金融數(shù)學(xué)資產(chǎn)組合管理PPT課件

1、5.1 兩風(fēng)險(xiǎn)證券中的風(fēng)險(xiǎn)度量方法1 設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率K為隨機(jī)變量，參照值取期望 ，方差 作為風(fēng)險(xiǎn)的度量。有時(shí)用收益率的標(biāo)準(zhǔn)差 測量風(fēng) 險(xiǎn)。 單個(gè)時(shí)間段的投資問題，一般采取此收益率。其中方法2 利用對數(shù)收益率的方差 ,或者 ，對多個(gè)時(shí)間段相關(guān)的投資，采用對數(shù)收益率比較方便因 為對數(shù)收益率滿足可加性。 ()K2( )k( )k2222()()(. ( )( )KEEE KK E KK2()K()E K5.1 .1 期望收益和方差第1頁/共51頁 5.1.2 兩證券情形 用 表示組合的收益 率，用 分別表示投資在證券1和2上的權(quán)重,則 若 表示賣空第i支股票。 記作ii,w股票i的股價(jià)的股數(shù)初始

2、資金總額222211221112122,Vwwww 其中VK12,w w1212,VwwKKK1212),E(VKE KE Kww1,21212()CovK K 1212,Vwwiw第2頁/共51頁 例1 假設(shè)兩種股票的每股價(jià)格分別為 美元， 美元， 美元，購買第一種股票20股，購買第二種股票10股，求兩個(gè)股票的資金分配權(quán)重。120S240S(0)1000V第3頁/共51頁 例2 考慮如下資產(chǎn)組合： 狀況 概率 收益率 收益率 0.4 0.2 0.4 分別求下述情形下資產(chǎn)組合的期望收益和風(fēng)險(xiǎn) 。(1) (2) (3)1K2K213001 0002 0000002 0002 0001 0120.

3、4,0.6;ww120.8,0.2;ww120.5,1.5.ww 第4頁/共51頁12120.4 0.040.6 0.160.112Vww000010.4 ( 10)0.2 00.4 200.04 12120.8 0.040.2 0.160.064Vww220.0024,210.0184,120.96309, 22220.000736VV21，介于和之間。此時(shí)22220.009824VV21，介于和之間。此時(shí)120.4,0.6ww00000020.4 200.2 200.4 100.16 120.8,0.2ww第5頁/共51頁(3)當(dāng) 時(shí)， 由(1)、(2)和(3)發(fā)現(xiàn)，高收益通常伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)

4、；另外，當(dāng)不允許賣空時(shí)，組合的風(fēng)險(xiǎn)介于單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)之間(如(1)(2)所示)，當(dāng)允許賣空時(shí)，組合的風(fēng)險(xiǎn)則可能比任何單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)都大(如(3)所示) 。命題5.3 如果不允許賣空，則有12120.5 0.04 1.5 0.160.22Vww 121.5,0.5ww 22220.0196VV21，比和都大。此時(shí)22212max,.V 第6頁/共51頁 問題：在兩風(fēng)險(xiǎn)證券中，有沒有風(fēng)險(xiǎn)最小的組合權(quán)重(即找一個(gè)權(quán)重組合，使得組合的方差最小)？第7頁/共51頁命題5.4 (1)如果 ，當(dāng) ，且時(shí)， 。(必須有一支股票賣空.）(2)如果 ，當(dāng) 時(shí)， 。(不必賣空.）1211221121212,ww 0V121 2

5、1121212,ww0V第8頁/共51頁第9頁/共51頁 11(,) 22(,)121 第10頁/共51頁 11(,) 22(,)121第11頁/共51頁 11(,) 22(,) 11(,) 22(,)第12頁/共51頁第13頁/共51頁第14頁/共51頁 5.2.2 含無風(fēng)險(xiǎn)證券和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券的情形(0,)Fr11(,)0第15頁/共51頁第16頁/共51頁第17頁/共51頁第18頁/共51頁第19頁/共51頁第20頁/共51頁第21頁/共51頁第22頁/共51頁V12,1TTTVVwmuwwwmin11,TTAmuu Vm V1,TCuu V20.DBCA1,TBmm V第23頁/共51頁

