數(shù)學(xué)建模方法

1、數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)建模方法初模型等數(shù)學(xué)初模型等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)模型的建立并不一定都要用高深的知識(shí)，衡量一個(gè)模型的好壞，要看這個(gè)模型是否易于應(yīng)用。在應(yīng)用效果相近的情況下，建模所用的知識(shí)越簡(jiǎn)單就越容易被人們接受。實(shí)際上，對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的問題，由于內(nèi)部機(jī)理比較明確，基本上用初等初等數(shù)學(xué)的方法就可以建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例：怎樣才能少淋雨桌子是否能在不平的地上放穩(wěn)公平席位的分配方法物品交換夫妻過河動(dòng)物的體型層次分析法層次分析法 層次分析法層次分析法（簡(jiǎn)稱AHP法）是一種定性分析與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法。特別是將決策者的經(jīng)驗(yàn)判斷給予量化，對(duì)目標(biāo)（因素）結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要數(shù)據(jù)的情況下更為

2、實(shí)用。原理關(guān)鍵詞：原理關(guān)鍵詞： 權(quán)數(shù) 矩陣 一致性建模步驟：建模步驟：建立層次結(jié)構(gòu)模型建立層次結(jié)構(gòu)模型 當(dāng)問題中所包含的因素劃分為不同層次時(shí)，用框圖形式說明層次的遞階結(jié)構(gòu)與因素的從屬關(guān)系。構(gòu)造判斷矩陣構(gòu)造判斷矩陣 當(dāng)相互比較因素的重要性能夠用具有實(shí)際意義的比值說明時(shí)，判斷矩陣相應(yīng)的值則可以取這個(gè)比值。層次單排序及其一致性檢驗(yàn)層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 通過判斷矩陣的特征根得到特征向量，經(jīng)過一系列歸化后即為同一層次相關(guān)因素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，然后進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。層次總排序?qū)哟慰偱判?計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于最高層相對(duì)重要性的排序。層次總排序的一致性檢驗(yàn)層次總排序的一致性檢驗(yàn) 這

3、一步驟也是從高到低逐層進(jìn)行的。層次分析法的應(yīng)用：層次分析法的應(yīng)用：企業(yè)合理利用資金問題；填報(bào)志愿；選擇外出旅游的理想交通工具等統(tǒng)計(jì)聚類模型統(tǒng)計(jì)聚類模型基本思想基本思想： 先將n個(gè)樣本各自看成一類，共有n類，然后規(guī)定樣本之間的距離和類與類之間的距離。開始時(shí)，由于n個(gè)樣本各自成一類，故類與類之間的距離就是樣本間的距離，將距離最小的一對(duì)并成一個(gè)新類，計(jì)算新類與其他類的距離，再將距離最近的類合并。原理關(guān)鍵詞原理關(guān)鍵詞： 相似系數(shù) 距離點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本聚類步驟：聚類步驟：步驟1：定義樣本間的距離（如取最簡(jiǎn)單的歐幾里得距離）。開始時(shí)，每個(gè)樣本看作一類，有步驟2：選擇 中最小者設(shè)為 ，把

4、 和 合并為一個(gè)新類，得新類步驟3：計(jì)算新類與其他類的距離步驟4：重復(fù)步驟2和步驟3，直至滿足聚類為止。),(),(jiDjid),(jiD),(qpDpGqGqprGGG),(),(min,),(min,),(minmin,),(min,),(min),(kqDkpDGkGjkjdGkGjkjdjkGkGGjkjdrkGkGrkrdkrDkqkpkqpkr點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本模糊數(shù)學(xué)方法模糊數(shù)學(xué)方法 對(duì)于不確定性問題，又可分為隨機(jī)不確定性與模糊不確定性兩類。模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué)就是研究屬于不確定性，而又具有模糊性量的變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)方法。原理關(guān)鍵詞原理關(guān)鍵詞： 模糊集 隸屬函數(shù)

5、 模糊關(guān)系 模糊矩陣點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本建模方法：建模方法：模糊聚類分析方法：模糊聚類分析方法： 1. 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化 2. 建立模糊相似矩陣 3. 聚類分析模糊綜合評(píng)判方法：模糊綜合評(píng)判方法： 1. 模糊綜合評(píng)判提法 2. 確定因素集、評(píng)判集、模糊評(píng)判矩陣線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型 線性規(guī)劃線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)重要組成部分，它起源于工業(yè)生產(chǎn)組織管理的決策問題，在數(shù)學(xué)上它用來(lái)確定多變量線性函數(shù)在變量滿足線性約束條件下的最優(yōu)值。原理關(guān)鍵詞原理關(guān)鍵詞： 多變量 線性函數(shù) 最優(yōu)值點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本一般線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：一般線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型：0,),()

