理論力學(xué)第十章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程(Y)

1、第三篇第三篇 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析畫速度、加速度圖畫速度、加速度圖靜力學(xué)靜力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)受力分析受力分析畫受力圖畫受力圖質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本定律一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本定律二、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程二、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程三、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題三、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題 一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本定律一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本定律第一定律第一定律 ( (慣性定律慣性定律):):不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。常矢量常矢量vaF00不受力作用的質(zhì)點(diǎn)是不存在的，指作用于質(zhì)點(diǎn)上合力為零。不受力作用的質(zhì)點(diǎn)是不存在的，指作用于質(zhì)

2、點(diǎn)上合力為零。質(zhì)點(diǎn)上作用的是平衡力系質(zhì)點(diǎn)上作用的是平衡力系慣性慣性物體具有保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的特征物體具有保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的特征第三定律第三定律 ( (作用與反作用定律作用與反作用定律):):兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等, ,方向方向相反相反, ,沿著同一直線沿著同一直線, ,且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。第二定律第二定律Fam力的單位力的單位: :牛牛 頓頓,2sm11kg1N在外力作用下，物體所獲得的加速度不僅與外力有關(guān)，在外力作用下，物體所獲得的加速度不僅與外力有關(guān)，而且還決定于物體本身的特征而且還決定于

3、物體本身的特征 m 慣性慣性maF，不不變變)1(物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)容易改變物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)容易改變慣性小慣性小在力的作用下物體所獲得的加速度的大小與作用力的大在力的作用下物體所獲得的加速度的大小與作用力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，方向與力的方向相同小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，方向與力的方向相同。 maF，不不變變)2(物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易改變物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不易改變慣性大慣性大合力矢合力矢二、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程二、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程iiFtrmFam22dd矢量形式的微分方程矢量形式的微分方程 1 1 、在直角坐標(biāo)軸上的投影、在直角坐標(biāo)軸上的投影kajaiaazyx zzyyxxFdtzdmz

4、mmaFdtydmymmaFdtxdmxmma222222 Fam2 2、在自然軸上的投影、在自然軸上的投影 0bnanaaa bbnnFaFvmmaFdtdvmma02 nnFvmmaFdtdvmma2混合問(wèn)題：混合問(wèn)題：對(duì)于多數(shù)非自由質(zhì)點(diǎn)，一般同時(shí)存在對(duì)于多數(shù)非自由質(zhì)點(diǎn)，一般同時(shí)存在 以上動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題以上動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題。第一類問(wèn)題：比較簡(jiǎn)單。第一類問(wèn)題：比較簡(jiǎn)單。 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，通常未知已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，通常未知 的是約束力。這是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程。的是約束力。這是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程。第二類問(wèn)題：比較復(fù)雜。第二類

5、問(wèn)題：比較復(fù)雜。 已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這是運(yùn)動(dòng)已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這是運(yùn)動(dòng) 微分方程的積分過(guò)程。微分方程的積分過(guò)程。 第一類問(wèn)題：第一類問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng), ,求作用于質(zhì)點(diǎn)的力求作用于質(zhì)點(diǎn)的力。第二類問(wèn)題：第二類問(wèn)題：已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力, ,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。三三 、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題 已知：已知：物體由高度物體由高度h 處以速度處以速度v0 水平拋出，如圖所示?？諝庾杷綊伋?，如圖所示?？諝庾?力可視為與速度的一次方成正比，即力可視為與速度的一次方成正比，即 ，其中，其中 m

6、為物體的質(zhì)量，為物體的質(zhì)量，v 為物體的速度，為物體的速度，k 為常系數(shù)。為常系數(shù)。 求：求：物體的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡。物體的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡。vFkm解：解：以物體為研究對(duì)象，分析物體任意位置的受力與運(yùn)動(dòng)。以物體為研究對(duì)象，分析物體任意位置的受力與運(yùn)動(dòng)。 列出物體直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程列出物體直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程()xyFkmvkm v iv j mgykmmgvkmymxkmvkmxmyx yvxvyxgykyxkx （1 1）xkx xxkvdtdvtvvxxkdtvdv00ktlnvlnv0 xktvvln0 xdtdxevvkt0 xtkt0 xdtevdx001 1kt0kt0

