第十章壓桿穩(wěn)定問題

1、第十章第十章壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題 10-1 10-1 壓桿穩(wěn)壓桿穩(wěn)定性的概念定性的概念一一. .研究壓桿穩(wěn)定的意義研究壓桿穩(wěn)定的意義 19071907年加拿大魁北克年加拿大魁北克橋的失穩(wěn)橋的失穩(wěn)( (跨度跨度548m,548m,重重9000T9000T。8686人施工，死人施工，死7575人人) )莫爾茲橋行架失穩(wěn)莫爾茲橋行架失穩(wěn)二二. .失穩(wěn)的定義失穩(wěn)的定義1.1.穩(wěn)定的分類穩(wěn)定的分類無窮多個無窮多個平衡點平衡點隨遇平衡隨遇平衡一個平衡一個平衡點點穩(wěn)定穩(wěn)定平衡平衡沒有平衡沒有平衡點點不穩(wěn)不穩(wěn)定平衡定平衡2.2.失穩(wěn)的定義失穩(wěn)的定義壓桿從直軸線狀態(tài)下的穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化為微曲狀態(tài)壓桿從直軸線狀態(tài)

2、下的穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化為微曲狀態(tài)下的不穩(wěn)定平衡稱為失穩(wěn)。下的不穩(wěn)定平衡稱為失穩(wěn)。臨界壓力臨界壓力-使壓桿失穩(wěn)的壓力稱為臨界壓力。使壓桿失穩(wěn)的壓力稱為臨界壓力。壓桿的失穩(wěn)壓桿的失穩(wěn)為什么會產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象? Lab 材料有承載能力,但結(jié)構(gòu)的平衡位置發(fā)生改變,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的失效! 如果:lab 材料的潛力得以充分發(fā)揮,材料以強度失效的形式喪失承載能力. 拉伸沒有失穩(wěn)的現(xiàn)象; 壓縮變形轉(zhuǎn)換成穩(wěn)定問題; Pcr由壓桿的彎曲形式確定! 求平衡狀態(tài)的分界點是目的!10-2細長壓桿臨界壓力的歐拉公式一一. .兩端鉸支細長壓桿兩端鉸支細長壓桿的歐拉公式的歐拉公式1.1.壓桿截面上的彎矩壓桿截面上的彎矩wFxMcr)(彎矩的

3、符號由彎矩的符號由坐標和應(yīng)力的坐標和應(yīng)力的符號共同決定：符號共同決定：yIMzFcr2.桿曲線的微分方程桿曲線的微分方程3.微分方程的解微分方程的解wFxMcr)(wFxMwIEcr )(0 wIEFwcr即IEFkcr2令02 wkw則022kki有兩個共軛復(fù)根特征方程特征方程x ix ixxeCeCeCeCw212121通解：通解：3.3.邊界條件邊界條件sinkl 0kxBkxAwcossin00 x時：wB00 x l時 ： wAklsin0klnn(, , , )012knl222lIEnFcrlnIEFcr1minn22lIEFcr二二. .一端固定一端自由細長壓桿臨界壓力公式一端

4、固定一端自由細長壓桿臨界壓力公式1.1.彎矩方程彎矩方程xwcrFwcrFcrFy y)(wFMCR3.3.微分方程的解微分方程的解)()(wFxMwIEcr EIFwIEFwcrcr 即IEFkcr2令22kwkw 則ki2 , 1特征方程特征方程kxBkxAwcossin*齊次方程的通解齊次方程的通解非齊次方程的特解非齊次方程的特解w微分方程的解微分方程的解kxBkxAwcossinM M邊界條件：邊界條件：變形與載荷有關(guān)，可由借助變形與載荷有關(guān)，可由借助B B、A A、 三個數(shù)描三個數(shù)描述述0cosklk00wx時：00BAwlx時：0cossinklBklA), 2 , 1 , 0()

