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1、金堂縣2015屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線考點透析劉際成【考點聚焦】考點1:圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的求法;考點2:離心率與準(zhǔn)線方程; 考點3:弦長與最值問題;考點4:定點與定值問題?!究键c小測】1(天津卷)如果雙曲線的兩個焦點分別為、,一條漸近線方程為,那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是( )A B C D 解析:如果雙曲線的兩個焦點分別為、,一條漸近線方程為, ,解得,所以它的兩條準(zhǔn)線間的距離是,選C. 2(福建卷)已知雙曲線(a0,b0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+
2、)解析:雙曲線的右焦點為F,若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率, ,離心率e2=, e2,選C3(廣東卷)已知雙曲線,則雙曲線右支上的點到右焦點的距離與點到右準(zhǔn)線的距離之比等于A. B. C. 2 D. 4解析:依題意可知 ,故選C.4(遼寧卷)曲線與曲線的(A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點相同 (D)準(zhǔn)線相同【解析】由知該方程表示焦點在x軸上的橢圓,由知該方程表示焦點在y軸上的雙曲線,故只能選擇答案A?!军c評】本題考查了橢圓和雙曲線方程及各參數(shù)的幾何意義,同時著重考查了審題能力即參數(shù)范圍對該題的影響。5(全國卷I)雙
3、曲線的虛軸長是實軸長的2倍,則A B C D解:雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍, mb0),則有,據(jù)此求出e,選B8(四川卷)已知兩定點,如果動點滿足,則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于(A) (B) (C) (D)解:兩定點,如果動點滿足,設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,y),則,即,所以點的軌跡所包圍的圖形的面積等于4,選B.9(四川卷)直線與拋物線交于兩點,過兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為,則梯形的面積為(A)48 (B)56 (C)64 (D)72解析:直線與拋物線交于兩點,過兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為,聯(lián)立方程組得,消元得,解得,和, |AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8,梯形
4、的面積為48,選A.10(上海卷)若曲線|1與直線沒有公共點,則、分別應(yīng)滿足的條件是 解:作出函數(shù)的圖象, 如右圖所示: 所以,;【典型考例】【問題1】求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、準(zhǔn)線方程等例1設(shè)橢圓的中心在原點,坐標(biāo)軸為對稱軸,一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直,且此焦點與長軸上較近的端點距離為4,求此橢圓方程、離心率、準(zhǔn)線方程及準(zhǔn)線間的距離.解:設(shè)橢圓的方程為或,則,解之得:,b=c4.則所求的橢圓的方程為或,離心率;準(zhǔn)線方程,兩準(zhǔn)線的距離為16.例2(北京卷)橢圓的兩個焦點F1、F2,點P在橢圓C上,且P F1F1F2,| P F1|=,| P F2|=.(I)求橢圓C的方程;(II)
5、若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點,且A、B關(guān)于點M對稱,求直線L的方程。解法一:()因為點P在橢圓C上,所以,a=3.在RtPF1F2中,故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2c2=4, 所以橢圓C的方程為1.()設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2). 由圓的方程為(x+2)2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為(2,1). 從而可設(shè)直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因為A,B關(guān)于點M對稱. 所以 解得,所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢
6、驗,符合題意)解法二:()同解法一.()已知圓的方程為(x+2)2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為(2,1). 設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).由題意x1x2且 由得 因為A、B關(guān)于點M對稱,所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得,即直線l的斜率為,所以直線l的方程為y1(x+2),即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗,所求直線方程符合題意.)【問題2】圓錐曲線的定義的問題例3(四川卷)如圖,把橢圓的長軸分成等份,過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點,是橢圓的一個焦點,則 ;例4(江西卷)P是雙曲線的右支上一點,M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y2
7、1上的點,則|PM|PN|的最大值為( )A. 6 B.7 C.8 D.9解:設(shè)雙曲線的兩個焦點分別是F1(5,0)與F2(5,0),則這兩點正好是兩圓的圓心,當(dāng)且僅當(dāng)點P與M、F1三點共線以及P與N、F2三點共線時所求的值最大,此時|PM|PN|(|PF1|2)(|PF2|1)1019故選B例5、F是橢圓的右焦點,A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點,P為橢圓上一動點。(1)的最小值為 (2)的最小值為 分析:PF為橢圓的一個焦半徑,常需將另一焦半徑或準(zhǔn)線作出來考慮問題。解:(1)4- 設(shè)另一焦點為,則(-1,0)連A,P 當(dāng)P是A的延長線與橢圓的交點時, 取得最小值為4-。(2)3 作出右準(zhǔn)線l,作
8、PHl交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=,當(dāng)A、P、H三點共線時,其和最小,最小值為例6、(1)拋物線C:y2=4x上一點P到點A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點 P的坐標(biāo)為_ (2)拋物線C: y2=4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標(biāo)為 。分析:(1)A在拋物線外,如圖,連PF,則,因而易發(fā)現(xiàn),當(dāng)A、P、F三點共線時,距離和最小。(2)B在拋物線內(nèi),如圖,作QRl交于R,則當(dāng)B、Q、R三點共線時,距離和最小。解:(1)(2,)連PF,當(dāng)A、P、F三點共線時,最小,此時AF的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)
9、,(注:另一交點為(),它為直線AF與拋物線的另一交點,舍去)(2)()過Q作QRl交于R,當(dāng)B、Q、R三點共線時,最小,此時Q點的縱坐標(biāo)為1,代入y2=4x得x=,Q()點評:這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題,請仔細體會?!締栴}3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程,利用判別式、韋達定理來求解或證明.例7拋物線y2=4x的頂點為O,點A的坐標(biāo)為(5,0),傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點,求AMN面積最大時直線l的方程,并求AMN的最大面積 命題意圖 直線與圓錐曲線相交,一