6、2221,1)(PPDCACC,A CD和V11,VVVCABAmuDDwVV第24頁/共51頁 12,1()ACC第25頁/共51頁 5.2.4 既含多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券又含無風(fēng)險(xiǎn)證券情形 設(shè)含有 種風(fēng)險(xiǎn)證券(股票)和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券(債券) ，以 為 種股票上的投資比例，則 就是投資在債券上的比例。對指定的期望收益率 ，求投資比例 ，使得方差最小，就是解下列規(guī)劃問題：min12(1)TTTVVwmuFwww rn12(,.,)Twnw wwn()1TuwVw第26頁/共51頁解上述規(guī)劃，得知對指定的期望收益率 ，方差最小的投資組合為：標(biāo)準(zhǔn)差為：其中 如前述。V1()()/,FFVVmuHwVrr,A

7、 BC和1(),FVVHr22,FFHBACrre第27頁/共51頁 由此可知，含多種風(fēng)險(xiǎn)證券和無風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿是過點(diǎn) 的一條射線。會(huì)是什么樣的射線呢？ 假設(shè)含有兩支股票 和 及一種債券 ，由前面討論知，把全部資金投入股票 和 ，得到雙曲線的一支，而如果投資于股票 及債券 ，得到有效前沿為射線 ;而如果投資于股票 及債券 ，得到有效前沿為射線 ;如果把資金投資于 和債券 中，則連接 和曲線 上任意一點(diǎn)的射線都是可能的投資組合。因此從 出發(fā)，與曲線 相切的射線，為有效前沿(為什么？)記切點(diǎn)為 。Fr(0,)FreABFBrABAFrFArFBrFr,A BFrFrAB(0,)FrABB第28

8、頁/共51頁 如果投資者選擇切點(diǎn) ，則表示將資金全部購買股票 和 ；如果選擇 點(diǎn)，則是把一部分資金用于買債券，余下部分用來買股票 和 ，而資金在 和 上分配比例與切點(diǎn) 一樣；如果選擇 點(diǎn)，則是以 借入資金，連同原有資金一起用來買股票 和 ，而資金在 和 上分配比例仍與切點(diǎn) 一樣。見下頁圖示。ABCeDABBAABBAeeFr第29頁/共51頁e(0,)FrABCD第30頁/共51頁 有效前沿為藍(lán)色虛線部分，紅色部分表示不允許賣空的情形。切點(diǎn)證券組合 ，它決定有效前沿上任意點(diǎn)處的風(fēng)險(xiǎn)投資比例。 例 一投資者擁有資金10000美元。 (1) 用4000美元購買 股票，其余全部購買 股票，則在 點(diǎn)處

9、的投資組合為 ； (2) 如果該投資者抽取5000美元作無風(fēng)險(xiǎn)投資，其余仍用于購買 股票，則此時(shí)購買 股票的資金分別是 2000 美元和 3000 美元。eAB,A Be(0.4,0.6)A,A B第31頁/共51頁 有效前沿為藍(lán)色虛線部分，切點(diǎn)證券組合 ，決定有效前沿上任意點(diǎn)處的風(fēng)險(xiǎn)投資比例。e(0,)Fre第32頁/共51頁 切點(diǎn) 處的投資組合權(quán)重為例 設(shè)風(fēng)險(xiǎn)證券 和 分別有期望收益率 ，方差分別為 和 ，它們之間的協(xié)方差為 。又設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為 . 求切點(diǎn)證券組合 。 e11()(),)()FFeFFmumuAACCVVrrwCrrAB008B0012,A210A24B122006Frew

