2-3-3-列不定方程解應(yīng)用題題庫教師版

1、1歡迎下載1、 熟練掌握不定方程的解題技巧2、 能夠根據(jù)題意找到等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程3、 學(xué)會解不定方程的經(jīng)典例題、知識點說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組 問題，公元5世紀的張丘建算經(jīng)中的百雞問題標志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究宋代數(shù)學(xué)家 秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來.考點說明在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要 方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中在以后初高

2、中數(shù)學(xué)的進一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有 著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會利用不定方程這個工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這 個工具解題。、運用不定方程解應(yīng)用題步驟1、根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程2、根據(jù)解不定方程方法解方程3、找到符合條件的解模塊一、不定方程與數(shù)論【例【例 1】 把2001拆成兩個正整數(shù)的和，一個是11的倍數(shù)（要盡量?。粋€是13的倍數(shù)（要盡量大），求這兩個數(shù).【解【解析】 這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題可設(shè)拆成的兩個數(shù)分別為11x和 13y，則有：11x 13y 2001，要讓 x 取最小值，y取最大值.可把式子變形為：y2001 11x 13 153 12 13x

3、 2x153 x12空，可見是整數(shù)，13131313滿足這一條件的 x 最小為 7,且當x 7時，y 148 則拆成的兩個數(shù)分別是7 11 77和148 13 1924【鞏固】 甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數(shù)是18的倍數(shù)，乙搬的磚數(shù)是甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊?【解【解析】設(shè)甲搬的是18x塊，乙搬的是 23y 塊那么 18x 23y 300 觀察發(fā)現(xiàn)18x和300都是6的倍數(shù)， 所以y也知識精講23的倍數(shù)，兩人共搬了300塊磚.問:精品文檔2歡迎下載是6的倍數(shù)由于 y 300 23 13，所以y只能為 6 或 12.y 6 時18x 162，得到x 9;y 12 時18x 24，此時 x 不是整

4、數(shù)，矛盾.所以甲搬了162塊，乙搬了138塊，甲比乙搬得多，多24塊.【鞏固】 現(xiàn)有足夠多的5角和8角的郵票，用來付4.7元的郵資，問8角的郵票需要多少張？【解【解析】設(shè)5角和8角的郵票分別有 x 張和y張，那么就有等量關(guān)系：5x 8y 47 .嘗試y的取值，當y取4時，x 能取得整數(shù)3，當y再增大，取大于等于6的數(shù)時，x 沒有自然數(shù) 解所以8角的郵票需要4張.【例【例 2】(2008 年北大附中“資優(yōu)博雅杯”數(shù)學(xué)競賽)用十進制表示的某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的16倍，則滿足條件的所有自然數(shù)之和為 _ .【解【解析】 若是四位數(shù) abcd，則 16 a b c d 16 361000，

5、矛盾，四位以上的自然數(shù)也不可能。若是兩位數(shù) ab，則 16 a b 10a b ab，也不可能，故只有三位數(shù) abc.16 a b c 100a 10b c ,化簡得28a 2b 5c.由于2b 5c 7 9 63,所以a 1或b 2.a 1時，b 9,c 2，或b 4,c 4;a 2時，b 8,c 8.所以所有自然數(shù)之和為192 144 288 624.模塊二、不定方程與應(yīng)用題【例 3】 有兩種不同規(guī)格的油桶若干個，大的能裝8千克油，小的能裝5千克油，44千克油恰好裝滿這些油桶.問：大、小油桶各幾個？【解析】設(shè)有大油桶 x 個，小油桶y個.由題意得：8x 5y 44可知8x 44，所以x 0

6、、2、3、4、5由于 x、y必須為整數(shù)，所以相應(yīng)的將 x 的所有可能值代入方程，可得x 3時，y 4 這一組整數(shù)解.所以大油桶有3個，小油桶有4個.小結(jié)這道題在解答時，也可聯(lián)系數(shù)論的知識，注意到能被5 整除的數(shù)的特點，便可輕松求解.【例 4】 在一次活動中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來后見到同學(xué)“小博士”，他們讓“小博士”猜他們各命中多少次.“小博士”讓丁丁把自己命中的次數(shù)乘以5，讓冬冬把自己命中的次數(shù)乘以4,再把兩個得數(shù)加起來告訴他，丁丁和冬冬算了一下是31, “小博士”正確地說出了他們各自命中的次數(shù).你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？【解析】設(shè)丁丁和冬冬分別命中了 x 次和y次， 則： 5x

