第一章(6-8節(jié))--數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

1、第六節(jié)第六節(jié) 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 一、 邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式定律和定理的證明定律和定理的證明v方法1：真值表法 例1：證明反演定律v方法2：代數(shù)法 例2：證明吸收律 證：BAAB011=011110=101101=110100=100A+BABBABABAAABAABAAABAABABAA)(BA二、邏輯代數(shù)的三個基本規(guī)則二、邏輯代數(shù)的三個基本規(guī)則規(guī)則之一：規(guī)則之一： 代入規(guī)則代入規(guī)則 對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數(shù)同時取代等式兩端任何一個邏輯變量后，等式依然成立。 例如，將 中用 去代替等式中的 ，則新的等式仍成立：ACABCBA)(FE BACAFAEACFEA

2、CFEA)()(v規(guī)則之二：規(guī)則之二： 反演規(guī)則反演規(guī)則 反演規(guī)則的目的是為了求非函數(shù)。 反演規(guī)則的內(nèi)容： 將一個邏輯函數(shù) 進行下列變換： + + 0 1 1 0 原變量原變量 非變量（非變量（ ） 非變量非變量 原變量（原變量（ ） 所得新函數(shù)表達式叫做 的非函數(shù)，用 表示。v注意：（1）維持原來的運算優(yōu)先級不變。 （2）改變非號僅針對單個變量。LLLAAAA DBCAL)()(DBCALEDCBAL例1例2EDCBALv規(guī)則之三：對偶規(guī)則規(guī)則之三：對偶規(guī)則 L是一個邏輯表達式，進行下列變換： ， 0 1，1 0所得新函數(shù)表達式叫做L的對偶式對偶式，用 L表示。對偶規(guī)則的性質(zhì)：對偶規(guī)則的性質(zhì)

3、：若某個等式成立，則它們的各自的對偶式也是相等的。若某個等式成立，則它們的各自的對偶式也是相等的。第七節(jié)第七節(jié) 邏輯函數(shù)的五種描述方法邏輯函數(shù)的五種描述方法 1、真值表、真值表2、邏輯表達式、邏輯表達式3、邏輯符號圖、邏輯符號圖4、波形圖、波形圖5、卡諾圖、卡諾圖舉例ABCCABCBABCAL最小項表達式最小項和最小項表達式v最小項定義（minterm） n個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項稱為個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項稱為最最小項小項。每個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項每個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。n變量邏

4、輯函數(shù)的全部最小項共有變量邏輯函數(shù)的全部最小項共有2n個。個。 乘積項：與項例：三變量邏輯函數(shù)L(A,B,C) 的最小項有： ABCBCACBACBA等v最小項的性質(zhì):對于任意一個最小項，輸入變量只有一組取值使對于任意一個最小項，輸入變量只有一組取值使其值為其值為1，而在變量取其他各組值時，這個最小，而在變量取其他各組值時，這個最小項的值都是項的值都是0。每一個最小項對應(yīng)了一組取值組。每一個最小項對應(yīng)了一組取值組合。合。一組輸入變量取值只能使一個最小項的值為一組輸入變量取值只能使一個最小項的值為1。任意兩個最小項之積恒為任意兩個最小項之積恒為0全體最小項之和恒為全體最小項之和恒為1v最小項的編

5、號：最小項的編號：把與最小項對應(yīng)的那一組變量取把與最小項對應(yīng)的那一組變量取值組合值組合（最小項中的原變量對應(yīng)的取值為（最小項中的原變量對應(yīng)的取值為1，非變，非變量對應(yīng)的取值為量對應(yīng)的取值為0）當作二進制數(shù)，與其對應(yīng)的十當作二進制數(shù)，與其對應(yīng)的十進制數(shù)，就是該最小項的編號。進制數(shù)，就是該最小項的編號。v為什么要對最小項進行編號？為什么要對最小項進行編號？當自變量的個數(shù)當自變量的個數(shù)較多時，邏輯表達式寫起來會很麻煩，用最小項編較多時，邏輯表達式寫起來會很麻煩，用最小項編號的形式會很簡單。這是一種人為想出來的辦法。號的形式會很簡單。這是一種人為想出來的辦法。 任何一個邏輯函數(shù)表達式都可以轉(zhuǎn)換為一組最