6、,(),(. .max(min)21221122222121112121112211nnnmnmmnnnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcz點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本建模步驟：建模步驟：1.建立模型：找出目標(biāo)函數(shù)及相應(yīng)的限定條件2.模型的求解：可利用Lingo軟件進(jìn)行求解模型。3.結(jié)果分析4.靈敏度分析：改變個(gè)別相關(guān)系數(shù)觀察最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化。非線性規(guī)劃模型非線性規(guī)劃模型 非線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題可看作是線性規(guī)劃問題的一種自然推廣，凡是目標(biāo)函數(shù)和約束條件中包含有非線性函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題都稱為非線性規(guī)劃問題。主要分為有約束非線性規(guī)劃和無(wú)約束線性規(guī)劃。原理關(guān)

7、鍵詞原理關(guān)鍵詞：非線性函數(shù) 約束條件 目標(biāo)函數(shù)一般模型：一般模型：1.無(wú)約束的非線性規(guī)劃模型:其中， 是 非線性函數(shù)， 。稱 為可行域。2.約束的非線性規(guī)劃模型： 其中， 和 中至少有一個(gè)是 的非線性函數(shù)， ),(.),(min2121nnxxxtsxxxfffnxxx,21nRmixxxhtsxxxfnin, 2 , 1, 0),(. .),(min2121), 2 , 1(mihinxxx,21一般建模步驟：一般建模步驟：1.模型建立：找出決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件2.模型求解：用Lingo求解。微分方程模型微分方程模型 在研究一些實(shí)際問題時(shí)，常常無(wú)法直接得到各變量之間的聯(lián)系，而問題的特

8、性往往會(huì)給出關(guān)于變化率的一些關(guān)系，由此，我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型微分方程模型。微分方程模型不僅在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，而且在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、等領(lǐng)域也起到了很大作用。應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例：?jiǎn)畏N群模型(Malthus Logistic )兩種群模型傳染病模型（SI SIS SIR）作戰(zhàn)模型商品銷售模型回歸分析法模型回歸分析法模型 回歸分析回歸分析是研究變量間統(tǒng)計(jì)規(guī)律的方法，屬于”黑箱“建模中常用的方法，根據(jù)自變量的數(shù)值和變化，估計(jì)和預(yù)測(cè)因變量的相應(yīng)數(shù)值和變化。有線性回歸和非線性回歸。原理關(guān)鍵詞原理關(guān)鍵詞：“黑箱” 估計(jì)預(yù)測(cè) 統(tǒng)計(jì)規(guī)律一元線性回歸的基本應(yīng)用過程：一元線性回歸的基本

9、應(yīng)用過程：1.畫散點(diǎn)圖2.直接觀察3.設(shè)定模型4.擬合模型中參數(shù)5.檢驗(yàn)6.預(yù)測(cè)多元線性回歸模型多元線性回歸模型： 設(shè)因變量為 ，自變量為 ，假設(shè)已得到 n 組獨(dú)立數(shù)據(jù) ，并設(shè)它們之間具有如下線性關(guān)系其中， 是隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立且滿足 ypxxx,21), 2 , 1)(,(21nixxxyipiiinixxxyippiii, 2 , 1,22110i2)var(, 0)(iiE一般非線性模型的形式：一般非線性模型的形式：其中， 是一般的非線性函數(shù)， 是 維參數(shù)向量， 是一隨機(jī)誤差變量，fp2)var(, 0)(E建模步驟建模步驟：1.模型假設(shè)2.模型建立與求解3.結(jié)果分析4.模型評(píng)價(jià)灰色系統(tǒng)

10、方法灰色系統(tǒng)方法 灰色系統(tǒng)理論灰色系統(tǒng)理論提出了關(guān)聯(lián)分析方法，它根據(jù)因素之間發(fā)展趨勢(shì)的相似程度來(lái)衡量因素間的關(guān)聯(lián)程度，揭示事物間動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)的特征與程度。由于關(guān)聯(lián)分析方法以發(fā)展趨勢(shì)為立足點(diǎn)，所以它對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的多少和有無(wú)規(guī)律都沒有過分要求，計(jì)算量小，而且不會(huì)出現(xiàn)關(guān)聯(lián)度的量化結(jié)果與定性分析不符的情況。原理關(guān)鍵詞：原理關(guān)鍵詞：灰色朦朧集 灰序列生成 關(guān)聯(lián)分析模擬方法建模模擬方法建模 研究對(duì)象往往受到諸多不確定因素的影響，問題中涉及的變量往往是隨機(jī)變量隨機(jī)變量，變量間的關(guān)系也錯(cuò)綜復(fù)雜，無(wú)法用確定的函數(shù)關(guān)系來(lái)描述。若為了使建立模型簡(jiǎn)單，我們可以將其中的部分變量看作常量，但這樣建立的模型卻不能真實(shí)地反應(yīng)實(shí)際問