7、4y 31 .可見 x 除以 4 的余數(shù)為 3,而且 x 不能 超過 6,所以x 3,y 4 .即丁丁命中了3次，冬冬命中了4次.【鞏固】 某人打靶，8發(fā)共打了53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)上.問：他命中10環(huán)、7環(huán)和5環(huán) 各幾發(fā)？【解析】假設(shè)命中 10 環(huán) x 發(fā)，7 環(huán)y發(fā)，5 環(huán) z 發(fā)，則x y z 8L L L L (1)由可知7除以 5 的余數(shù) 10 x 7y 5z 53L (2)為 3,所以 y 4、9如果y為 9,則 7y 63 53 ,所以y只能為 4,代入原方程組可解得x 1,z 3.所以他命中10環(huán) 1 發(fā)，7環(huán)4發(fā)，5環(huán)3發(fā).【例 5】 某次聚餐，每一位男賓付13

8、0元，每一位女賓付100元，每帶一個孩子付60元，現(xiàn)在有-的成 3人各帶一個孩子，總共收了2160元，問：這個活動共有多少人參加(成人和孩子)？1【解析】設(shè)參加的男賓有 x 人，女賓有y人，則由題意得方程： 130 x 100y - x y 60 2160，即3精品文檔x3歡迎下載【鞏固小花狗和波斯貓是一對好朋友，它們在早晚見面時總要叫上幾聲表示問候若是早晨見面，小 花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲.細心的小娟對它 們的叫聲統(tǒng)計了15天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面在這15天內(nèi)它們共叫了61聲問：波斯貓至少叫了多少聲？【解析早晨見面小花狗和波斯貓共叫3聲，晚上

9、見面共叫5聲設(shè)在這 15 天內(nèi)早晨見面 x 次，晚上見面y次.根據(jù)題意有：3x 5y 61 (x15, y 15).可以湊出，當x 2時，y 11 ;當x 7時，y 8 ;當x 12時，y 5 .因為小花狗共叫了 2 x y 聲，那么 x y 越大，小花狗就叫得越多，從而波斯貓叫得越少， 所以當x 12, y 5時波斯貓叫得最少，共叫了1 12 3 5 27(聲).【例 7 甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個A配件與一個B配件組成甲每天生產(chǎn)300 個A配件，或生產(chǎn) 150 個B配件；乙每天生產(chǎn) 120 個A配件，或生產(chǎn) 48 個B配件.為了在 10 天內(nèi)生 產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)

10、，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？【解析假設(shè)甲、乙分別有 x 天和y天在生產(chǎn)A配件，則他們生產(chǎn)B配件所用的時間分別為(10 x)天和(10 y)天，那么 10 天內(nèi)共生產(chǎn)了A配件(300 x 120y)個，共生產(chǎn)了B配件150 (10 x) 48 (10 y) 1980 150 x 48y 個.要將它們配成套，A配件與B配件的數(shù)量應(yīng)相等，即 300 x 120y1980 150 x 48y，得到 75x 28y330，則 x【鞏固 某服裝廠有甲、乙兩個生產(chǎn)車間，甲車間每天能生產(chǎn)上衣16 件或褲子 20 件；乙車間每天能生產(chǎn)上衣 18 件或褲子 24 件.現(xiàn)在要上衣和褲子配套， 兩車間合作 21

11、 天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？【解析假設(shè)甲、乙兩個車間用于生產(chǎn)上衣的時間分別為x 天和y天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為【鞏固】150 x 120y 2160，化簡得 5x 4y但是由于有-的成人帶著孩子，所以3所以，這個活動共有 123 -12372 .這個方程有四組解:x y能被3整除，檢驗可知只有后兩組滿足.1320 人或 181824 人參加.3單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有職工每人種13棵樹，女職工每人種10棵樹，每個孩子都種 么其中有多少名男職工？12和x3 y0181的職工各帶一個孩子參加.男36棵樹，他們一共種了216棵樹，那【解析】因為有1的職工各帶一

