第5剛體定軸轉(zhuǎn)動

1、1第第5 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 1 剛體的運動剛體的運動 2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動定律 2 剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體發(fā)生變化的物體( (任意兩質(zhì)點間距離保持任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組不變的特殊質(zhì)點組) )剛體的運動形式：剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動平動、轉(zhuǎn)動 剛體是理想模型剛體是理想模型 剛體模型是為簡化問題引進的剛體模型是為簡化問題引進的說明：說明：3 剛體平動剛體平動 質(zhì)點運動質(zhì)點運動 平動：平動：剛體中所剛體中所有點的運動軌跡都保有點的運動軌跡都保持完全相同持完全相同 特點：特點：各點運動各點運

2、動狀態(tài)一樣，如：狀態(tài)一樣，如： 等都相同等都相同a、v4轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動：分分定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動和和非定軸轉(zhuǎn)動非定軸轉(zhuǎn)動剛體的剛體的平面運動平面運動 5一般運動一般運動 = ( (平動平動) )+( (轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動) )原則原則: 隨某點隨某點( (基點基點) )的平動的平動 + 過該點的定軸轉(zhuǎn)動過該點的定軸轉(zhuǎn)動 基點任選?；c任選。ABDABD實際實際: 因為對質(zhì)心因為對質(zhì)心存存在在“質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理”所以：所以： 基點基點就選就選質(zhì)心質(zhì)心圖示基點任選圖示基點任選6沿沿逆時針逆時針方方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動一一 剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標(biāo)角坐

3、標(biāo)沿沿順時針順時針方方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)r.d7角加速度角加速度t dd 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動( (一維轉(zhuǎn)動一維轉(zhuǎn)動) )的的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動方向方向可以用可以用角速度角速度的正、負的正、負來表示來表示. .000 01 0 在在沖擊沖擊等問題中等問題中 L常量常量61演示演示(一一)茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳花樣滑冰花樣滑冰 跳水跳水(二二)自行車轉(zhuǎn)盤自行車轉(zhuǎn)盤mm1r2r角動量例角動量例陀螺陀螺62積分形式積分形式 （有限時間過程）（有限時間過程）微分形式微分形式 (瞬時效應(yīng)瞬時效應(yīng))質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點

4、系質(zhì)點系定軸剛體定軸剛體LLtMLLtt2121ddLLtMLLtt2121dd外tLMddtLMdd外tJJMdd軸2121ddttJJtM軸63如圖所示桌面上有一均勻細桿，質(zhì)量為m、長度為l，它與桌面之間的摩擦因數(shù)為細桿以初始角速度0繞垂直于桿的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，問細桿經(jīng)過多長時間停止轉(zhuǎn)動？例xdxxO解重力及桌面的支持力的力矩和為零細桿的質(zhì)量密度為：/m lxmdd距O為x處的質(zhì)量元：質(zhì)元受的摩擦力矩為：ddMgx m細桿受的摩擦力矩為：/2/2/201d2d4lllMMg x xmgl 00 LJ0L 001d04tmgl tJ03ltg64如圖所示的兩個共軸飛輪，對公共軸OO的轉(zhuǎn)動慣量分別

5、為J1、J2，角速度分別為 1 、2，求兩飛輪嚙合后共同的角速度例OO1J2J12112212()JJJJ解嚙合前后系統(tǒng)角動量守恒112212JJJJ65 例例4一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h 處自由下落到蹺板的一端處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一，并把蹺板另一端的演員端的演員N彈了起來問演員彈了起來問演員N可彈起多高可彈起多高? ?ll/2CABMNh66設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l，質(zhì)量為質(zhì)量為 ，蹺板可繞中部支撐點蹺板可繞中部支撐點C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m假定演員假定演員M落在蹺板上，落在蹺板

6、上，與蹺板的碰撞是與蹺板的碰撞是完全非彈性完全非彈性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A點的速度點的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬間，碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu 67M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒22M21121222mllmlmuJlmvll/2CABMNh68lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員N以以u起跳，達到的高度：起跳，達到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJlmv69 例例3 質(zhì)量很小長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細桿，可的均

