第三章晶體振動和晶體的熱學性質(zhì)

1、1第三章第三章 晶體振動和晶體的熱學性質(zhì)晶體振動和晶體的熱學性質(zhì)一、晶體振動一、晶體振動1.晶體振動晶體振動 晶體中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不動，晶體中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不動，而是為繞其平衡位置作振動。而是為繞其平衡位置作振動。2.振動的特點振動的特點 晶體中各原子的振動是相互聯(lián)系的。晶體中各原子的振動是相互聯(lián)系的。3.振動模式振動模式 用格波表述原子的各種振動模式。用格波表述原子的各種振動模式。2二、晶體振動的分類二、晶體振動的分類(根據(jù)振動的劇烈程度分類根據(jù)振動的劇烈程度分類)1.晶格振動晶格振動 原子在平衡位置附近的微振動。原子在平衡位置附近的微振動。2.空位或

2、間隙原子空位或間隙原子 少數(shù)原子脫離其格點的振動。少數(shù)原子脫離其格點的振動。3.熔解熔解 溫度相當高，整個晶體瓦解，即長程序解體。溫度相當高，整個晶體瓦解，即長程序解體。三、晶格振動的特點三、晶格振動的特點1.當原子間相互作用微弱時，原子的振動可近似為相互當原子間相互作用微弱時，原子的振動可近似為相互獨立的簡諧振動。獨立的簡諧振動。2.由于晶體的周期性，振動模式所取的能量值不是連續(xù)由于晶體的周期性，振動模式所取的能量值不是連續(xù)的，而是分立的。的，而是分立的。33.可以用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又可以用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振動模式。簡諧振子的能量用能量量子分立

3、的振動模式。簡諧振子的能量用能量量子 (稱稱為聲子為聲子, 由愛因斯坦引入由愛因斯坦引入, 微振動模式的角頻率微振動模式的角頻率) )描述。描述。 振子之間不會發(fā)生相互作用，即不能有能量的交振子之間不會發(fā)生相互作用，即不能有能量的交換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不便。換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不便。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。4.如果原子間的相互作用稍強時，就必須考慮非簡諧如果原子間的相互作用稍強時，就必須考慮非簡諧效應效應聲子間發(fā)生能量的交換。聲子間發(fā)生能量的交換。5.晶體的宏觀性質(zhì)，例如，比熱、熱膨脹和熱傳導等晶體的宏觀性質(zhì)，

4、例如，比熱、熱膨脹和熱傳導等都與晶格振動有關。都與晶格振動有關。43.1 一維原子鏈的振動一維原子鏈的振動一、一維布喇菲晶格的振動一、一維布喇菲晶格的振動1.原子的運動方程原子的運動方程(1)振動示意圖振動示意圖 m為原子質(zhì)量；為原子質(zhì)量；xn為位移。為位移。 n-2 n-1 n n+1 n+2nx1 nx2 nx1 nx2 nxnnxx 1 第第n個原子和第個原子和第n+1個原子間的相對位移。個原子間的相對位移。5(2)兩原子間的相互作用力兩原子間的相互作用力U(a)：平衡時兩原子間的互作用勢能；：平衡時兩原子間的互作用勢能；U(a+ )：產(chǎn)生相對位移：產(chǎn)生相對位移 后的互作用勢能。后的互作

5、用勢能。把把U(a+ )在平衡位置附近用泰勒級數(shù)展開，可得：在平衡位置附近用泰勒級數(shù)展開，可得： 22221 aadrUddrdUaUaU項項。泰泰勒勒展展開開式式中中只只保保留留到到很很小小，所所以以，且且當當振振動動很很微微弱弱時時，由由于于20 adrdU 22221 adrUdaUaU簡諧近似簡諧近似 振動很振動很微弱，勢能展式中微弱，勢能展式中只保留到二階項只保留到二階項。6 aadrUddrUdddUf2222221恢復力：恢復力：rramrUfOO 0間距增大間距增大 0間距縮小間距縮小f f a)f 0斥力斥力(r m。 大、小原子等間距排列，原子間距為大、小原子等間距排列，原

6、子間距為a, 晶格常數(shù)晶格常數(shù)為為2a。 大原子大原子M排在偶數(shù)位置，小原子排在偶數(shù)位置，小原子 m排在奇數(shù)位置。排在奇數(shù)位置。如圖所示：如圖所示： 2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3 2n+4Mma2Mm18(2)只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析n222 n12 n22 nfnf2正方向正方向m(2n+1)原子受力分析原子受力分析 nnnxxf2122 122222 nnnxxf 22212 nnnfffm(2n+1)原子受合力原子受合力 122222 nnnxxx 19M(2n+2)受力分析受力分析 122212 nnnxxf 223232

7、 nnnxxf 321222 nnnfff22 n12 n32 nf12 nf正方向正方向32 nM(2n+2)所受合力：所受合力： 2212322 nnnxxx 20(3)運動方程運動方程 Nn xxxdtxdmnnnn, 3 , 2 , 12122222122 Nn xxxdtxdMnnnn, 3 , 2 , 122212322222 tanqintanqinBexAex 22221212(3)位移表達式位移表達式(運動方程的解運動方程的解)m(2n+1)運動方程運動方程M(2n+2)運動方程運動方程 12222122 nnnnxxxf 221232222 nnnnxxxf 212. 和和

8、q的關系的關系 色散關系色散關系(振動頻譜振動頻譜)。把位移表達式代入相應的運。把位移表達式代入相應的運動方程，通過整理，可以得到動方程，通過整理，可以得到 和和q的色散關系。的色散關系。(1)m(2n+1)原子原子: tnqinAex 1212 0cos222 BqaAm Nn xxxdtxdmnnnn, 3 , 2 , 12122222122 22(2)M(2n+2)原子原子 02cos22 BMAqa Nn xxxdtxdMnnnn, 3 , 2 , 122212322222 tanqinBex 2222 02cos2 0cos2 2 22BMAqaBqaAm 方程組：方程組：23 02