12、個孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是3的倍數(shù)設(shè)男職工有 x 人，女職工有y人.3則職工總?cè)藬?shù)是 x y 人，孩子是 1 人得到方程：13x 10y x y 3 6216，化簡得：35x 4y 72 .因為男職工與女職工的人數(shù)都是整數(shù)，所以當 y 3 時，x 12;當 y 8 時，x 8;當 y 13,x 4其中只有3 12 15是3的倍數(shù)，符合題意，所以其中有12 名男職工.【例 6【解析張師傅每天能縫制3件上衣，或者9件裙褲，李師傅每天能縫制2件上衣，或者20天共縫制上衣和裙褲134件，那么其中上衣是多少件？如果20天都縫制上衣，共可縫制3 2 20 100 件，實際上比這多縫制了就要把上衣?lián)Q成裙褲，

13、張師傅每天可多換9 3 6件，李師傅每天可多換縫制裙褲 x 天，李師傅縫制裙褲y天，則：6x 5y 34，整數(shù)解只有x因此共縫制裙褲9 47 250件，上衣共134 50 84件.7件裙褲，兩人1347 24, y100 34件，這5件，設(shè)張師傅2 .330 28y75此時生產(chǎn)的產(chǎn)品的套數(shù)為300 x 120y300330 28y75120y就要使得y最大，而y最大為 10,所以最多能生產(chǎn)出1320 81320 8y，要使生產(chǎn)的產(chǎn)品最多,10 1400套產(chǎn)品.精品文檔4歡迎下載(21 x)天和(21 y)天，那么總共生產(chǎn)了上衣(16x 18y)件，精品文檔x5歡迎下載924 20 x 24y

14、件.16x 18y92420 x 24 y，即 6x 7y 154，即154 7y2 218y 410y 套衣服.63 3x 應(yīng)最大，而 x 最大為 21,此時 y 4 .故最多可以生2 2產(chǎn)出 410- 4408 套衣服.3 3【例【例 8】 有一項工程，甲單獨做需要36天完成，乙單獨做需要30天完成，丙單獨做需要48天完成，現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后 完成這項工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了 _天.【解【解析】設(shè)完成這項工程用了 a 天，其間丙休息了b天.1111591根據(jù)題意可知：a b 1, a b 1，化簡得59a 15b 72

15、0.36 30 484872048由上式，因為15b與720都是15的倍數(shù)，所以59a必須是15的倍數(shù)，所以 a 是15的倍數(shù)，在a b的條件下，只有a 15,b 11一組解，即丙休息了11天.【例【例 9】 實驗小學(xué)的五年級學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動，所有的學(xué)生和老師 共306人恰好坐滿了5輛大巴車和3輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在20人到25人之間， 求每輛大巴車的載客人數(shù).【解【解析】 設(shè)每輛大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為x 人和y人，那么有：5x 3y 306 .由于知道中巴車的載客人數(shù)，也就是知道了y的取值范圍，所以應(yīng)該從y入手顯然 3y 被5除所得的余數(shù)

16、與306被5除所得的余數(shù)相等，從個位數(shù)上來考慮，3y 的個位數(shù)字只能為 1 或 6，那么當y的個位數(shù)是2或7時成立由于y的值在 20 與 25 之間，所以滿足條件的 y 22，繼而求得x 48，所以大 巴車的載客人數(shù)為48人.【鞏固】 實驗小學(xué)的五年級學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動，所有的學(xué)生和老師共306人恰好坐滿了7輛大巴車和2輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在20人到25人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù).【解【解析】 設(shè)大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為x 人和y人，那么有：7x 2y 306 .考慮等式兩邊除以 7 的余數(shù)，由于306被7除余5，所以 2y 被7除余5，符

17、合條件的y有：6、13、20、27,所以 y 20，繼而求得x 38，所以大巴車的載客人數(shù)為38人.【鞏固】 每輛大汽車能容納 54 人，每輛小汽車能容納36 人.現(xiàn)有 378 人，要使每個人都上車且每輛車都裝滿，需要大、小汽車各幾輛？【解【解析】設(shè)需要大、小汽車分別為 x 輛、y輛，則有：54x 36y 378，可化為 3x 2y 21 .可以看出y是 3 的倍數(shù)，又不超過 10,所以y可以為 0、3、6 或 9,將 y 0、3、6、9 分別代入x1x3x5x;或；或；或y9y6y3y即需大汽車 1 輛，小汽車 9 輛；或大汽車 3 輛，小汽車 6 輛；或大汽車 5 輛，小汽車 3 輛；或大

