激光原理-光學諧振腔理論1

1、激光原理與技術黨學明儀器科學與光電工程學院合肥工業(yè)大學第二章 光學諧振腔理論概述第一節(jié) 光學諧振腔的基本知識第二節(jié)光學諧振腔的損耗第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論 第三節(jié)光學諧振腔的穩(wěn)定性條件 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征第八節(jié) 高斯光束第九節(jié) 非穩(wěn)腔的模式理論概述光學諧振腔是常用激光器的三個主要組成局部之一。與微波腔相比,光頻腔的主要特點是側面敞開以抑制振蕩模式,軸向尺寸遠大于光波長和腔的橫向尺寸。從理論上分析時,通常認為其側面沒有邊界,因此,將其稱為開放式光學諧振腔。本章主要針對這類開放式光腔進行討論。概述光學諧振

2、腔理論研究的根本問題是:光頻電磁場在腔內(nèi)的傳輸規(guī)律從數(shù)學上講是求解電磁場方程的本征函數(shù)和本征值。由于開放式光腔側面不具有確定的邊界,一般情況下不能在給定邊界條件下對經(jīng)典電磁場理論中的波動方程嚴格求解。因此,常采用一些近似方法來處理光腔問題。 概述常用的近似研究方法包括:1.幾何光學分析方法在幾何光學近似下,光的波動性不起主要作用,可將光看成光線用幾何光學方法來處理。對于光學諧振腔來說,當腔的菲涅耳數(shù)遠大于1時,光在其中往返傳播時橫向逸出腔外的幾何損耗遠大于由于腔鏡的有限尺寸引起的衍射損耗。此時可用幾何光學的方法來處理腔的模式問題。這種方法的優(yōu)點是簡便、直觀,主要缺點在于不能得到腔的衍射損耗和腔

3、模特性的深入分析。概述2.矩陣光學分析方法矩陣光學使用矩陣代數(shù)的方法研究光學問題,將幾何光線和激光束在光腔內(nèi)的往返傳播行為用一個變換矩陣來描寫,從而推導出諧振腔的穩(wěn)定性條件。此外,利用高斯光束的ABCD定律和模的自再現(xiàn)條件能夠推導出用矩陣元形式表示的光腔本征方程的模參數(shù)公式,便于光腔的設計和計算。這種方法的優(yōu)點在于處理問題簡明、標準,易于用計算機 概述3.波動光學分析方法 從波動光學的菲涅耳-基爾霍夫衍射積分理論出發(fā),可以建立一個描述光學諧振腔模式特性的本征積分方程。 利用該方程原那么上可以求得任意光腔的模式,從而得到場的振幅、相位分布,諧振頻率以及衍射損耗等腔模特性。雖然數(shù)學上已嚴格證明了本

4、征積分方程解的存在性,但只有在腔鏡幾何尺寸趨于無窮大的情況下,該積分方程的解析求解才是可能的。 對于腔鏡幾何尺寸有限的情況,迄今只對對稱共焦腔求出了解析解。 多數(shù)情況下,需要使用近似方法求數(shù)值解。雖然衍射積分方程理論使用了標量場近似,也不涉及電磁波的偏振特性,但與其他理論相比,仍可認為是一種比較普遍和嚴格的理論。概述本章中采用矩陣光學方法來討論諧振腔的穩(wěn)定性,用衍射積分方程理論處理諧振腔的模式問題。光學諧振腔中的光場分布以及輸出到腔外的光束都是高斯光束形式,其特性和諧振腔密切相關,因此,也在本章中討論。本章的最后采用幾何光學分析方法對非穩(wěn)腔進行簡單討論。 概述本章中只研究無源諧振腔,又稱非激活

5、腔或被動腔,即無激活介質(zhì)存在的腔。雖然處于運轉(zhuǎn)狀態(tài)的激光器的諧振腔都是存在增益介質(zhì)的有源腔(又稱激活腔或主動腔),但理論和實踐說明,對于中、低增益的激光器,無源腔的模式理論可以作為有源腔模式的良好近似。對于高增益激光器,適當加以修正也是適用的。這是由于激活介質(zhì)的主要作用在于補償腔內(nèi)本征模在振蕩過程中能量的損耗,使之滿足諧振條件,形成和維持自激振蕩。其對場的空間分布以及諧振頻率的影響是次要的,不會使腔的模式發(fā)生本質(zhì)的改變。第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識 本節(jié)主要討論光學諧振腔的構成、分類、作用,以及腔模的概念光學諧振腔的構成和分類根據(jù)結構、性能和機理等方面的不同,諧振腔有不同的分類方式。按能否忽略

6、側面邊界,可將其分為開腔、閉腔氣體波導腔第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識 開腔而言：根據(jù)腔內(nèi)傍軸光線幾何逸出損耗的上下,又可分為穩(wěn)定腔、非穩(wěn)腔及臨界腔;按照腔鏡的形狀和結構,可分為球面腔和非球面腔;就腔內(nèi)是否插入透鏡之類的光學元件,或者是否考慮腔鏡以外的反射外表,可分為簡單腔和復合腔;根據(jù)腔中輻射場的特點,可分為駐波腔和行波腔;從反響機理的不同,可分為端面反響腔和分布反響腔;根據(jù)構成諧振腔反射鏡的個數(shù),可分為兩鏡腔和多鏡腔等。第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識 2. 作用光學諧振腔的作用主要有兩方面:提供軸向光波模的光學正反響;通過諧振腔鏡面的反射,軸向光波?？稍谇粌?nèi)往返傳播,屢次通過激活介質(zhì)而得到受激

