大學(xué)物理(上)習(xí)題講解(靜電場(chǎng)部分)

1、南昌大學(xué)南昌大學(xué) 陳國云陳國云2014年年4月月19日日例例7-17-1 三個(gè)電荷量均為三個(gè)電荷量均為q的正負(fù)電荷，固定在一的正負(fù)電荷，固定在一邊長邊長a=1m 的等邊三角形的頂角（圖的等邊三角形的頂角（圖a) )上。上。 另一另一個(gè)電荷個(gè)電荷+ +Q在這三個(gè)電荷靜電力作用下可沿其對(duì)稱在這三個(gè)電荷靜電力作用下可沿其對(duì)稱軸（軸（o-x）自由移動(dòng)，求電荷）自由移動(dòng)，求電荷+ +Q的平衡位置和所受的平衡位置和所受到的最大排斥力的位置。到的最大排斥力的位置。o-qq+Qqara/2xy(a)F3解：解：如圖如圖b所示，所示，20204cos42xQqrQqFo-qq+Qqara/2xy(b)F1F F

2、2 2式中式中222322axarrax23cos正電荷正電荷Q受到受到- -q的吸引力的吸引力F1 1沿沿ox軸負(fù)方向；軸負(fù)方向；兩個(gè)兩個(gè)+ +q對(duì)它的排斥力對(duì)它的排斥力F2 2和和F3 3的合力沿的合力沿ox正方向；正方向；因此，作用在因此，作用在Q上的總合上的總合力為：力為：22322012342324xaxaaxQqF則 0 xF令令可求得可求得Q受到零作用力的位置受到零作用力的位置( )d0dF xX=可求得可求得Q Q受到最大排斥力的位置受到最大排斥力的位置再令再令 例例7-27-2 按量子理論，在氫原子中，核外電子快速地按量子理論，在氫原子中，核外電子快速地運(yùn)動(dòng)著，并以一定的概率

3、出現(xiàn)在原子核（質(zhì)子的周運(yùn)動(dòng)著，并以一定的概率出現(xiàn)在原子核（質(zhì)子的周圍各處，在基態(tài)下，電子在半徑圍各處，在基態(tài)下，電子在半徑r0.5290.5291010-10-10的的球面附近出現(xiàn)的概率最大球面附近出現(xiàn)的概率最大. .試計(jì)算在基態(tài)下試計(jì)算在基態(tài)下, ,氫原子內(nèi)氫原子內(nèi)電子和質(zhì)子之間的靜電力和萬有引力電子和質(zhì)子之間的靜電力和萬有引力, ,并比較兩者的大并比較兩者的大小小. .引力常數(shù)為引力常數(shù)為G =6.67=6.671010-11-11N Nm m2 2/kg/kg2 2 解解: : 按庫侖定律計(jì)算按庫侖定律計(jì)算, ,電子和質(zhì)子之間的靜電力為電子和質(zhì)子之間的靜電力為22041reF N1022

4、. 88應(yīng)用萬有引力定律應(yīng)用萬有引力定律, , 電子和質(zhì)子之間的萬有引力為電子和質(zhì)子之間的萬有引力為471223 6310Nm mFG.r-= 可見在原子中可見在原子中, ,電子和質(zhì)子之間的靜電力遠(yuǎn)比電子和質(zhì)子之間的靜電力遠(yuǎn)比萬有引力大。由此萬有引力大。由此, ,在處理電子和質(zhì)子之間的相互在處理電子和質(zhì)子之間的相互作用時(shí)作用時(shí), ,只需考慮靜電力只需考慮靜電力, ,萬有引力可以略去不計(jì)。萬有引力可以略去不計(jì)。自然界存在的幾種靜電力自然界存在的幾種靜電力原子結(jié)合成分子的結(jié)合力。原子結(jié)合成分子的結(jié)合力。原子、分子結(jié)合形成液體或者固體時(shí)的結(jié)合力。原子、分子結(jié)合形成液體或者固體時(shí)的結(jié)合力?；瘜W(xué)反應(yīng)和生