9、cos2 0cos2 2 22BMAqaBqaAm (3) 和和q的關系的關系色散關系色散關系(振動頻譜振動頻譜) 此方程組中，此方程組中，A、B若有異于零的解，其系數(shù)行列若有異于零的解，其系數(shù)行列式必須等于零。式必須等于零。 02cos2cos2222 M qaqa m 0sin422224 qamMMm 24 0sin422224 qamMMm 212222cos2qaMmmMmMMm qaMmmMmMMm2cos22221 qaMmmMmMMm2cos22222 (4)結果分析結果分析 由于由于 和和q存在兩種不同的色散關系，即存在兩種存在兩種不同的色散關系，即存在兩種獨立的格波，所以一

10、維復式晶格中存在則兩種不同的格獨立的格波，所以一維復式晶格中存在則兩種不同的格波，分別有著各自的色散關系。波，分別有著各自的色散關系。聲聲學學波波光光學學波波253. 2的周期性的周期性 由于由于 是是q的周期函數(shù)，為了保證的周期函數(shù)，為了保證 和和q的一一對的一一對應關系，把應關系，把q的取值范圍定在：的取值范圍定在： aa 2,2 qaMmmMmMMm2cos22221 qaMmmMmMMm2cos22222 aqqa , 0202cos的的變變化化范范圍圍為為，：周周期期為為即：即：26274. 1和和 2簡析簡析(1) 1極小值與極大值極小值與極大值 2122212cos2qaMmmM

11、mMMm 0, 021 則則有有：如如果果qMaq 222max1 ，則則有有如如果果0min1 M 2max1 28 2122222cos2qaMmmMmMMm MmmMq 2, 02max2則則有有：如如果果(2) 2極小值與極大值極小值與極大值mMMm ；2max2maq 222min2 ，則則有有如如果果m 2min2 29 2max2 m 2min2 0min1 M 2max1 max1min2 所所對對應應的的格格波波的的頻頻率率。于于小小所所對對應應的的格格波波的的頻頻率率恒恒21 (3)結論結論Oqa2 a2 m 2 M 2 21 2 光光學學波波聲聲學學波波30聲學波聲學波

12、1支格波可以用聲波來支格波可以用聲波來激發(fā)，稱為聲頻支格波。激發(fā)，稱為聲頻支格波。簡稱簡稱聲學波聲學波。光學波光學波 2支格波可以用光波來支格波可以用光波來激發(fā)，稱為光頻支格波。激發(fā)，稱為光頻支格波。簡稱簡稱光學波光學波。(光學波也光學波也可以用超聲波激發(fā)可以用超聲波激發(fā))Oqa2 a2 m 2 M 2 21 2 光光學學波波聲聲學學波波31三、聲學波和光學波的物理意義三、聲學波和光學波的物理意義1.一維復式格子和布喇菲格子中聲學波的關系一維復式格子和布喇菲格子中聲學波的關系(1) 和和q的關系的關系 2122212cos2qaMmmMmMMm 2122cos2211mMqaMmMmmMMm

13、2122sin212211mMqaMmMmmMMm 2122sin411mMqaMmmMMm 32 。，如如果果，利利用用12111sin422 xxxmMqaMm 2221sin42111mMqaMmmMMm qamMsin21 2sin221qam 212221sin411mMqaMmmMMm qamM2sin2 33(2)結論結論一維復式格子中的聲學波和一維布喇菲格子中的聲學一維復式格子中的聲學波和一維布喇菲格子中的聲學波在形式上是相同的。具有相似的波形；波在形式上是相同的。具有相似的波形；一維布喇菲晶格中只有聲學波一維布喇菲晶格中只有聲學波, 沒有光學波。沒有光學波。 qamMsin2

14、1 2sin221qam 晶格常數(shù)晶格常數(shù): 2a晶格常數(shù)晶格常數(shù): a342.聲學波的物理意義聲學波的物理意義(1)聲學波中，相鄰兩原子聲學波中，相鄰兩原子(M和和m)的振動情況的振動情況 可可得得：由由方方程程： BqaAm0cos2221 2112cos2 mqaBA 0cos qa一般情況下有：一般情況下有： 222max121 Mmmm ,2,2:,2,2: qaaaq0221 m 221 m0 mM 35結論結論 相鄰原子相鄰原子是沿著是沿著同一方向同一方向振動的。當波長很長時，振動的。當波長很長時，聲學波實際上是代表原子質(zhì)心的振動。聲學波描述的是聲學波實際上是代表原子質(zhì)心的振動。

15、聲學波描述的是晶體中晶體中不同原胞之間不同原胞之間的振動情況。的振動情況。n)(橫橫波波圖圖聲聲學學波波中中原原子子振振動動示示意意 02cos2211 mqaBA36(2)兩種特殊振動兩種特殊振動時時：0q體，其質(zhì)心來回振動。體，其質(zhì)心來回振動。原胞的振動如同一個剛原胞的振動如同一個剛n 12cos2211 mqaBA 37時：時：aq2 0/222cos21 MmaaBA 0 A原子振動。原子振動。原子保持不動，原子保持不動，原胞中原胞中)2()12(nMnm n38 可得：可得：由方程：由方程：02cos222 BMAqa 3.光學波的物理意義光學波的物理意義(1)光學波中，相鄰兩原子光

16、學波中，相鄰兩原子(M和和m)的振動情況的振動情況 qaMBAcos22222 , 0cos qa一般情況下：一般情況下：2min22222 MM 0222 M0122222min2 mMmMM 0 39結論結論 相鄰兩種不同的原子相鄰兩種不同的原子振動的方向是相反的。當波長振動的方向是相反的。當波長很長時，原胞質(zhì)心保持不動。光學波描述的是同一原胞很長時，原胞質(zhì)心保持不動。光學波描述的是同一原胞中各原子之間的相對振動情況。中各原子之間的相對振動情況。)(橫橫波波動動示示意意圖圖光光學學波波中中元元胞胞中中原原子子振振n40(2)兩種特殊振動兩種特殊振動 折折合合質(zhì)質(zhì)量量；時時： ,2021ma