7、輻射放大, 從而在腔內(nèi)建立和維持穩(wěn)定的自激振蕩。光腔的這種光學反響作用主要取決于腔鏡的反射率、幾何形狀以及之間的組合方式。這些因素的改變將引起光學反響作用的變化,即引起腔內(nèi)光波模損耗的變化。 第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識 控制振蕩模式的特性。由于激光模式的特性由光腔結構決定,因此,可通過改變腔參數(shù)實現(xiàn)對光波模特性的控制。通過對腔的適當設計以及采取特殊的選模措施,可有效控制腔內(nèi)實際振蕩的模式數(shù)目,使大量光子集中在少數(shù)幾個狀態(tài)中,從而提高光子簡并度,獲得單色性和方向性好的相干光。通過調(diào)節(jié)腔的幾何參數(shù)可直接控制激光模的橫向分布特性、光斑半徑、諧振頻率以及遠場發(fā)散角等。第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識 3

8、. 腔模無論是閉腔或是開腔，都將對腔內(nèi)的電磁場施以一定的約束。一切被約束在空間有限范圍內(nèi)的電磁場都將只能存在于一系列分立的本征狀態(tài)之中，場的每一個本征態(tài)將具有一定的振蕩頻率和一定的空間分布。在激光技術的術語中，通常將光學諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場的本征態(tài)稱為腔的模式。從光子的觀點來看，激光模式也就是腔內(nèi)可能區(qū)分的光子的狀態(tài)。同一模式內(nèi)的光子具有完全相同的狀態(tài)。每一種模式都具有確定的根本特征,主要包括 第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識 電磁場分布,特別是在腔的橫截面內(nèi)的場分布;諧振頻率;在腔內(nèi)往返一次所經(jīng)受的相對功率損耗;相對應的激光束的發(fā)散角。由于腔內(nèi)電磁場的本征態(tài)由Maxwell方程組和腔的邊界條

9、件決定,因此不同類型和結構的諧振腔的模式也將各不相同。一旦給定了腔的具體結構,其中振蕩模的特征也就隨之確定下來。光學諧振腔理論就是研究腔模式的根本特征,以及模與腔結構之間的具體依賴關系。原那么上說只要知道了腔的參數(shù)，就可以唯一地確定模的上述特征。第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識腔內(nèi)電磁場的空間分布可分解為沿傳播方向(腔軸線方向)的分布和在垂直于傳播方向的橫截面內(nèi)的分布。其中,腔模沿腔軸線方向的穩(wěn)定場分布稱為諧振腔的縱模,在垂直于腔軸的橫截面內(nèi)的穩(wěn)定場分布稱為諧振腔的橫模。 1縱模F-P腔：多光束干預理論可知,發(fā)生相長干預的條件是:波從某一點出發(fā),經(jīng)腔內(nèi)往返一周再回到原來位置時,應與初始出發(fā)波同相。

10、第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識對于非均勻介質(zhì)：所以： 平面腔中沿軸向傳播的平面波的諧振條件。q 稱為腔的諧振波長,q 稱為腔的諧振頻率。平面腔中的諧振頻率是分立的。 可以將FP腔中滿足的平面駐波場稱為腔的本征模式。其特點是：在腔的橫截面內(nèi)場分布是均勻的，而沿腔的軸線方向(縱向)形成駐波，駐波的波節(jié)數(shù)由q決定。通常將由整數(shù)q所表征的腔內(nèi)縱向場分布稱為腔的縱模。不同的q值相應于不同的縱模。q稱為縱模序數(shù)。 第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識當整個光腔內(nèi)充滿折射率為n 的均勻物質(zhì)時，有 由于光頻諧振腔的腔長遠大于光波波長,整數(shù)q通常具有104 106 數(shù)量腔的兩個相鄰縱模頻率之差q稱為縱模的頻率間隔,簡稱縱

11、模間隔腔長L越小，縱模間隔越大。 有什么用處？ 什么是頻率梳？第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識2橫模這種穩(wěn)態(tài)場經(jīng)一次往返后,唯一可能的變化僅是,鏡面上各點場的振幅按同樣的比例衰減,各點的相位發(fā)生同樣大小的滯后。鏡面上各點場的振幅按同樣的比例衰減,各點的相位發(fā)生同樣大小的滯后。這種在腔反射鏡面上形成的經(jīng)過一次往返傳播后能自再現(xiàn)的穩(wěn)定場分布稱為自現(xiàn)?；驒M模。對于兩個鏡面完全相同的對稱腔來說,這種穩(wěn)定場分布經(jīng)單程傳播后即可實現(xiàn)自再現(xiàn)。綜上所述,激光的橫模,實際上就是諧振腔所允許的(也就是在腔內(nèi)往返傳播,能保持相對穩(wěn)定不變的)光場的各種橫向穩(wěn)定分布。第一節(jié) 光學諧振腔的根本知識不同的縱模和橫模具有不同的光