11、題，只能是對(duì)問題的近似描述。在解決某些實(shí)際問題時(shí)，常常需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行模擬模擬。原理關(guān)鍵詞原理關(guān)鍵詞： 隨機(jī) 分布 模擬建模方法：建模方法：方法1 利用理論分布，基于對(duì)問題的實(shí)際、合理的假設(shè)，選擇適當(dāng)?shù)睦碚摲植寄M隨機(jī)變量。方法2 基于實(shí)際數(shù)據(jù)的頻率作近似模擬。隨機(jī)存儲(chǔ)模型隨機(jī)存儲(chǔ)模型 隨機(jī)性存儲(chǔ)模型隨機(jī)性存儲(chǔ)模型是研究不確定性因素下隨機(jī)庫(kù)存模型中的多時(shí)期存儲(chǔ)控制系統(tǒng)，著重分析連續(xù)存盤的存儲(chǔ)控制系統(tǒng)在不同情況下確定的安全庫(kù)存量的最優(yōu)采購(gòu)策略?？煞譃樾枨鬄殡x散型隨機(jī)變量的存儲(chǔ)模型和需求為連續(xù)型隨機(jī)變量的存儲(chǔ)模型。需求為離散型隨機(jī)變量的存儲(chǔ)模型需求為離散型隨機(jī)變量的存儲(chǔ)模型實(shí)例：報(bào)童問題已知每1

12、00份報(bào)紙報(bào)童全部賣出可獲得7元，如果當(dāng)天賣不掉，第二天可削價(jià)全部賣出，但每100份將賠4元。報(bào)童每天售出的報(bào)紙數(shù)x（百份）是一隨機(jī)變量，問報(bào)童每天訂多少報(bào)紙最佳？建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)每天訂購(gòu)Q份報(bào)紙，則收益函數(shù)為利潤(rùn)的期望為：分別求出Q=0,1,2,3,4,5時(shí)的利潤(rùn)期望，通過比較期望，取期望最大時(shí)的Q。X 0 1 2 3 4 5 P(x) 0.05 0.1 0.25 0.35 0.15 0.1 需求為連續(xù)型隨機(jī)變量的存儲(chǔ)模型需求為連續(xù)型隨機(jī)變量的存儲(chǔ)模型:實(shí)例：物質(zhì)存儲(chǔ)模型煤炭供應(yīng)部門煤的進(jìn)價(jià)為26元/kg，需售價(jià)70元/kg。若當(dāng)年賣不出去，則第二年削價(jià)處理，如果供應(yīng)短缺，有關(guān)部門罰款10元

13、/kg，已知顧客對(duì)煤炭年需求量x服從均勻分布，分布函數(shù)：求一年煤炭最優(yōu)存儲(chǔ)策略。建立模型：設(shè)存儲(chǔ)的煤炭為Q，收益為：80000,600002000020000, 0)(xxxxxFQxxQQxQxQxQQxQQxQxQxy,1015,914,65)(1070,65)(5670設(shè)P(x)為顧客對(duì)煤炭需求量xkg的概率，顯然供應(yīng)部門收益的期望值：兩邊對(duì)Q求導(dǎo)，再令 ,則得 可得最佳方案是一年存儲(chǔ)57500kg. 1)(0dxxPQQdxxPxQdxxPQxxyEQg)()1015()()914()()(00)(dQQdgQdxxP0625. 0561070651070)(

14、625. 06000020000Q排隊(duì)論方法建模排隊(duì)論方法建模 排隊(duì)論排隊(duì)論主要是對(duì)系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，研究諸如單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)系統(tǒng)能夠服務(wù)的顧客平均數(shù)、顧客平均排隊(duì)時(shí)間、排隊(duì)顧客的平均數(shù)等數(shù)列規(guī)律。排隊(duì)系統(tǒng)中的運(yùn)行指標(biāo)：排隊(duì)系統(tǒng)中的運(yùn)行指標(biāo)：系統(tǒng)中的顧客數(shù)=等待服務(wù)的顧客數(shù)+正在被服務(wù)的顧客數(shù)逗留時(shí)間=的等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間排隊(duì)過程的一般模型排隊(duì)過程的一般模型：輸入過程：顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的過程，有如下特征：顧客源的組成可以是有限的也可以是無(wú)限的；顧客來(lái)的方式可以是一個(gè)一個(gè)，也可能是成批的來(lái)；顧客到達(dá)的時(shí)間間隔可以是確定型也可以是隨機(jī)型；顧客到達(dá)是相互獨(dú)立的；輸入過程是平穩(wěn)的。排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則：顧客到達(dá)后的排隊(duì)方式、形狀和隊(duì)列數(shù)目三條特征三條特征：排隊(duì)方式：損失制、等待制、混合制；排隊(duì)可以是