5、 12 (21, 0nnklklk2lIEFcr21minn22)2( lIEFcr00wx時：000BkA00cossin00110BAklklk00cossin00110klklk4.4.臨界壓力臨界壓力三三. .一端固定一端鉸支細長壓桿臨界壓力公式一端固定一端鉸支細長壓桿臨界壓力公式1.1.彎矩方程彎矩方程xcrF)(xlFwFMyCR3.3.微分方程的解微分方程的解)()(xlFwFxMwIEycr )(xlEIFwIEFwycr 即IEFkcr2令)(22xlkFFwkwcry 則kxBkxAwcossin*齊次方程的通解齊次方程的通解非齊次方程的特解非齊次方程的特解微分方程的解微分

6、方程的解)(cossinxlFFkxBkxAwcryML-xcrFwy yL LwyFcrF)(xlFFwcry3.邊界條件：邊界條件：變形與載荷有關(guān)，可由借助變形與載荷有關(guān)，可由借助B B、A A、 三個數(shù)描三個數(shù)描述述0)sincos(1klklklFcr00wx時：00ycrFFlBAwlx時：0cossinklBklAlk7 . 0lIEFcr7 . 000wx時：010ycrFFBkA00cossin1010ycrcrFBAklklFkFl00cossin1010klklFkFlcrcrklkl tan7 . 049. 4kl22)7 . 0 (lIEFcr4.4.臨界壓力臨界壓力5

7、.位移函數(shù)位移函數(shù)6.6.拐點拐點 (M=0)(M=0)1 (cossinlxklkxklkxkFFwcrycrycryFlFBkFFA,0)cossin(32 kxlkkxkkFFwcry0cossinkxklkx49.4tan klkx35. 11kx35. 149. 41xl49. 42kx49. 449. 42xllx3 . 01lx 2四四.不同約束條件下細長壓桿的臨界壓力通式不同約束條件下細長壓桿的臨界壓力通式幾種典型約束下的細長壓桿臨界壓力幾種典型約束下的細長壓桿臨界壓力公式如表所示。公式如表所示。22)(lIEPrc稱為長度系數(shù)稱為相當(dāng)長度。l)(xMwEI 由于知道知道: M

8、(0.3L)=M(L)=0長為長為0.7L的細長桿兩端受軸向壓力，其的細長桿兩端受軸向壓力，其臨界壓力為：臨界壓力為：22)7 . 0 (lIEFcr不同約束壓桿的臨界壓力歐拉公式（表）不同約束壓桿的臨界壓力歐拉公式（表） 例例10-110-1五根直徑都為五根直徑都為 d d的細長圓桿鉸接構(gòu)成的細長圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系平面正方形桿系A(chǔ)BCDABCD，如各桿材料相同，彈性，如各桿材料相同，彈性模量為模量為E E。 求圖求圖 (a)(a)、(b)(b)所示兩種載荷作用下桿系所所示兩種載荷作用下桿系所能承受的最大載荷。能承受的最大載荷。解解（a a）BDBD桿受壓其余桿受拉桿受壓其余桿受拉BD

9、BD桿的臨界壓力桿的臨界壓力PEIacr222222EIa故桿系所能承受的最大載荷PPcrmax222EIa243128adEPcr（b b）BDBD桿受拉其余桿受壓桿受拉其余桿受壓四個桿的臨界壓力四個桿的臨界壓力PEIacr22故桿系所能承受的最大載荷：PPcrmax2243max642adEP 例例10-210-2圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，、兩桿兩桿截面和材料截面和材料相同，為細長壓桿（設(shè)相同，為細長壓桿（設(shè)00/2/2） 。求載荷求載荷P P為最大值時的為最大值時的角。角。90：解得兩桿的壓力分別為解：由靜力平衡條件可sincos21PNPN，兩桿的臨界壓力分別為兩桿的臨界壓力分別為PEIlP

