初中數(shù)學探究性問題的設計

1、初中數(shù)學探究性問題的設計1 什么是數(shù)學探究性問題數(shù)學探究性問題是由探究性內(nèi)容目標特征和探究性行為目標特征構(gòu)成的數(shù)學問題系統(tǒng)探究性內(nèi)容目標特征是指在數(shù)學問題系統(tǒng)的四個要素條件、解題依據(jù)、解題方法、結(jié)論中，通過對其中的某幾個（至少兩個）要素進行分析、綜合、觀察、歸納、概括、推理、判斷等一系列探究活動而確定其他要素的問題特征；探究性行為目標特征是指在問題的解決過程中，通過操作、觀察、猜測、思考獲得的感性經(jīng)驗，體現(xiàn)主動的、建構(gòu)的、體驗的、發(fā)現(xiàn)的學習方式等行為特征我們通俗地解釋為：數(shù)學探究性問題是指在問題的解決過程中，以學生獨立自主或合作討論為學習形式，運用操作、猜想、分析、實驗、推理、歸納、發(fā)現(xiàn)等學習

2、方式解決的數(shù)學問題2 數(shù)學探究性問題設計的類型初中數(shù)學探究性問題可按年級分類型進行設計，每個年級可分成“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐”四部分，每一部分又可分為操做實驗型、探索規(guī)律性、應用探究型、閱讀探究型、推理探究型等類型下面通過舉例來說明21 操作實驗型操作實驗型問題設計，一般是幾何圖形通過折、剪、拼等幾何實驗或是對圖形的分割與重組，進行動手實踐的問題在解決問題時，需要通過平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似等基本的圖形變換，運用代數(shù)、幾何知識對圖形進行分析、計算、證明、探索和發(fā)現(xiàn)問題的各種答案，并對數(shù)學本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領悟，使學生的認知結(jié)構(gòu)得到有效的發(fā)展設計實驗1：正方形拼圖請按照要求

3、進行正方形拼圖并分析規(guī)律問題1：如圖1，把兩個邊長為1的正方形重新分割，請?zhí)骄渴欠衲芷闯梢粋€新的正方形若能，請說明有幾種拼法（畫出裁剪線和拼圖），并求出新正方形的邊長；若不能，請說明理由問題2：如圖2，把兩個邊長為2和1的正方形重新分割，請?zhí)骄渴欠衲芷闯梢粋€新的正方形若能，請說明有幾種拼法（畫出裁剪線和拼圖），并求出新正方形的邊長；若不能，請說明理由問題3：如圖3，把兩個邊長分別為和的正方形重新分割，請?zhí)骄渴欠衲芷闯梢粋€新的正方形若能，請說明有幾種拼法（畫出裁剪線和拼圖），并求出新正方形的邊長；若不能，請說明理由問題4：說說從上述三個問題的探究過程中，你發(fā)現(xiàn)正方形拼圖有什么規(guī)律通過對本題的探究

4、，從特殊到一般情形，將兩個正方形重新分割后拼成一個新的正方形，讓學生體會到：拼圖實際上是圖形的變換，在圖形變換過程中圖形的面積保持不變；在問題3中，新正方形的邊長可以利用變換前后面積不變的等量關系列方程求解；拼圖的關鍵是找能拼接的邊和全等的圖形這也是對本題中數(shù)學本質(zhì)的一種領悟22 探索規(guī)律型探索規(guī)律型問題設計，一般先給出前三項，讓學生探索第四項或后面某個特定的項，再探索第項的規(guī)律這樣由特殊到一般，由簡單到復雜，逐步深入通過操作、猜想、運算、推理、歸納等深層次的探索活動得到答案此類題目形式豐富多樣，內(nèi)容覆蓋廣泛，可涉及初中“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個學習領域的內(nèi)容，

5、也是各省市中考命題中常見的一種題型設計實例2：標準紙問題我們把長和寬之比為的矩形紙片稱為標準紙不難發(fā)現(xiàn)：將一張標準紙一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標準紙（如圖4）現(xiàn)有一張標準紙兩邊、分別等于和，則第4次對開后所得標準紙的周長是 ，第2013次對開后所得標準紙的周長是 ，第次對開后所得標準紙的周長是 本題探索第次對開后所得標準紙的周長，難度較大因此，設計了先求第4次和第2013次對開后所得標準紙的周長，解決問題時，要求學生能通過觀察、實驗、歸納、推理獲得猜想，并綜合運用相似形、矩形的性質(zhì)解決實際問題這樣的問題設計符合初中階段學生的思維特點，可以培養(yǎng)學生在合情推理的基礎上再用所學知識進行驗證