17、x2q。而而大大原原子子振振動動的的幅幅度度小小小小原原子子振振動動的的幅幅度度大大，原原胞胞的的質(zhì)質(zhì)心心保保持持不不動動， mMqaMBA cos2222 0 MBmAn41 21min222m aq 時：時：。0 B;2cos2222 aamMBA 原子振動。原子振動。原子保持不動，原子保持不動，原胞中原胞中)12()2( nmnMn42四、周期性邊界條件四、周期性邊界條件(波恩波恩-卡門邊界條件卡門邊界條件) 1.波恩波恩-卡門周期性邊界條件卡門周期性邊界條件 對于有限的對于有限的(N個原子組成個原子組成)原子鏈，晶體兩端原子原子鏈，晶體兩端原子的受力情況和內(nèi)部的有所不同。的受力情況和內(nèi)

18、部的有所不同。 1 2 3 n-1 n n+1 n+2 N-1 N(1)各原子受力分析即運動方程各原子受力分析即運動方程n號原子：號原子：n1 nf1 nf nnnnnnnnnnxxxdtxdmxxxfff2211221111 運動方程：運動方程：431號原子號原子 122121221xxdtxdmxxff 運動方程：運動方程：N號原子號原子同理可得：同理可得：2f12 NNNxxdtxdm 122 運動方程：運動方程：結論結論 由于所有原子的方程都是聯(lián)立的，由于所有原子的方程都是聯(lián)立的，1號原子和號原子和N號原號原子運動方程的差異將會使方程組的求解十分復雜，為了子運動方程的差異將會使方程組的

19、求解十分復雜，為了解決這一問題，波恩解決這一問題，波恩-卡門提出了如下的模型卡門提出了如下的模型波恩波恩-卡卡門邊界條件門邊界條件。44(2)波恩波恩-卡門邊界條件卡門邊界條件 假設對于給定的有限長為假設對于給定的有限長為Na(a為晶格常數(shù)，為晶格常數(shù)，N為原為原子個數(shù)子個數(shù))的晶體的邊界之外，仍然有無窮多個和該晶體完的晶體的邊界之外，仍然有無窮多個和該晶體完全相同的晶體，并且這些完全相同的晶體內(nèi)相對應的原全相同的晶體，并且這些完全相同的晶體內(nèi)相對應的原子的運動狀況是一樣的，即第子的運動狀況是一樣的，即第j(j=1,2,N)個原子和第個原子和第tN+j(t=1,2,)個原子的運動情況是一樣的。

20、由于相互作個原子的運動情況是一樣的。由于相互作用是用是短程的短程的，所以，晶體內(nèi)的絕大數(shù)原子受此假想晶體，所以，晶體內(nèi)的絕大數(shù)原子受此假想晶體的影響很弱，完全可以忽略。的影響很弱，完全可以忽略。 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j452.波恩波恩-卡門邊界條件在有限一維布喇菲格子中的應用卡門邊界條件在有限一維布喇菲格子中的應用1號原子應和號原子應和N+1號原子的振動完全相同。即：號原子的振動完全相同。即： taNqiNtqaiNAexAexxx 11111； 22- 2 NlNNalq 個個分分立立的的值值。只只能能取取矢矢描描述述晶晶格格振振動

21、動狀狀態(tài)態(tài)的的波波Nq 1 2 j N N+1 N+j 2N 2N+1 2N+j 3N 3N+1 tN+j iqNatqaitaNqitqaieAeAeAe 11 iqNae )(2為整數(shù)為整數(shù)l lqNa 46Nalq aqaaaq 2;, ；22111NlaNalq 22222NlaNalq ，22NlN- 為原胞數(shù)。為原胞數(shù)。個分立的值。個分立的值。只能取只能取NNq473.波恩波恩-卡門邊界條件在有限一維復式格子中的應用卡門邊界條件在有限一維復式格子中的應用 設晶體有設晶體有N個原胞組成，每個原胞中含有兩個不同個原胞組成，每個原胞中含有兩個不同的原子。由周期性邊界條件可得：的原子。由周

22、期性邊界條件可得：(2n+1)和和2N+(2n+1)完全相同。即：完全相同。即：12 nN2)12(2 nN12212 nNnxx12 Naiqe tanNqiNntanqinAexAex 1221)(21212； tanNqitanqiAeAe 12212 l lqNa)(22為整數(shù)為整數(shù) 22- NlNNalq 48 22- NlNNalq 個個分分立立的的值值。只只能能取取矢矢描描述述晶晶格格振振動動狀狀態(tài)態(tài)的的波波NqNalq aqaaaq ;222,2。；2222222111NlaNalqNlaNalq 為原胞數(shù)。為原胞數(shù)。個分立的值。個分立的值。也只能取也只能取，NNqNlN-22

23、 494.原胞數(shù)原胞數(shù)N和波矢和波矢q、角頻率、角頻率 的關系的關系(1)不管是布喇菲格子還是復式格子，波矢不管是布喇菲格子還是復式格子，波矢q數(shù)目等于晶數(shù)目等于晶體中原胞的數(shù)目體中原胞的數(shù)目N。(2)對于一維布喇菲格子，每個波矢對于一維布喇菲格子，每個波矢q對應于一個角頻率對應于一個角頻率 。總的角頻率個數(shù)為總的角頻率個數(shù)為N個。個。(3)對于一維復式格子，每個波矢對于一維復式格子，每個波矢q對應于對應于n(n每個原胞中每個原胞中包含的原子數(shù)包含的原子數(shù))個角頻率個角頻率 ?？偟慕穷l率個數(shù)為總的角頻率個數(shù)為nN個。個。結論結論 (1)晶格振動波矢的數(shù)目晶格振動波矢的數(shù)目=晶體原胞數(shù)晶體原胞數(shù)