12、場分布和振蕩頻率。但對于縱模來說,其光場分布之間的差異很小,一般只從頻率的差異來區(qū)分不同的縱模。不同橫模之間的光場分布差異較大,很容易從強度把戲來區(qū)分。需要注意的是,不同的橫模之間,也存在頻率差異。TEM00 10 20 10 11第二節(jié)光學諧振腔的損耗光學諧振腔一方面具有光學正反響作用,另一方面也存在各種損耗。損耗的大小是評價諧振腔質(zhì)量的一個重要指標,決定了激光振蕩的閾值和激光的輸出能量。本節(jié)將分析無源開腔的損耗,并討論表征無源腔質(zhì)量的品質(zhì)因數(shù)Q值及線寬。一、損耗及其描述(1)幾何偏折損耗:光線在腔內(nèi)往返傳播時，可能從腔的側面偏折出去，我們稱這種損耗為幾何偏折損耗。其大小首先取決于腔的類型和

13、幾何尺寸。第二節(jié)光學諧振腔的損耗2衍射損耗 從波動光學觀點來看,由于腔反射鏡面幾何尺寸是有限的,光波在腔內(nèi)往返傳播時必然因腔鏡邊緣的衍射效應而產(chǎn)生損耗。如果在腔內(nèi)插入其他光學元件,還應當考慮其邊緣或孔徑的衍射引起的損耗。通常將這類損耗稱為衍射損耗,可由求解腔的衍射積分方程得出,其大小與腔的菲涅耳數(shù)、腔的幾何參數(shù)以及橫模階數(shù)等都有關系。第二節(jié)光學諧振腔的損耗(3)腔鏡反射不完全引起的損耗。這局部損耗包括鏡中的吸收、散射以及鏡的透射損耗。通常光腔至少有一個反射鏡是局部透射的，有時透射率可能很高(例如，某些固體激光器的輸出鏡透射率可以50)，另一個反射鏡即通常所稱的“全反射鏡，其反射率也不可能做到1

14、00。(4)材料中的非激活吸收、散射，腔內(nèi)插入物(如布儒斯特鏡，調(diào)Q元件、調(diào)制器等)所引起的損耗，等等。第二節(jié)光學諧振腔的損耗上述(1)、(2)兩種損耗又常稱為選擇損耗，不同模式的幾何損耗與衍射損耗各不相同。(3)、(4)兩種損耗稱為非選擇損耗，通常情況下它們對各個模式大體一樣。 不管損耗的起源如何,均可用“平均單程損耗因子(簡稱單程損耗因子)來定量描述。該因子的定義為：如果初始光強為I0，在無源腔內(nèi)往返一次后，光強衰減為I1那么：第二節(jié)光學諧振腔的損耗 如果損耗是由多種因素引起的，每一種原因引起的損耗以相應的損耗因子i描述，那么有也可用單程渡越時光強的平均衰減百分數(shù)來定義單程損耗因子：顯然，

15、當損耗很小時，這樣定義的單程損耗因子與前面定義的指數(shù)損耗因子是一致的第二節(jié)光學諧振腔的損耗常見損耗舉例:1由鏡反射不完全所引起的損耗以r1和r2分別表示腔的兩個鏡面的反射率(即功率反射系數(shù))，那么初始強度為Io的光，在腔內(nèi)經(jīng)兩個鏡面反射往返一周后，其強度I1應為按的定義，對由鏡面反射不完全所引入的損耗因子1，應有因此當r1r2 1時第二節(jié)光學諧振腔的損耗2腔鏡傾斜時的幾何損耗當平面腔的兩個鏡面構成小的角度 時，光在兩鏡面間經(jīng)有限次m往返后必將逸出腔外。式中D為平面腔的橫向尺寸直徑注意到往返時間為t02L/c,即可求得光子的平均壽命及相應的第二節(jié)光學諧振腔的損耗傾斜腔的損耗與，L，D均有關,sq

16、rt( )，且隨L的增大及D的減小而增加例：D=1cm，L=1m計算，為了保證a, cosl， 被積函數(shù)分母可取近似L， 但在指數(shù)因子中不能用L 要根據(jù)不同腔形采取合理近似。當光場在腔內(nèi)經(jīng)q次渡越后，在鏡面M2上的場uq+1(x，y)與鏡面M1上的場uq(x，y)之間有類似的關系。第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論 二、自再現(xiàn)模所應滿足的積分方程式光場經(jīng)足夠?qū)掖瓮刀稍胶?相當q-)，那么每次渡越時變化越來越小，最后鏡面上的場分布將趨于穩(wěn)定狀態(tài)。繼續(xù)傳播時，鏡面上的場分布應該自再現(xiàn)。這種特殊的穩(wěn)定的場分布稱為自再現(xiàn)場或腔的自再現(xiàn)模。對于對稱腔情況，由“自再現(xiàn)要求，兩鏡面上的場分布，除了相差一個與位置

17、坐標無關的復常數(shù)因子 (因而表示為振幅衰減和相位滯后)外，是完全相同的，因此自再現(xiàn)模的數(shù)學表達式為第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論 并考慮對稱腔有SiSiis用v (x,y)表示鏡面上這一不受衍射影響的穩(wěn)定場分布函數(shù)，那么有 式中,K(x,y, x,y)稱為積分方程的核稱為諧振腔的衍射積分方程或光腔的本征方程。滿足方程的任意一個函數(shù)v(x，y)稱為光腔的本征函數(shù)，相應的常數(shù)為本征值，一個本征函數(shù)代表腔內(nèi)一個自再現(xiàn)模(即橫模)，表示在鏡面上的一種場分布。一般而言，v(x,y)為復數(shù)，它的模|v(x,y)|描述鏡面上的振幅分布，而輻角argv(x,y)那么描述鏡面上場的相位分布。第四節(jié) 諧振腔的衍射積

