函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)習(xí)課件

1、一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x(2) ( )( )( ) ( )( ) ( );u xv xu x v xu x v x定理定理1( ),( ),(),u xv xxx如果函數(shù)在點 處可導(dǎo) 則它們的和、差、積、商 分母不為零 在點 處也可導(dǎo) 并且2( )( ) ( )( ) ( )(3)( ( )0).( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx 推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf 1211211(3)( )( )( )( )( )( )( )

2、( )( );nininnnikikk if xfx fxfxf x fxfxf x fx 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則( )yxf yI如果函數(shù)在某區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、1( )0,( )fyyfx可導(dǎo)且那末它的反函數(shù)|( ),xyIx xf yyI在區(qū)間=內(nèi)也可導(dǎo) 且有即即 ： 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).定理定理2111( ).( )dyfxdxfydxdy或三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則( ),( )ug xxyf u如果函數(shù)在點 可導(dǎo)而( ), ( )ug xyf g x在點可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù)在點,x可導(dǎo) 且其導(dǎo)數(shù)為即即 因變

3、量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )定理3( )( )dydydy duf ug xdxdxdu dx或證證,)(可導(dǎo)在點由uufy )(lim0ufuyu0( )(0, lim0)uyf uuu 故( )(1)yf uuu 則xyx 0lim)(lim0 xuxuufx0,0,()( )0,(1),(1)0.uyf uuf uu 當(dāng)時 規(guī)定這時而式右端也為零所以式對也成立xuxuufxxx000limlimlim)().( )(xguf xyx 0lim000

4、,0,limlim0 xuxu 根據(jù)函數(shù)在某點可導(dǎo)必在該點連續(xù)的性質(zhì)知道,當(dāng)時從而可以推出推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) 例例9 9.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例103.xye求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3,.uyeux解解dxdududydxdy 23uex例例1122sin.1xyx求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22sin ,.1xyu ux解解dxdududydxdy 2222(1)cos(1)xux22222(1

5、)2cos(1)1xxxx323xx e例例123212.yx求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解123(1 2)dyxdx22231(1 2)(1 2)3xx22343 (1 2)xx例例13)ecos(lnyx，求，求.dxdy解：解：所給函數(shù)可分解為所給函數(shù)可分解為.,cos,lnxevvuuy因因,sin,1xedxdvvdvduududy故故xevudxdy)sin(1xxxeee)cos()sin().tan(xxee寫法二寫法二 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy).tan()()cos()sin(xxxxxeeeee例例14當(dāng)當(dāng)x0時，證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式時，證明冪函數(shù)的導(dǎo)

6、數(shù)公式.)(1xx證明：證明：,)(lnlnxxeex)()(lnxex)ln(lnxex11xxx例例1515.)2(21ln32的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1616.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 四四.基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin

7、0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 3.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則11( )( )0,( ),11( ).(

8、 )yxxf yIf yyfxIdyfxdxf ydxdy設(shè)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且那末它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)且有或4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決決.注意注意: :初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).( ),( )ug xxyf u如果函數(shù)在點 可導(dǎo)而( ), ( )ug xyf g x在點可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù)在點,x可導(dǎo) 且其導(dǎo)數(shù)為( )( )dydydy duf ug xdxdxdu dx或例例17： .),(sinsinynxnxyn求為常數(shù)解：解：首先應(yīng)用積的求導(dǎo)法則得首先

9、應(yīng)用積的求導(dǎo)法則得. )(sinsinsin)(sinxnxxnxynn在計算在計算 與與 時，都要應(yīng)用復(fù)合時，都要應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，由此得函數(shù)求導(dǎo)法則，由此得)cossinsin(cossin1xnxxnxxnnxnxnn) 1sin(sin1)(sinnx)(sinxnxxnnxxnxnynncossinsinsincos1五、小結(jié)五、小結(jié)注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時求導(dǎo)時, 分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合

10、函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程（注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù)已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或?；虺?shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.關(guān)鍵關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).作業(yè)：作業(yè)：P96-97P96-97 2: 偶數(shù)題偶數(shù)題 7:(3)(7)(10) 思考題思考題 求曲線求曲線 上與上與 軸平行軸平行的

11、切線方程的切線方程.32xxy x1. 若若)(uf在在0u不可導(dǎo)，不可導(dǎo)，)(xgu 在在0 x可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0 x處處（ ）（1）必可導(dǎo)；）必可導(dǎo)；（2）必不可導(dǎo)；）必不可導(dǎo)；（3）不一定可導(dǎo)；）不一定可導(dǎo)；2.冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（ ）.（1） 必可導(dǎo)；必可導(dǎo)； （2）必不可導(dǎo)；）必不可導(dǎo)；（3）不一定可導(dǎo)；）不一定可導(dǎo)；3.思考題思考題1解答解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切點為切點為 964,32 964,32所求切線方程為所求切線方程為964 y964 y和和思考題思考題2解答解答正確地選擇是正確地選擇是（3）例例|)(uuf 在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 u取取xxgusin)( 在在 處可