廣東省廣州市學(xué)大教育技術(shù)有限公司佛山分公司高中數(shù)學(xué)《第一章 解三角形》基礎(chǔ)知識和經(jīng)典例題詳解 新人教A版必修5

1、學(xué)大教育廣州技術(shù)佛山分公司高中數(shù)學(xué)必修5第一章 解三角形基礎(chǔ)知識和經(jīng)典例題詳解1、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，為的外接圓的半徑，則有2、正弦定理的變形公式： = 1 * GB3 ，； = 2 * GB3 ，； = 3 * GB3 ； = 4 * GB3 3、三角形面積公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推論：，6、簡單的判斷三角形設(shè)、是的角、的對邊，則： = 1 * GB3 若，則； = 2 * GB3 若，則； = 3 * GB3 若，則7解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素

2、還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類型：（1）兩類正弦定理解三角形的問題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角. 第2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.8三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，

3、統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.9.討論三角形解的情況分析：先由可進(jìn)一步求出B；則從而1當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須才能有且只有一解；否則無解。2當(dāng)A為銳角時(shí)，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解。（以上解答過程詳見課本第910頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無解。隨堂練習(xí)1（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個(gè)。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）

4、有兩解；（2）0；（3）二、典例解析題型1：正、余弦定理例1（1）在中，已知，cm，解三角形；解析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理， ；根據(jù)正弦定理，（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。根據(jù)正弦定理，因?yàn)椋?，或?dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，點(diǎn)評：應(yīng)用正弦定理時(shí)（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器例2（1）在ABC中，已知，求b及A；解析：（1）=COS=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）在ABC中，已知，解三角形解析：由余弦定理的推論得：

5、cos；cos；點(diǎn)評：應(yīng)用正弦定理時(shí)解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。* 2010年高考題的三個(gè)內(nèi)角滿足，則（A）一定是銳角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形. (D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C為鈍角（2010湖南文數(shù)）ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C=120，c=a，則A.ab B.abC. ab 【命題意圖】本題考查余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，不等式的性質(zhì)，比較法,屬中檔題（2010天津理數(shù)）（7）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A=（A） （

6、B） （C） （D）【答案】A【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題。由由正弦定理得，所以cosA=，所以A=300【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫呥\(yùn)算。（2010湖北理數(shù)）3.在中，a=15,b=10,A=60，則=A B C D 3【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理可得解得，又因?yàn)椋瑒t，故B為銳角，所以，故D正確.（2010山東理數(shù)）（2010廣東理數(shù)）11.已知a,b,c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=, A+C=2B,則sinC= .解：由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知

7、，即由知，則，題型2：三角形面積例3在中，求的值和的面積。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由計(jì)算它的對偶關(guān)系式的值。 = 1 * GB3 , = 2 * GB3 = 1 * GB3 + = 2 * GB3 得。 = 1 * GB3 = 2 * GB3 得。從而。以下解法略去。點(diǎn)評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡單呢？例4（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ， 的取值范圍為 . 解析 設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，例5（2009全國卷理）在中，內(nèi)角A、B

8、、C的對邊長分別為、，已知，且 求b 分析：:此題事實(shí)上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法：在中則由正弦定理及余弦定理有:（角化邊） 化簡并整理得：.又由已知.解得. 題型3：三角形中的三角恒等變換問題例6在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理

9、。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=。解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。=sinA=。評述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。例7在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。解析：因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，又ABC180，所以AC120，從而60，故tan

10、.由兩角和的正切公式，得。所以。點(diǎn)評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用。題型4：正、余弦定理判斷三角形形狀例8在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）答案：C解析：2sinAcosBsinC =sin（AB）=sinAcosB+cosAsinBsin（AB）0，AB另解：角化邊點(diǎn)評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑例9（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）為銳角， , （II）由（

11、I）知， 由得，即又 題型5：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例10（2009遼寧卷文，理）如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA， 在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為。 點(diǎn)評：解三角形等內(nèi)容提

12、到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。* 2010年高考題（2010陜西文數(shù)）17.（本小題滿分12分）在ABC中，已知B=45,D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長.解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.（2010遼寧文數(shù)）（17）（本小題滿分12分）在中，分別為內(nèi)角的對邊，且（）求的大小；（

13、）若，試判斷的形狀.解：（）由已知，根據(jù)正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因?yàn)?，故所以是等腰的鈍角三角形。（2010遼寧理數(shù)）（17）（本小題滿分12分） 在ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊，且 （）求A的大??；（）求的最大值.解：（）由已知，根據(jù)正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 6分（）由（）得： 故當(dāng)B=30時(shí)，sinB+sinC取得最大值1。 三、思維總結(jié)1解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C