7、ekvekvxgyky （2 2）gkvdtdvyytvyydtgkvdvy00tlnggln(kvk1y )ktggkvlnyktyeggkvdtkgekgdytktyh)(0tkgekghykt)1 (2tkgekghykt)1 (21 1kt0kt0ekvekvx物體的運(yùn)動(dòng)方程物體的運(yùn)動(dòng)方程物體的運(yùn)動(dòng)軌跡物體的運(yùn)動(dòng)軌跡0002lnkvgxkxvvkghy已知：已知：圖示質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為圖示質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m ，受指向原點(diǎn)，受指向原點(diǎn)O 的力的力 作用，作用， 力與質(zhì)點(diǎn)到點(diǎn)力與質(zhì)點(diǎn)到點(diǎn)O 的距離成正比。如初瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)的距離成正比。如初瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) 為為 ， ，而速度的分量為，而速度的分量為

8、， 。試求：試求：質(zhì)點(diǎn)的軌跡。質(zhì)點(diǎn)的軌跡。 krF 0 xx 0y0 xv0vvy解：解：畫質(zhì)點(diǎn)受力圖（質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)）畫質(zhì)點(diǎn)受力圖（質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)）ykFymxkFxmyx 00ymkyxmkx 解法一：解法一：tmkBtmkAytmkBtmkAxsincossincos2211邊界條件定積分常數(shù)邊界條件定積分常數(shù) t=0 時(shí)時(shí)0 xx 0 xv0101BxA0y0vvykmvBA0220tmkkmvytmkxxsincos00tmkmkBtmkmkAvtmkmkBtmkmkAvyxcossincossin2211ykFymxkFxmyx 解法二：解法二：xkxm ykym （1 1

9、）kxdtdvmxdxdtdtdxkxdtmdvxdxkxdvvmxxxxvx002222022xkxkmvxdtdxxxmkvx220dtmkxxdxtxx02200（2 2）已知：已知：如圖所示，在三棱柱如圖所示，在三棱柱ABC 的粗糙斜面上，放一質(zhì)量為的粗糙斜面上，放一質(zhì)量為m 的物體的物體M，三棱柱以勻加速度三棱柱以勻加速度a 沿水平方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)摩擦沿水平方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)摩擦 系數(shù)為系數(shù)為 fs ，且，且 。為使物體。為使物體M 在三棱柱上處于在三棱柱上處于 相對(duì)靜止，相對(duì)靜止，試求：試求：a 的最大值，以及這時(shí)物體的最大值，以及這時(shí)物體M 對(duì)三棱柱的壓力。對(duì)三棱柱的壓力。tgsf解：解：

10、設(shè)物體設(shè)物體M 即將沿斜面上滑時(shí)，畫受力圖即將沿斜面上滑時(shí)，畫受力圖sincosmgFmaScossinmgFmaNNsSFfF gffasssincoscossinsincossNfmgF習(xí)題：習(xí)題：質(zhì)量為質(zhì)量為2kg的滑塊在力的滑塊在力F 作用下沿桿作用下沿桿AB 運(yùn)動(dòng)，桿運(yùn)動(dòng)，桿AB 在在 鉛直平面內(nèi)繞鉛直平面內(nèi)繞A 轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。已知：已知： ， （s 的單位：的單位：m； 的單位：的單位：radrad； t 的單位：的單位：s），滑塊與桿），滑塊與桿AB的摩擦系數(shù)為的摩擦系數(shù)為0.10.1。 求：求： 時(shí)，推動(dòng)滑塊力時(shí)，推動(dòng)滑塊力F 的大小。的大小。t4 . 0st5 . 0st2解：

11、解：（1 1）滑塊的速度分析）滑塊的速度分析avevrvreavvv04 . 0t4 . 0rradtdsvs05 . 0t5 . 0dtd01 . 02 . 02eneeatsatsvcreneaaaaaa4 . 02rvacrev與垂直，垂直，caneaevrvavneacasinmgFFmamaSneaxsinmgmaNfFnes2 . 01 . 02tsane066.2821801t5 . 0radst2N23.17FcosmgNmamacay)cos(cagmNcreneaaaaaa已知：已知：圖示一小球從半徑為圖示一小球從半徑為R的光滑半圓柱體的頂點(diǎn)無(wú)初速地的光滑半圓柱體的頂點(diǎn)無(wú)初