10、EIlcrcr12122222，最大，即都達到臨界壓力時、PNN21）（）（2sin1cos222212lIEPlIEP便得除以式將式),1 ()2(2221tan)(tgcll)tg(ctgarc290作業(yè)作業(yè)10-3-6,8,22AlIEAF22crcr)(AIi il22crEbi321di41)(2141dippEpE22crbacr22crEppEscrstcrstnnw22crE20crppEpE22crppEANWMmaxmaxMPa17122crEMPa474sin22dPAPw63stwcrstnn.bhPbhPlcossin621MPa7148.pil1102lPlNlN3

11、221EAlFEAlF2N21N1212PNF531N1PNF562N2PNN3221AF1NkN770413521.dPlPlNlN3221EAlFEAlF2N21N1212PNF531N1PNF562N2PNN3221AF1NkN770413521.dPpdlil804kN1 .4764)(24322crlEdlEIFkN1 .2665stcr2nFPkN126.PPF531NPF562NkN7 .701P222222. 0)3/27 . 0(LEILEIFAB2222)2/2(LEILEIFBC2222270)().(xLEIxEILLx740351. 一、歐拉公式的應(yīng)用范一、歐拉公式的

12、應(yīng)用范10-2 壓桿的臨界應(yīng)力及臨界應(yīng)力總圖壓桿的臨界應(yīng)力及臨界應(yīng)力總圖1.1.推導(dǎo)歐拉公式的條件推導(dǎo)歐拉公式的條件推導(dǎo)歐拉公式時使用了小變形假設(shè)，導(dǎo)出了撓推導(dǎo)歐拉公式時使用了小變形假設(shè)，導(dǎo)出了撓曲線的近似微分方程曲線的近似微分方程)(xMvIE 在推導(dǎo)該方程時在推導(dǎo)該方程時,應(yīng)用了胡克定律。因此，歐拉應(yīng)用了胡克定律。因此，歐拉公式也只有在滿足胡克定律時才能適用：公式也只有在滿足胡克定律時才能適用：（1 1）小變形）小變形（2 2）線彈性）線彈性p2. 2. 壓桿的臨界應(yīng)力壓桿的臨界應(yīng)力3.3.歐拉公式的應(yīng)用范歐拉公式的應(yīng)用范PEIlcr22()crcrPA22EIlA()222E i AlA

13、()()22)/(ilE令li則crE22crpE22壓桿的長細比壓桿的長細比壓桿的柔度壓桿的柔度計算壓桿的臨界計算壓桿的臨界應(yīng)力的歐拉公式應(yīng)力的歐拉公式pE或?qū)懗蓺W拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍滿足該條件的桿稱為細長桿（或大柔度桿）滿足該條件的桿稱為細長桿（或大柔度桿）ppE記p稱為臨界柔度稱為臨界柔度稱為小柔度桿，歐拉公式不適用稱為小柔度桿，歐拉公式不適用p二二. .臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖1.1.歐拉臨界應(yīng)力曲線歐拉臨界應(yīng)力曲線crE22p大柔度桿大柔度桿plicrOcrE22坐標系中做出曲線在cr曲線沒有實際意義pcrss結(jié)構(gòu)鋼的臨界柔度值結(jié)構(gòu)鋼的臨界柔度值100ppE研究表明結(jié)構(gòu)

14、鋼研究表明結(jié)構(gòu)鋼30時壓桿主要是強度不足時壓桿主要是強度不足造成破壞，這時的柔度造成破壞，這時的柔度記為記為 。s2.臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖稱為中柔度桿稱為中柔度桿crabcrE22ssabplicrO小柔度桿小柔度桿中柔度桿中柔度桿大柔度桿大柔度桿spps失穩(wěn)前發(fā)生塑性變形失穩(wěn)前發(fā)生塑性變形采用直線型臨界應(yīng)力的經(jīng)驗公式采用直線型臨界應(yīng)力的經(jīng)驗公式cra b 13-4 13-4 壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的穩(wěn)定計算一一. .壓桿的穩(wěn)定條件壓桿的穩(wěn)定條件PPncrstmaxPmaxPcrt snnPPnstcrstmaxnst穩(wěn)定性條件也可以表示成穩(wěn)定性條件也可以表示成-為壓桿實際的工作穩(wěn)定安全系數(shù)。

