第二章線性變換2011

1、1第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR邱啟榮邱啟榮華北電力大學(xué)數(shù)理系華北電力大學(xué)數(shù)理系QQIR第二章線性變換第二章線性變換2第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR2.1 2.1 線性變換的定義線性變換的定義2.2 2.2 線性變換的運(yùn)算線性變換的運(yùn)算.3 .3 線性變換的矩陣線性變換的矩陣. .特征值與特征向量特征值與特征向量3第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn): : 線性變換的概念線性變換的概念教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn): : 線性變換的概念線性變換的概念2.1 線性變換的定義線性變換的定義教學(xué)目的教學(xué)目的: 理解線性變換的概念4第二章線

2、性變換第二章線性變換Made By QQIR線性空間中向量之間的聯(lián)系，是通過線性空線性空間中向量之間的聯(lián)系，是通過線性空間到線性空間的映射來實(shí)現(xiàn)的間到線性空間的映射來實(shí)現(xiàn)的映射映射).( ,)( ),(, , , 1ATTBABABA 或或記作記作或映射或映射的變換的變換到集合到集合合合這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為從集這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則稱為從集那么那么和它對(duì)應(yīng)和它對(duì)應(yīng)中一個(gè)確定的元素中一個(gè)確定的元素總有總有按照一定規(guī)則按照一定規(guī)則元素元素中任一中任一如果對(duì)于如果對(duì)于設(shè)有兩個(gè)非空集合設(shè)有兩個(gè)非空集合定義定義一、線性變換的概念5第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR ,)()(ATAT 變換的概念是函

3、數(shù)概念的推廣變換的概念是函數(shù)概念的推廣即即記記作作象象集集稱稱為為象象的的全全體體所所構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合的的源源集集稱稱為為變變換換下下的的源源在在變變換換稱稱為為下下的的象象在在變變換換稱稱為為變變?yōu)闉榘寻言厮鼐途驼f說變變換換設(shè)設(shè)),(,. , ,)(,ATTATTTTA .)(BAT 顯顯然然6第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR7第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR. )1( 是一個(gè)線性變換是一個(gè)線性變換微分運(yùn)算微分運(yùn)算D, 3012233xPaxaxaxap , x3中中在線性空間在線性空間P 例例1 1.,)( )2(0也是一個(gè)線性變換也是一個(gè)線

4、性變換那么那么如果如果TapT ., 1)()3( 11性變換性變換但不是線但不是線是個(gè)變換是個(gè)變換那么那么如果如果TpT 8第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR9第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR10第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR11第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR12第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR13第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR14第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR 設(shè)f是線性空間V上的一個(gè)線性變換，W是V的一個(gè)子空間，如果對(duì)W中任意的向量，在f的作用

5、下仍然屬于W，則稱W是f的不變子空間。15第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR) 是滿射是滿射f( )f VV 設(shè)為設(shè)為n 維線性空間維線性空間V的線性變換，則的線性變換，則f) 是單射是單射 f 1(0)0f f是單射是單射 是滿射是滿射. f 設(shè)設(shè)為為n 維線性空間維線性空間V的線性變換，則的線性變換，則 16第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn): 線性變換的運(yùn)算線性變換的運(yùn)算教學(xué)目的教學(xué)目的: 掌握線性變換的運(yùn)算及其掌握線性變換的運(yùn)算及其 簡(jiǎn)單性質(zhì)簡(jiǎn)單性質(zhì)2.2 線性變換的運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn): 線性變換的乘法運(yùn)算線性變換的乘法運(yùn)算17第二

6、章線性變換第二章線性變換Made By QQIR一、一、 線性變換的乘積線性變換的乘積 二、二、 線性變換的和線性變換的和三、三、 線性變換的數(shù)量乘法線性變換的數(shù)量乘法四、四、 線性變換的逆線性變換的逆五、五、 線性變換的多項(xiàng)式線性變換的多項(xiàng)式 18第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR1定義定義設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的兩個(gè)線性變換，定義它們的兩個(gè)線性變換，定義它們, 一、一、 線性變換的乘積線性變換的乘積 的的乘積乘積 為：為： ,V 則則 也是也是V的線性變換的線性變換.19第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR基本性質(zhì)基本性質(zhì)（1）滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律：