10、52(,)77(ew第33頁/共51頁 5.3 CAPM模型 資本資產(chǎn)定價(jià)模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM)是在理想的，稱之為完善的資本市場中建立的。它的基本假設(shè)有：(1) 投資者對一個(gè)投資組合以一期的期望回報(bào)率和方差來評價(jià)此組合；(2) 投資者具有不滿足性(風(fēng)險(xiǎn)相同時(shí)，期望越大越好)；(3) 投資者都是風(fēng)險(xiǎn)回避者(期望相同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)越小越好)；(4) 任何一種證券都是無限可分的；(5) 存在一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)利率，任何投資者都可以依此利率不受限制地存、貸款；第34頁/共51頁(6) 不存在稅收和交易費(fèi)用；(7) 所有投資者考慮的投資期都是一樣的；(8) 無風(fēng)險(xiǎn)利

11、率對任何投資者都相同；(9) 所有信息對任何投資者都是免費(fèi)的，且及時(shí)提供；(10) 所有投資者對每種股票的看法都相同，即不同投資者對每種股票的期望和方差的看法一樣，對個(gè)證券之間的協(xié)方差看法也一樣。 同時(shí)滿足以上十個(gè)假設(shè)的市場就稱為完善資本市場。第35頁/共51頁 在介紹了完善資本市場之后，我們再介紹市場均衡和市場投資組合的概念。市場均衡：在完善的資本市場上，當(dāng)證券的價(jià)格調(diào)整時(shí)，對證券的需求和供給也相應(yīng)變動(dòng)。如果隨著證券價(jià)格的調(diào)整，對證券的需求和供給相應(yīng)調(diào)整為：每一種證券需求量正好等于其供給量，而且對無風(fēng)險(xiǎn)證券，存貸款數(shù)目正好相等的狀態(tài)，就稱之為市場均衡。市場投資組合(Market Portfo

12、lio) 是指市場處于均衡時(shí)，切點(diǎn) 的投資組合，為了區(qū)別，我們將市場投資組合記為 ,坐標(biāo)為 e(,).MMM第36頁/共51頁 當(dāng)市場處于均衡時(shí)，包含無風(fēng)險(xiǎn)債券和多種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前 沿是在 平面上，從 點(diǎn) 出發(fā)，過 點(diǎn)的一條射線，稱它為資本市場線(Capital Market Line,CML).其方程為： 其中 的斜率稱為風(fēng)險(xiǎn) 報(bào)酬，而 的截距稱為 等待報(bào)酬。 CMLM(0,)FrMMVVFMFVVMrrVVoMCMLCML第37頁/共51頁 注意： 并不給出單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券的期望回報(bào)率和標(biāo)準(zhǔn)差的線性關(guān)系。 反例 Modigliani Pogue (1974): 股票 年回報(bào)率 標(biāo)準(zhǔn)差 BC公

13、司股票 100種普通股票組合 此例指出了對BC公司股票，如果以標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險(xiǎn)度量的標(biāo)準(zhǔn)，則成為回報(bào)率低，風(fēng)險(xiǎn)卻大的股票，這與普通的投資常識矛盾。 CML005.40010.9004.45007.25第38頁/共51頁 定理5.11(CAPM) 當(dāng)完善的資本市場達(dá)到均衡時(shí)，任何單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的超額回報(bào)和市場投資組合的超額回報(bào)成比例關(guān)系，即有關(guān)系式 其中 反映任意單個(gè)資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的期望收益與貝塔系數(shù)關(guān)系的位于 平面上的直線稱為證券市場線（Security Market Line,SML）。見下頁圖所示。()FFVMVrr22(,)MVMVVMMCovKK, 第39頁/共51頁 為了便于比

14、較，我們將資本市場線(左)和證券市場線(右)放在一起。試分析二者的區(qū)別？ CMLMMMVVVFrFrM1MVSMLM第40頁/共51頁 關(guān)于CAPM應(yīng)用的例子例 已知 設(shè)證券 的Beta 系數(shù)分別為 求 解：由CAPM知，兩證券的期望回報(bào)率分別為： 此例告訴我們，確實(shí)可用CAPM求單個(gè)資產(chǎn)的期望收益率。除此之外，還可以用來發(fā)現(xiàn)股票的定價(jià)是否合理。000012,7,FMr,A B1.4,0.9,AB,.AB 000000007(127) 1.414,A000000007(127) 0.911.5.B第41頁/共51頁 這是因?yàn)?，由CAPM可知， 從而有 表明當(dāng)市場均衡時(shí)，所有股票每承擔(dān)一單位風(fēng)險(xiǎn)

