系統(tǒng)數(shù)學(xué)第四章

1、第四章 模糊運(yùn)算、模糊數(shù)、模糊 向量和擴(kuò)展原理 我們可以將基于經(jīng)典集合論的普通意義上的算術(shù)和代數(shù)運(yùn)算，推廣到模糊算術(shù)和模糊代數(shù)運(yùn)算。這一推廣因Zadeh 的擴(kuò)展原理的提出（1975）而得以實(shí)現(xiàn)。 本章還將介紹模糊數(shù)的運(yùn)算、區(qū)間分析，最后將討論模糊向量及其運(yùn)算。模糊向量的有關(guān)內(nèi)容對(duì)模式識(shí)別將十分有用。4.1 擴(kuò)展原理)(xfxy圖1 單輸入-單輸出映射（函數(shù)） 通常，f 是一解析式子，如，其中 x 和 y 都是確定性的。 如何 將這種映射推廣到輸入 x 是模糊變量或模糊集，函數(shù)自身也是模糊的情形呢？也就是如何確定輸出 y 的模糊性？4.1.1 清晰函數(shù)、映射和關(guān)系 函數(shù)（也稱為變換），是從某論域

2、 X 到另一論域 Y 的一個(gè)映射，記為YXf:映射也可由笛卡爾空間 上的一個(gè)關(guān)系 R 來(lái)表示YX )(),(xfyyxR )(, 0)(, 1),(xfyxfyyxR現(xiàn)在考慮)()(:YPXPf這里 分別代表論域 X 和 Y 的冪集。冪集 P(X) 是指X的所有可能集合所構(gòu)成的集合。 )(),(YPXP例如：,cbaX , ,)(cbacbcabacbaXP 定義：設(shè)映射YXf:)(xfyx 當(dāng) 時(shí)，令)(XPA )()(AaafAf 顯而易見(jiàn)， ，這樣由映射 f 引出 P(X) 到 P(Y) 的一個(gè)映射（仍記為 f）稱為映射的擴(kuò)張（擴(kuò)展）。)()(YPAf 所謂映射的擴(kuò)張，亦即從元素之間對(duì)應(yīng)

3、的映射擴(kuò)充為子集之間對(duì)應(yīng)的映射。另一方面，當(dāng) 時(shí)，令)(YPB )()(1BbfbBf 則 ，我們得到由 P(Y) 到 P(X) 的映射 。)()(1XPBf 1 f大家需要注意，一般從 X 到 Y 的映射 f 不一定是一一對(duì)應(yīng)的，所以 Y 到 X 的逆映射 不一定存在，那么 可能沒(méi)有意義。但這里考慮 的所有b，如果不存在這樣的b，則 仍是 P(Y) 的一個(gè)元素。所以考慮上述意義下從 P(Y) 到 P(X)的 映射 總是可以的。 1 f)(1yf Bbf )( )(1Bf1 f 對(duì) ，可以找到 ，與之對(duì)應(yīng)，記為)(XPA )(YPB )()(AxxfyAfB )()()()()(xyyAxfy

4、AfB 例：設(shè)有清晰集合 ，即2011011020 A2 , 1 , 0 , 1, 21 , 0 XA（*）對(duì) ，試用（*）式求出論域 Y 上的映像 B24 xy易得10, 6 , 2 Y)0()2(AB 11 , 0)1 (),1()6( AAB00 , 0)2(),2()10( AAB即1006121 B或6 , 2 B假設(shè)要想用表示映射的關(guān)系來(lái)求 Y 中的像 B。24 xy2 , 1 , 0 , 1, 2 X10, 9 , 1 , 0 Y映射 的關(guān)系為 100000000000000100000000000000100000010000001000000000021012R1098765

5、43210RAB 6 , 2, 06 , 2, 1),()()(yyyxxyRAXxB由最大最小復(fù)合公式4.1.2 模糊集合的函數(shù)擴(kuò)展原理設(shè) 是論域 X 的模糊集，則在映射 f 下 的像是什么？自然，其像也應(yīng)是模糊集。 AA)(AfB )()()(xyAyxfB )()(1)(xyAyfxB 或 為書寫簡(jiǎn)便，用于矩陣關(guān)系的許多模糊運(yùn)算都涉及了模糊向量。設(shè),),(21nxxxXXFA ,),(21myyyYYFB 它們各自的隸屬函數(shù)值分別排列成如下向量形式)(,),(,11nAAnxxaaa )(,),(,11mBBnyybbb 現(xiàn)在，模糊集 的像可由復(fù)合運(yùn)算求得：或者RAB 或者Rab 其中