24、； (2)晶格振動頻率的數(shù)目晶格振動頻率的數(shù)目=晶體自由度數(shù)晶體自由度數(shù)。505.三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關系三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關系晶體有晶體有N個原胞組成，每個原胞中含有個原胞組成，每個原胞中含有n個原子。個原子。(1)波矢波矢q數(shù)目數(shù)目N。(晶體原胞數(shù)目晶體原胞數(shù)目)(2)晶體自由度數(shù)目晶體自由度數(shù)目3nN。(3)晶體頻率晶體頻率 數(shù)目數(shù)目3nN。(4)格波數(shù)目格波數(shù)目3nN。(5)格波支數(shù)格波支數(shù)3n支支。每只對應。每只對應N個個 。(6)聲學波支數(shù)聲學波支數(shù)3支支。共有。共有3N個個 。(7)光學波支數(shù)光學波支數(shù)(3n-3)支支，共有，共有(3n-3)N個個

25、。 51例題例題 分別由分別由N個原胞組成的鋁晶體個原胞組成的鋁晶體(fcc)和金剛石晶體和金剛石晶體中，聲學波、光學波的分布情況。中，聲學波、光學波的分布情況。鋁晶體：鋁晶體：鋁是面心立方結構，是布拉菲格子，因此格鋁是面心立方結構，是布拉菲格子，因此格波中只有波中只有3支聲學波，而沒有光學波。聲學波的個數(shù)為支聲學波，而沒有光學波。聲學波的個數(shù)為3N個。個。金剛石：金剛石：金剛石是面心立方結構，但是復式格子，金剛石是面心立方結構，但是復式格子，n=2，格波支數(shù)共有，格波支數(shù)共有3n支支6支支，其中聲學波其中聲學波3支支，聲，聲學波的個數(shù)為學波的個數(shù)為3N個。光學波個。光學波(3n-3)=3支支

26、,光學波的個數(shù)光學波的個數(shù)為為3N個。個。526.波恩波恩-卡門邊界條件的其它表述形式卡門邊界條件的其它表述形式 N個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等價的特點。等價的特點。N很大，原子運動近似為直線運動處理問很大，原子運動近似為直線運動處理問題時要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性題時要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性5354設第設第n個原子的位移為個原子的位移為nx再增加再增加N個原子之后，第個原子之后，第N+n個原子的位移為個原子的位移為nNx 則有：則有：nnNxx )(naqtiaqnNtiAeAe 要求：要求：1 iNaqelNaq 2 2, 12, 22, 0

27、, 32, 22, 12NNNNNNl lNaq 2波矢的取值范圍波矢的取值范圍aqa l為整數(shù)為整數(shù)22NlN l N個整數(shù)值，個整數(shù)值，qN個分立的值。個分立的值。55；a 2NNaa /2/2 (1)第一布里淵區(qū)包含第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài)個狀態(tài);(2)每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度；Naq 2 (3第一布里淵區(qū)的線度第一布里淵區(qū)的線度(4)第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)7.第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) aa , 2,2bb aa 2,2 Nalq 2 22NlN Nalq 22NlN 568.三維晶體波矢三維晶體波矢q 的取值范圍的取值范圍 NlN- N

28、alq 222 一維布拉菲格子一維布拉菲格子 NlN- Nalq 22 一維復式格子一維復式格子 bqbaqa;22 或或 bqbaqa;2222 或或 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)， 22bb57三維晶體原胞數(shù)三維晶體原胞數(shù)321NNNN 波矢波矢q 的取值范圍的取值范圍333222111bNhbNhbNhq ;22;22;22333222111NhN -NhN -NhN - ；222222333222111bqb bqb bqb 333322221111bNhq bNhq bNhq ； 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)， 1,2,322ibbii58第一布里淵區(qū)的體積第一布里淵區(qū)的體積狀態(tài)密度狀態(tài)密度

29、 33212 bbbNbNbNbNv3 32211111每個狀態(tài)所占的體積每個狀態(tài)所占的體積 3332221 VNNNN 0a a 2a 3a 4a- a- 2a- 3a- 4q一一二二二二三三三三四四四四一維晶體布里淵區(qū)劃分一維晶體布里淵區(qū)劃分59(3)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)的聲子所用的電如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？磁波波長在什么波段？kg1067. 1527 m4 mMN/m15 例題例題 一維復式格子中，如果一維復式格子中，如果計算：計算：Omin Amax Omax (1) 光學波頻率的最大值光學波頻率的最大值 和最小值和最小值 ，聲學波頻率

30、的最大值聲學波頻率的最大值 ；OEmaxOEminAEmax(2) 相應聲子的能量相應聲子的能量 , 和和 ；60(1) 聲學波的最大頻率聲學波的最大頻率MA 2max rad/s10314max A 光學波的最大頻光學波的最大頻率率 2max OMMmmM2 . 0 光學波的最小頻光學波的最小頻率率4 mMmN15 srad107 . 6214max Osrad106214min mO 61OOEmaxmax eV442. 0max OEOOEminmin eV396. 0min OEAAEmaxmax eV198. 0max AE(2)相應聲子的能量相應聲子的能量eV442. 0max O

31、Em8 . 2 (4)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā) 的聲子所用的電的聲子所用的電磁波波長在什么波段？磁波波長在什么波段？Omax Omax 對應電磁波的能量和波長對應電磁波的能量和波長要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在近紅外線波段。要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在近紅外線波段。623.2 晶格振動的量子化晶格振動的量子化 聲子聲子1.格波格波 描述晶格振動的波。對于微弱的晶格振動，在簡諧近似描述晶格振動的波。對于微弱的晶格振動，在簡諧近似的情況下，的情況下，格波可以看成簡諧波。格波可以看成簡諧波。每個格波都是一個獨立的每個格波都是一個獨立的模式?？梢杂锚毩⒑喼C振子來描