18、分理論 三、 積分方程解的物理意義由于積分方程是二維的,故需要兩個模參數(shù)來區(qū)分這些不同的橫模。本征函數(shù)一般為復函數(shù),其模描述開腔鏡面上光場的振幅分布;輻角那么描述鏡面上光場的相位分布。本征值也為復函數(shù),其振幅和相位都具有直接的物理意義自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越所經(jīng)受的平均相對功率損耗稱為模的平均單程損耗,簡稱單程損耗。在對稱開腔情況下,模的單程損耗為第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論 說明單程損耗隨橫模模式的不同而不同,并且|mn |愈大,模的單程損耗愈大。mn 代表了自再現(xiàn)模在理想開腔中完成一次渡越時的總損耗,此損耗包括光束橫向幾何偏折損耗,同時也包括了衍射損耗。以后將這類由諧振腔的幾何結構所引起的能

19、量損失(不包括諸如腔內(nèi)介質(zhì)的吸收、散射等類型的損失)統(tǒng)稱為衍射損耗。第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論 自再現(xiàn)模在腔內(nèi)經(jīng)單程渡越的總相移定義為為使自再現(xiàn)模在腔內(nèi)形成穩(wěn)定振蕩,必須滿足多光束相長干預條件:其在腔內(nèi)往返一次的總相移為2的整數(shù)倍。因此,對稱開腔自再現(xiàn)模的諧振條件為:由此式可確定模的諧振頻率。 可見,mn 的模度量自再現(xiàn)模的單程損耗,其輻角度量自再現(xiàn)模的單程相 移,從而也決定了模的諧振頻率。第四節(jié) 諧振腔的衍射積分理論 對稱開腔:自再現(xiàn)模積分方程的本征函數(shù)決定了鏡面上不同橫模光場的振幅和相位分布。本征值決定了不同橫模的單程損耗、單程相移以及諧振頻率。非對稱開腔:按光場在腔內(nèi)往返一周才能自再現(xiàn)

20、這一條件寫出相應的積分方程。此時,方程的本征函數(shù)解只能確定某一個鏡面上的穩(wěn)態(tài)場分布,本征值的模表示自再現(xiàn)模在腔內(nèi)往返一次的功率損耗,輻角表示模往返一次的相移。第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模平行平面腔的自再現(xiàn)模所滿足的積分方程至今尚未得到精確的解析解:本節(jié)首先給出矩形平行平面鏡腔模式積分方程的具體形式,然后介紹條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模積分方程的數(shù)值迭代解法,并根據(jù)計算結果分析條形鏡平行平面腔自再現(xiàn)模的特征。第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模一、平行平面腔的模式積分方程設矩形腔鏡的邊長為2a和2b,且a、b、L、之間滿足如下關系:La,b將按(xx)/L, (y-y)/L的冪級數(shù)展開為：第五節(jié) 平行平面腔

21、的自再現(xiàn)模當滿足條件a2/L(L/a)2和b2/L(L/b)2近似有:上述方程對x和y坐標是對稱的,可對其進行變量別離。令 vmn(x,y)=vm(x)vn(y)第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模將求解一個二元函數(shù)積分方程的問題轉(zhuǎn)化成求解兩個單元函數(shù)的積分方程。其中,第一式為在x方向?qū)挾葹?a, 沿y方向無限延伸的條形鏡平面腔的模式積分方程第二式為在y方向?qū)挾葹?b,沿x方向無限延伸的條形鏡平面腔的模式積分方程。由于這兩個方程的形式是完全一樣的,因而只須求解其中之一。第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模二、平行平面腔模的數(shù)值迭代解法利用數(shù)值迭代法求解自再現(xiàn)模式積分方程首先由?？怂购蛥柖σ闾岢?用該方法求得了

22、很多種類型諧振腔的數(shù)值解,給出了自再現(xiàn)模的各種特征,包括場的振幅和相位分布曲線,單程損耗和單程附加相移曲線等。因此也有人稱此方法為?？怂?厲迭代法。一般先設 u1=1 然后計算u2 歸一化 u2 計算 u3第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模迭代法的重要意義在于，用逐次近似計算直接求出了一系列自再現(xiàn)模，從而第一次證明了開腔模式的存在,已經(jīng)嚴格證明了開腔模的存在性，但迭代法卻更為直觀。迭代法能加深對模的形成過程的理解，因為它的數(shù)學運算過程與波在腔中往返傳播而最終形成自再現(xiàn)模這一物理過程相對應，而且用迭代法求出的結果使我們具體地、形象地認識了模的各種特征。迭代法雖然比較繁雜，但卻具有普遍的適用性，它原那么

23、上可以用來計算任何幾何形狀的開腔中的自再現(xiàn)模，而且還可以計算諸如平行平而腔中腔鏡的傾斜、鏡面的不平整性等對模的擾動.第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模特點是；在鏡面中心處振幅最大，從中心到邊緣振幅逐漸降落，整個鏡面上的場分布具有偶對稱性。我們將具有這種特征的橫模稱為腔的最低階偶對稱?；蚧！＞匦午R腔和圓形鏡腔的基模通常以符號TEM00表示。其中,振幅分布曲線為偶對稱形式,從鏡面中心到鏡邊緣光場振幅逐漸減小。相位分布曲線不是直線,而是有起伏的曲線,說明鏡面不是等相面,在鏡面邊緣處相位產(chǎn)生滯后。TEM00不僅不再是均勻平面波，而且也已經(jīng)不再是平面波了第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)