5、物過程中的結(jié)合力（化學(xué)反應(yīng)和生物過程中的結(jié)合力（DNA分子雙螺分子雙螺旋結(jié)構(gòu)的形成）旋結(jié)構(gòu)的形成） 。由此得靜電力與萬有引力的比值為由此得靜電力與萬有引力的比值為391026. 2gFeF例例7-37-3 試求電偶極子在均勻外電場(chǎng)中所受的作用，試求電偶極子在均勻外電場(chǎng)中所受的作用，并分析電偶極子在非均勻外電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。并分析電偶極子在非均勻外電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。pqE1F2FqM解：解：如圖所示，在均勻外電場(chǎng)如圖所示，在均勻外電場(chǎng)中，電偶極子的正負(fù)電荷上的中，電偶極子的正負(fù)電荷上的電場(chǎng)力的大小為：電場(chǎng)力的大小為：qEFFF21由于由于1F1F大小相等、方向相反，合力為零；大小相等、方向相反，合力為零

6、；產(chǎn)生的合力矩大小為：產(chǎn)生的合力矩大小為：電偶極子定義電偶極子定義:一對(duì)相距為一對(duì)相距為l 帶電量相同帶電量相同,電性相反的電性相反的點(diǎn)電荷系。點(diǎn)電荷系。：由負(fù)電荷指向正電荷：由負(fù)電荷指向正電荷電偶極子的電偶極矩：電偶極子的電偶極矩：l qplEpMsinsinsinpEqElFlM矢量式為矢量式為在此力矩作用下電偶極矩將轉(zhuǎn)向外電場(chǎng)方向直到電在此力矩作用下電偶極矩將轉(zhuǎn)向外電場(chǎng)方向直到電矩與外電場(chǎng)方向一致。矩與外電場(chǎng)方向一致。在非均勻外電場(chǎng)中，電偶極子一方面受力矩作用，在非均勻外電場(chǎng)中，電偶極子一方面受力矩作用，另一方面，所受合力不為零，場(chǎng)強(qiáng)較強(qiáng)一端電荷受另一方面，所受合力不為零，場(chǎng)強(qiáng)較強(qiáng)一端電

7、荷受力較大，促使偶極子向場(chǎng)強(qiáng)較強(qiáng)方向移動(dòng)，如圖所力較大，促使偶極子向場(chǎng)強(qiáng)較強(qiáng)方向移動(dòng)，如圖所示：示：1F2Fqq1F2Fqq2Fqq1FyxA(x,0)EEE+qq2 / l2/ l例例7-4 求電偶極子軸線的延長線上和中垂線上任一求電偶極子軸線的延長線上和中垂線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)。點(diǎn)的電場(chǎng)。解：解： 電偶極子軸線的延長線上任一點(diǎn)電偶極子軸線的延長線上任一點(diǎn)A(x,0)的電場(chǎng)。的電場(chǎng)。+qq2 / l2/ lilxqE2024ilxqE2024 A點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)為：點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)為：+qq2 / l2/ lEEEAilxqlxqq2020024244ilxlxxqxl2202242ixqlEA30241ixp

8、30241lxr)4/(22lrq電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)。 EE041EE2cos)4/(412220lrq2/122)4/(2/lrlP+qq2/ l2/ lEEE用矢量形式表示為：用矢量形式表示為：若若 rl2/3220)4/lr (41pE3rpE0412/3220)4/(41lrql結(jié)論：結(jié)論：電偶極子中垂線上，距離中心較遠(yuǎn)處一點(diǎn)的電偶極子中垂線上，距離中心較遠(yuǎn)處一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，與電偶極子的電矩成正比，與該點(diǎn)離中心的場(chǎng)強(qiáng)，與電偶極子的電矩成正比，與該點(diǎn)離中心的距離的三次方成反比，方向與電矩方向相反。距離的三次方成反比，方向與電矩方向相反。 解：解：建立直角

9、坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系 取線元取線元dx 帶電帶電xqdd20d41drxEcosd41d20rxExsind41d20rxEyxrExdcos4120 xrEydsin4120將將投影到坐標(biāo)軸投影到坐標(biāo)軸上上Edyxa ap p 1 1 2 2Edd dE Ed dE Ey yd dx xr r例例7-5 7-5 求距離均勻帶電細(xì)棒為求距離均勻帶電細(xì)棒為a 的的 p點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度。點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度。 設(shè)棒長為設(shè)棒長為L , 帶電量帶電量q ，電荷線密度為，電荷線密度為 =q/L 積分變量代換積分變量代換sin/ar actgxdcscd2ax 代入積分表達(dá)式代入積分表達(dá)式dcsccsccos4222