18、 汽車 7 輛.【鞏固】 小偉聽說小峰養(yǎng)了一些兔和雞，就問小峰：“你養(yǎng)了幾只兔和雞？ ”小峰說： “我養(yǎng)的兔比雞多,雞兔共24條腿.”那么小峰養(yǎng)了多少兔和雞？【解【解析】這是一道雞兔同籠問題，但由于已知雞兔腿的總數(shù)，而不是雞兔腿數(shù)的差，所以用不定方程求解. 設(shè)小峰養(yǎng)了x 只兔子和y只雞，由題意得：4x 2y 24即: 2x y 12 , y 12 2x這是一個不定方程，其可能整數(shù)解如下表所示：生產(chǎn)了褲子 20 (21 x) 24 (21 y) 根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等，所以x154 7y.那么共生產(chǎn)了 I6x 18y 16 6要使生產(chǎn)的衣服最多，就要使得y最小，則可知有四組解:精品文檔6

19、歡迎下載x0123456y121086420精品文檔7歡迎下載由題意x y，且 x ,y均不為0,所以x 5, y 2，也就是兔有5只，雞有2只.【例 10】（1999 年香港保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽）一個家具店在 1998 年總共賣了 213 張床起初他們每個月賣出 25 張床，之后每個月賣出 16 張床，最后他們每個月賣出 20 張床.問：他們 共有多少個月是賣出25 張床？【解析】設(shè)賣出 25、16、20 張床的月份分別為 x、y、z 個月，則：x y z 12L L L L L （1）25x 16y 20z213L （2）由得 y 12 x z，代入得9x 4z 21.顯然這個方

20、程的正整數(shù)解只有x 1,z 3所以只有 1 個月是賣出 25 張床的.【例 11】（2008年“希望杯”第二試試題）五年級一班共有36人，每人參加一個興趣小組，共有A、B、C、D、E五個小組若參加A組的有15人，參加B組的人數(shù)僅次于A組，參加C組、D組 的人數(shù)相同，參加E組的人數(shù)最少，只有4人那么，參加B組的有_人.【解析】 設(shè)參加B組的有 x 人，參加C組、D組的有y人，貝 U x y 4 ,由題知 15 x 2y 436，整理得 x 2y 17 ;由于 y 4，若 y 5，得x 7,滿足題意；若 y 6，則x 5，與x y矛盾；所以只有x 7, y 5 符合條件，故參加B組的有7人.【例

21、12】（2008 年全國小學(xué)生“我愛數(shù)學(xué)夏令營”數(shù)學(xué)競賽）將一群人分為甲乙丙三組，每人都必在且僅在一組.已知甲乙丙的平均年齡分為37,23,41.甲乙兩組人合起來的平均年齡為29;乙丙兩組人合起來的平均年齡為33.則這一群人的平均年齡為.【解析】設(shè)甲乙丙三組分別有x, y,z人，依提議有：37x 23y 29 x y23y 41z 33 y z由化簡可得 x: y 3: 4，由化簡可得 y: z 4:5，所以 x : y: z 3:4:5 ;得 7x 3y 30 .可見7x是 3 的倍數(shù)，又是 7 的倍數(shù)，且小于 30,所以只能為 21,故x 3，代 入得 y 3 ,z 8所以大、中、小號鋼珠

22、分別有3 個、3 個和 8 個.【鞏固】 袋子里有三種球，分別標有數(shù)字2,3和5，小明從中摸出 12 個球，它們的數(shù)字之和是43問：小明最多摸出幾個標有數(shù)字2的球？【解析】設(shè)小明摸出標有數(shù)字2,3和5的球分別為 x ,y, z 個，于是有x y z 12L L L L (1)2x 3y 5z 43L L L (2)由 5 (1) (2)，得 3x 2y 17L L L (3),由于 x ,y都是正整數(shù)，因此在中，y取 1 時.x 取最大值5, 所以小明最多摸出 5 個標有數(shù)字 2 的球.【例 14】 公雞 1 只值錢 5，母雞一只值錢 3，小雞三只值錢 1,今有錢 100,買雞 100 只，問

23、公雞、母雞、 小雞各買幾只？因此，這一群人的平均年齡為37 3 23 4 41 53 4 534 【例 13】14個大、中、小號鋼珠共重100克，大號鋼珠每個重個重5克.問：大、中、小號鋼珠各有多少個？12克，中號鋼珠每個重8克，小號鋼珠每【解析】設(shè)大、中、小號鋼珠分別有 x 個，y個和 z 個，則:x y z 14L L L L (1)12x 8y 5z 100L (2)(1) 5 ,精品文檔8歡迎下載20014x7- 25 - x，因為 x、y為正整數(shù)，所以不難得出 x 應(yīng)為4的8412，從而相應(yīng)y的值分別為18、11、4，相應(yīng) z 的值分別為-8、81、x 4x 8x 1284.所以，方