24、模對不同形式的初始激發(fā)波作類似計算可以得到條狀腔高階模的場分布。高階模振幅分布曲線出現(xiàn)零點,也就是在鏡面上出現(xiàn)節(jié)線,節(jié)線數(shù)與模階數(shù)一致。對于相同菲涅耳數(shù)的腔,高階模在鏡邊緣的相對場振幅比基模大,且隨模階數(shù)增高而增大,說明模階數(shù)越高,在鏡面上形成的光斑尺寸越大。高階模的相位分布那么在越過場節(jié)線時發(fā)生相位躍變。求出自再現(xiàn)模后,便可計算單程損耗和單程相移。條形鏡平面腔中基模與一階模的單程損耗與菲涅耳數(shù)之間的關系曲線如下圖。可見,對于同一橫模,唯一地由N值決定,且隨N的增大而減小。對于同一N值,隨模階次的增大而增大,其中基模的最低。第五節(jié) 平行平面腔的自再現(xiàn)模計算結果說明m僅有幾度到幾十度，因此相對q

25、可以忽略頻率間隔：單程相移為KL為單程結合相移，為附加單程相移，對于同一橫模由N唯一決定，且隨N的增大而增大，基模最低條形腔的自再現(xiàn)諧振頻率的計算公式第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模滿足條件R1R2=L的諧振腔稱為對稱共焦腔，這時腔的中心即為兩個鏡面的公共焦點。博伊德和戈登首先證明方形球面鏡共焦腔模式積分方程具有嚴格的解析函數(shù)解,它們是一組特殊定義的長橢球函數(shù),并且當腔的菲涅耳數(shù)足夠大時,可近似表示為厄米多項式與高斯函數(shù)乘積的形式。而對于圓形球面鏡共焦腔,本征函數(shù)的解為超橢球函數(shù),在腔的菲涅耳數(shù)足夠大的條件下,可近似表示為拉蓋爾多項式與高斯函數(shù)乘積的形式。據(jù)此,共焦腔模的一系列根本特征都可以解析地

26、表示出來。此外,共焦腔的模式理論還可用來研究一般穩(wěn)定球面腔系統(tǒng),因此在開腔模式理論中占有重要位置。 第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模一、方形自再現(xiàn)模所滿足的積分方程式及其精確解第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模按博伊德和戈登的方法進行變數(shù)代換，取令 ， 上式不存在交錯項：第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模在c為有限值時的本征函數(shù)為Som為角向長橢球函數(shù)。與vmn(xy)相應的本征值為第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模二、自再現(xiàn)模的特征1. 鏡面上場的振幅分布1厄米特高斯近似 當xa，y時厄米特高斯函數(shù)第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模并將X，Y換回鏡面上的直角坐標x，y，最后得出2基模取NM0，即得出共焦腔基模(TEM0

27、0模)的場分布函數(shù)第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)?；楦咚狗植?鏡面中心光最大,向邊緣平滑降落光斑的大小與反射鏡的橫向尺寸無關, 與波長和腔長有關(是共焦腔的一個重要特性。當然,這一結論只有在模的振幅分布可以用厄米-高斯函數(shù)近似表述的情況下才是正確)高斯光束的能量主要集中在束腰內(nèi)部第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模注意:常常用到邊界定義在1/2強度最大值的半徑(即半功率點處)的光斑尺寸w0s3高階橫模最初幾個高階橫模的振幅分布函數(shù)為:第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模特點:橫模在鏡面上的振幅分布取決于厄米多項式與高斯函數(shù)的乘積。厄米多項式的零點決定了場的節(jié)線,厄米多項式的正負交替變化與高斯函數(shù)隨x、y的增大

28、而單調(diào)下降的特性,決定了場分布的外形輪廓TEM mn 模沿x方向有m條節(jié)線,沿y方向有n條節(jié)線。這些節(jié)線的分布并不均勻,中心區(qū)域節(jié)線較密。高階模的光斑半徑須沿x、y方向分別進行計算,通常定義沿x、y方向光斑的有效半徑分別為:可見,模階次越高,有效模式半徑越大。第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模2. 相位分布 鏡面上場的相位分布由自再現(xiàn)模的輻角決定。由于v mn (x,y)是實函數(shù),argv mn (x,y)=0,因此,對任意階次的橫模來說,鏡面上各點場的相位均相同,共焦腔反射鏡本身構成場的一個等相位面。3. 單程損耗見2.25 p70第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模 由于共焦

29、腔的反射鏡有會聚作用,且共焦腔模主要集中在鏡面中心附近,因此,其損耗比平面腔模的損耗低好幾個數(shù)量級。 共焦腔各模式的損耗與腔的具體幾何尺寸無關,單值地由N確定,且隨著N的增加而迅速下降?；５膿p耗可近似按下述公式計算: 00=10.910 由于高階模的光斑隨著階次的增高而增大,能量分布也越偏離中心。因此,在同一菲涅耳數(shù)下,衍射損耗隨模階次的增高而迅速增大。利用共焦腔的這種橫模鑒別能力可進行橫模選擇。第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模4. 單程相移和諧振頻率 共焦腔TEMmn模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為所以諧振頻率:對于縱模第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模對于橫模: 與平面腔相比較:平面腔一般幾到幾十度上式