10、021aaEx21dcos40a)sin(sin4120a 同理可算出同理可算出)cos(cos4210aEyyxa ap p 1 1 2 2Edd dE Ed dE Ey yd dxr r當(dāng)直線長度當(dāng)直線長度無限長均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)：無限長均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)：極限情況，由極限情況，由)cos(cos4210aEy)sin(sin4120aEx0 xEaaEy00224aEEy02L012 例例7-6 求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)x x處的電場(chǎng)。處的電場(chǎng)。xpRpxRrxzyEd解：解： 例例7-6 求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)x x處的

11、電場(chǎng)。處的電場(chǎng)。qddlRqdldq22041rdqEdidEEdx/kdEjdEEdzy所以，由對(duì)稱性所以，由對(duì)稱性當(dāng)當(dāng)dq 位置發(fā)生變化時(shí)，它所激發(fā)的電場(chǎng)位置發(fā)生變化時(shí)，它所激發(fā)的電場(chǎng)矢量構(gòu)成了一個(gè)圓錐面。矢量構(gòu)成了一個(gè)圓錐面。Ed.qdRzxyEd0zyEE204/rrqx由對(duì)稱性由對(duì)稱性20d41drqE0zyEEcosdEEExqrd4cos20204cosrq304rqx2/3220)(4xRqxxxpRrzyqdEd討論：討論：即在圓環(huán)的中心，即在圓環(huán)的中心，E=02/3220)(4xRqxE由由當(dāng)當(dāng)0 x當(dāng)當(dāng)x時(shí)時(shí) 即即p點(diǎn)遠(yuǎn)離圓環(huán)時(shí)，點(diǎn)遠(yuǎn)離圓環(huán)時(shí)，22 3 23()/Rxx+

12、204xqE與環(huán)上電荷全部集中在環(huán)中心處一個(gè)點(diǎn)電荷所激與環(huán)上電荷全部集中在環(huán)中心處一個(gè)點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)相同。發(fā)的電場(chǎng)相同。Rrdr例例7-7 求均勻帶電圓盤軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)。求均勻帶電圓盤軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)。解：解：由例由例6 6均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)2/3220)(4xRxqE2/3220)(4ddxrqxE2/3220)(4d2xrrrx2/1220)(12xRxxPEdRxrrrxE02/3220)(d42討論：討論：1. . 當(dāng)當(dāng)xR2. . 當(dāng)當(dāng)R時(shí)，高斯面內(nèi)電荷量即時(shí)，高斯面內(nèi)電荷量即為球面上的全部電荷，為球面上的全部電荷，高斯面高斯面可見，電

13、荷均勻分布在球面時(shí)，可見，電荷均勻分布在球面時(shí)，它在球面外的電場(chǎng)就與全部電它在球面外的電場(chǎng)就與全部電荷都集中在球心的點(diǎn)電荷所激荷都集中在球心的點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)完全相同。發(fā)的電場(chǎng)完全相同。（2）電荷分布在整個(gè)球體內(nèi)：）電荷分布在整個(gè)球體內(nèi)：+2 rr0RE均勻帶電球面電場(chǎng)強(qiáng)度曲線如均勻帶電球面電場(chǎng)強(qiáng)度曲線如上圖。上圖。204rqEin204rq+ + + + + + + + + + + + + + + + +q qrR 時(shí)，高斯面內(nèi)電荷量即為球體上的全部電荷，時(shí)，高斯面內(nèi)電荷量即為球體上的全部電荷，球體外電場(chǎng)和電荷均勻分布在球面上時(shí)球面外電場(chǎng)球體外電場(chǎng)和電荷均勻分布在球面上時(shí)球面外電場(chǎng)完全相同

14、。完全相同。高斯面高斯面+rR 時(shí)，時(shí)，設(shè)電荷體密度為設(shè)電荷體密度為334Rq334rqin204rqEin+ + + + + + + + + + + + + + + + +q q高斯面高斯面+304Rqr可見，球體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)隨可見，球體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)隨r線性增加。線性增加。均勻帶電球體電場(chǎng)強(qiáng)度曲線如均勻帶電球體電場(chǎng)強(qiáng)度曲線如上圖。上圖。r0RE2 r204rqEin3320343441RqrrEE例例7-97-9 均勻帶電無限大平面的電場(chǎng)均勻帶電無限大平面的電場(chǎng). .電荷及場(chǎng)分布：面對(duì)稱性，場(chǎng)方向沿法向。電荷及場(chǎng)分布：面對(duì)稱性，場(chǎng)方向沿法向。解：解：高斯面高斯面: :作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，作軸