24、程組的特殊解為y 18 ,y 11,y4，所以公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買4只、z -8z 81z 8418只、-8只或8只、11只、81只或12只、4只、84只.【鞏固】 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.問：小明至多套中小雞幾次？【解【解析】設(shè)套中小雞 x 次，套中小猴y次，則套中小狗(10 x y )次.根據(jù)得61分可列方程： 9x 5y 2 (10 x y) 61，化簡后得-x 41 3y .顯然y越小，x 越大. 將 y 1 代入得-x 38，無整數(shù)解；若 y 2 ,-x

25、 35，解得x 5，所以小明至多套中小雞5次.【例【例 15】開學(xué)前，寧寧拿著媽媽給的30元錢去買筆，文具店里的圓珠筆每支4元，鉛筆每支3元寧寧買完兩種筆后把錢花完請問：她一共買了幾支筆？【解【解析】(法一)由于題中圓珠筆與鉛筆的數(shù)量都不知道，但總費用已知，所以可以根據(jù)不定方程分析兩種 筆的數(shù)量，進而得解設(shè)她買了x 支圓珠筆，y支鉛筆，由題意列方程：4x 3y 30 ,所以4x3y 30 4x, y 10 竺因為X、y均為整數(shù)，所以 x 應(yīng)該能被3整除，又因為1 x 7,所以x 33或6，當x 3時，y 6 , x y 9，當x 6時，y 2 , x y 8，寧寧共買了9支筆或8支筆.(法二)

26、換個角考慮：將一支圓珠筆和一支鉛筆”看成一對，分析寧寧可能買了幾對筆，不妨設(shè)為 m 對，余下的一定是圓珠筆與鉛筆中的唯一一種一對筆的售價為“4 3 -元，由題意可知，1 m 4，又 m 為整數(shù)(1)當m 1時，余款為30 - 23，不能被3或4整除，這種情況不可能；(2)當m 2時，余款為30 2 - 16，能被4整除，也就是說配對后，余下4支圓珠筆.此 時，寧寧買了6支圓珠筆，2支鉛筆，共8支筆.(3)當m 3時，余款為30 3 - 9，能被3整除，也就是說配對后，余下3支圓珠筆.此 時，寧寧買了3支圓珠筆，6支鉛筆，共9支筆.(4)當m 4時，余款為30 4 - 2，不能被3或4整除，這種

27、情況不可能，由上面的分析 可知，寧寧共買了9支筆或8支筆.【鞏固】(迎春杯預(yù)賽試題)小華和小強各用6角4分買了若干支鉛筆， 他們買來的鉛筆中都是5分一支和-分一支的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多.小華比小強多買來鉛筆多少支.【解【解析】設(shè)買5分一支的鉛筆 m 支，-分一支的鉛筆 n 支.則：5m- n 64,64 - n是5的倍數(shù).用n 0,1 ,2,3,4,5,6,-,8代入檢驗，只有n 2,-滿足這一要求，得出相應(yīng)的m 10,3.即小華買鉛筆10 2 12支，小強買鉛筆-3 10支，小華比小強多買2支.【例【例 16】 藍天小學(xué)舉行“迎春”環(huán)保知識大賽，一共有100名男、女選手參加初賽，

28、經(jīng)過初賽、復(fù)賽，最后確定了參加決賽的人選.已知參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的20%;參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽的女選手人數(shù)的12.5%，而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多.參加決賽的男、女選手各有多少人？【解【解析】由于參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的20%;參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽時女選手人數(shù)的12.5%，所以參加初賽的男選手人數(shù)應(yīng)是5的倍數(shù)，參加初賽的女選手的人數(shù)應(yīng)【解【解析】設(shè)買公雞、母雞、小雞各 x、y、z 只，根據(jù)題意，得方程組x y z 10015x 3y z 100 3由3,得 14x 8y 200，即：y倍數(shù)，故 x 只能為4、&精品文檔