6、小項任何一個邏輯函數(shù)表達式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項的和，稱為的和，稱為最小項表達式（標準與或式）最小項表達式（標準與或式）。 解：解：CAABCBAL),()()(),(BBCACCABCAABCBALCBABCACABABC = m7+m6+m3+m1=m (1,3,6,7) 例例1：將下列邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式：將下列邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式：4637),(mmmmABCL邏輯函數(shù)的最小項表達式邏輯函數(shù)的最小項表達式CBAABABFCBABCAABCBABAABCBAABAB)(CBAABABCBAF),(CBABCACABABCCBABCACCAB)( = m7+m6+m3+m5=m

7、（3,5,6,7） 例例2： 將下列邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式：將下列邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式：解解:),(ABCF),(ACBF),(BCAF),(CABF結(jié)論：任一個邏輯函數(shù)經(jīng)過變換，都能表示成唯一的最小項表達式結(jié)論：任一個邏輯函數(shù)經(jīng)過變換，都能表示成唯一的最小項表達式由真值表寫出最小項表達式ABCCABCBABCAL方法：方法：將真值表中使函數(shù)值為1（L=1）的所有最小項進行或運算，就得出了函數(shù)的最小項表達式。自學：最大項和最大項表達式自學：最大項和最大項表達式三、卡諾圖三、卡諾圖v（一）卡諾圖的結(jié)構(gòu)（一）卡諾圖的結(jié)構(gòu)1兩變量邏輯函數(shù)的卡諾圖兩變量邏輯函數(shù)的卡諾圖對最小項的編號采用了（

8、A，B）的順序 2. 三變量邏輯函數(shù)的卡諾圖三變量邏輯函數(shù)的卡諾圖對最小項的編號采用了對最小項的編號采用了（A，B，C）的順序）的順序 3、四變量卡諾圖、四變量卡諾圖以A，B，C，D為順序，A為高位對最小項編號注意觀察A、B、C、D的位置ABCDABCD ABCDABCDABCD ABCD ABCDABCDABCD ABCD ABCDABCDABCDABCD ABCDABCDm0m1m3m2m567mmm4mm131412m15mm8m1011m9mABCD(a)(b)0132765413141512981110ABCD0000010111111010以A，B，C，D為順序，A為高位對最小項編

9、號注意：A，B，C，D的位置可以任意擺放五變量、六變量卡諾圖不要求 五變量邏輯函數(shù)的卡諾圖五變量邏輯函數(shù)的卡諾圖BC DE BC DE A =0 A =1 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 16 20 28 24 17 21 29 25 19 23 31 27 18 22 30 26 六變量邏輯函數(shù)的卡諾圖六變量邏輯函數(shù)的卡諾圖CD EF CD EF AB =00 AB =01 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 0

10、1 11 10 0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 10 16 20 28 24 17 21 29 25 19 23 31 27 18 22 30 26 CD EF AB =11 00 01 11 10 00 01 11 10 48 52 60 56 49 53 61 57 51 55 63 59 50 54 62 58 CD EF AB =10 00 01 11 10 00 01 11 10 32 36 44 40 33 37 45 41 35 39 47 43 34 38 46 42 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)三變量卡諾圖表示方法：表示方法：

11、 在卡諾圖中找到和表達式中最小項對應(yīng)的小方格填上在卡諾圖中找到和表達式中最小項對應(yīng)的小方格填上1，其余添其余添0或空?；蚩铡５诎斯?jié)第八節(jié) 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡 一、 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法v邏輯函數(shù)的兩種化簡方法：邏輯函數(shù)的兩種化簡方法：代數(shù)法、卡諾圖法v化簡的目的：化簡的目的：易于用電路實現(xiàn)，降低成本，可靠性高v最簡的定義最簡的定義：（以二級與或電路為對象）首先：乘積項的個數(shù)最少（與門的個數(shù)最少，即或門的輸入端數(shù)最少）在上述條件下，每個乘積項中的變量數(shù)目最少（與門的輸入端數(shù)最少）)()()()(CCBACCABCBACABCBAABCCBCBACBBCALABBABAAB)(BADEC