10、個重要的問題就是有關(guān)弦長的問題 本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法“韋達定理法” 知識依托 弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想 錯解分析 將直線方程代入拋物線方程后,沒有確定m的取值范圍 不等式法求最值忽略了適用的條件 技巧與方法 涉及弦長問題,應(yīng)熟練地利用韋達定理設(shè)而不求計算弦長,涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達定理,設(shè)而不求簡化運算 解法一 由題意,可設(shè)l的方程為y=x+m,其中5m0 由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個不同交點M、N,方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5,
11、0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m,x1x2=m2,|MN|=4 點A到直線l的距離為d= S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128 S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時取等號 故直線l的方程為y=x1,AMN的最大面積為8 解法二 由題意,可設(shè)l與x軸相交于B(m,0), l的方程為x = y +m,其中0m5 由方程組,消去x,得y 24 y 4m=0 直線l與拋物線有兩個不同交點M、N,方程的判別式=(4)2+16m=16(1+m)0必成立,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則y 1+ y 2=4
12、,y 1y 2=4m,S= 4=4S8,當(dāng)且僅當(dāng)即m=1時取等號 故直線l的方程為y=x1,AMN的最大面積為8 例8(福建卷)已知橢圓的左焦點為F,O為坐標(biāo)原點。()求過點O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程;()設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點G,求點G橫坐標(biāo)的取值范圍.本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識,考查平面解析幾何的基本方法,考查運算能力和綜合解題能力。解:(I)圓過點O、F,圓心M在直線上。設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為(II)設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F,方程有兩個不等實根。記中點則的垂直平
13、分線NG的方程為令得點G橫坐標(biāo)的取值范圍為【問題4】圓錐曲線中的最值、定點、定值問題例9:過拋物線:(0)的焦點作直線交拋物線于兩點,若線段與的長分別為,則的值必等于( )A B C D圖1解法1:(特殊值法)令直線與軸垂直,則有:,所以有解法2:(參數(shù)法)如圖1,設(shè),且,分別垂直于準(zhǔn)線于,拋物線(0)的焦點,準(zhǔn)線來源:Zxxk.Com :又由,消去得, 例10: (2011北京東城區(qū)期末)已知橢圓C的中心在原點,一個焦點為F(0,),且長軸長與短軸長的比是1.(1)求橢圓C的方程;(2)若橢圓C上在第一象限的一點P的橫坐標(biāo)為1,過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA,PB分別交橢圓C于另外兩
14、點A,B,求證:直線AB的斜率為定值;(3)在(2)的條件下,求PAB面積的最大值解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)由題意,得解得a24,b22.所以橢圓C的方程為1.(2)由題意知,兩直線PA,PB的斜率必存在,設(shè)PB的斜率為k.又由(1)知,P(1,),則直線PB的方程為yk(x1)由得(2k2)x22k(k)x(k)240.設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則xB1xB,同理可得xA.則xAxB,yAyBk(xA1)k(xB1).所以kAB為定值(3)由(2),設(shè)直線AB的方程為yxm.由得4x22mxm240.由(2m)216(m24)0,得m2b0),其半焦距c=6,b2=a2
15、-c2=9.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點分別為點P,(2,5)、F1,(0,-6)、F2,(0,6).設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意知,半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為7(全國卷I)在平面直角坐標(biāo)系中,有一個以和為焦點、離心率為的橢圓,設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C,動點P在C上,C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B,且向量。求:()點M的軌跡方程; ()的最小值。.解: 橢圓方程可寫為: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為: x2
16、+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y = 設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| 2= x2+y2, y2= =4+ , 2= x21+54+5=9.且當(dāng)x21= ,即x=1時,上式取等號.故的最小值為3.8(上海卷)在平面直角坐標(biāo)系O中,直線與拋物線2相交于A、B兩點(1)求證:“如果直線過點T(3,0),那么3”是真命題;(2)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由解(1)設(shè)過點T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).當(dāng)直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B
17、(3,). =3; 當(dāng)直線的鈄率存在時,設(shè)直線的方程為,其中, 由得 又 , , 綜上所述,命題“如果直線過點T(3,0),那么=3”是真命題;(2)逆命題是:設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題. 例如:取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,直線AB的方程為:,而T(3,0)不在直線AB上;說明:由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3,可得y1y2=6,或y1y2=2,如果y1y2=6,可證得直線AB過點(3,0);如果y1y2=2,可證得直線AB過點(1,0),而不過點(3,0).9(全國I
18、I)已知拋物線x24y的焦點為F,A、B是拋物線上的兩動點,且(0)過A、B兩點分別作拋物線的切線,設(shè)其交點為()證明為定值;()設(shè)ABM的面積為S,寫出Sf()的表達式,并求S的最小值解:()由已知條件,得F(0,1),0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)由,即得(x1,1y)(x2,y21), 將式兩邊平方并把y1x12,y2x22代入得y12y2 解、式得y1,y2,且有x1x2x224y24,拋物線方程為yx2,求導(dǎo)得yx所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是yx1(xx1)y1,yx2(xx2)y2,即yx1xx12,yx2xx22解出兩條切線的交點M的坐標(biāo)為(,)(,1) 4分所以(,2)(x2x1,y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以為定值,其值為07分()由()知在ABM中,F(xiàn)MAB,因而S|AB|FM|FM|因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離,所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3,由2知S4,且當(dāng)1時,S取得最小值410(山東卷)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上,橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,兩準(zhǔn)線間的距離為4.。()求
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