15、線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為底面積為S，兩底面到帶電平面距離相同。，兩底面到帶電平面距離相同。ESEESEEs2dd 兩底SS圓柱形高斯面內(nèi)電荷圓柱形高斯面內(nèi)電荷Sq由高斯定理得由高斯定理得0/2SES 02E可見，無限大均勻帶電可見，無限大均勻帶電平面激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度與平面激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度與離面的距離無關(guān)，即面離面的距離無關(guān)，即面的兩側(cè)形成勻強(qiáng)電場(chǎng)。的兩側(cè)形成勻強(qiáng)電場(chǎng)。矢量式為：矢量式為：ESEneE02R例例7-107-10 求電荷呈無限長圓柱形軸對(duì)稱均勻分布時(shí)所激求電荷呈無限長圓柱形軸對(duì)稱均勻分布時(shí)所激發(fā)的電場(chǎng)。圓柱半徑為發(fā)的電場(chǎng)。圓柱半徑為R R，沿軸線方向單位長度帶電量，沿軸線方

16、向單位長度帶電量為為 。高斯面：與帶電圓柱同軸的圓柱高斯面：與帶電圓柱同軸的圓柱形閉形閉 合面合面, ,高為高為l,半徑為半徑為r電荷及場(chǎng)分布：柱對(duì)稱性，場(chǎng)方電荷及場(chǎng)分布：柱對(duì)稱性，場(chǎng)方向沿徑向。向沿徑向。 側(cè)面SSEddEs由高斯定理知由高斯定理知lrqE02解：解：rlE2lr（1 1）當(dāng)）當(dāng)rR 時(shí)，時(shí)，lqrE02均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)分布均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)分布E Er r 關(guān)系曲線關(guān)系曲線R02R1rEr0l矢量式為：矢量式為：rerE02例例7-117-11 計(jì)算電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)。計(jì)算電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電勢(shì)。rqrqVP0044式中式中r+ +與與r- -分別為分別為

17、+ +q和和- -q到到P P點(diǎn)的距離，由圖可知點(diǎn)的距離，由圖可知yPx+q+q- -q re e/2/2re/2/2O Or+ +r- -r解：解：設(shè)電偶極子如圖放置，電偶設(shè)電偶極子如圖放置，電偶極子的電場(chǎng)中任一點(diǎn)極子的電場(chǎng)中任一點(diǎn)P的電勢(shì)為的電勢(shì)為302044cosrrPrqrVeeP 由于由于r re ，所以，所以P P點(diǎn)的電勢(shì)可寫為點(diǎn)的電勢(shì)可寫為2200cos2cos4cos21cos214 eeeePrrrqrrrrqV因此因此 cos2errr cos2errr +例例7-127-12 一半徑為一半徑為R 的圓環(huán)，均勻帶有電荷量的圓環(huán)，均勻帶有電荷量q 。計(jì)算圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)計(jì)算圓

18、環(huán)軸線上任一點(diǎn)P 處的電勢(shì)。處的電勢(shì)。+dl解：解：設(shè)環(huán)上電荷線密度為設(shè)環(huán)上電荷線密度為環(huán)上任取一長度為環(huán)上任取一長度為dl的電荷元，其所帶電荷的電荷元，其所帶電荷ddd2q lqlRlp=該電荷元在該電荷元在p 點(diǎn)電勢(shì)為：點(diǎn)電勢(shì)為：rqV04ddRrlq2d410oprxxR22028dxRRlq整個(gè)圓環(huán)在整個(gè)圓環(huán)在p p 點(diǎn)的電勢(shì)為點(diǎn)的電勢(shì)為VVdRxRRlq2022028d2204xRRq例例7-137-13 計(jì)算均勻帶電球面的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。球面計(jì)算均勻帶電球面的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。球面半徑為半徑為R R，總帶電量為，總帶電量為q q。解：解：（1 1）取無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)；）取無窮遠(yuǎn)

19、處為電勢(shì)零點(diǎn)；（2 2）由高斯定律可知電場(chǎng)分布為；）由高斯定律可知電場(chǎng)分布為；（3 3）確定電勢(shì)分布；）確定電勢(shì)分布；+ + + + + + + + + + + + + + + + +q qR Ro o)( 41 )( 020RrerqERrEr(1) (1) 當(dāng)當(dāng)rR時(shí)時(shí)(2)(2)當(dāng)當(dāng)r r R R時(shí)時(shí)PrEVPdRrrqd4120Rqo4PrEVPdrrrqd4120rqo4Rq04rV VR1Vr+ + + + + + + + + + + + + + + + +q qR Ro o電勢(shì)分布曲線電勢(shì)分布曲線場(chǎng)強(qiáng)分布曲線場(chǎng)強(qiáng)分布曲線E EV VRRrrO OO O結(jié)論：結(jié)論：均勻帶電球面，球

