP( )f x, a b圖圖4-1 4-1 連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)示意圖連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)示意圖第六節(jié) 常用的隨機變量的概率分布2022-6-2640第四章 概率與概率分布2022-6-264141 （一）二項分布（一）二項分

29、布 我們經(jīng)常會遇到只有兩種結果的隨機試驗，例如擲硬幣，不我們經(jīng)常會遇到只有兩種結果的隨機試驗，例如擲硬幣，不是正面向上，就是正面向下。在產(chǎn)品抽樣檢驗中，不是抽到正是正面向上，就是正面向下。在產(chǎn)品抽樣檢驗中，不是抽到正品，就是抽到次品，這種只有兩個結果的試驗稱為貝努里試驗。品，就是抽到次品，這種只有兩個結果的試驗稱為貝努里試驗。 假設在一次貝努里試驗中，有隨機事件假設在一次貝努里試驗中，有隨機事件A A，其結果只有兩種，其結果只有兩種可能，即可能，即“成功成功”或或“失敗失敗”，“成功成功”的概率是的概率是p p ，“失敗失敗”的概率為的概率為q q，并且，并且p p+ +q q=1=1。用。用

30、 X X表示在重復表示在重復n n次貝努里試驗中事次貝努里試驗中事件件A A“成功成功”的次數(shù)，其取值范圍是從的次數(shù)，其取值范圍是從0 0到到n n的任意整數(shù)，顯然，的任意整數(shù)，顯然， X X是一隨機變量。則是一隨機變量。則 由于該式是二項展開式的通項，故該分布稱為二項分布。記由于該式是二項展開式的通項，故該分布稱為二項分布。記為為 ，其期望值等于，其期望值等于npnp ，方差，方差 等于等于npqnpq。()(0,1,2, )kkn knP XkC p qkn),(pnBX2022-6-264242 【例例4-104-10】設某企業(yè)產(chǎn)品廢品率為設某企業(yè)產(chǎn)品廢品率為5%5%，重復抽取，重復抽取

31、1010件產(chǎn)件產(chǎn)品進行檢驗。試求：品進行檢驗。試求： (1) (1)正好有三件產(chǎn)品是廢品的概率；正好有三件產(chǎn)品是廢品的概率； （2 2）至少有三件產(chǎn)品是廢品的概率；）至少有三件產(chǎn)品是廢品的概率； （3 3）廢品件數(shù)大于）廢品件數(shù)大于3 3的概率。的概率。 解：由題意知解：由題意知 p p=5%=5%，n n=10=10，故，故（1 1）（2 2） （3 3）10928373100010119228337101010101001091098=1 1 (0.95) +10(0.05)(0.95) +(0.05)(0.95) +(0.05)(0.95)12123=0.9989(03)=XXXXPXC

32、 p qC p qC p qC p qC p q 310100(3)=1=1 0.9989=0.0011XXXXP XC p q3333710 9 8(3)=(0.05)(0.95) =0.01051 2 3nnP XC p q 2022-6-264343 （二）泊松分布（二）泊松分布 設離散型隨機變量設離散型隨機變量X X的取值范圍是任意非負整數(shù)的取值范圍是任意非負整數(shù)0,1,20,1,2，假設在某次隨機試驗中隨機變量假設在某次隨機試驗中隨機變量X X取得某一具體數(shù)值記為取得某一具體數(shù)值記為k k，則，則隨機事件隨機事件X= kX= k發(fā)生的概率為：發(fā)生的概率為：式中，式中， 是是X X的期

33、望值和方差；則稱隨機變量的期望值和方差；則稱隨機變量X X服從泊松分布。服從泊松分布。記為記為 。()(0,1,2,)!keP Xkkk( )XP2022-6-264444 【例例4-114-11】假設上午假設上午1010點到點到1111點間到達一個高速公路收費點間到達一個高速公路收費站的汽車數(shù)量是一個服從泊松分布的隨機變量。到達汽車的平站的汽車數(shù)量是一個服從泊松分布的隨機變量。到達汽車的平均流量是均流量是2 2輛輛/ /分鐘。求下列隨機事件發(fā)生的概率。分鐘。求下列隨機事件發(fā)生的概率。 （1 1）1 1分鐘內(nèi)沒有車輛到達；分鐘內(nèi)沒有車輛到達； （2 2）1 1分鐘內(nèi)到達分鐘內(nèi)到達5 5輛汽車；