15、，市場給予的期望回報(bào)都應(yīng)該相等。如果不等，則意味著市場處于不均衡狀態(tài)，存在某些股票定價(jià)過高或過低的現(xiàn)象。()FFVMVrrFVFVVrr第42頁/共51頁例 已知S和I公司的Beta( )系數(shù)及期望回報(bào)率如下表所示，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 .若S公司的股價(jià)被認(rèn)為是合理的，請問I公司的股價(jià)是否合理？定價(jià)過高還是過低呢? 股票 期望回報(bào)率 S公司 1.3 I公司 0.8 00600100014第43頁/共51頁 解：由CAPM可知， 從而有 表明此時(shí)市場處于不均衡狀態(tài)，若S公司的股價(jià)被認(rèn)為是合理的，則I公司的股價(jià)定價(jià)過高。這是因?yàn)椋篒公司承擔(dān)一單位風(fēng)險(xiǎn)得到的補(bǔ)償不如S公司承擔(dān)一單位風(fēng)險(xiǎn)得到的補(bǔ)償大。究其原因

16、，是對 而言， 的期望回報(bào)率太低了。 由 或 知，若 偏低，則初始股價(jià) 定價(jià)偏高。0000001466.15,1.3FSSr00000010650.8FIIrFVFVVrr0.8I0010100IIIIppKp101IIIppKIK0Ip第44頁/共51頁5.4 系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn) 我們先考慮單支股票 的風(fēng)險(xiǎn)問題。 由于CAPM模型是在市場達(dá)到均衡時(shí)，證券 的期望回報(bào)率 和 的關(guān)系,為強(qiáng)調(diào)均衡，我們記 為 .這時(shí)CAPM模型可寫成： 為了描述實(shí)際的超額回報(bào)模型，引入一個(gè)與證券 的回報(bào)率 相獨(dú)立的隨機(jī)誤差項(xiàng) ，將證券 的實(shí)際回報(bào)率表示為我們稱上式為證券 的特征線。ieii()eFFiMirr(

17、)FFiiMirriiiiiiii第45頁/共51頁 由回歸模型，可得證券 i 的總方差為從而 被分解為兩部分： 第一部分為 ，與市場投資組合M有關(guān)，稱之為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)或市場風(fēng)險(xiǎn)， 越大，證券i的市場風(fēng)險(xiǎn) 就越大，由CAPM知， 越大，相應(yīng)的期望回報(bào)率就越高。因此，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是有報(bào)酬的，但無法消除或減少。2222iMiii22Mi2i22Mi i第46頁/共51頁 第二部分為 ，與市場投資組合M無關(guān)，稱之為非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)或非市場風(fēng)險(xiǎn)。非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是沒有報(bào)酬的，但可以通過組合消除它。當(dāng)一個(gè)投資組合已消除所有非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，則稱它為有效的。 證券的特征線是圍繞它的市場線上下波動(dòng)的，一種證券的特征線斜率等于此證券的 系數(shù)，而此 也給出了該證券對市場投資組合M的敏感度。一般而言，以下結(jié)論成立。2i第47頁/共51頁 （1）進(jìn)攻型股票( ) 該股票 特點(diǎn)：當(dāng)市場投資組合M的回報(bào)率上升或下降時(shí)，這種股票的回報(bào)率上升或下降得比M要快。 （2）防御型股票( ) 該股票 特點(diǎn)：當(dāng)市場投資組合M的回報(bào)率上升或下降時(shí)，這種股票的回報(bào)率上升或下降得比M要慢。（3）中性股票( ) 該股票 特點(diǎn)：這種股票的回報(bào)率就平均而言，與市場投資組合M的回報(bào)率一致。111第48頁/共51頁 接下來考慮組合的風(fēng)險(xiǎn)。 CAPM模型對單個(gè)資產(chǎn)和資