20、內(nèi)的電勢(shì)等于球表面的電勢(shì)，均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢(shì)等于球表面的電勢(shì)，球外的電勢(shì)等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷的電勢(shì)。球外的電勢(shì)等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷的電勢(shì)。204RqRq042 r1 r 解：解：令無限長直線如圖放置，其上電荷線密度為令無限長直線如圖放置，其上電荷線密度為 。計(jì)算在計(jì)算在x軸上距直線為的任一點(diǎn)軸上距直線為的任一點(diǎn)P P處的電勢(shì)。處的電勢(shì)。yrOPP1xr1因?yàn)闊o限長帶電直線的電荷分布因?yàn)闊o限長帶電直線的電荷分布延伸到無限遠(yuǎn)的，所以在這種情延伸到無限遠(yuǎn)的，所以在這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電勢(shì)況下不能用連續(xù)分布電荷的電勢(shì)公式來計(jì)算電勢(shì)公式來計(jì)算電勢(shì)V，否則必得出無，否則

21、必得出無限大的結(jié)果，顯然是沒有意義的。限大的結(jié)果，顯然是沒有意義的。同樣也不能直接用公式來計(jì)算電同樣也不能直接用公式來計(jì)算電勢(shì)，不然也將得出電場(chǎng)任一點(diǎn)的勢(shì)，不然也將得出電場(chǎng)任一點(diǎn)的電勢(shì)值為無限大的結(jié)果。電勢(shì)值為無限大的結(jié)果。例例7-147-14 計(jì)算無限長均勻帶電直線電場(chǎng)的電勢(shì)分布。計(jì)算無限長均勻帶電直線電場(chǎng)的電勢(shì)分布。 為了能求得為了能求得P點(diǎn)的電勢(shì)，可先應(yīng)用電勢(shì)差和場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)的電勢(shì)，可先應(yīng)用電勢(shì)差和場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系式，求出在軸上的關(guān)系式，求出在軸上P點(diǎn)點(diǎn)P1和點(diǎn)的電勢(shì)差。無限和點(diǎn)的電勢(shì)差。無限長均勻帶電直線在長均勻帶電直線在x軸上的場(chǎng)強(qiáng)為軸上的場(chǎng)強(qiáng)為rE02 于是，過于是，過P點(diǎn)沿點(diǎn)沿x軸積分可算得

22、軸積分可算得P點(diǎn)與參考點(diǎn)點(diǎn)與參考點(diǎn)P1 1的電勢(shì)差的電勢(shì)差 rrrrrEVVrrrrPP100ln2d2d111 由于由于ln1=0=0，所以本題中若選離直線為，所以本題中若選離直線為r1 1=1 m=1 m處處作為電勢(shì)零點(diǎn)，則很方便地可得作為電勢(shì)零點(diǎn)，則很方便地可得P點(diǎn)的電勢(shì)為點(diǎn)的電勢(shì)為 點(diǎn)電荷的等勢(shì)面點(diǎn)電荷的等勢(shì)面 在靜電場(chǎng)中，電勢(shì)相等的點(diǎn)在靜電場(chǎng)中，電勢(shì)相等的點(diǎn)所組成的面稱為等勢(shì)面。所組成的面稱為等勢(shì)面。典型等勢(shì)面典型等勢(shì)面rVP1ln20 由上式可知，在由上式可知，在r1 m處處, ,VP P為負(fù)值；在為負(fù)值；在rr），），用一根很長的細(xì)導(dǎo)線連接起來（如圖），使這個(gè)導(dǎo)體用一根很長的細(xì)導(dǎo)