32、述格波的獨立模式。模式?？梢杂锚毩⒑喼C振子來描述格波的獨立模式。2.聲子聲子( ) 簡諧振子的能量量子。聲子具有簡諧振子的能量量子。聲子具有能量能量、動量動量。聲子不聲子不是真正的粒子，而是表示狀態(tài)的是真正的粒子，而是表示狀態(tài)的“準粒子準粒子”。晶格振動的能。晶格振動的能量是以量是以 為單元來增、減能量的。格波與物質(zhì)的相互作用為單元來增、減能量的。格波與物質(zhì)的相互作用可以理解為聲子和晶體中原子、分子的相互碰撞。聲子可與可以理解為聲子和晶體中原子、分子的相互碰撞。聲子可與電子或光子發(fā)生作用。電子或光子發(fā)生作用。63一、一維布喇菲晶格振動時能量的計算一、一維布喇菲晶格振動時能量的計算1.位移位移x

33、n(t)的計算的計算(1)位移位移xn(t)是對所有狀態(tài)的求和是對所有狀態(tài)的求和 由于周期性邊界條件使波矢由于周期性邊界條件使波矢q只能取分離的不同值。只能取分離的不同值。而一個而一個q對應于一個獨立的模式，所以，每一個原子的對應于一個獨立的模式，所以，每一個原子的振動是這些獨立模式的疊加。振動是這些獨立模式的疊加。 tqnainAex 振幅振幅A和和q有關，有關， xn(t)可表示為可表示為: qqnaiqnetAtx qnaiqqnait-iqt-iqnaiqnetAeeAeeAx t-iqqeAtA 64 Nl2N- Nalq 22 其中：其中： 的的正正交交性性證證明明iqnae2 n

34、n nn NNenn,qan-niq0 Nee ,nnqqaiqqan-niq則則有有：如如果果 10q可以取可以取N個值個值 NN-lNn-nliNN-lNalan-niqan-niqeee122122 由于周期性，對于由于周期性，對于 l 從從(-N/2)+1到到N/2求和，相當于求和，相當于對對 l 從從0到到N-1求和。求和。nn 如如果果65 102122NNn-nliNN-lNn-nliee 該式為一等比數(shù)列。該式為一等比數(shù)列。 n-nNieP P 2為為：公公比比P-Pa-aS N11 等等比比數(shù)數(shù)列列求求和和公公式式： 10201 Nn-nilea Nn-ni -Nn-ni -

35、NNn-ni-NNn-ni1-NlNeeeea 2221266 P-Pa-aeSNqan-niq11 Nn-niNn-niNn-ni -e-ee- 22211 01112 Nn-nie- nn nn NNenn,qan-niq0 結論結論是是正正交交的的。iqnae67同理可證同理可證 qq qq NNeqq,nnaq-qi0 nn nn NNenn,qan-niq0 正正交交性性的的物物理理意意義義iqnae3 的的物物理理意意義義nn,qan-niqNe 如果按狀態(tài)如果按狀態(tài)(波矢波矢q)求和，只要看一個格點即可。求和，只要看一個格點即可。每個格點的狀態(tài)數(shù)為每個格點的狀態(tài)數(shù)為N。即原胞數(shù)。

36、即原胞數(shù)。68 如果按格點求和，只要看一個狀態(tài)即可。格點數(shù)如果按格點求和，只要看一個狀態(tài)即可。格點數(shù)為為N。即原胞數(shù)。即原胞數(shù)。 物物理理意意義義qq,nnaq-qiNe 2. xn(t)的正則坐標表示方法的正則坐標表示方法qq,nnaq i -iqnaeNeN 11nn,qaniq-iqnaeNeN 11 qq,nnaq-qiNe nn,qan-niqNe 69(1)本征矢本征矢即即為為本本征征矢矢。iqna-eN21(2)本征矢組成的新坐標系中位移表示式本征矢組成的新坐標系中位移表示式qq,nnaq i -iqnaeNeN 11nn,qaniq-iqnaeNeN 11 qqnaiqnetw

37、Ntx1xn(t)在狀態(tài)空間在狀態(tài)空間的傅里葉展開式的傅里葉展開式wq(t)位位移分量移分量 qqnaiqnetAtx70 qqnai -qnetwNtx1 證證明明 twtwq-q 3 txxxnnn 是是位位移移， twtwq-q qqnaiqnetwNtx1 qqnai -qqqnaiqetwNetwN11 qqnai -qqqnai -q-etwNetwN1171 nnnnntxtxtx2 的的證證明明 twtxqqnn 224 nqnaqi -qqqnaiqetwNetwN11 nqqnaq-qiqqetwtwN1 qqnnaq-qiqqetwtwN1 q2qqqqtwtwtNwN1

38、72(5) xn(t)的正則坐標表示方法的正則坐標表示方法 qqnaiqnetQNmtx1Qq(t)正則坐標或稱為簡正坐標。正則坐標或稱為簡正坐標。 qqnaiqnetwNtx1733.能量計算能量計算(1)勢能勢能 221 aUU nnnx-xU2121 xn可以看成是可以看成是N個獨立振動的疊加。個獨立振動的疊加。 qqnaiqnetQNmtx1221 U 是是常常數(shù)數(shù)，略略去去。aUnnx-x1 74 nnnx-xU2121 nqqnaiqqanq iqetQ-etQNm212 nqq,naq iqnaiqqqq,qnaianq iqqqq,naq ianq iqqqq,anq ianq

39、 iqqeeQQeeQQ-eeQQ-eeQQNm 211112 nqq,naqqiqqqq,aq inaqqiqqqq,qainaqqiqqqq,aqqinaqqiqqeQQeeQQ-eeQQ-eeQQNm22 qq,aq iqaiaqqiqqnnaqqie-e-eQQeNm12 先對先對n求和，再對求和，再對q,q求和。求和。75 。q-q ,q-q N,Neqq,-nnaqqi0 因為：因為： qq,qq,-aq iqaiaqqiqqe-e-eQQm 12 qq,aq iqaiaqqiqqnnaqqie-e-eQQeNmU12 qq-qqaQQmcos-1 qqai -qaiq-qe-eQ