7、 （2），E為單位變換為單位變換 EE（3）交換律一般不成立，即一般地，交換律一般不成立，即一般地，. 20第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR例例1. 線性空間中，線性變換線性空間中，線性變換 R x D fxfx 0,xDJfxDf t dtfx 00 xJDfxJfxft dtfxf 而，而， .DJJD 0 xJfxf t dt 即即.DJE 21第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR(),XAX 例例2. 設(shè)設(shè)A、B為兩個(gè)取定的矩陣，定義變換為兩個(gè)取定的矩陣，定義變換n nP 則皆為的線性變換，且對(duì)有則皆為的線性變換，且對(duì)有, n nP ,n nXP (

8、)()( ()()(),XXXBA XBAXB ()()( ()()().XXAXAX BAXB (),XXB n nXP .22第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR則則 也是也是V的線性變換的線性變換. 二、二、 線性變換的和線性變換的和 1定義定義設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的兩個(gè)線性變換，定義它們的兩個(gè)線性變換，定義它們, ,V 的的和和 為：為： 23第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR（3） 0為零變換為零變換.00,（4）乘法對(duì)加法滿足左、右分配律：）乘法對(duì)加法滿足左、右分配律： 2基本性質(zhì)基本性質(zhì)（1）滿足交換律：）滿足交換律：（2）滿足結(jié)合律：）滿

9、足結(jié)合律： 24第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR ,V 3負(fù)變換負(fù)變換設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，定義變換為：的線性變換，定義變換為： 則則 也為也為V的線性變換，稱之為的的線性變換，稱之為的負(fù)變換負(fù)變換. 注：注：()025第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR ,kkV 三、三、 線性變換的數(shù)量乘法線性變換的數(shù)量乘法 1定義定義的的數(shù)量乘積數(shù)量乘積 為：為：k 則則 也是也是V的線性變換的線性變換.k 設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，定義的線性變換，定義 k 與與 ,kP 26第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR(1) ()

10、()klk l (2) ()klkl(3)()kkk(4) 1 2基本性質(zhì)基本性質(zhì)注：注：線性空間線性空間V上的全體線性變換所成集合對(duì)于上的全體線性變換所成集合對(duì)于線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域P上的一個(gè)線性上的一個(gè)線性空間，記作空間，記作( ).L V27第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR四、四、 線性變換的逆線性變換的逆 E則稱則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記作為可逆變換，稱為的逆變換，記作 1. 1定義定義設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，若有的線性變換，若有V的變換使的變換使 2基本性質(zhì)基本性質(zhì)(1) 可逆變換的逆變換也是可逆變換

11、的逆變換也是V的線性變換的線性變換. 1 28第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR,nn 當(dāng)時(shí)，規(guī)定（單位變換）當(dāng)時(shí)，規(guī)定（單位變換）.0n 0E 五、線性變換的多項(xiàng)式五、線性變換的多項(xiàng)式 1線性變換的冪線性變換的冪設(shè)為線性空間設(shè)為線性空間V的線性變換，的線性變換，n為自然數(shù)，定義為自然數(shù)，定義 稱之為的稱之為的n次冪次冪. 29第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR 易證易證 ,0nm nmnmmnm n 注：注： 1nn 當(dāng)為可逆變換時(shí)，定義的當(dāng)為可逆變換時(shí)，定義的負(fù)整數(shù)冪負(fù)整數(shù)冪為為 一般地，一般地， .nnn 30第二章線性變換第二章線性變換Made By

12、 QQIR設(shè)設(shè) 10 ,mmfxa xa xaP x 為為V的一個(gè)線性變換，則的一個(gè)線性變換，則10( )mmfaaa E2線性變換的多項(xiàng)式線性變換的多項(xiàng)式多項(xiàng)式多項(xiàng)式.也是也是V的一個(gè)線性變換，稱的一個(gè)線性變換，稱 為線性變換的為線性變換的 ( )f 31第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR注：注： ,h xfxg xp xfx g x 在在 中，若中，若 P x則有，則有， ,hfg fggf即線性變換的多項(xiàng)式滿足加法和乘法交換律即線性變換的多項(xiàng)式滿足加法和乘法交換律. pfg 對(duì)有對(duì)有( ), ( ) ,f xg xP x fggf 32第二章線性變換第二章線性變換Mad

13、e By QQIR一、一、 線性變換與基線性變換與基 二、二、 線性變換與矩陣線性變換與矩陣三、三、 相似矩陣相似矩陣3 線性變換與矩陣線性變換與矩陣33第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR34第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR35第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR36第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR37第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR38第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR39第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR40第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR例

14、例2.3.1、已知、已知 的線性變換的線性變換 3( )P t2301232302132031()()()()()T aa ta ta taaaa taa taa t求求T在基在基 下的矩陣。下的矩陣。231, ,t tt41第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR42第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR43第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR44第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR45第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR（2） 定理定理5 線性變換在不同基下的矩陣是相似的；線性變換在不同基下的矩陣是相似的；同一線性變