6、并推斷出正確結(jié)論的能力23 閱讀探究型閱讀探究型問題設計，一般用于新定義（新概念）、方法類比、判斷推理或遷移發(fā)展等類型的問題通過閱讀理解，用新定義（新概念）解決的一個相關問題；或類比提供的材料中所述的過程方法，去解決類似的相關問題；或?qū)μ峁┑牟牧线M行歸納概括，依據(jù)對材料本質(zhì)的理解進行推理，作出解答；或從提供的材料中，通過閱讀理解其采用的思想方法，將其概括抽象成數(shù)學模型去解決類似更高層次的相關命題設計實例3：閱讀材料：如圖5，過ABC的三個頂點分別作與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高”（h）我們可得出一

7、種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半證明：（其中，、是直線與外側(cè)兩直線之間的距離）研究拓展我們?nèi)绻袮BC放到平面直角坐標系中來研究（如圖6），設，則鉛垂高：，水平寬：問題探究：如圖7，拋物線頂點坐標為C（1，4）交x軸于點A（3，0），交y軸于點B.（1）求拋物線和直線AB的函數(shù)解析式；（2）設點P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點，連接、，當點運動到頂點時，求的鉛垂高及；（3）在（2）的條件下，是否存在一點P，使，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由這是一個運用新概念解決問題的典例通過閱讀材料，讓學生讀懂在平面內(nèi)三角形面積的推廣公式，并運用到平面直角

8、坐標系內(nèi)，用坐標表示三角形的面積公式，再在綜合題中運用三角形面積公式解決相關問題問題由淺入深，符合學生的認知規(guī)律，有利于培養(yǎng)學生的閱讀探究能力24 應用探究型應用探究型問題設計，要與學生的生活實際緊密聯(lián)系，問題的背景盡可能是學生熟悉的，以引起學生探究的興趣常見的問題背景有通訊收費、按揭貸款、存款利息、打折銷售、工資待遇、運輸費用、工程造價、旅游價格、行程問題等問題的設計要注意讓學生通過探究感受到“生活處處有數(shù)學”，同時讓學生獲取生活智慧設計實例4：問題背景：今年四月份，李大叔收獲洋蔥30噸，黃瓜13噸現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共10輛將這兩種蔬菜全部運往外地銷售，已知一輛甲種貨車可裝洋蔥4噸或黃

9、瓜1噸，一輛乙種貨車可裝洋蔥和黃瓜各2噸探究1：李大叔安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫助設計出來探究2：若甲種貨車每輛要付運費2000元，乙種貨車每輛付運費1300元，請你幫助李大叔算一算應選哪種方案，才能使運費最少？最少運費是多少？這是一個運輸問題，背景是李大叔銷售收獲的洋蔥和黃瓜，需要租車問題的探究點：一是設計租車方案；二是探究運費最省的方案這樣的設計，不僅可以激發(fā)學生主動探究的熱情，而且也提高了問題本身的價值應用探究型問題能充分體現(xiàn)數(shù)學建模的特點和過程，它具有教強的挑戰(zhàn)性、探索性、實用性，并可以在不同水平上運用多種模型來分析和求解25 推理探究型推理探究型問題設計，既要重視邏輯推理

10、，又要重視觀察實驗、探索猜測、類比歸納等合情推理在封閉性證明題中，將要證明的結(jié)論隱去，并改用“是否存在”“是否成立”等問句表述，就可將原證明題設計成探究型問題有些特殊的封閉性問題，將其特殊的條件加以推廣，也可以得到推理探究型問題課本的例題和習題中有不少證明題可以通過增加、變換情境，改變設問方式，將封閉性問題改為推理探究型問題設計實例5：已知，如圖8（1），在正三角形ABC中，M，N分別是AC，AB上的點，BM與CN相交于點O，若BON=60°，試問BM與CN相等嗎？請說明理由拓展探究1：如圖8（2），在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點，BM與CN相交于點O，若BON=9

11、0°，試問BM與CN相等嗎？請說明理由拓展探究2：如圖8（3），在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，試問BM與CN相等嗎？請說明理由拓展探究3：如圖8（4），在正n（n3）邊形ABCDEF中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，試問當BON等于多少度時，結(jié)論BM=CN成立？此題原本是一個封閉性的證明題，將原題的問題“證明BM=CN”改成“試問BM與CN相等嗎？請說明理由”，并將特殊的條件“正三角形ABC，BON=60°”拓展到“正方形ABCD，BON=90°”繼續(xù)探究原結(jié)論是否成立，在拓展探究2中又隱去了條件“BON=108°”，使得結(jié)論更加開放，最后推廣到在正（）邊形中探究結(jié)論成立的條件這樣的設計，通過一步步的推理探究，由易到難，由簡單到復雜，由具體到抽象，結(jié)論由單一到多元，拾級而上設計的問題有認識基礎，引人入勝，容易激發(fā)學生探究的欲望數(shù)學探究性問題的價值不僅在于鞏固知識、反饋信息，更重要的是在自主探索與