12、速地 沿柱體下滑。沿柱體下滑。 求：求：（1）寫小球沿圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方程；寫小球沿圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方程； （2 2）小球脫離圓柱體時(shí)的角度）小球脫離圓柱體時(shí)的角度 。 解：解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析小球任意位置的受力與運(yùn)動(dòng)。以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析小球任意位置的受力與運(yùn)動(dòng)。 列寫小球自然坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程列寫小球自然坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程N(yùn)mgRvmmgdtdvmcossin2 RdtdvaRS Rdtdsv小球沿圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方程為小球沿圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方程為 singR 000t初始條件：初始條件：dddddtddtd 00sindgdRcos122Rgcos122gRvdtdRRd

13、tdsvcos12gRvtdtRgd002cos1RS 0N脫離約束的條件為脫離約束的條件為 ，由此得出當(dāng)，由此得出當(dāng)02cos3 mgmg19.4832cos32cos1小球脫離圓柱體小球脫離圓柱體cos122gRvmgmgN2cos3NmgRvmmgdtdvmcossin2例例22 長(zhǎng)長(zhǎng)l，質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿 AB 和和 BC 用鉸鏈用鉸鏈 B 聯(lián)接，并用鉸鏈聯(lián)接，并用鉸鏈 A 固定，固定，位于平衡位置。今在位于平衡位置。今在 C 端作用一水平端作用一水平力力F，求此瞬時(shí)，兩桿的角加速度。求此瞬時(shí)，兩桿的角加速度。解：分別以解：分別以AB和和BC為研究對(duì)象，受力為研究對(duì)象，受

14、力如圖。如圖。 AB和和BC分別作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面分別作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)。對(duì)運(yùn)動(dòng)。對(duì)AB由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程得由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程得21(1)3ABBxmlF lABFAxFBxFByaBWABCBAFFAyBC作平面運(yùn)動(dòng)，取作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)，則為基點(diǎn)，則nGBGBGBaaaa將以上矢量式投影到水平方向，得將以上矢量式投影到水平方向，得2lGxBGBABBCaaal(4)由由(1) (1) (4)(4)聯(lián)立解得聯(lián)立解得630,77ABBCFFmlml 2,0nlBABGBBCGBalaa對(duì)對(duì)BC由剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程得由剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程得GxBxmaFF(2)211222BCBx

15、llmlFF(3)BGCBCFWaGxaGyaGBFByFBxO例例23平板質(zhì)量為平板質(zhì)量為m1，受水平力受水平力F 作用而沿水平面運(yùn)動(dòng)，板作用而沿水平面運(yùn)動(dòng)，板與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為f ，平板上放一質(zhì)量為平板上放一質(zhì)量為m2的均質(zhì)的均質(zhì)圓柱，它相對(duì)平板只滾動(dòng)不滑動(dòng)，求平板的加速度。圓柱，它相對(duì)平板只滾動(dòng)不滑動(dòng)，求平板的加速度。 解：取圓柱分析，解：取圓柱分析，21Om aF于是得：于是得：11222,NFFm gm r122OFaaramFaCFN1F1m2gaaO120NFm g22112m rFr1213Fm a121FFFam11120()NNNFm gFFmm ggmmfF)(21211221()3m aFf mm gm a1212()13Ff mm gammFN1F1FN2F2m1gFa取板分析取板分析例例24行星齒輪機(jī)構(gòu)的曲柄行星齒輪機(jī)構(gòu)的曲柄 OO1受力偶受力偶 M 作用而繞固定鉛直軸作用而繞固定鉛直軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)齒輪O1在固定水平齒輪在固定水平齒輪O 上滾動(dòng)如圖所示。設(shè)上滾動(dòng)如圖所示。設(shè)曲柄曲柄 OO1為均質(zhì)桿，長(zhǎng)為均質(zhì)桿，長(zhǎng)l、重重 P；齒輪齒輪 O1為均質(zhì)圓盤，半徑為均質(zhì)圓盤，半徑 r 、重重 Q。試求曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。試求曲柄的