30、說明,q 、m 與n 屬于同一數(shù)量級,不再可以忽略,這說明共焦腔橫模序數(shù)對頻率的影響要比平面腔大得多。第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模三、方形球鏡共焦焦腔的行波場一旦知道鏡面上的光場,即可利用菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式求出諧振腔內(nèi)任一點的光場。(坐標原點選在腔的中心)第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模表示一個由鏡面上的場所產(chǎn)生的、并沿著腔的軸線方向傳播的行波場。當乘以輸出鏡的透過率后,可用來表示輸出到諧振腔外的場。這種行波場稱為厄米-高斯光束。振幅分布其中,基模的振幅分布為特點: 任意z處為高斯分布束腰分布滿足w (z) 2/w02 - z2/f2=1,z=0為極小值Z=f時 w(f)=w0s與以前一

31、致第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模2.模體積定義:某一模式的體積是指該模式在腔內(nèi)所擴展的空間范圍。模體積越大,說明對該模式的振蕩有奉獻的激活粒子就越多,從而可獲得較大的輸出功率。由于基模的光斑大小隨z變化,因此,對稱共焦腔的基模模體積可按下式進行:高階模:第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模3.等相位面分布共焦腔行波場的相位分布由式(2.120)中的(x,y,z)決定。與腔軸線相交于z0 點處的等相位面方程由 (x,y,z)=(0,0,z0 ) 所以:第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模上式說明,共焦腔行波場的等相位面是以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。 z00時,z-z00; z00,說明等相面是凹面向著腔中心的球面

32、。由R(f)=2f=L可知行波場的等相面與共焦腔反射鏡面重合。由R(0),R(),可知共焦腔中心位置以及距中心無限遠處的等相位面都是平面。由R(z0 )=0,得z0 =f,可見共焦腔反射鏡面是曲率最大的等相位面。第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模4.遠場發(fā)射角共焦腔的基模光束按雙曲線規(guī)律從腔中心向外擴展,不同位置處光束的發(fā)散角不同。通常,將遠場發(fā)散角定義為基模高斯光束的發(fā)散角:相應高階模的遠場發(fā)散角為理論計算說明,共焦腔基模光束的發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量級,其方向性相當好。由于高階模的發(fā)散角是隨模階次而增大,所以多模振蕩時,光束的方向性要比單基模振蕩差。第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模四、圓形球鏡共焦焦腔

33、圓形球面鏡共焦腔的處理方法與方形鏡相似,只是由于反射鏡的孔徑為圓形,因此采用極坐標系統(tǒng)(r,)來討論。其模式積分方程的精確解析解是超橢球函數(shù)系,可以證明,當N足夠大時,圓形球面鏡共焦腔的自再現(xiàn)模為拉蓋爾多項式和高斯函數(shù)的乘積 式中, 為拉蓋爾多項式第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模2 其各高階橫模TEMmn的場分布具有圓對稱形式,m表示沿半徑(r)方向的節(jié)線圓數(shù)目,n表示沿輻角()方向的節(jié)線數(shù)目,各節(jié)線圓沿r方向不是等距分布的。3.高階模的光斑隨著m,n的增加而增大,但在圓形鏡系統(tǒng)中光斑半徑隨m的增大要比隨n的增大來得更快。圓形球面鏡共焦腔基模在鏡面上的振幅分布仍然是高斯型的,與方形球面鏡共焦腔情況

34、類似。第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模共焦腔TEMmn模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為所以諧振頻率: 對于縱模對于橫模: 與Vmn(r,)相應的本證值為：第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模單程損耗:即所有自再現(xiàn)模的損耗均為零。這一結果是在N的情況下得到的。可見，當N為有限(但不太小)時，拉蓋爾-高斯近似雖然能滿意地描述場分布及相移等特征，但卻不能用來分析模的損耗。第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模只有精確解才能給出共焦模的損耗與N及橫模指標m和n的關系?？怂购蛥柖σ阌玫▽A形鏡對稱共焦腔模進行了數(shù)值求解。圓形鏡共焦腔幾個最低階模的損耗如下圖。與方形鏡共焦腔模的損耗比較，當菲涅耳數(shù)相同時，它的損耗比方形鏡腔類似橫

35、模的損耗要小幾倍。第六節(jié) 對稱共焦腔的自再現(xiàn)模行波分析:因此，對圓形鏡共焦腔行波場特性的分析可按與方形鏡同樣的方法進行。兩者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同。第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征共焦腔模式理論不僅能定量地說明共焦腔振蕩模本身的特征，更重要的是，它能被推廣到一般穩(wěn)定球面腔系統(tǒng)，這一推廣是諧振腔理論中的一個重大進展。任何一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價。而任何一個穩(wěn)定球面腔唯一地等價于一個共焦腔。這里所說的“等價，就是指它們具有相同的行波場。 這種等價性深刻地揭示出各種穩(wěn)定腔(共焦腔也是其中的一種)之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以利用共焦腔模式理論的研究結

36、果來解析地表述一般穩(wěn)定球面腔模的特征。第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征 上述等價性是以共焦腔模式的空間分布，特別是其等相位面的分布規(guī)律為依據(jù)的。根據(jù)式(2612)，與腔的軸線相交于任意一點的等相位面的曲率半徑為一、 等價共焦腔1任意一個共焦球面(或拋物面)腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價。26節(jié)已經(jīng)指明，如果我們在共焦場的任意兩個等相位面上放置兩塊具有相應曲率半徑的球面反射鏡，那么共焦場將不會受到擾動。但這樣，我們就做成了一個新的諧振腔，它的行波場與原共焦腔的行波場相同于任一共焦腔模有無窮多個等相位面，因而我們可以用這種方法構成無窮多個等價球面腔。 第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征 現(xiàn)在證明，所有這