29、9歡迎下載是8的倍數(shù).設(shè)參加初賽的男生為5x人，參加初賽的女生為 8y 人.根據(jù)題意可列方程：5x 8y 100 .精品文檔10歡迎下載x 12解得 X12，或y 5又因為參加決賽的女選手的人數(shù)，比參加決賽的男選手的人數(shù)多，也就是 組解不合適，只有x 4， y10 滿足.故參加決賽的男選手為4人，女選手為10人.【鞏固】 今有桃95個，分給甲、乙兩班學(xué)生吃，甲班分到的桃有有 2 是壞的，其他是好的.甲、乙兩班分到的好桃共有幾個？16【解【解析】甲班分到的桃是9的倍數(shù)，乙班分到的桃是16的倍數(shù)，假設(shè)甲班分到桃9x個，乙班分到桃 16y個.于是： 9x 16y95，解得x 7, y 2，即甲班分到

30、桃9 763(個)，乙班分到桃2316 2 32(個)所以，兩班共分到好桃 63 (1) 32 (1) 75 (個).916【例【例 17】甲、乙兩人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的3倍甲、乙兩人共有多少粒糖？【解析】設(shè)甲、乙原有糖分別為x 粒、y粒，甲給乙的數(shù)量為z粒，則依題意有x z2(y z)，且x 20.整理得x 2y3z0L L (1)x z3(y z)y 20 x 3y4z0L L (2)由得x 2y 3z，代入得7z y 0 , 即卩 y7z因 y 20 ,故z 1或z 2.若z 2，貝 V y

31、14 ,x 2 14 3 234 20，不合題意.因而z 1，對應(yīng)方程組有唯一解x 17, y 7 ,z 1.則甲、乙共有糖17 7 24粒.【鞏固】 有兩小堆磚頭，如果從第一堆中取出100塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么第一堆將是第二堆的6倍.問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？【解【解析】設(shè)第一堆磚有 x 塊，則根據(jù)第一個條件可得第二堆磚有2x 300 塊.再設(shè)從第二堆中取出x y 6 2x 300y塊放在第一堆后，第一堆將是第二堆的6倍，可列方程：y，化簡得 7y 180011x ,那么 x 7y 18007y 71116311因

32、 為 x 是 整 數(shù) ，7與1 1互 質(zhì) ， 所 以 y1 應(yīng) 是1 1的 倍 數(shù) ，y最 小 是1 0, 推 知 x 最 小 是【例【例 18】(第六屆華杯賽復(fù)賽第 16 題)甲乙丙三個班向希望工程捐贈圖書，已知甲班有 1 人捐6冊，有2人各捐7冊，其余都各捐11冊，乙班有 1 人捐6冊，3人各捐8冊，其余各捐10冊；丙班有2人各 卷4冊，6人各捐7冊，其余各捐9冊。已知甲班捐書總數(shù)比乙班多28冊，乙班比丙班多101冊,各班捐書總數(shù)在400冊與550冊之間，問各班各有多少人？【解【解析】我們設(shè)甲班有 x 人，乙班有y人，丙班有 z 人，那么三個班的捐書數(shù)目分別為：11(x 3) 6 7 7

33、11x 13 ,10(y 4) 6 8 3 10y 10,9(z 8) 4 2 7 6 9z 22 ,11x 13 10y 10 2811x 10y 31根據(jù)題意有：，即有10y 10 (9z 22) 10110y 9z 89y 10y要比 x 大，所以第_?是壞的，其他是好的；乙班分到的桃9163710 111163 7170，所以，第一堆中的磚頭最少有170塊.精品文檔11歡迎下載又因為各班的捐書數(shù)目都在400到550之間，因此我們知道：捐書最多的甲班有11x 13 550,而捐書最少的丙班有9z 22 400，從而有 563 11x 10y 31 9z 8931422 8931 542，

34、于是有52 x 49，所以有x 50或51。經(jīng)檢驗，當x 50時，y不是整數(shù)，而當x 51時，有 y 53,z 49，也就是說，甲乙丙三班人數(shù)分別為51,53,49。【例【例 19】（2009 年“迎春杯”高年級組復(fù)賽）在新年聯(lián)歡會上，某班組織了一場飛鏢比賽如右圖，飛鏢 的靶子分為三塊區(qū)域，分別對應(yīng)17分、11分和4分每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分數(shù)若恰好投在兩塊（或三塊）區(qū)域的交界線上，則得兩塊（或三塊）區(qū)域中分數(shù)最高區(qū)域的分數(shù)如果比賽規(guī)定恰好投中120分才能獲獎，要想獲獎至少需要投中次飛鏢.【解【解析】 假設(shè)投中 17 分、11 分、4 分的次數(shù)分別為 x 次