23、線連接起來（如圖），使這個(gè)導(dǎo)體組帶電，電勢(shì)為組帶電，電勢(shì)為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的，求兩球表面電荷面密度與曲率的關(guān)系。關(guān)系。Q Q兩個(gè)導(dǎo)體所組成的整體可看成是一個(gè)孤立導(dǎo)體系，在兩個(gè)導(dǎo)體所組成的整體可看成是一個(gè)孤立導(dǎo)體系，在靜電平衡時(shí)有一定的電勢(shì)值。設(shè)這兩個(gè)球相距很遠(yuǎn)，使靜電平衡時(shí)有一定的電勢(shì)值。設(shè)這兩個(gè)球相距很遠(yuǎn)，使每個(gè)球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場(chǎng)可忽略不每個(gè)球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場(chǎng)可忽略不計(jì)。細(xì)線的作用是使兩球保持等電勢(shì)。因此，每個(gè)球又計(jì)。細(xì)線的作用是使兩球保持等電勢(shì)。因此，每個(gè)球又可近似的看作為孤立導(dǎo)體，在兩球表面上的電荷分布各可近似的看作為孤立導(dǎo)體，在兩球表面

24、上的電荷分布各rqRQV004141 rRqQ 可見大球所帶電量可見大球所帶電量Q比小球所帶電量比小球所帶電量q多。多。兩球的電荷密度分別為兩球的電荷密度分別為24,24rqRQrR 對(duì)孤立導(dǎo)體可見電荷面密度和半對(duì)孤立導(dǎo)體可見電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈小（或徑成反比，即曲率半徑愈?。ɑ蚯视螅?，電荷面密度愈大。曲率愈大），電荷面密度愈大。自都是均勻的。設(shè)大球所帶電荷量為自都是均勻的。設(shè)大球所帶電荷量為Q，小球所帶電，小球所帶電荷量為荷量為q，則兩球的電勢(shì)為，則兩球的電勢(shì)為例例8-28-2 （1 1）如果人體感應(yīng)出）如果人體感應(yīng)出1C1C的電荷，試以最簡的電荷，試以最簡單的模型估計(jì)人

25、體的電勢(shì)可達(dá)多少？單的模型估計(jì)人體的電勢(shì)可達(dá)多少？（2 2）在干燥的天氣里，空氣的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度為）在干燥的天氣里，空氣的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度為3MV/m3MV/m，當(dāng)人手指接近門上的金屬門把手時(shí)可能產(chǎn)生的電火，當(dāng)人手指接近門上的金屬門把手時(shí)可能產(chǎn)生的電火花有多長？花有多長？解：解： 把人體看作半徑把人體看作半徑1m的球體，于是人的電勢(shì)為的球體，于是人的電勢(shì)為301094RqVV火花放電長度為火花放電長度為3EVdm例例8-38-3 兩平行放置的帶電大金屬板兩平行放置的帶電大金屬板A和和B，面積均為，面積均為S，A板帶電板帶電QA A，B板帶電板帶電QB B，忽略邊緣效應(yīng)，求兩塊，忽略邊緣效應(yīng)，求兩塊板

26、四個(gè)面的電荷面密度。板四個(gè)面的電荷面密度。解：解：設(shè)兩板四個(gè)面的電荷面密設(shè)兩板四個(gè)面的電荷面密度分別為度分別為12341234AB1p2p在兩個(gè)板內(nèi)各選一點(diǎn)在兩個(gè)板內(nèi)各選一點(diǎn)P1 1、P2 2，由于靜電平衡，導(dǎo)體內(nèi)任，由于靜電平衡，導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為零一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為零01pE02pEx由于電場(chǎng)為四個(gè)面上電荷共同激發(fā)的，取由于電場(chǎng)為四個(gè)面上電荷共同激發(fā)的，取X軸正方軸正方向如圖向如圖 對(duì)對(duì)P1 10222204030201E0222204030201E對(duì)對(duì)P2 2得得3241,可見，平行放置的帶電大金屬板可見，平行放置的帶電大金屬板相向兩個(gè)面上電荷面密度大小相相向兩個(gè)面上電荷面密度大小相等，

27、符號(hào)相反；相背兩個(gè)面上電等，符號(hào)相反；相背兩個(gè)面上電荷面密度大小相等，符號(hào)相同。荷面密度大小相等，符號(hào)相同。()()1234ABSQ ,SQssss+=+=SQQBA241SQQBA2411234AB1p2px例例8-48-4 靜電除塵器由半徑為靜電除塵器由半徑為ra a的金屬圓筒的金屬圓筒( (陽極陽極) )和半和半徑為徑為rb b 的同軸圓細(xì)線的同軸圓細(xì)線( (陰極陰極).).如果空氣在一般情況下的如果空氣在一般情況下的擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度為擊穿電場(chǎng)強(qiáng)度為3.0MV/m,3.0MV/m,試提出一個(gè)靜電除塵器圓筒試提出一個(gè)靜電除塵器圓筒和中心線粗細(xì)的設(shè)計(jì)方案和中心線粗細(xì)的設(shè)計(jì)方案. .灰塵出口灰塵出