37、些球面腔都是穩(wěn)定腔。等相位面cl，c2為例，注意到關于球面腔曲率半徑R的符號規(guī)定，對放置在cl，c2處的反射鏡，應有不難證明：第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征2任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價于某個共焦腔意思是，如果某一個球面腔滿足穩(wěn)定性條件，必定可以找到一個而且也只能找到一個共焦腔，其行波場的某兩個等相位面與給定球面腔的兩個反射鏡面相重合。第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征由上式可知,當滿足穩(wěn)定性條件0g1 g 2 0,這樣就證明了等價共焦腔的存在性。并且此等價共焦腔由式唯一地確定。由于穩(wěn)定球面腔的行波場與其等價共焦腔的行波場相同,因此,穩(wěn)定球面腔的模式特征可用等價共焦腔的模式特征來描述。

38、第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征二 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征1鏡面上的光斑半徑第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征2模體積仿照共焦腔模體積的計算公式，一般穩(wěn)定球面腔的基模模體積可以定義為代入wos一般穩(wěn)定球面腔中 模的模體積與基模模體積之比為式中，表示共焦腔中 模的模體積與基模模體積之比第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征3單程損耗即腔的菲涅耳數(shù)等于鏡面面積與鏡面上基模光斑面積之比。根據(jù)共焦腔模式理論,每一個橫模的單程損耗單值地由腔的菲涅耳數(shù)決定,也就是單值地由鏡面面積與鏡面上基模光斑面積的比值決定。波動光學原理說明衍射損耗的大小與孔徑的形狀和尺寸,以及入射光的具體性質(zhì)有關。由于一般穩(wěn)定球面腔與其等價

39、共焦腔的行波場結構完全一樣,并且反射鏡與場的等相位面重合,因此,可認為它們的衍射損耗遵循相同的規(guī)律。即當?shù)谄吖?jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征時,兩個腔的單程損耗應該相等。式中,ai 和a0 分別為穩(wěn)定球面腔及其等價共焦腔的反射鏡線度;wis 和w0s分別為穩(wěn)定球面腔及其等價共焦腔鏡面上的基模光斑半徑。將第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征根據(jù)有效菲涅耳數(shù)查共焦腔與N的關系曲線,分別得到兩個反射鏡上的單程損耗1mn 和2mn ,一般穩(wěn)定球面腔的平均單程損耗為對方形孔徑穩(wěn)定球面腔，基模損耗還可以按式 00=10.910 計算，只須在其中以Nef替N。第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征4諧振頻率方形鏡穩(wěn)定球面

40、腔第七節(jié) 一般穩(wěn)定球面腔的模式特征同理,圓形鏡穩(wěn)定腔模的諧振頻率為5)基模遠場發(fā)散角方形第八節(jié) 高斯光束本節(jié)主要研究高斯光束本身的特性,介紹高斯光束的q參數(shù)及其傳輸變換規(guī)律。這對于與激光束變換有關的光學系統(tǒng)的設計,以及光學諧振腔的工程設計都具有重要意義。一、 高斯光束的根本性質(zhì)1基模的高斯光束第八節(jié) 高斯光束z R 為高斯光束的瑞利長度,上式可知, ,因此z R 表示從束腰到光斑半徑增加到腰斑半徑的倍處的位置。在z=z R 的范圍內(nèi),高斯光束可近似認為是平行的。實際應用中常稱2zR為高斯光束的準直距離。節(jié)中已經(jīng)對基模高斯光束的性質(zhì)進行了詳細討論,高斯光束既不是平面波,也不是一般的球面波,在其傳

41、輸軸線附近可以近似看作是一種非均勻高斯球面波。在傳播過程中其曲率中心與曲率半徑不斷改變,其振幅和強度在橫截面內(nèi)始終保持高斯分布特性,強度集中在軸線附近,且等相面始終保持為球面。第八節(jié) 高斯光束2高階高斯光束 在方形鏡穩(wěn)定腔中高階高斯光束是厄米-高斯光束,在圓形鏡穩(wěn)定腔中存在拉蓋爾-高斯光束。1 厄米-高斯光束其橫截面內(nèi)的場分布由高斯函數(shù)與厄米多項式的乘積決定,沿x方向有m條節(jié)線,沿y方向有n條節(jié)線,光斑半徑分別為第八節(jié) 高斯光束沿傳輸軸線相對于幾何相移的附加相位超前為2拉蓋爾-高斯光束第八節(jié) 高斯光束橫向場分布由上式中的振幅因子決定,沿半徑r方向有n個節(jié)線圓,沿輻角方向有m根節(jié)線,光斑半徑遠場

42、發(fā)散角附加相移均隨m、n的增大而增大，隨n變化更快第八節(jié) 高斯光束二、 高斯光束的q參數(shù) 假設高斯光束w0 (或z R )的大小及其位置,那么可由式(2.161)確定與束腰相距z處的w(z)以及R(z),從而由式(2.160)得到空間任意一點處場的強度,整個高斯光束的結構也就隨之確定下來。同樣,假設坐標z處的w(z)及R(z),那么可反過來決定高斯光束腰斑的大小和位置,從而確定整個高斯光束的結構。因此,稱這兩組參數(shù)為高斯光束的特征參數(shù),其中任何一組都可確定高斯光束的具體結構 第八節(jié) 高斯光束振幅相指數(shù)相乘上 提出定義一個復參數(shù)那么上式：第八節(jié) 高斯光束沿z軸傳播的球面波在遠離源點的近軸區(qū)(即滿