6、是 一個(gè) 階模糊關(guān)系矩陣。ARmn 更一般地，若)()(:21YPXXXPfn 設(shè) 分別為定義在論域上的模糊集，則21,nAAAnXXX,21),(21nAAAfB )(,),(),(minmax)(212121),(nAAAxxxfyBxxxynn 上式一般稱為Zadeh的擴(kuò)展原理4.1.3 模糊變換（映射）前面討論的變換（映射） 是清晰的。:BAf 那么是否能夠定義一個(gè)模糊映射將一單元素（非模糊）映射到輸出論域上的一個(gè)模糊集？)(xfB 其中)(,YPBXx 如果 X,Y 是有限論域，那么 可以表示成一個(gè)模糊關(guān)系 ，寫成矩陣形式如下：fR nmnnmmnrrrrrrrrrxxxR21222

7、211121121myyy21)(iixfB 則有ijjBryi )(或?qū)懗上蛄啃问?21imiiirrrb 一般地，設(shè)模糊映射)(AfB 同樣地，用擴(kuò)展原理，可求出模糊像B),()()(yxxyRAXxB 上式類似于模糊像量的模糊復(fù)合運(yùn)算Rab ),(min(maxijiijrab 例：807060504018 . 02 . 01 . 008 . 018 . 02 . 01 . 02 . 08 . 018 . 02 . 01 . 02 . 08 . 018 . 001 . 02 . 08 . 01 R8 . 17 . 16 . 15 . 14 . 1（m)(kg)(800702 . 0606

8、 . 0501408 . 0kgA 復(fù)合的結(jié)果是)(8 . 12 . 07 . 16 . 06 . 18 . 05 . 114 . 18 . 0mB 4.1.4 實(shí)用說(shuō)明2211nnuuuA 設(shè)擴(kuò)展原理表明：若 是一一映射，則 )()(2211nnuuufAf)()()(2211nnufufuf 我們稱滿足上式的映射為一一映射。例：38 . 02116 . 0 A12)( uuf58 . 03116 . 0)( Af若21UUA VUUUf21: 則,),()(),(min)(2121UjUijifjiAf 例：設(shè)有兩個(gè)相等的獨(dú)立整數(shù)論域,10, 2 , 121 UU21,UBUA 38 .

9、02116 . 02 A是兩個(gè)模糊數(shù)77 . 06158 . 06 B )77 . 06158 . 0()38 . 02116 . 0(62)6, 2(f 21)7 . 0 , 8 . 0min(18) 1 , 8 . 0min(6) 1 , 6 . 0min(5)8 . 0 , 6 . 0min(217 . 0188 . 0158 . 0147 . 0121108 . 076 . 066 . 056 . 0 值得注意的是，該算術(shù)積的結(jié)果是非凸的，所以它不會(huì)是個(gè)模糊數(shù)。當(dāng)然這種非凸性并非因擴(kuò)展原理而引起，而是模糊數(shù) 和 的離散化所致的數(shù)字變異。26若 f 不是一一映射，那么情況要復(fù)雜些，此時(shí))

10、(,),(),(minmax)(212121),(nAAAxxxfyBxxxynn 例：47 . 02112 . 0 A2115 . 0 B我們希望能確定其算術(shù)積映射的隸屬度：),(BABAf （算術(shù)積）= 2)1 , 5 . 0min(),1 , 2 . 0maxmin(1)5 . 0 , 2 . 0min( 8) 1 , 7 . 0min(4)1 , 1min(),5 . 0 , 7 . 0maxmin(87 . 04125 . 012 . 0 4.2 模糊數(shù) 在第三章定義的模糊數(shù)是由實(shí)正規(guī)凸隸屬函數(shù)所描述的。現(xiàn)在我們用擴(kuò)展原理來(lái)求模糊數(shù)的代數(shù)運(yùn)算。 設(shè) 和 分別為實(shí)論域上的兩個(gè)模糊數(shù)，符

