研究生入學(xué)考試電磁場(chǎng)與電磁波學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1研究生入學(xué)考試研究生入學(xué)考試(r xu ko sh)電磁場(chǎng)與電磁場(chǎng)與電磁波電磁波第一頁(yè)，共43頁(yè)。2tancoscosababA BAfffAxyzxyz(4)梯度(t d)的導(dǎo)出根據(jù)上式可以看到坡度(方向?qū)?shù))是能夠(nnggu)取最大值的，即最陡方向。何時(shí)取最大值？maxtanAcos1abiff 標(biāo)量場(chǎng)f的梯度(t d)定義矢量微分算子，Del算子，梯度算子， nabla算子xyzxyz (5)梯度的物理意義一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)在某一點(diǎn)的梯度表明了該點(diǎn)的最陡方向(單位矢量)及其陡峭程度(數(shù)值)(6)梯度的性質(zhì)一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)某點(diǎn)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影某點(diǎn)的梯度垂直

2、于過(guò)該點(diǎn)的等值面，其指向場(chǎng)值增加的方向第1頁(yè)/共43頁(yè)第二頁(yè)，共43頁(yè)。3(7)圓柱(yunzh)坐標(biāo)系下梯度的計(jì)算式1ffffzz (8)球坐標(biāo)系下梯度(t d)的計(jì)算式11sinffffrrrr (9)廣義坐標(biāo)下梯度(t d)的計(jì)算式111uvwffffuvwhuhvhw 第2頁(yè)/共43頁(yè)第三頁(yè)，共43頁(yè)。4一個(gè)(y )標(biāo)量場(chǎng)某點(diǎn)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影某點(diǎn)的梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，其指向(zh xin)場(chǎng)值增加的方向tancoscosababA BA證明(zhngmng)(1)：其中a為梯度的方向，b為“該方向”單位矢量，故可得結(jié)論證明：(1)如果等高線的變化非常小，那么在非常

3、小的局部區(qū)域，等高線是什么關(guān)系？(2)梯度的數(shù)值即為方向?qū)?shù)的最大值。 要使方向?qū)?shù)最大，也就意味著所取方向?yàn)檫B接P與另一條等位線上最近點(diǎn)的方向，什么方向最小？0uflP證明(2)：如圖所示：0ufnl 其他方向的方向?qū)?shù)：0101luulll0cosul0 un ml0unmlf m 第3頁(yè)/共43頁(yè)第四頁(yè)，共43頁(yè)。5，證明：例題1:已知,Rxxxyyyzzz RR證明(zhngmng)：222Rxxyyzz(1).RRxx221 122xxRxxxxRxx(2)11.RxRx2111RRxxRxRxRR (3) .f Rf Rxx 2f Rf Rf RRxxxRxR 2f Rf Rf R

4、RxxxRxR .f Rf RxxRemember it forever!第4頁(yè)/共43頁(yè)第五頁(yè)，共43頁(yè)。6例題2: 求標(biāo)量場(chǎng)23, ,6zf x y zx ye在點(diǎn)P(2,1,0)處的梯度。解：由于標(biāo)量場(chǎng)給出的是直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式，因此(ync)它的梯度能夠直接使用直角坐標(biāo)系下的結(jié)果，即2323233226661218zzzzfx yexx yeyx yezxyzxy xx y ye z 例題3: 給出圓柱坐標(biāo)系下矢徑rzz的幅度梯度。解：矢徑r的幅度(fd)為rr 22rrz2222zz2210z2222zzzzzz1ffffzz 第5頁(yè)/共43頁(yè)第六頁(yè)，共43頁(yè)。7矢量(shling

5、)場(chǎng)的通量與散度 矢量場(chǎng)性質(zhì)：各點(diǎn)的場(chǎng)量是歲空間位置變化(binhu)的矢量。如漩渦的力場(chǎng)是直觀的例子。表達(dá)形式： , ,FF x y z, , , ,xxyyzzFFx y zFFx y zFFx y zOrdrrdr F r矢量線的性質(zhì)：方向的定義： 矢量線上任何一點(diǎn)的切線(qixin)方向數(shù)值的定義： 矢量線間的疏密程度定性表示矢量線的交匯問(wèn)題第6頁(yè)/共43頁(yè)第七頁(yè)，共43頁(yè)。8Ordrrdr F r矢量(shling)線方程： 矢量(shling)線上任何一點(diǎn)的切線方向即為矢量(shling)場(chǎng)方向如圖若已知矢量場(chǎng)F的矢量線呈對(duì)應(yīng)(duyng)關(guān)系曲線的切線(qixin)方向?yàn)閐rxd