35、、y次和 z 次，那么投中飛鏢的總次數(shù)為x y z次，1而總得分為17x11y 4z 分，要想獲獎，必須17x 11 y4z120 由于17x120， 得到1x6當 x 的值一定后,要使x y z最小，必須使y盡可能大.若x6,得到11y4z18，此時無整數(shù)解；右x5,得到11y4z35，此時 y 1 ,z6,xy z 516 12 ；4,得到11y4z4,當y4 時z2, 這種情況下xyz10 ；右x52，此時y最大為右x3, 得到11y4z69，此時 y 3 ,z9,xy z 339 15 ；2,得到11y4z6,當y6 時z5, 這種情況下xy z13 ；右x86，此時y最大為1,4z9

36、, 當9 時z1,這種情況下11 ；右x勺得王y11103，此時y最大為yxy z0,4z8, 當 y8 時z8, 這種情況下x yz 16右x得到 iiy120 ,此時y最大為經(jīng)過比較可知x yz的值最小為 10,所以至少需要投中 10 次飛鏢才能獲獎.模塊三、不定方程與生活中的應(yīng)用題【例【例 20】 某地用電收費的標準是：若每月用電不超過50度，則每度收5角；若超過50度，則超出部分按每度8角收費某月甲用戶比乙用戶多交3元3角電費，這個月甲、乙各用了多少度電？【解【解析】3 元 3 角即 33 角，因為33既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)，所以甲、乙兩用戶用電的情況一定是 一個超過了 50 度

37、，另一個則沒有超過由于甲用戶用電更多，所以甲用戶用電超過50度，乙用戶用電不足50度.設(shè)這個月甲用電 50 x 度，乙用電 50 y 度.因為甲比乙多交33角電費， 所以有 8x 5y 33 容易看出x 1, y 5，可知甲用電51度，乙用電45度.【鞏固】 某區(qū)對用電的收費標準規(guī)定如下：每月每戶用電不超過10度的部分，按每度0.45元收費；超過10度而不超過20度的部分，按每度0.80元收費；超過20度的部分按每度1.50元收費某月甲用戶 比乙用戶多交電費7.10元，乙用戶比丙用戶多交3.75元，那么甲、乙、丙三用戶共交電費多少 元？（用電都按整度數(shù)收費）【解【解析】 由于丙交的電費最少，而

38、且是求甲、乙電費的關(guān)鍵， 先分析一下他的用電度數(shù)因為乙用戶比丙 用戶多交3.75元，所以二者中必有一個用電度數(shù)小于10度（否則差中不會出現(xiàn)0.05元），丙用電少，所以丙用電度數(shù)小于10度，乙用電度數(shù)大于10度，但是不會超過20度（否則甲、乙用電均超 過20度，其電費差應(yīng)為1.50的整數(shù)倍，而不會是7.10元）設(shè)丙用電（10 x）度，乙用電（10 y）度，由題意得：0.45x 0.8y3.75精品文檔12歡迎下載9x 16y759x 75 16y精品文檔13歡迎下載75 16yx9所以y是3的倍數(shù)，又x,y均為整數(shù)，且都大于0小于10所以 y 3, x75 16 339所以丙用電10 3 7度，

39、交電費0.45 7 3.15元；乙交電費3.15 3.75 6.90元，甲交電費6.90 7.10 14.00元，三戶共交電費3.15 6.90 14.00 24.05元.【例【例 21】馬小富在甲公司打工，幾個月后又在乙公司兼職，甲公司每月付給他薪金470元，乙公司每月付給他薪金350元.年終，馬小富從兩家公司共獲薪金7620元.他在甲公司打工 _ 個月，在乙公司兼職_ 個月.【解【解析】設(shè)馬小富在甲公司打工 a 月，在乙公司兼職b月（a b, a、b都是不大于12的自然數(shù)），則有470a 350b 7620,化簡得47a 35b 762.若b為偶數(shù)，則35b的末位數(shù)字為0，從而47a的末位