11、號(hào) * 表示普通的算術(shù)運(yùn)算，即 。兩個(gè)模糊數(shù)的算術(shù)運(yùn)算（映射），記做IJ,* *JI利用擴(kuò)展原理有：)()()(*yxyJIzyxJI 模糊數(shù) 和 的算術(shù)運(yùn)算結(jié)果仍是模糊數(shù)。IJ例：22 . 01102 . 01 1)2 . 0 , 1min(),1 , 2 . 0maxmin(0)2 . 0 , 2 . 0min(211 2)2 . 0 , 2 . 0min(),1 , 1min(),2 . 0 , 2 . 0maxmin( 4)2 . 0 , 2 . 0min(3)2 . 0 , 2 . 0min(),1 , 2 . 0min(),2 . 0 , 1maxmin(42 . 032 . 02

12、112 . 002 . 0 模糊數(shù)的撐集為： suppIxxII 0)(這是一實(shí)數(shù)區(qū)間。更一般地，對(duì) 有： 1 , 0 JIJI*)*( JIJI,)*( 都是區(qū)間，上式左側(cè)是兩個(gè)區(qū)間的算術(shù)運(yùn)算，因此，我們也稱區(qū)間是區(qū)間數(shù)。關(guān)于區(qū)間數(shù)已有一套像成的理論，叫做區(qū)間分析。4.3 算術(shù)中的區(qū)間分析bawherebaI ,1dcwheredcI ,2當(dāng) ,這些區(qū)間數(shù)便化為一是數(shù)，借用上節(jié)記號(hào) ，算術(shù)運(yùn)算dcba ,* ,*,*21dcbaII 代表一個(gè)區(qū)間。表1 區(qū)間上的集合運(yùn)算,*,*21dcbaII 式 的算術(shù)運(yùn)算具體由下式給出 ,dbcadcba ,cbdadcba ),max(),min(,b

13、dbcadacbdbcadacdcba 1 ,1 ,cdbadcba 只有當(dāng),0dc 0,0, abbaba 區(qū)間的和與乘積運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，但不滿足分配律，而是滿足一種分配從屬關(guān)系即所謂的從屬分配律：對(duì)三個(gè)區(qū)間數(shù)，有 KIJIKJI )(例：3, 62 , 1 3 1 , 1 1 , 0 1 , 0 12, 2)12, 6 , 4 , 2max(),12, 6 , 4 ,92min4 , 23 , 1 2 ,21 1 ,21 2 , 1 2 , 1 2 , 1 一個(gè)分配律的例子：4 , 1 ,3 , 2,2 , 1 KJI4 , 42 , 22 , 1 )4 , 1 3 , 2(2 ,

14、 1 )( KJI 4 , 1 2 , 1 3 , 22 , 1 KJJI5 , 68 , 1 6 , 2 顯然5 , 64 , 4 4.4 擴(kuò)展的近似方法 在連續(xù)映射的場(chǎng)合，為了數(shù)值上計(jì)算方便，我們通常將輸入變量的隸屬函數(shù)離散化，再利用離散場(chǎng)合下的擴(kuò)展原理求出輸出變量的隸屬函數(shù)。這種方法的嚴(yán)重不足是會(huì)導(dǎo)致輸出量隸屬函數(shù)的無(wú)規(guī)律和不準(zhǔn)確，究其原因是下面公式是一非線性規(guī)劃問(wèn)題。)(,),(),(minmax)(212121),(nAAAxxxfyBxxxynn 眾所周知，對(duì)任何優(yōu)化問(wèn)題，任何變量的離散化都可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的最優(yōu)解，因?yàn)橛?jì)算時(shí)武略了部分解空間。 為減少連續(xù)映射下取離散點(diǎn)運(yùn)用擴(kuò)展原理時(shí)的計(jì)算量，也提出了其他一些方法。為克服以上不足提出了各種方法。常用的方法有： 頂點(diǎn)法； DSW法 約束DSW算法等。例：定義兩模糊集 和 ，其隸屬函數(shù)如圖所示，我們分別用幾種方法，計(jì)算