34、輛汽車； （3 3）1 1分鐘內(nèi)到達分鐘內(nèi)到達3 3輛汽車及輛汽車及3 3輛以下。輛以下。 解：由題意知，解：由題意知， （1 1） （2 2） （3 3）522(5)=0.0365!eP X022(0)0.1350!eP X02122232302222(3)=0.857!0!1!2!3!kkeeeeeP Xk22022-6-264545 （三）超幾何分布（三）超幾何分布 設總體容量為設總體容量為NN，總體中包含成功的次數(shù)是，總體中包含成功的次數(shù)是K K，抽取的樣，抽取的樣本容量是本容量是n n，樣本中包含成功次數(shù)記為，樣本中包含成功次數(shù)記為k k，其中，其中k k滿足滿足 , ,如果隨機事件

35、如果隨機事件 發(fā)生的發(fā)生的概率為：概率為： 則稱隨機變量則稱隨機變量 服從超幾何分布服從超幾何分布, ,記為：記為： 。 超幾何分布的均值和方差分別為：超幾何分布的均值和方差分別為： max0,()min ,nNKkn K()kn kKNKnNC CP XkCXk21(1)111KKNnNnNnnnppnpqNNNNN(, )XH K N n()KE XnnpN2022-6-264646 【例例4-124-12】某公司有庫存打印機某公司有庫存打印機2020臺，其中包括兩臺壞打臺，其中包括兩臺壞打印機，由于庫存管理人員的疏忽，合格打印機與壞打印機混合印機，由于庫存管理人員的疏忽，合格打印機與壞打

36、印機混合存放在一起，現(xiàn)售出存放在一起，現(xiàn)售出1010臺并已經(jīng)發(fā)貨，問：臺并已經(jīng)發(fā)貨，問：（1 1）已經(jīng)交付的貨物中包含零臺有問題的打印機的概率；）已經(jīng)交付的貨物中包含零臺有問題的打印機的概率；（2 2）已經(jīng)交付的貨物中包含）已經(jīng)交付的貨物中包含1 1臺或臺或2 2臺有問題的打印機的概率。臺有問題的打印機的概率。 解：由題意知，解：由題意知，NN=20=20，K K=2=2 ，n n=10=10， （1 1）零臺打印機，即）零臺打印機，即k k=0=0 ，則，則 （2 2）1 1臺打印機，即臺打印機，即 k k=1=1時，時， 2 2臺打印機，即臺打印機，即k k=2=2時，時， 010 022

37、0 210201 43758(0)0.2368184756C CP XC110 1220 21020(1)0.5264C CP XC2368. 0)2(102021022022CCCXP2022-6-264747 （一）正態(tài)分布（一）正態(tài)分布 1. 1.正態(tài)分布概率密度函數(shù)及其性質正態(tài)分布概率密度函數(shù)及其性質 如果連續(xù)型隨機變量如果連續(xù)型隨機變量X X的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為：式中，式中， 是總體均值，是總體均值， 是總體標準差，是總體標準差， e e是自然對數(shù)的底數(shù)，則稱隨機變量是自然對數(shù)的底數(shù)，則稱隨機變量X X服從參數(shù)是服從參數(shù)是 ， 的正態(tài)分的正態(tài)分布，記作：布，記作： 。

38、當參數(shù)當參數(shù) ， 都確定后，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)就唯一確定都確定后，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)就唯一確定了。概率密度函數(shù)的曲線如圖所示。了。概率密度函數(shù)的曲線如圖所示。 圖圖4-2 4-2 正態(tài)分布密度正態(tài)分布密度函數(shù)曲線函數(shù)曲線0，22() /21( )2xf xe2( ,)XN 2022-6-264848 正態(tài)分布概率密度曲線的特征：正態(tài)分布概率密度曲線的特征：（1 1）隨機變量的取值范圍是整個）隨機變量的取值范圍是整個x x軸，概率密度曲線向左右延伸，并以軸，概率密度曲線向左右延伸，并以x x軸軸為漸近線；為漸近線；（2 2） ，即概率密度曲線在，即概率密度曲線在x x軸上方，且概率密度曲