6、xydyzdz矢量場(chǎng)的方向?yàn)?xyzF rxFryFrzFr兩者方向一致，故可建立矢量線方程 ?yxzFrFrFrdxdydz第7頁(yè)/共43頁(yè)第八頁(yè)，共43頁(yè)。9通量的定義:簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是通過(guò)一個(gè)(y )曲(平)面的矢量線數(shù)目。通過(guò)每個(gè)小面元的數(shù)目發(fā)現(xiàn):方向有關(guān)面元大小有關(guān)，如將線畫密一些，線密度(md)也會(huì)增加。即與場(chǎng)強(qiáng)的大小數(shù)值有關(guān)，第8頁(yè)/共43頁(yè)第九頁(yè)，共43頁(yè)。10通量的計(jì)算(j sun)式: dSndS面元方向的定義：比較隨意，但是對(duì)于封閉面，通常取外法向面元通量，可以(ky)定義通量的表達(dá)形式dF dS 非面元通量，則：01liminiisMax dSiF dSF dS 將宏觀面

7、元分解成非常多的小面元，假設(shè)每個(gè)面元上的矢量為恒量(hngling)，這是數(shù)學(xué)中的微分思想，當(dāng)面元足夠小時(shí)，這時(shí)求和可以用積分來(lái)表示。SF dS 如果是閉合曲面，注意1、各種情況下表達(dá)式的不同，并關(guān)注閉合曲面的通量2、如果一個(gè)封閉面的通量不為0，表明該封閉面內(nèi)有通量源第9頁(yè)/共43頁(yè)第十頁(yè)，共43頁(yè)。11正電荷通量： n封閉(fngb)面通量大于0負(fù)電荷通量：封閉(fngb)面通量小于0 n思考：如果一個(gè)(y )封閉面內(nèi)如果既有正電荷，又有負(fù)電荷，則通量將會(huì)怎樣？第10頁(yè)/共43頁(yè)第十一頁(yè)，共43頁(yè)。12散度概念(ginin)的意義：通量：積分量，范圍比較大（宏觀），無(wú)法(wf)反映每一點(diǎn)的性

8、質(zhì)。梯度：微分值，范圍比較?。ㄎ⒂^），能夠反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。散度：微分值，范圍比較?。ㄎ⒂^），能夠反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。散度定義(dngy)：封閉面通量SF dS為表示微觀特性，所取面積顯然不能很大0limSSF dS顯然該式的值為0，why？因此需要對(duì)該式除以一個(gè)無(wú)窮小量，曲面的面積和體積是個(gè)合適的量，但顯然應(yīng)該取體積，why？0limSVF dSV 矢量場(chǎng)的散度（通量體密度）第11頁(yè)/共43頁(yè)第十二頁(yè)，共43頁(yè)xyzFxyzxFxyzyFxyzz微分思想：假設(shè)(jish)該立(長(zhǎng))方體非常小，其邊長(zhǎng)近似為0，則可以認(rèn)為在每個(gè)面上的場(chǎng)量為常量。以下來(lái)考慮(kol)通過(guò)前

9、后兩個(gè)面上的通量：“前”面中心(zhngxn)處場(chǎng)量為:0002,F xxyz“前”面通量近似為： 0000000000002,2,2,2xxxxF xxyzSF xxyzx y zFxxFxFxyzyzyzxzy 散度計(jì)算式的推導(dǎo)：第12頁(yè)/共43頁(yè)第十三頁(yè)，共43頁(yè)。14以下來(lái)考慮(kol)通過(guò)前后兩個(gè)面上的通量：“前”面通量近似(jn s)為：000,2xxFxFxyzy zx 同理，“后”面通量近似(jn s)為： 000000000000,2,2,2,2,xxxxF xxyzSF xxyzx y zFxFxFxyxyzzxyy zz 故前后兩面的通量為：xFx y zx 左右兩面的通

10、量為：yFx y zy 上下兩面的通量為：zFx y zz yxzSFFFx y zxyF dSz 0limSVF dSV yxzFFFxyz第13頁(yè)/共43頁(yè)第十四頁(yè)，共43頁(yè)。15yxzFFFxyzxyzxyz xyzFxFyFzFF (散度的計(jì)算式，同時(shí)(tngsh)也可以算是散度的定義式)圓柱(yunzh)坐標(biāo)系的散度計(jì)算式：11zFFFFz球坐標(biāo)系的散度計(jì)算(j sun)式：22111sinsinsinrFFr FFrrrr第14頁(yè)/共43頁(yè)第十五頁(yè)，共43頁(yè)。16yxzFFFFxyz散度的物理意義：圍繞點(diǎn)p作足夠小的球面，通過(guò)計(jì)算矢量場(chǎng)在點(diǎn)p的散度可以得到矢量場(chǎng)向外的凈流量?jī)袅髁康?/p>