40、Qm-112 qq-qqaiqa-qai -qaQQmsincossincos-22 76 qa-mqcos122 qq-QQ qqqqqqqQQQU2222121 (2)動能動能 qq,-qq,qqqq,n,naqqiqqnnNQQNeQQNxmT 2121212 qq-QQ qq-q2qqq-qQQqaQQmU 21cos-1 qqqqqqq-qQQQQQ221212177(3)總能量總能量 qqqqqQQUTH2222121 其中，每個單項其中，每個單項 22221qqqaQQH 代表一個諧代表一個諧振子的能量。共包括振子的能量。共包括N項，總的能量是項，總的能量是N個獨立的諧個獨立的諧

41、振子能量之和。振子能量之和。 qqqqQQ22221 78 qqnEnNiii 3121 二、晶格振動的總能量二、晶格振動的總能量1.三維晶格振動的總能量三維晶格振動的總能量 零零點點振振動動能能。格格波波的的頻頻率率；:21:q qii 1.聲子聲子(1)聲子聲子 i(q): 晶格振動能量量子，稱為聲子。聲子不是真晶格振動能量量子，稱為聲子。聲子不是真實的粒子實的粒子, 只是一種準粒子。具有能量只是一種準粒子。具有能量 i(q),動量動量。q79(3)聲子和晶體的相互作用聲子和晶體的相互作用 格波在晶體中傳播受到散射可以看成聲子和晶體中格波在晶體中傳播受到散射可以看成聲子和晶體中的原子、電子

42、發(fā)生碰撞。的原子、電子發(fā)生碰撞。(4)聲子和其它粒子的相互作用聲子和其它粒子的相互作用 電子、中子、光子與晶格的相互作用都可用這些粒電子、中子、光子與晶格的相互作用都可用這些粒子與晶體中聲子的相互作用來描述。它們吸收或產(chǎn)生聲子與晶體中聲子的相互作用來描述。它們吸收或產(chǎn)生聲子改變粒子本身的能量和動量。子改變粒子本身的能量和動量。(2)聲子的分布聲子的分布 聲子是玻色子，服從玻色統(tǒng)計分布。在溫度聲子是玻色子，服從玻色統(tǒng)計分布。在溫度T處于處于熱平衡晶格中，聲子熱平衡晶格中，聲子 i(q)的平均數(shù)目為：的平均數(shù)目為： 11-eqnTkqB 803.三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關系三維晶體原胞數(shù)

43、、波矢、模式數(shù)之間的關系晶體有晶體有N個原胞組成，每個原胞中含有個原胞組成，每個原胞中含有n個原子。個原子。(1)波矢波矢q數(shù)目數(shù)目N。(晶體原胞數(shù)目晶體原胞數(shù)目)(2)晶體自由度數(shù)目晶體自由度數(shù)目3nN。(3)晶體頻率晶體頻率 數(shù)目數(shù)目3nN。(4)格波數(shù)目格波數(shù)目3nN。(5)格波支數(shù)格波支數(shù)3n支支。每只對應。每只對應N個個 。(6)聲學波支數(shù)聲學波支數(shù)3支支。共有。共有3N個個 。(7)光學波支數(shù)光學波支數(shù)(3n-3)支支，共有，共有(3n-3)N個個 。 81例題例題 分別由分別由N個原胞組成的鋁晶體個原胞組成的鋁晶體(fcc)和金剛石晶體和金剛石晶體中，聲學波、光學波的分布情況。中

44、，聲學波、光學波的分布情況。鋁晶體：鋁晶體：鋁是面心立方結構，是布拉菲格子，因此格鋁是面心立方結構，是布拉菲格子，因此格波中只有波中只有3支聲學波，而沒有光學波。聲學波的個數(shù)為支聲學波，而沒有光學波。聲學波的個數(shù)為3N個。個。金剛石：金剛石：金剛石是面心立方結構，但是復式格子，金剛石是面心立方結構，但是復式格子，n=2，格波支數(shù)共有，格波支數(shù)共有3n支支6支支，其中聲學波其中聲學波3支支，聲，聲學波的個數(shù)為學波的個數(shù)為3N個。光學波個。光學波(3n-3)=3支支,光學波的個數(shù)光學波的個數(shù)為為3N個。個。824.三維晶體波矢三維晶體波矢q 的取值范圍的取值范圍 NlN- Nalq 222 一維布

45、拉菲格子一維布拉菲格子 NlN- Nalq 22 一維復式格子一維復式格子 bqbaqa;22 或或 bqbaqa;2222 或或 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)， 22bb83三維晶體原胞數(shù)三維晶體原胞數(shù)321NNNN 波矢波矢q 的取值范圍的取值范圍333222111bNhbNhbNhq ;22;22;22333222111NhN -NhN -NhN - ；222222333222111bqb bqb bqb 333322221111bNhq bNhq bNhq ； 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)， 1,2,322ibbii84第一布里淵區(qū)的體積第一布里淵區(qū)的體積狀態(tài)密度狀態(tài)密度 33212 bbbN

46、bNbNbNv3 32211111每個狀態(tài)所占的體積每個狀態(tài)所占的體積 3332221 VNNNN 0a a 2a 3a 4a- a- 2a- 3a- 4q一一二二二二三三三三四四四四一維晶體布里淵區(qū)劃分一維晶體布里淵區(qū)劃分853.3 長波近似長波近似一、長聲學波一、長聲學波體體，其其質(zhì)質(zhì)心心來來回回振振動動。原原胞胞的的振振動動如如同同一一個個剛剛n時時：0q 12cos2211 mqaBA 86872.長聲學波波速長聲學波波速vp的計算的計算 當波長很長時，當波長很長時，q很小。很小。 qamMqamM 2sin21q 2 為為晶晶格格常常數(shù)數(shù)。為為原原子子質(zhì)質(zhì)量量；、晶晶體體恢恢復復力力