7、勻細桿，可繞過其中心繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動內(nèi)轉(zhuǎn)動當(dāng)細桿靜止于水平位置時，有一只當(dāng)細桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率小蟲以速率 垂直落在距點垂直落在距點O為 l/4 處，并背處，并背離點離點O 向細桿的端點向細桿的端點A 爬行設(shè)小蟲與細桿爬行設(shè)小蟲與細桿的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m問：欲使細桿以恒定的角速問：欲使細桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動，小蟲應(yīng)以多大速率向細桿端點爬行度轉(zhuǎn)動，小蟲應(yīng)以多大速率向細桿端點爬行?0vl/4O70220)4(1214lmmllmvl0712 v解解蟲與桿的蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角碰撞前后，系統(tǒng)角動量守恒動量守恒71l0712

8、 v由角動量定理由角動量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg72M/4，RMM/23-4題圖5一輕繩繞過一半徑R，質(zhì)量為M/4的滑輪。質(zhì)量為M的人抓住繩子的一端，而繩子另一端系一質(zhì)量為M/2的重物，如圖。求當(dāng)人相對于繩勻速上爬時，重物上升的加速度是多少？4解：選人、滑輪、與重物為系統(tǒng)，系統(tǒng)所受對滑輪的外力矩為MgR21設(shè)u為人相對繩的勻速度，v為重物上升的速度。則該系統(tǒng)對滑輪軸的角動量為 MRuMRRMRuMRML813)421()(22根據(jù)角動量定理 tLdd)813(

9、21MRuMRdtdmgRgdtdadtdu134073練習(xí)：練習(xí)：已知已知 m = 20 克，克，M = 980 克克 ,v 0 =400米米/秒，繩秒，繩不可伸長。求不可伸長。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v =?哪些物理量守恒？請列方程。哪些物理量守恒？請列方程。解解：m、M系統(tǒng)水平方向動量守恒（系統(tǒng)水平方向動量守恒（F x =0)豎直方向動量不守恒（繩沖力不能忽略）豎直方向動量不守恒（繩沖力不能忽略）對對o 點軸角動量守恒（外力矩和為零）點軸角動量守恒（外力矩和為零）omMv300vvMmmv0030sin或：或：00090sin30sinlMmvlmvv = 4 ms-1得：

10、得：74例例. . 一半徑為一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為 M 的轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的的轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動豎直軸轉(zhuǎn)動, , 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣，最初人和的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣，最初人和臺都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周臺都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周 ( (不計阻力不計阻力) )，相對，相對于地面，人和臺各轉(zhuǎn)了多少角度？于地面，人和臺各轉(zhuǎn)了多少角度？RMm選地面為參考系，設(shè)對轉(zhuǎn)軸選地面為參考系，設(shè)對轉(zhuǎn)軸人：人：J J , , ; ; 臺：臺：J J , , 解：解：系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，角動量守恒。以向上為正：角動量守恒。以向上為正：2212MRJmR

11、J0JJMm275設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周的時間為設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周的時間為 t t：2dd00tttt2d2d00tttMmt人相對地面轉(zhuǎn)過的角度：人相對地面轉(zhuǎn)過的角度：MmMt22dt0臺相對地面轉(zhuǎn)過的角度：臺相對地面轉(zhuǎn)過的角度：Mmmtt22d076ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功一力矩作功一力矩作功 orvFxtFrdd77MtMtWPdddd二力矩的功率二力矩的功率rFWd比較比較v FP三轉(zhuǎn)動動能三轉(zhuǎn)動動能221iiikmEv22221)(21Jrmiii7821222121d21JJMW四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理四剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理21dMW21

12、11ddddJtJ剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理比較比較 21222121dvvmmrFW792） 用用角量角量表示的表示的力作功的形式力作功的形式dddMsFA3） 剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理形式動能定理形式 2022121JJA0內(nèi)A2.重力場中重力場中,機械能守恒定律機械能守恒定律系統(tǒng)系統(tǒng)- 剛體剛體 + 地球地球EmghJc122自證自證KEAA內(nèi)外質(zhì)點系動能定理質(zhì)點系動能定理80vo以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；動量守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能機械能不不守恒守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細細繩繩質(zhì)質(zhì)量量不不計計81子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機械能機械能不不守恒守恒角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；82voompTR圓圓錐錐擺擺圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動量動量不不守恒；守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能守恒機械能守恒83 例例2 一長為一長為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的竿可繞支點的竿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動一自由轉(zhuǎn)動一質(zhì)量為質(zhì)量為m、速率為、速率為v 的子彈射的子彈射入竿內(nèi)距支點為入竿內(nèi)距支點為a 處，使竿的處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為偏轉(zhuǎn)角為30o . 問子彈的初速