11、大小和球面內(nèi)部的源有關(guān)凈流量為正，則內(nèi)部的發(fā)散源凈流量為負(fù)，則內(nèi)部為收縮源凈流量為零，則表明內(nèi)部無(wú)散度源(凈源為0)注意：凈流量為零未必表明內(nèi)部無(wú)源，例如(lr)漩渦0F0F0F第15頁(yè)/共43頁(yè)第十六頁(yè)，共43頁(yè)。17證明：在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)中，空間位置矢量的表達(dá)式為rxxyyzz根據(jù)散度計(jì)算(j sun)式，可以得到其散度為3xyzrxyz在Maxwell方程中，經(jīng)常需要用到宏觀方程，因此需要考慮(kol)散度的宏觀形式，即：?VFdV散度定律第16頁(yè)/共43頁(yè)第十七頁(yè)，共43頁(yè)。18散度定律：矢量(shling)分析重要定律之一(需熟練)max0limiiiiiVS

12、VFdVFVF dS 考慮如圖相鄰兩個(gè)面(體)元S1和S2，其公共(gnggng)面設(shè)為S。在考慮左邊體積元面元通量時(shí)，該面元的單位矢量如紅箭頭所示而考慮右邊體積元面元通量時(shí)，該面元的單位矢量如蘭箭頭所示即面元S在散度求和過(guò)程中被利用了兩次，計(jì)算過(guò)程中場(chǎng)量F沒(méi)有變化，而兩次計(jì)算的面元單位矢量相反，故該面元的通量對(duì)通量累加沒(méi)有作用。進(jìn)一步說(shuō)，凡是在累加過(guò)程中，面元被采用兩次的都存在這個(gè)問(wèn)題，這種面元也只能(zh nn)位于體積的內(nèi)部。而表面面元由于只存在一個(gè)體積元中，故被保留下來(lái)。所以最終有：iiiSSF dSF dSVSFdVF dS第17頁(yè)/共43頁(yè)第十八頁(yè)，共43頁(yè)。19解：該區(qū)域存在5個(gè)

13、表面(biomin)，分別對(duì)應(yīng)dS1,dS2,dS3,dS4,dS5 110,ydSdxdzy 13210036SxzD dSyz dxdz 220,xdSdydzx 232220030SyzD dSx dydz 333,3dSd dz3223003SzD dSD d dz 2cossin3cos3sinxyDDDxyz同時(shí)(tngsh)在面dS3上有3cos ,3sinxy第18頁(yè)/共43頁(yè)第十九頁(yè)，共43頁(yè)。20代入整理(zhngl)得：33156.41SD dS 442,zdSd d z 432400cos633.41xSD dSxd d 550,zdSd d z 5cos325009S

14、xD dSx d d 故60 156.41 33.41 9192.82SD dS 而66Dx322000322000666 cos6192.82VDdVxd d dzd d dz 第19頁(yè)/共43頁(yè)第二十頁(yè)，共43頁(yè)。21矢量(shling)場(chǎng)的環(huán)流與旋度 CF dl 環(huán)流：矢量場(chǎng)F沿場(chǎng)中的一條閉合(b h)路徑C的曲線積分稱為矢量場(chǎng)F沿閉合(b h)路徑C的環(huán)路。簡(jiǎn)而言之，即環(huán)路積分。環(huán)流也是與源有關(guān)的量，如 則表明環(huán)路內(nèi)含有源，但是這種源產(chǎn)生的場(chǎng)是一種類似漩渦的場(chǎng)，與電荷產(chǎn)生的場(chǎng)有明顯的不同。 0 由于積分路徑與場(chǎng)F始終一致(yzh)，故該積分必不為0但是有意思的是，這種場(chǎng)的散度卻必為0這

15、種矢量線不發(fā)散，也不匯聚，產(chǎn)生這種矢量線的源稱為漩渦源第20頁(yè)/共43頁(yè)第二十一頁(yè)，共43頁(yè)。22CF dl 同樣，這個(gè)(zh ge)積分也是宏觀量的積分，如何考察空間點(diǎn)的場(chǎng)量特性？CF dl 0limCCF dl該積分(jfn)顯然為00limCCF dlA0limCCF dlS環(huán) 流 面 密 度注意：環(huán)流面密度顯然(xinrn)與S的方向有關(guān)，為何顯然(xinrn)？第21頁(yè)/共43頁(yè)第二十二頁(yè)，共43頁(yè)。23環(huán)流面密度顯然(xinrn)與S的方向有關(guān)(以一特例說(shuō)明)簡(jiǎn)圖說(shuō)明：矢量場(chǎng)為方向場(chǎng)，且為常數(shù)(chngsh)S1為圓形回路C1圍成面積S2為橢圓形回路C2圍成面積S1為S2在水平方向