12、BABAL)(EBAEBBAEBABALCAABBCDAABCDCAABAABCDCAABBCDCAABL)(（2）吸收法）吸收法運用公式運用公式 ，將兩項合并為一項，消去一個變量。如，將兩項合并為一項，消去一個變量。如1 AA運用吸收律運用吸收律 A+AB=A，消去多余的與項。如消去多余的與項。如 （3）配項法）配項法（1）并項法）并項法運用吸收律運用吸收律 消去多余的因子。如消去多余的因子。如BABAA先通過乘以先通過乘以 或加上或加上 ，增加必要的乘積項，再用以上方法化，增加必要的乘積項，再用以上方法化簡，如簡，如AAAA（利用 ）（利用 ）解：解：例1：化簡邏輯函數(shù)：化簡邏輯函數(shù)： E

13、FBEFBABDCAABDAADLEFBEFBABDCAABAL1 AAEFBBDCAA（利用A+AB=A）EFBBDCABABAA在化簡邏輯函數(shù)時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯函在化簡邏輯函數(shù)時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡。數(shù)化為最簡。（增加冗余項 ）（消去1個冗余項 ）（再消去1個冗余項 ）（增加冗余項 ）（消去1個冗余項 ）（再消去1個冗余項 ） 解法解法1 1：（利用（利用 ） 解法解法2 2： 例例3 3： 化簡邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù)： BACBCBBALCABACBCABACBBACABACBCBBABACBCBBALCACBBACAABBCCAABCACBBACA

14、BACBBACABACBCBBABACBCBBALCACBBA 由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。代數(shù)化簡法的優(yōu)點是不受變量數(shù)目的限制。代數(shù)化簡法的優(yōu)點是不受變量數(shù)目的限制。缺點是：缺點是：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式?jīng)]有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；在化簡一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時還需要一和定理；在化簡一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時還需要一定的技巧和經(jīng)驗；有時很難判定化簡結(jié)果是否最簡。定的技巧和經(jīng)驗；有時很難判定化簡結(jié)果是否最簡。 用卡諾圖法化簡用卡諾圖法化簡, ,直觀易掌握直觀易掌握重要概念：重要概念：邏輯相鄰邏輯相鄰三、

15、三、 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1、化簡的依據(jù)、化簡的依據(jù)ACBBACCBAABC)(v兩個最小項（乘積項）相比，如果只有一個變量不兩個最小項（乘積項）相比，如果只有一個變量不同（即該變量在兩個最小項中分別以原變量和非變同（即該變量在兩個最小項中分別以原變量和非變量出現(xiàn)），其余變量均相同，則稱這兩個最小項為量出現(xiàn)），其余變量均相同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰，簡稱邏輯相鄰，簡稱相鄰項相鄰項。v邏輯相鄰的兩個最小項進行邏輯相鄰的兩個最小項進行“或或”運算時，可以消運算時，可以消去那個不同的變量因子。去那個不同的變量因子。v舉例舉例 ： 重要概念：重要概念：幾何相鄰幾何相鄰v在卡諾圖

16、中，任意兩個方格（最小項）在卡諾圖中，任意兩個方格（最小項）相接（緊挨著）相接（緊挨著）相對（任意一行或一列的兩頭）相對（任意一行或一列的兩頭）則稱這兩個方格（最小項）為則稱這兩個方格（最小項）為幾何相鄰幾何相鄰。相接相對相對 邏輯相鄰、幾何相鄰的關(guān)系邏輯相鄰、幾何相鄰的關(guān)系v在卡諾圖中的幾何相鄰的兩個乘積項，一定是邏輯相鄰的！v卡諾圖中的幾何相鄰，直觀，易觀察v邏輯相鄰有時不是特別容易觀察ABACBCCCABBBACAABCABCABCABCCABCBABCAABCCABCBABCAL)()()(1011010A00BC010001111L哪種方法更容易掌握呢？用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)步驟用卡諾