43、足zx,y)可近似寫成比較以上兩式可知,參數(shù)q(z)相當球面波的曲率半徑R,因此稱q(z)為高斯光束的復曲率半徑,簡稱q參數(shù)。q(z)將w(z)和R(z)統(tǒng)一起來,坐標z處的q(z)可求出該位置處的w(z)和R(z)以表示腰斑處即處的參數(shù)值，那么可得上述三組參數(shù)都可用來表征高斯光束，但通過下面討論可知，利用 參數(shù)研究高斯光束的傳輸變換規(guī)律將更為簡便。第八節(jié) 高斯光束三、 高斯光束q參數(shù)的變換規(guī)律1普通球面波曲率半徑R的變換規(guī)律 1：普通球面波在自由空間的傳播規(guī)律2普通球面波經(jīng)過薄透鏡的變換規(guī)律第八節(jié) 高斯光束3.普通球面波的ABCD定律第八節(jié) 高斯光束上式稱為球面波的ABCD定律,描述了球面波

44、通過光學系統(tǒng)時R的變換規(guī)律。2 高斯光束q參數(shù)的ABCD定律1高斯光束在自由空間的傳播第八節(jié) 高斯光束2 高斯光束經(jīng)過薄透鏡的變換w2 =w1利用q參數(shù)分析高斯光束的傳輸,其主要優(yōu)點是形式簡潔。對于任意復雜的光學系統(tǒng),只要知道其光線變換矩陣,就可利用式(2.180)求出通過光學系統(tǒng)后高斯光束的q參數(shù),并進一步根據(jù)式(2.173)求出該位置處高斯光束的光斑大小及等相位面曲率半徑。第八節(jié) 高斯光束四、 ABCD定律在諧振腔中的應用設光學諧振腔的往返矩陣為高斯光束從腔內(nèi)某一參考平面出發(fā)時的參數(shù)為M那么其在腔內(nèi)往返傳播一次后的參數(shù)值應為假設要成為腔的自再現(xiàn)模,必須滿足自再現(xiàn)條件,即 q M =qM因此

45、 其解：由此可知高斯模在參考平面上的曲率半徑和光斑尺寸分別為第八節(jié) 高斯光束諧振腔的穩(wěn)定條件： W不能無窮大，即諧振腔的穩(wěn)定條件：第九節(jié) 非穩(wěn)腔的模式理論所有滿足條件g1g21的腔都稱為非穩(wěn)腔。 其中,g1g21的腔稱為正支非穩(wěn)腔。由節(jié)的討論可知,非穩(wěn)腔中存在著傍軸光線的固有發(fā)散損耗,因此,其損耗較高,一般不適用于中、小功率的激光器中。當工作物質(zhì)的增益較高時,采用非穩(wěn)腔也可形成穩(wěn)定的激光振蕩。而且與穩(wěn)定腔相比,非穩(wěn)腔具有大的模體積和好的橫模鑒別力,從而可實現(xiàn)高功率單模運轉(zhuǎn),獲得了良好的激光輸出特性。因此,高功率激光器多采用非穩(wěn)腔。第九節(jié) 非穩(wěn)腔的模式理論非穩(wěn)腔的模式積分方程沒有精確的解析解,只

46、能利用數(shù)值迭代法進行計算。而非穩(wěn)腔的菲涅耳數(shù)一般都很大,衍射損耗小,難于收斂,計算工作量很大。因此,常采用幾何光學方法分析非穩(wěn)腔的模式問題。 由于在非穩(wěn)腔中,衍射損耗不起主要作用,所以利用幾何光學方法得到的結果有足夠好的近似程度。本節(jié)首先介紹利用幾何光學處理方法得到的一、 非穩(wěn)腔的幾何自再現(xiàn)波型穩(wěn)定腔中的自再現(xiàn)模是高斯光束,其光斑大小由高斯函數(shù)決定,這實質(zhì)上是由于穩(wěn)定腔的腔鏡對光線有會聚作用而產(chǎn)生的。另一面,本征模的球面波陣面是由球面鏡所確定的邊界條件決定的。第九節(jié) 非穩(wěn)腔的模式理論非穩(wěn)腔來說,式(2.189)表示的模光斑半徑趨于無限大,因此傍軸高斯光束的近似解已不適用。由于非穩(wěn)腔的腔鏡對光線有發(fā)散作用,其模式的振幅也不可能是高斯分布。作為一級近似可假定在腔的整個橫截面內(nèi)模的振幅是均勻分布的,其波面仍然是球面。因此,非穩(wěn)腔本征模式的近似解為均勻球面波,也稱為幾何自再現(xiàn)球面波型,非穩(wěn)腔中的激光模式是沿相反方向傳播的兩個均勻球面波的疊加。第九節(jié) 非穩(wěn)腔的模式理論非穩(wěn)腔中的幾何自再現(xiàn)球面波型相當是從軸上的一對發(fā)光點P1和P 2 發(fā)出的,所謂自再現(xiàn)是指從其中任何一點發(fā)出的球面波在腔內(nèi)往返一次后其波面形狀保