16、投影結(jié)論：在上述條件下，有12CCF dlF dl但是顯然兩個(gè)環(huán)路所圍成的面積(min j)并不相等，因此兩者的環(huán)流面密度并不相等。第22頁(yè)/共43頁(yè)第二十三頁(yè)，共43頁(yè)。24由于(yuy)矢量場(chǎng)在某點(diǎn)的環(huán)流面密度與面元方向(以法線方向記)有關(guān)，因此一個(gè)給定點(diǎn)處沿不同方向，它的環(huán)流面密度并不相同，但是總存在一個(gè)最大的環(huán)流面密度。仍然以上圖為例，顯然由于環(huán)路積分(jfn)相同，相比而言面積小的環(huán)流面密度較大，因此環(huán)路C1(S1)的環(huán)流面密度大于C2(S2)的。同樣可以看到在該點(diǎn)處S1的面積總是(zn sh)最小，所以環(huán)流其面密度必然最大。旋度的定義：方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，

17、大小等于該環(huán)流面密度最大值，記為rotF。旋度的表達(dá)式：0max limcSF dlrotFnS 第23頁(yè)/共43頁(yè)第二十四頁(yè)，共43頁(yè)。25旋度的性質(zhì)(xngzh)：1. nrot Fn rotF在n方向的環(huán)流面密度cF dlnScF dlScoscoscccF dlF dlF dln nSSS2. 空間某點(diǎn)旋度垂直于該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向(fngxing)證明：略(從圖中即可得到)3. 考慮旋度時(shí)，其面元S方向(fngxing)垂直于矢量場(chǎng)方向(fngxing)，或者閉合回路C和矢量場(chǎng)方向(fngxing)一致同樣說(shuō)明，旋度的數(shù)值是最大的環(huán)流面密度。第24頁(yè)/共43頁(yè)第二十五頁(yè)，共43頁(yè)。26x

18、rot Fx rotF旋度計(jì)算(j sun)式：預(yù)備(ybi)知識(shí)：,xyzAA x AA y AA zxyzAA xA yA zxyzrotFrot Fxrot Fyrot Fzzrot Fz rotFyrot Fy rotF因此，通過(guò)求解某點(diǎn)x，y和z方向的環(huán)流面密度，可得旋度的計(jì)算式。根據(jù)(gnj)環(huán)流面密度的定義有：0limxcxsxF dlrot FS通過(guò)計(jì)算上式，即可求解出環(huán)流面密度及旋度。第25頁(yè)/共43頁(yè)第二十六頁(yè)，共43頁(yè)。270limxcxsxF dlrot FS說(shuō)明(shumng)：y,z足夠小，路徑1,2,3,4上的場(chǎng)量可以看作均勻點(diǎn)M位于閉合環(huán)路的正中矢量場(chǎng)F在M點(diǎn)為

19、F(x0,y0,z0)，投影到各分量(fn ling)分別為Fx,Fy,Fz環(huán)路圍成面積為yz，方向?yàn)閤正向第26頁(yè)/共43頁(yè)第二十七頁(yè)，共43頁(yè)。28積分(jfn)線路1：1000,2yzCFxyzy 積分(jfn)線路2：2000,2zyCFxyzz 積分(jfn)線路3：3000,2yzCFxyzy積分線路4：4000,2zyCFxyzz+000000000000000000000000,2222,2222yzyzzzyyzyzyFxyzyFxyzzFxyzyFxyzzyyzzFxyzFxyzzFxyzFxyzy 根據(jù)偏微分(微分）定義zFyyyFzzyyzzFFFFy zz yy zy

20、zyz 第27頁(yè)/共43頁(yè)第二十八頁(yè)，共43頁(yè)。29yyzzFFFFy zz yz yyzyz 故積分(jfn)環(huán)路為：0limxcxsxF dlrot FS0limxyzcxsxF dlrFzot FSFy同理：xyzrFFzFxotyzxrFFxFyotxyzrotFrot Fxrot Fyrot FzyyxxzzFFFFFFrotFxyzyzzxxyxyzxyzxyzFFFrotFF 旋度的計(jì)算(j sun)式兼定義式第28頁(yè)/共43頁(yè)第二十九頁(yè)，共43頁(yè)。30圓柱(yunzh)坐標(biāo)系下的旋度計(jì)算：1zzFzFFF 球坐標(biāo)系下的旋度計(jì)算(j sun)：2sin1sinsinrrrrFrr