17、圖化簡邏輯函數(shù)步驟（1）將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式并填入卡諾圖中，凡式中）將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式并填入卡諾圖中，凡式中 包含了的最小項，其對應(yīng)方格填包含了的最小項，其對應(yīng)方格填1，其余方格填，其余方格填0。也可由真。也可由真 值表直接填卡諾圖。值表直接填卡諾圖。（2）合并最小項，即將幾何相鄰的）合并最小項，即將幾何相鄰的1方格圈成一組（畫圈）。方格圈成一組（畫圈）。（3）將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加。）將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項相加。從邏輯函數(shù)的其它形式得到卡諾圖表示形式從邏輯函數(shù)的其它形式得到卡諾圖表示形式1 1從真值表到卡諾圖從真值表到卡諾圖2從邏輯表達式到卡諾圖從邏輯表達式到卡諾圖（1

18、）如果表達式為最小項表達式，則可直接填入卡諾圖。）如果表達式為最小項表達式，則可直接填入卡諾圖。ABCCABBCACBAF7630),(mmmmCBAF（2）如果表達式）如果表達式 是是“一般與一般與或表達式或表達式”，可直接填入卡諾圖，可直接填入卡諾圖DCBBAG（3）如果表達式）如果表達式 不是不是“一般與一般與或表達式或表達式”，而是任何其它形式，而是任何其它形式，先利用邏輯代數(shù)的定理將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成先利用邏輯代數(shù)的定理將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成“一般與一般與或表達式或表達式”，再填，再填入卡諾圖。入卡諾圖。從最簡的與或式與其它形式的最簡式從最簡的與或式與其它形式的最簡式用卡諾圖合并最小項的原則（

19、畫圈的原則）用卡諾圖合并最小項的原則（畫圈的原則）（1 1）盡量畫大圈，要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。）盡量畫大圈，要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2 2）每個圈內(nèi)只能含有）每個圈內(nèi)只能含有2 2n n（n n=0,1,2,3=0,1,2,3）個方格。）個方格。（3 3）圈的總個數(shù)盡量少。）圈的總個數(shù)盡量少。（4 4）卡諾圖中所有取值為）卡諾圖中所有取值為1 1的方格的方格 均要被圈過，即不能漏下。均要被圈過，即不能漏下。（5 5）在新畫的包圍圈中至少要含有）在新畫的包圍圈中至少要含有1 1個末被個末被 圈過的方格，否則該包圍圈是多余的。圈過的方格，否則該包圍圈是多余的。（6 6）最后

20、一定要檢查，可能會有多余的圈。）最后一定要檢查，可能會有多余的圈。 2 2個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去1 1個取值不同的變個取值不同的變量而合并為量而合并為l l項。項。 4 4個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去2 2個取值不同個取值不同的變量而合并為的變量而合并為l l項。項。多余的圈 8 8個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去3 3個取值個取值不同的變量而合并為不同的變量而合并為l l項。項?？傊?，總之，2 2n n個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去個相鄰的最小項結(jié)合，可以消去n n個取值不同的變量而合并為個取值不同的變量而合

21、并為l l項。項。 例例1 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)： L（A,B,C,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（解：（1）由表達式畫出卡諾圖。）由表達式畫出卡諾圖。 （2）畫包圍圈，合并最小項，得簡化的與）畫包圍圈，合并最小項，得簡化的與或表達式或表達式:例例2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：多余例例3 已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖化簡該邏輯函數(shù)。圖化簡該邏輯函數(shù)。解：解： （1）由真值表畫出卡諾圖。）由真值表畫出卡諾圖。 （2）畫包圍圈合并最小項。）畫包圍圈合并最小項。 有兩種畫圈的方法：有兩種畫

22、圈的方法： （a）：寫出）：寫出表達式：表達式： （b）：寫出表達式：）：寫出表達式： 通過這個例子可以通過這個例子可以看出，一個邏輯函數(shù)看出，一個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結(jié)果有時不是但化簡結(jié)果有時不是唯一的。唯一的。 （2）用圈）用圈0法畫包圍圈，得：法畫包圍圈，得： 卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法圈圈0 0法法例例4 已知邏輯函數(shù)的卡諾圖分別用已知邏輯函數(shù)的卡諾圖分別用“圈圈1法法”和和“圈圈0法法”寫寫出其最簡與出其最簡與或式。或式。解：解：（1）用圈）用圈1法畫包圍圈，法畫包圍圈，得：得： 無關(guān)