47、常常數(shù)數(shù)；其其中中：amMdrUda222 常常數(shù)數(shù)； amMqp 21vqpv 88893.物理意義物理意義 相鄰原胞中原子振動的位相差趨于零，而且振幅也相鄰原胞中原子振動的位相差趨于零，而且振幅也趨于相等。趨于相等。4.原因原因 這是由于長聲學波的波長遠遠大于原胞的線度，在這是由于長聲學波的波長遠遠大于原胞的線度，在半個波長內(nèi)就包含了許多原胞，這些原胞都整體的沿同半個波長內(nèi)就包含了許多原胞，這些原胞都整體的沿同一方向運動。一方向運動。因此整個晶格可以近似地看成連續(xù)介質(zhì)，因此整個晶格可以近似地看成連續(xù)介質(zhì)，而長聲學波也就可以近似地被認為是而長聲學波也就可以近似地被認為是彈性波彈性波。n90二

48、、一維連續(xù)晶體中彈性波波速的計算二、一維連續(xù)晶體中彈性波波速的計算1.受力分析受力分析 應變。應變。恢復力；恢復力；彈性模量；彈性模量；處質(zhì)點振動的位移；處質(zhì)點振動的位移；處質(zhì)點振動的位移；處質(zhì)點振動的位移； dxxudxxuxF c dxxdxxu xxu dxxducdxxudxxucxF dxdx-xducdxxF,dx-x恢復力為：恢復力為：同理，在同理，在912.運動方程運動方程 根據(jù)牛頓第二定律，其運動方程為：根據(jù)牛頓第二定律，其運動方程為： 22222222dxtx,ducdttx,dudxtdx,-xdu-dxtx,ducdttx,dudxdx-xF-xFdttx,dudx 2

49、222xtx,ucttx,u 923.運動方程的解及結果分析運動方程的解及結果分析(1)運動方程的解運動方程的解 (2)彈性波波速彈性波波速(相速度相速度) 把運動方程的解代入運動方程可得：把運動方程的解代入運動方程可得： t-qxieutx,u 0 介介質(zhì)質(zhì)中中彈彈性性波波的的波波矢矢。；介介質(zhì)質(zhì)中中彈彈性性波波的的角角頻頻率率q 22qc cq 彈彈v934.一維復式格子波速的計算一維復式格子波速的計算 。原原子子間間的的距距離離晶晶格格常常數(shù)數(shù)個個原原子子的的位位移移；第第個個原原子子的的位位移移；第第 a mu mum1m1 dxxducauucFmm 恢復力：恢復力：1由由m+1原子

50、的位移而引起的對第原子的位移而引起的對第m各原子的恢復力還可以表示為：各原子的恢復力還可以表示為： mmu-uF1 ac aMm2 adrUd 22 aMmaMmac212122 彈彈v amMp 2v94三、長光學波三、長光學波1.長光學波振動的特點長光學波振動的特點 光學波中，原胞中不同的原子相對地作振動。光學波中，原胞中不同的原子相對地作振動。 波長波長a(原胞的線度原胞的線度)時，聲學波代表原胞質(zhì)心的時，聲學波代表原胞質(zhì)心的振動振動; 光學波表示原胞中原胞的質(zhì)心保持不動，相鄰原光學波表示原胞中原胞的質(zhì)心保持不動，相鄰原子做反位相振動。對于正負離子組成的晶體，長光學波子做反位相振動。對于

51、正負離子組成的晶體，長光學波使晶格出現(xiàn)宏觀極化。使晶格出現(xiàn)宏觀極化。 。而而大大原原子子振振動動的的幅幅度度小小小小原原子子振振動動的的幅幅度度大大，時時： MBmA mMqaMBA q0;cos2/2202 95962. 長光學波長光學波(1)兩種正負離子組成的復式格子兩種正負離子組成的復式格子立方晶體。立方晶體。(2)半波長內(nèi)，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負離半波長內(nèi)，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負離子組成的布喇菲子組成的布喇菲原胞反向位移。原胞反向位移。(3)晶體中出現(xiàn)宏晶體中出現(xiàn)宏觀的極化。觀的極化。(4)長光學波又稱長光學波又稱為為 極化波。極化波。E E97負離子質(zhì)量。負離

52、子質(zhì)量。正離子質(zhì)量；正離子質(zhì)量；mM負離子位移。負離子位移。正離子位移；正離子位移；uu位移參量。位移參量。 uVNW 折合質(zhì)量。折合質(zhì)量。 MmMm 3.長光學波的宏觀方程長光學波的宏觀方程(1)物理參量物理參量移的改變量。移的改變量。正離子和負離子相對位正離子和負離子相對位uuu起的宏觀電場強度。起的宏觀電場強度。正、負離子相對位移引正、負離子相對位移引E E宏觀極化強度。宏觀極化強度。P98(2)黃昆方程黃昆方程 )()(22211211b bWbPa bWbWE EE E 1221bb 其中：其中：E E 1211bWbW 離子相對運動的動力學方程。離子相對運動的動力學方程。準彈性恢準

53、彈性恢復力復力電場電場 E E 附附加的恢復力加的恢復力E E2221bWbP 正負離子相對位移正負離子相對位移產(chǎn)生的極化產(chǎn)生的極化電場電場E E 產(chǎn)生的產(chǎn)生的附加極化附加極化99(3)黃昆方程的物理意義黃昆方程的物理意義 黃昆方程的解具有如下形式：黃昆方程的解具有如下形式：無無旋旋。與與波波矢矢相相平平行行的的部部分分，縱縱波波，位位移移無無散散；與與波波矢矢相相垂垂直直的的部部分分，橫橫波波，位位移移WWWWLT 00TLLTWWWWW t-rqi exp其中其中q為波矢。為波矢。100(4)電介質(zhì)中無自由電荷時的極化電場電介質(zhì)中無自由電荷時的極化電場E E無無散散，即即電電位位移移D 0