28、口解解: :中心軸線帶電后中心軸線帶電后, ,距中心距中心軸軸r處的電場(chǎng)強(qiáng)度處的電場(chǎng)強(qiáng)度rE02這里這里是中心軸線上的電是中心軸線上的電荷線密度荷線密度. .中心軸線與金中心軸線與金屬圓筒間的電勢(shì)差為屬圓筒間的電勢(shì)差為abrrrEUdabrrrrd20barrrln20上面兩式相除消去上面兩式相除消去, ,有有barrrUEln上式說明中心軸線與金屬圓筒間加上電勢(shì)差上式說明中心軸線與金屬圓筒間加上電勢(shì)差U后后, ,在在圓筒內(nèi)的電場(chǎng)隨圓筒內(nèi)的電場(chǎng)隨r迅速減小迅速減小. .中心軸線處電場(chǎng)最強(qiáng)中心軸線處電場(chǎng)最強(qiáng), ,靠靠近外圓筒處最弱近外圓筒處最弱. .在所加電壓和某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)在所加電壓和某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)( (

29、如如: :筒內(nèi)表筒內(nèi)表面附近為面附近為3.0MV/m)3.0MV/m)已知情況下已知情況下, ,利用上面場(chǎng)強(qiáng)公式原利用上面場(chǎng)強(qiáng)公式原則上可以算出所需筒與線的尺寸則上可以算出所需筒與線的尺寸. .但為一超越方程但為一超越方程, ,一般用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解一般用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解. .例例8-58-5 在內(nèi)外半徑分別為在內(nèi)外半徑分別為R R1 1和和R R2 2的導(dǎo)體球殼內(nèi)，有一的導(dǎo)體球殼內(nèi)，有一個(gè)半徑為個(gè)半徑為r r 的導(dǎo)體小球，小球與球殼同心，讓小球與的導(dǎo)體小球，小球與球殼同心，讓小球與球殼分別帶上電荷量球殼分別帶上電荷量q q和和Q Q。試求：。試求： （1 1）小球的電勢(shì)）小球的電勢(shì)V V

30、r r，球殼內(nèi)、外表面的電勢(shì)；，球殼內(nèi)、外表面的電勢(shì)； （2 2）小球與球殼的電勢(shì)差；）小球與球殼的電勢(shì)差； （3 3）若球殼接地，再求小球與球殼的電勢(shì)差。）若球殼接地，再求小球與球殼的電勢(shì)差。 1R2Rr解：解：（1）由對(duì)稱性可以肯定，小球表面上和球殼）由對(duì)稱性可以肯定，小球表面上和球殼內(nèi)外表面上的電荷分布是均勻的。小球上的電荷內(nèi)外表面上的電荷分布是均勻的。小球上的電荷q將在球殼的內(nèi)外表面上感應(yīng)出將在球殼的內(nèi)外表面上感應(yīng)出-q和和q的電荷，而的電荷，而Q只能分布在球殼的外表面上，故球殼外表面上的只能分布在球殼的外表面上，故球殼外表面上的總電荷量為總電荷量為q+Q。 小球和球殼內(nèi)外表面的電勢(shì)分

31、別為小球和球殼內(nèi)外表面的電勢(shì)分別為 21041RQqRqrqVr2021104411RQqRQqRqRqVR 2022204412RQqRQqRqRqVR10114RrqVVRr球殼內(nèi)外表面的電勢(shì)相等。球殼內(nèi)外表面的電勢(shì)相等。（3）若外球殼接地，則球殼外表面上的電荷消）若外球殼接地，則球殼外表面上的電荷消失。兩球的電勢(shì)分別為失。兩球的電勢(shì)分別為（2）兩球的電勢(shì)差為）兩球的電勢(shì)差為10114RrqVr021RRVV10114RrqVVRr兩球的電勢(shì)差仍為兩球的電勢(shì)差仍為 由結(jié)果可以看出，不管外球殼接地與否，兩由結(jié)果可以看出，不管外球殼接地與否，兩球的電勢(shì)差恒保持不變。當(dāng)球的電勢(shì)差恒保持不變。當(dāng)q