15、換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣同一線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣.反過來，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作反過來，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作46第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR例例2.3.3、已知、已知 的兩個(gè)線性變換的兩個(gè)線性變換2 2R(), (),T XXN S XMX2 21011(,2011XRMN求（求（1） ,TS TS在自然基下的矩陣。在自然基下的矩陣。（2） T與與S是否可逆？若可逆，求其是否可逆？若可逆，求其逆變換。逆變換。 47第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR48第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR49第二章線性

16、變換第二章線性變換Made By QQIR50第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR51第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR兩類特殊的線性變換兩類特殊的線性變換1. 正交變換正交變換2. 對(duì)稱變換對(duì)稱變換52第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR定理定理: : ( ),( )( , )ff 如果對(duì)任意的如果對(duì)任意的 都有都有V 稱為稱為 維歐氏空間維歐氏空間V的正交變換的正交變換 fn定理定理: : ( ),( )( ,)ff 的充要條件為對(duì)任意的的充要條件為對(duì)任意的 都有都有,V 是是 維歐氏空間維歐氏空間V的正交變換的正交變換 fn定義定義: :

17、如果實(shí)方陣如果實(shí)方陣U U滿足滿足 則則U U稱為正交矩陣。稱為正交矩陣。TU UE 53第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR則下列命題等價(jià)：則下列命題等價(jià)：定理定理設(shè)是設(shè)是 n 維歐氏空間維歐氏空間V的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換.f3） 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣;f1） 是正交變換；是正交變換；f2） 把標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基把標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基;f54第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR55第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR56第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR定理定理: : f

18、 f是一個(gè)對(duì)稱變換，則是一個(gè)對(duì)稱變換，則（1 1）存在）存在V V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得f f關(guān)于這個(gè)基關(guān)于這個(gè)基的矩陣為對(duì)角矩陣。的矩陣為對(duì)角矩陣。（2 2）如果）如果A A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在一個(gè)正交矩是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在一個(gè)正交矩陣陣U U，使得，使得 是對(duì)角矩陣。是對(duì)角矩陣。VTU AU57第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR58第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR一、一、 特征值與特征向量特征值與特征向量 二、二、 特征值與特征向量的求法特征值與特征向量的求法三、三、 特征子空間特征子空間四、四、 特征多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì)特征

19、多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì).特征值與特征向量特征值與特征向量59第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR從本節(jié)開始，我們主要討論，如何選擇一組適當(dāng)從本節(jié)開始，我們主要討論，如何選擇一組適當(dāng)?shù)幕?，使的基，使V的某個(gè)線性變換在這組基下的矩陣就是的某個(gè)線性變換在這組基下的矩陣就是 一個(gè)對(duì)角矩陣一個(gè)對(duì)角矩陣?引入引入有限維線性空間有限維線性空間V中取定一組基后，中取定一組基后，V的任一線性的任一線性希望這個(gè)矩陣越簡(jiǎn)單越好，如對(duì)角矩陣希望這個(gè)矩陣越簡(jiǎn)單越好，如對(duì)角矩陣. 變換都可以用矩陣來表示變換都可以用矩陣來表示. 為了研究線性變換性質(zhì)，為了研究線性變換性質(zhì)，60第二章線性變換第二章線性變換Made

20、 By QQIR61第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR62第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR63第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR64第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR65第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR66第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR67第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR 矩陣矩陣A的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為為A的特征值的特征值, ,注：注： 若矩陣若矩陣A是線性變換關(guān)于是線性變換關(guān)于V的一組基的矩陣的一組基的矩陣，f而是的一個(gè)特征值，

21、則是特征多項(xiàng)式而是的一個(gè)特征值，則是特征多項(xiàng)式0 f( )Af 0 的根，即的根，即0()0.Af 的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值.反之，若是反之，若是A的特征多項(xiàng)式的根，則就是的特征多項(xiàng)式的根，則就是0 0 f（所以，特征值也稱（所以，特征值也稱特征根特征根.）而相應(yīng)的線性方程組而相應(yīng)的線性方程組 的非零解也就的非零解也就()0EA X 稱為稱為A的屬于這個(gè)特征值的特征向量的屬于這個(gè)特征值的特征向量. .68第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR69第二章線性變換第二章線性變換Made By QQIR 11122( )nntrAtr Aaaa 21111311111111123133112122iiijij njijjnnnnn