54、0 PDE E E E2221bWbP 0022210 E EE EE E bWb022210E EE EbWb 只討論無旋電場只討論無旋電場WL可得：可得：LWbb22021- E E極化電場極化電場E E 是縱向場，它趨于減少縱向位移，增加了是縱向場，它趨于減少縱向位移，增加了縱向振動的恢復力，提高了光學波的縱向頻率縱向振動的恢復力，提高了光學波的縱向頻率 L0。101LWbb22021- E ELTWWW E E 1211bWbW (5)電介質(zhì)中無自由電荷時的振動方程電介質(zhì)中無自由電荷時的振動方程把把和和代入代入可得：可得：縱向振動方程縱向振動方程橫向振動方程橫向振動方程 LLTTWbb

55、b-bW WbW 22021121111 22021122022021121120201120bbbbbb-b-bTLT 102(6)靜電場下晶體的介電極化靜電場下晶體的介電極化 靜電場下靜電場下0 W E EE E20121112 bbbW E EE E1)(02021222-bbPs E E 1211bWbW 由由可得：可得：E E2221bWbP 代入代入可得：可得：數(shù)數(shù)。代代表表晶晶體體的的靜靜電電介介電電系系其其中中s 103電場的頻率遠遠高于晶格振動的頻率電場的頻率遠遠高于晶格振動的頻率0 W(7)光頻電場光頻電場(高頻高頻)下晶體的介電極化下晶體的介電極化 E E2221bWbP

56、 E EE E1022 bP數(shù)數(shù)。代代表表晶晶體體的的光光頻頻介介電電系系其其中中 021021120222020111;TsT-bbb -b 代入代入22021122020bbbTL sLT 2020LST關系關系1044.結論結論(2)晶體中存在長光學縱波晶體中存在長光學縱波(LO)和長光學橫波和長光學橫波(TO)。(3)長光學縱波聲子稱為極化聲子長光學縱波聲子稱為極化聲子(LO)，長光學縱波伴，長光學縱波伴隨有宏觀的極化電場，極化聲子隨有宏觀的極化電場，極化聲子縱光學聲子?？v光學聲子。(4)長光學橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場，長光學橫波聲長光學橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場，長光學橫波聲子稱為

57、電磁聲子子稱為電磁聲子(TO)，長光學橫波具有電磁性，可以和，長光學橫波具有電磁性，可以和光場發(fā)生耦合。光場發(fā)生耦合。 ；恒大于恒大于，恒大于恒大于001TLs 1053.4 固體比熱固體比熱一、經(jīng)典理論對定容比熱的描述一、經(jīng)典理論對定容比熱的描述1.比熱表達式比熱表達式VVTEC 當溫度不太低時，電子運動能量的變化對比熱的貢當溫度不太低時，電子運動能量的變化對比熱的貢獻較小獻較小(約占約占1%左右左右)，可以忽略。，可以忽略。2.杜隆杜隆-珀替定律珀替定律原原子子個個數(shù)數(shù)。勢勢能能。動動能能和和包包括括。每每一一個個自自由由度度能能量量均均為為；采采用用能能量量均均分分原原理理， NTkTk

58、TkTkTNkEBBBBB21213molKJ9 .241038. 110023. 6332323 BVVNkTEC動動能能量量晶晶格格振振動動能能量量和和電電子子運運括括：是是固固體體的的平平均均內(nèi)內(nèi)能能，包包E1063.杜隆杜隆-珀替定律的局限性珀替定律的局限性(1)杜隆杜隆-珀替定律只是在溫度比較高珀替定律只是在溫度比較高(300K以上以上)時和實驗時和實驗相符。相符。(2)當溫度較低時，杜隆當溫度較低時，杜隆-珀替定律和實驗不符。定容比珀替定律和實驗不符。定容比熱不再是常數(shù)，而是隨溫度降低而降低。熱不再是常數(shù)，而是隨溫度降低而降低。絕緣體的比熱按絕緣體的比熱按 T 3 趨于零；導體的比

59、熱按趨于零；導體的比熱按 T 趨于零。趨于零。4.原因原因 低溫時，能量均分的經(jīng)典理論已不再適用，必須用低溫時，能量均分的經(jīng)典理論已不再適用，必須用晶格振動的量子理論重新計算晶體的平均內(nèi)能。晶格振動的量子理論重新計算晶體的平均內(nèi)能。107二、量子理論對定容比熱的描述二、量子理論對定容比熱的描述1.平均內(nèi)能的計算平均內(nèi)能的計算(1)振子能量振子能量(量子化量子化) 21nEn為為貢貢獻獻，可可以以略略去去。不不隨隨溫溫度度變變化化，對對比比熱熱由由于于 21 故故能能量量： nEn 108(2)溫度為溫度為T時，頻率為時，頻率為 的振子的平均能量的振子的平均能量 根據(jù)波爾茲曼統(tǒng)計理論根據(jù)波爾茲曼

60、統(tǒng)計理論, 第第n個量子態(tài)個量子態(tài)(En=n )在在溫度溫度T出現(xiàn)的概率為：出現(xiàn)的概率為： 000nTknnTknnnnBBeenEE w 0nTknTknnBBee w狀狀態(tài)態(tài)和和： enTknB 0 109 00nTknnTknBBeenE ； 00nnxnnxene TkxB 1111ln000 xxnnxnnxnnxeedxdedxdene式中：式中：平均能量為：平均能量為： 1 TknBeE NiTkiNiiBieEE31311 (3)晶體的平均能量晶體的平均能量110(4)晶體平均能量的積分表示晶體平均能量的積分表示 之之間間的的格格波波數(shù)數(shù)，到到表表示示角角頻頻率率在在設設 dd