23、項的含義無關(guān)項的含義 在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會出現(xiàn)，在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應(yīng)的最小項稱或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應(yīng)的最小項稱為無關(guān)項、任意項或約束項。為無關(guān)項、任意項或約束項。討論無關(guān)項的唯一目的就是為了化簡。討論無關(guān)項的唯一目的就是為了化簡。（四）具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡（四）具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡解：解：約定：紅、綠、黃燈分別用約定：紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為表示，且燈亮為1，燈滅為，燈滅為0。車用車用L表示，車行表示，車行L=1，車停，車停L

24、=0。 列出該函數(shù)的真值表列出該函數(shù)的真值表例例1 1 在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關(guān)系。亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關(guān)系。在這個函數(shù)中，有在這個函數(shù)中，有5 5個最小項為無關(guān)項。個最小項為無關(guān)項。如本例函數(shù)可寫成如本例函數(shù)可寫成L L=m m（2 2）+d d（0,3,5,6,70,3,5,6,7）無關(guān)項的表示方法無關(guān)項的表示方法（1）帶有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的最小項表達式為：）帶有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的最小項表達式為： L=m（ ）+d（ ） 例例2：

25、用三個輸入變量：用三個輸入變量A，B，C分別來表示電梯的上升，下降和停分別來表示電梯的上升，下降和停止這三種工作狀態(tài)。并規(guī)定止這三種工作狀態(tài)。并規(guī)定A=1表示電梯處在上升的工作狀態(tài)，表示電梯處在上升的工作狀態(tài)，B=1表示電梯處在下降的工作狀態(tài)，表示電梯處在下降的工作狀態(tài)，C=1表示電梯處在停止的工作表示電梯處在停止的工作狀態(tài)。因電梯在任何時候只能處在一個特定的工作狀態(tài)下，所以，狀態(tài)。因電梯在任何時候只能處在一個特定的工作狀態(tài)下，所以，不允許同時有兩個或兩個以上的輸入變量為不允許同時有兩個或兩個以上的輸入變量為1。即，。即，ABC的取值只的取值只能是能是100，010，001當中的某一種，而不能

26、出現(xiàn)當中的某一種，而不能出現(xiàn)000，011，101，110，111中的任何一種。輸入變量取值所受的約束條件可用約束中的任何一種。輸入變量取值所受的約束條件可用約束方程來表示。電梯工作狀態(tài)的約束方程為方程來表示。電梯工作狀態(tài)的約束方程為 約束方程中所出現(xiàn)的最小項恒等于約束方程中所出現(xiàn)的最小項恒等于0，稱為約束項。，稱為約束項。0ABCCABCBABCACBAY（2）用約束方程的形式表示無關(guān)項）用約束方程的形式表示無關(guān)項用用L表示電梯在運行，則表示電梯在運行，則0ABCCABCBABCACBACBACBAL但約束條件為：但約束條件為：CBAL CBACBAL化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)時，要充分利用無關(guān)項可以當化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)時，要充分利用無關(guān)項可以當0 0也可以當也可以當1 1的特點，盡量擴大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡。的特點，盡量擴大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡。為什么無關(guān)項即可以當為什么無關(guān)項即可以當0 0，也可以當，也可以當1 1？注意注意: :在考慮無關(guān)項時，哪些無關(guān)項當作在考慮無關(guān)項時，哪些無關(guān)項當作1 1，哪些無關(guān)項當作，哪些無關(guān)項當作0 0，要以，要以 盡量擴大卡諾圈、減少圈的個數(shù)，使邏輯函數(shù)更簡為原則。盡量擴大卡諾圈、減少圈的個數(shù)，使邏輯函數(shù)更簡為原則。考慮無關(guān)項時，表達式為考慮無關(guān)項時，表達式為: : 例例3 3解：解：（1 1）畫出）