32、為正值時(shí)，小球的電為正值時(shí)，小球的電勢(shì)高于球殼；當(dāng)勢(shì)高于球殼；當(dāng)q為負(fù)值時(shí)，小球的電勢(shì)低于球殼為負(fù)值時(shí)，小球的電勢(shì)低于球殼, 與小球在殼內(nèi)的位置無關(guān)，如果兩球用導(dǎo)線相連與小球在殼內(nèi)的位置無關(guān)，如果兩球用導(dǎo)線相連或小球與球殼相接觸，則不論或小球與球殼相接觸，則不論q是正是負(fù)，也不管是正是負(fù)，也不管球殼是否帶電，電荷球殼是否帶電，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊總是全部遷移到球殼的外邊面上，直到面上，直到Vr-VR=0為止。為止。例例8-68-6 平板電容器平板電容器幾種常見真空電容器及其電容幾種常見真空電容器及其電容S0ElEdUUd0d dUUqC00/dS0Sde=電容與極板面積成正比，與間距

33、成反比。電容與極板面積成正比，與間距成反比。計(jì)算電容的一般方法：計(jì)算電容的一般方法： 先假設(shè)電容器的兩極板帶等量異號(hào)電荷，再計(jì)算先假設(shè)電容器的兩極板帶等量異號(hào)電荷，再計(jì)算出電勢(shì)差，最后代入定義式。出電勢(shì)差，最后代入定義式。例例8-78-7 圓柱形電容器圓柱形電容器rE02lEdUUrrBARRd20UUqC0ABRRlln2002BAlRlnRp e=ABRRln20BRARl例例8-88-8 球形電容器球形電容器204qErpe=QdUUE l-+-+-=vvUUqC004ABBARRRRp e=-rrqBARRd420)11(40BARRqARBR電容器兩極板間如果充滿某種相對(duì)電容器兩極板

34、間如果充滿某種相對(duì)電容率為電容率為 電介質(zhì)電介質(zhì)，則上面三種電容器的電容分別為，則上面三種電容器的電容分別為r平行板電容器平行板電容器：圓柱形電容器：圓柱形電容器：球形電容器：球形電容器：dSCr0ABrRRlCln20ABBArRRRRC04電容器的重要性能指標(biāo)：電容、耐壓值。電容器的重要性能指標(biāo)：電容、耐壓值。例例8-98-9 計(jì)算均勻帶電球體的電場(chǎng)能量，設(shè)球半徑為計(jì)算均勻帶電球體的電場(chǎng)能量，設(shè)球半徑為R R， 帶電量為帶電量為q q，球外為真空。球外為真空。)(430RrRQrE，)(4130RrrQrE，解：解：均勻帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分布為均勻帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分布為相應(yīng)的，球

35、內(nèi)外的電場(chǎng)能量密度為相應(yīng)的，球內(nèi)外的電場(chǎng)能量密度為60222230032421RrqRqrwe)(Rr 4022220032421rqrqwe)(Rr 在半徑為在半徑為r厚度為厚度為dr的球殼內(nèi)的電場(chǎng)能量的球殼內(nèi)的電場(chǎng)能量2d4deWwrrp=整個(gè)帶電球體的電場(chǎng)能量整個(gè)帶電球體的電場(chǎng)能量deVWw V=蝌2222226240004d4d3232RRq rqrrrrRrppp ep e=+蝌RqRqRq020202203840例題例題8-108-10一平行板空氣電容器的板極面積為一平行板空氣電容器的板極面積為S，間，間距為距為d d，用電源充電后兩極板上帶電分別為，用電源充電后兩極板上帶電分別為

36、 Q。斷。斷開電源后再把兩極板的距離拉開到開電源后再把兩極板的距離拉開到2d。求（。求（1 1）外力）外力克服兩極板相互吸引力所作的功；（克服兩極板相互吸引力所作的功；（2 2）兩極板之間）兩極板之間的相互吸引力。（空氣的電容率取為的相互吸引力。（空氣的電容率取為0 0）。）。dSCdSC2,0201 SdQWSdQCQW0220210212212121 ，板極上帶電板極上帶電 Q時(shí)所儲(chǔ)的電能為時(shí)所儲(chǔ)的電能為解解: :（1 1 ）兩極板的間距為）兩極板的間距為d d和和2 2d d時(shí)，平行板電容器的時(shí)，平行板電容器的電容分別為電容分別為SdQWWW021221 （2）設(shè)兩極板之間的相互吸引力為）設(shè)兩極板之間的相互吸引力為F ，拉開兩極板，拉開