39、線與軸上方，且概率密度曲線與 x x軸所圍軸所圍成的區(qū)域的面積為成的區(qū)域的面積為1 1；（3 3）概率密度函數(shù)是以）概率密度函數(shù)是以 為對稱軸的鐘形曲線，并且在為對稱軸的鐘形曲線，并且在 處，處，曲線達到最高點曲線達到最高點 ；（4 4）均值）均值 是正態(tài)分布概率密度曲線的位置參數(shù)，其數(shù)值大小決定了密度是正態(tài)分布概率密度曲線的位置參數(shù)，其數(shù)值大小決定了密度曲線對稱軸的不同，如圖曲線對稱軸的不同，如圖4-34-3所示。所示。標準差標準差 是正態(tài)分布概率密度曲線的形狀是正態(tài)分布概率密度曲線的形狀參數(shù)，它的大小等于曲線拐點與對稱軸之間的距離，反映了曲線的胖瘦程參數(shù)，它的大小等于曲線拐點與對稱軸之間的

40、距離，反映了曲線的胖瘦程度，如圖度，如圖4-44-4所示。所示。x( )0f x x1(,)2 圖圖4-3 正態(tài)分布概率密度曲線正態(tài)分布概率密度曲線（a）圖圖4-4 正態(tài)分布概率密度曲線正態(tài)分布概率密度曲線（b）2022-6-264949 2.2.標準正態(tài)分布、標準正態(tài)分布表的應用標準正態(tài)分布、標準正態(tài)分布表的應用 標準正態(tài)分布是指均值標準正態(tài)分布是指均值 ，標準差，標準差 的正態(tài)分布的正態(tài)分布，記為，記為: : 。此時概率密度函數(shù)為。此時概率密度函數(shù)為: : 概率分布函數(shù)為概率分布函數(shù)為: : 標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的曲線如圖所示。標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的曲線如圖所示

41、。 還可以將正態(tài)分布轉換為標準正態(tài)分布，進而求得任何正態(tài)分布的分還可以將正態(tài)分布轉換為標準正態(tài)分布，進而求得任何正態(tài)分布的分布函數(shù)值。轉化公式如下：布函數(shù)值。轉化公式如下： 此時，此時， 。0Xz(0,1)XN12/21( )2xxe2/21( )2xtxedt(0,1)zN2022-6-265050 【例例4-134-13】到某銀行辦理業(yè)務的顧客從進入銀行到辦理完到某銀行辦理業(yè)務的顧客從進入銀行到辦理完業(yè)務離開所用時間服從正態(tài)分布，其均值為業(yè)務離開所用時間服從正態(tài)分布，其均值為2222分鐘，標準差為分鐘，標準差為6 6分鐘，試求所用時間在下列范圍內(nèi)的概率：分鐘，試求所用時間在下列范圍內(nèi)的概率

42、： （1 1）所用時間在）所用時間在1010至至3434分鐘之間；分鐘之間； （2 2）所用時間小于）所用時間小于2020分鐘。分鐘。 解：以解：以X X表示辦理業(yè)務所用時間，已知表示辦理業(yè)務所用時間，已知 。（1 1）若）若X =X =1010，則，則 , , X = X =3434時同理，因此可得時同理，因此可得 （2 2）2(22,6 )XN222022(20)()(1/3)66( 1/3)1(1/3)10.629337.07%XP XPP z (2)( 2)(2)(1(2)0.9772(10.9772)0.97720.022895.44%1022223422(1034)()( 22)6

43、66XPXPPz 102226Xz 2022-6-265151 （二）均勻分布（二）均勻分布 如果連續(xù)型隨機變量如果連續(xù)型隨機變量X X的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為：a,ba,b為兩參數(shù)，并且為兩參數(shù)，并且 。則稱隨機變量。則稱隨機變量X X服從均勻分布，記服從均勻分布，記為：為： 。 均勻分布的均值和標準差均勻分布的均值和標準差: :1( )0axbf xba其它2()12ba, a bR( , )XU a b( )2abE x 均勻分布（均勻分布（a）均勻分布（均勻分布（b）2022-6-265252 （三）指數(shù)分布（三）指數(shù)分布 指數(shù)分布的連續(xù)型隨機變量指數(shù)分布的連續(xù)型隨機變量X X的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為： 式中，式中， ，可以證明：隨機變量，可以證明：隨機變量 的均值及方差都為的均值及方差都為 。 如果隨機變量如果隨機變量X X滿足指數(shù)分布，