15、為壓桿實際的工作穩(wěn)定安全系數(shù)。-壓桿所受最大工作載荷壓桿所受最大工作載荷-壓桿的臨界壓力壓桿的臨界壓力-壓桿的規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)壓桿的規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)二二. .折減系數(shù)折減系數(shù)stcrstnstcrn令壓桿穩(wěn)定條件壓桿穩(wěn)定條件stAF即 例例11-211-2托架托架ABAB桿是圓管，外徑桿是圓管，外徑D=50mmD=50mm，兩端為球鉸，兩端為球鉸，材料為材料為A A3 3鋼，鋼，E=206GPa,E=206GPa, p p=100=100。若規(guī)定。若規(guī)定nnstst=3,=3,試確試確定許可荷載定許可荷載Q Q。（1 1）分析受力）分析受力解：解：BAC1500QD50030o取取CBDCBD

16、橫梁研究橫梁研究NABQCB02000150030sin:00QNmABcABNQ83(2)(2)計算計算 并求臨界荷載并求臨界荷載4/)(64/)(2244dDdDAIimmdDi164221173030cos15000mmlAB1081617301ilA3A3鋼，鋼，p=100,p=100,pp，用歐拉公式，用歐拉公式kNNAEPcr54.1211054.121322(3)(3)根據(jù)穩(wěn)定條件求許可荷載根據(jù)穩(wěn)定條件求許可荷載stcrnNp由：kNnpNstcr5 .40354.121kNNQ2 .155 .408383mmhi94.2112 例例11-311-3機車連桿，已知：機車連桿，已知

17、：P=120kN,L=200cm,P=120kN,L=200cm,L L1 1=180cm,b=2.5cm,h=7.6cm=180cm,b=2.5cm,h=7.6cm。材料為。材料為A3A3鋼鋼, ,彈性彈性模量模量E=206GPa,E=206GPa,若規(guī)定若規(guī)定n nstst=2=2，試校核穩(wěn)定性。，試校核穩(wěn)定性。結(jié)構(gòu)如圖所示結(jié)構(gòu)如圖所示解解. 求求：(1)xy(1)xy平面內(nèi)失穩(wěn)，平面內(nèi)失穩(wěn)，z z為為中性軸：中性軸： =1=1bhbhAIiz12/32 .91194.2200111iL（a a）L=200PPxyyx（2 2）xzxz平面內(nèi)失穩(wěn)，平面內(nèi)失穩(wěn)，y y為中性軸：為中性軸： =

18、0.5=0.5L1=180bzx（b b）bhhbAIiy12/37 .1247217. 01805 . 0212iL由于由于1 12 2，故先在，故先在xzxz平面內(nèi)，以平面內(nèi)，以y y為為中性軸彎曲中性軸彎曲cmbi7217. 012.求臨界應(yīng)力、校核穩(wěn)定性：求臨界應(yīng)力、校核穩(wěn)定性：用歐拉公式用歐拉公式p=100p=1002 2MPaEcr7 .13022實際工作應(yīng)力：實際工作應(yīng)力：MPabhP16.63076. 0025. 0120000stcrcrnPpn07. 216.637 .130滿足穩(wěn)定條件。滿足穩(wěn)定條件。 例例11-411-4圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，CFCF為鑄鐵圓桿，直徑為鑄鐵圓桿，直徑d d1 1=10cm=10cm c c=120MPa,E=120GPa=120MPa,E=120GPa。BEBE為為A3A3鋼圓桿鋼圓桿, , 直徑直徑d d2 2=5cm=5cm， =160MPa,E=200GPa, =160MPa,E=200GPa, 橫梁視為剛性，求許可荷載橫梁視為剛性，求許可荷載P P。解：解：1 1、結(jié)構(gòu)為一次、結(jié)構(gòu)為一次超靜定，求桿內(nèi)力超靜定，求桿內(nèi)力DCPBANsNc0642:0PNNMcsAFCBE21變形條件：變形條件：AaaaDEFCPB