21、FrFrF 例：如果標(biāo)量(bioling)函數(shù)f(x,y,z)為連續(xù)可微函數(shù)，證明：0f 證明：ffffxyzxyz 0 xyzfxyzfxfyfz 結(jié)論非常 有用注：另外重要恒等式0F 第29頁(yè)/共43頁(yè)第三十頁(yè)，共43頁(yè)。31旋度定理(dngl)：矢量分析的重要定理(dngl)之一(需熟練)證明(zhngmng)：SCFdSF dliiiiiSiCiiiiiiCFdSFnSF dlFnSSSF dl由于有相鄰邊界的線元在累加過(guò)程中會(huì)進(jìn)行(jnxng)計(jì)算兩次，而兩次的取向相反，故被抵消，最后只剩下位于邊界處的線元積分，即可得到上述結(jié)論。第30頁(yè)/共43頁(yè)第三十一頁(yè)，共43頁(yè)。32解：23F

22、yz 由于面元均為r方向，故求解面積分只需要(xyo)考慮旋度的r方向即可2sinsin3cosrF 22002sinsin3cos4sin12rSFdSd d 而環(huán)路C的方向(fngxing)為方向(fngxing)，故考慮矢量場(chǎng)的方向(fngxing)即可25 sin32 cosFzx 代入：0z 2cosx2dld則25sin6cos2cosF 2205sin6cos2cos212ccF dlFdld驗(yàn)證(ynzhng)完畢！第31頁(yè)/共43頁(yè)第三十二頁(yè)，共43頁(yè)。33對(duì)梯度，散度和旋度的理解：對(duì)于標(biāo)量場(chǎng)，由于比較簡(jiǎn)單，在已知場(chǎng)值后，進(jìn)一步了解其最陡方向即可。對(duì)于矢量場(chǎng)，由于場(chǎng)值一方面有

23、場(chǎng)的大小還有場(chǎng)的方向，故需要用散度和旋度來(lái)“探測(cè)”場(chǎng)的方向特性。對(duì)于散度和旋度，可以理解成電路中的“電流表”和“電壓表”的作用散度和旋度是相互獨(dú)立的算子，僅僅(jnjn)靠散度或者旋度無(wú)法確定一個(gè)場(chǎng)的情況。第32頁(yè)/共43頁(yè)第三十三頁(yè)，共43頁(yè)。34根據(jù)(gnj)場(chǎng)的散度和旋度特點(diǎn)，可以將場(chǎng)分為四大類：(1)0;0FFFf 20fLaplaces Equation求解(qi ji)f求解(qi ji)矢量場(chǎng)紅圈表示的有源區(qū)域，在無(wú)源區(qū)域的場(chǎng)為第一類場(chǎng)第一類場(chǎng)的典型代表是無(wú)源區(qū)域的靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)第33頁(yè)/共43頁(yè)第三十四頁(yè)，共43頁(yè)。35(2)0;0FFFf 2f PoissonsEquatio

24、n求解(qi ji)f求解(qi ji)矢量場(chǎng)紅圈表示(biosh)的有源區(qū)域，在有源區(qū)域的場(chǎng)為第二類場(chǎng)第二類場(chǎng)的典型代表為有源區(qū)域的靜電場(chǎng)第34頁(yè)/共43頁(yè)第三十五頁(yè)，共43頁(yè)。36(3)0;0FFFA AJ第三類場(chǎng)的典型代表為有源區(qū)域(qy)的靜磁場(chǎng)0A2AAA 2AJ Poissons vector Equation求解(qi ji)A求解(qi ji)矢量場(chǎng)第35頁(yè)/共43頁(yè)第三十六頁(yè)，共43頁(yè)。37(4)0;0FFFGH0;0GG0;0HHGf HA FAf 時(shí)變電磁場(chǎng)屬于(shy)該類型。第36頁(yè)/共43頁(yè)第三十七頁(yè)，共43頁(yè)。38Laplaces Operator標(biāo)量(bioling)算子：u uuuxyzxyzxyzxyz 222222uuuxyz222222uxyz2u 標(biāo)量(bioling)Laplaces Operator22 (應(yīng)該(ynggi)知道)直角坐標(biāo)系: 2222222uxyz柱坐標(biāo)系： 22222211uuuuz球坐標(biāo)系： 22222222111sinsinsinuuuurrrrrr第37頁(yè)/共43頁(yè)第三十八頁(yè)，共43頁(yè)。39矢量(shlin