40、數(shù)字必為2，這時a 6但a 6時，b480不是整數(shù)，不合題意，所以b必為奇數(shù).b為35奇數(shù)時，35b的末位數(shù)字為5，從而47a的末位數(shù)字為7, a 1或a 11.但a 1時容易看出a b, 與a b矛盾所以，a 11，代入得 b 762 47 11 35 7 .于是馬小富在甲公司打工11個月，在乙公司兼職7個月.【例【例 22】甲、乙、丙、丁、戊五人接受了滿分為10分（成績都是整數(shù)）的測驗已知：甲得了4分，乙得了最高分，丙的成績與甲、丁的平均分相等，丁的成績剛好等于五人的平均分，戊比丙多2分.求乙、丙、丁、戊的成績.5 xw，故x 6，代入得 y 8 .所以丁得6分，丙得5分，戊得7分，乙得8

41、分.3法二：推理法.因為丁為五人的平均分，所以丁不是成績最低的；丙的成績與甲、丁的平均分相等，所以丙在甲與丁之間；又因為戊和乙都比丙的成績高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成績是最低的.因為甲是4分，所以丁可能是6分或8分（由丙的成績與甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶數(shù)），經(jīng)檢驗丁得8分時與題意不符，所以丁得6分，則丙得5分，戊得7分, 乙得8分.【鞏固】 有兩個學(xué)生參加 4 次數(shù)學(xué)測驗，他們的平均分數(shù)不同，但都是低于90 分的整數(shù).他們又參加了第 5 次測驗，這樣 5 次的平均分數(shù)都提高到了90 分.求第 5 次測驗兩人的得分.（每次測驗滿分為 100 分）【解【解析】設(shè)某一學(xué)生前

42、 4 次的平均分為 x 分，第 5 次的得分為y分，則其 5 次總分為 4x y 90 5 450 , 于是 y 450 4x .顯然 90 yw100 ,故90 450 4xw100，解得87.5Wx 90.由于 x 為整數(shù)，可能為 88 和 89,而且這兩個學(xué)生前 4 次的平均分不同，所以他們前 4 次的平均 分分別為88 分和 89 分，那么他們第 5 次的得分分別為：450 88 4 98分；450 89 4 94分.【例【例 23】小明、小紅和小軍三人參加一次數(shù)學(xué)競賽，一共有 100 道題，每個人各解出其中的 60 道題，有 些題三人都解出來了，我們稱之為“容易題”；有些題只有兩人解

43、出來，我們稱之為“中等題”有些題只有一人解出來，我們稱之為“難題”.已知每個題都至少被他們中的一人解出，則難題比容易題多道.【解析】法一：方程法.設(shè)丁的分數(shù)為 x 分，乙的分數(shù)為y分，那么丙的分數(shù)為分，戊的分數(shù)為2x 8U 分，根據(jù)“丁的成績剛好等于五人的平均分”，2x 422 所以 3x 10 y .因為 x5x 4yw10，所以 3x 10 y 101020 , 3x10 x 4 x 86 廠y，y 10 x，得到精品文檔14歡迎下載【例【例 24】甲、乙兩個同學(xué)在一次數(shù)學(xué)擂臺賽中，試卷上有解答題、選擇題、填空題各若干個，而且每個【解【解析】設(shè)容易題、中等題和難題分別有x 道、y道、z 道

44、，貝 Ux y z 100L L3x 2y z 180L(1),由(1) 2 (2)得2x 2y 2z (3x 2y z)200 180，即z x20，所以難題比容易題多20 道.精品文檔11歡。迎下載小題的分值都是自然數(shù)結(jié)果公布后，已知甲做對了5 道解答題，7 道選擇題，9 道填空題，共得 52 分；乙做對了 7 道解答題，9 道選擇題，11 道填空題，共得 68 分問：解答題、選擇題、 填空題的每道小題各多少分？5x 7 y 9z 52【解【解析】設(shè)每道解答題為 x 分，每道選擇題為y分，每道填空題為z 分，有5x 72，解得7x 9y 11z 68y 2z 6 因為y、z 都是自然數(shù)，而且不為 0，所以有 y2 ,z 2，或者 y4 ,zl.分 別代入原方程解得x 4或者x 3所以解答題、選擇題、填空題的每道小題的分數(shù)分別為4分、2 分、2 分或者 3 分、4 分、1 分.【例【例 25】(2007 年“我愛數(shù)學(xué)夏令營”數(shù)學(xué)競賽)甲乙丙三人參加一個共有30個選擇題的比賽，計分辦法是在30分的基礎(chǔ)上，每答對一題加4分，答錯一題扣 1 分，不答既不扣分也不加分賽完后發(fā)現(xiàn)根據(jù)甲所得總分可以準確算出他答對的題數(shù)，乙、丙二人所得總分相同，