數(shù)學結構論數(shù)學結構數(shù)學結構論結構論數(shù)學結構

1、數(shù)學結構論一、結構漫談大千世界的一切物質形態(tài)和思維形態(tài)都是依照一定的內在結構而客觀存在的，并且因為其結構而有功能，因為其結構而有美感，因為其結構而為人類所認知。在自然界，無論是宏觀的宇宙還是微觀的細胞、蛋白質、酶、晶體、分子、原子以及各種波、場、譜和運動，都表現(xiàn)出優(yōu)美的、固有的、規(guī)則的結構特征；在社會領域，每一個局部以至全球的成員都以一定的結構而形成家庭、部落、民族、團體、政黨、階級、國家以及國家聯(lián)盟；在繪畫、音樂、舞蹈、戲劇、詩歌、小說等文化藝術領域以及思想領域，也同樣具有鮮明的結構特征；我們人類本身就和動物界植物界的個體一樣，是由無數(shù)精美巧妙的結構組成的一個個集合。我們無一例外地存在于結構

2、的海洋里。人類的聰明正是在于能夠利用世界的結構性去認識、適應并改造自然和社會，提升藝術水準，改善生命質量。例如，宇宙星系的螺旋結構和紋理結構的發(fā)現(xiàn)使人類的眼界豁然開朗起來，曲軸連桿活塞結構的發(fā)明使內燃機歡唱起來，原子結構、分子結構的發(fā)現(xiàn)使微觀世界空前地清晰起來，DNA雙螺旋結構的發(fā)現(xiàn)，使生命更加美麗起來結構是有層次的。淺層次結構（表層結構）通常就是我們人類一開始就能夠看到的表象；中層次結構是一種過度性的結構（亞結構）；深層次結構才是最基本的結構（元結構）。由淺入深、由表及里、由局部而全部地探究出事物的元結構，是我們學習、思想和行動的目的。當然，結構的層次性劃分是相對而言的。在教育和學習的活動中

3、，關注結構、研究結構和運用結構，有利于煉就一雙見微知巨洞燭世界的“火眼金睛”，有利于優(yōu)化思維品質，學會象科學家、發(fā)明家、藝術家一樣去觀察、思維、表達和行動，是發(fā)現(xiàn)科學規(guī)律以及發(fā)明與創(chuàng)新的捷徑。既然如此，以描述、刻劃、揭示各種位置關系和數(shù)量關系以及相互作用機制為己任的數(shù)學，當然就要格外關注“結構”二字了！數(shù)學結構，就是數(shù)學概念、數(shù)學公式、數(shù)學圖形、數(shù)學程序以及一切數(shù)學法則、定律、定理的內在本質的形式化。在幾何、代數(shù)、三角以及數(shù)學領域的一切方面都有其各自的特有結構。在數(shù)學教學中，引導學生關注式的結構、圖形的結構和程序結構的層次性、相似性、獨立性、關聯(lián)性，可以極大地升華數(shù)學思想，感悟數(shù)學本質，明確思

4、維方向，優(yōu)化解題策略，縮短思考時間，提高解題能力。二、三類數(shù)學結構第一類結構幾何結構平面幾何中常見的基本結構和復合結構有三、四十個之多，如平行線結構、相交線結構、三角形結構、同位角結構、四邊形結構、扇形結構、弦心距結構、垂直結構、中位線結構、弦切角結構、中線結構、角平分線結構等等，但以平行線結構、垂直結構和三角形結構最為基本。同樣，立體幾何中的線線結構、線面結構、二面角結構、三垂線結構、三棱錐結構、直角四面體結構、正方體結構、球的結構等等，以及解析幾何中的定比分點結構、距離結構、斜率結構都是比較常見的和基本的結構。立體幾何解題口訣中有一句話叫做“空間問題平面化，平面問題三角形化?！笨梢娙切谓Y

5、構的重要性，是所有幾何結構中的一個元結構。例題1 一個正四面體，各棱長均為，則對棱的距離為多少？這里，情境設置簡潔，解決方法也多，通?？梢钥紤]作出對棱的公垂線段再轉化為直角三角形求解。不過若能意識到把這個正四面體置于一個正方體結構中（如圖1），則瞬間得到結果，就是該正方體的棱長，為1。圖1 例題2 一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側棱長也都相等設四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，則（）ABCD這是2007年高考（海南、寧夏）理科數(shù)學試卷中選擇題中的一道“把關”題，題目創(chuàng)意來源于一個真實的故事：1982年

6、，美國舉行了一次有83萬中學生參加的全國性“初級學術能力測試”的考試，其中的一道試題是：有一個正三棱錐和一個正四棱錐，它們的棱長都相等，問它們重合一個側面后，還有幾個暴露面？當時的“標準答案”是還剩7個暴露面，但是這一答案被17歲的中學生丹尼斯推翻了，正確答案是：還剩5個暴露面（如圖2）。 要解答這個問題，當然可以用常規(guī)方法達到目的，不過所花時間稍多一點而已。但是對于熟悉正方體這一基本幾何體的結構的學生來說，右邊這個圖形只不過是對正方體進行切割重組罷了：圖中正四棱錐A-BDEF就是由上面例題1中的正方體去掉正三棱錐ABCD以后剩余的部分組合而成，然后再將 圖2正三棱錐ABCD與四棱錐A-BDE

7、F對接起來，就得到此圖形。設AO=1（=h1），則顯然h2=h3=正方體對角線長的即，所以選答案B。例題3、已知比較與的大小。此題當然可以用比較法、單調性法等基本方法解決，也可以用“趨勢判斷法”等方法去解決，不過在教學實踐中發(fā)現(xiàn)學生居然另有巧思：另解1：斜率法。由，聯(lián)想到斜率公式的結構，則問題轉化為：比較過點和點的直線的斜率與過點和點 圖3的直線的斜率的大小，如圖3知，所以。一般地，對形如的代數(shù)結構，可以視為斜率結構去運用。另解2：定比分點法。由知內分與1為定比，且，故有。一般地，對形如的代數(shù)結構，可以視為定比分點結構去運用。提出上述兩種方法的學生，其共同點是腦海里面對于式子與有一個整體把握，

8、即把這兩個式子都看成一個有實際意義的固定結構，因而會有獨到的眼光。例題4 已知且那么的最小值是 。我們當然可以用消元的方法求解，不過由式子的結構聯(lián)想到兩點的距離公式，則式子可以看作是直線上的動點P（）到定點Q（2，3）的距離的平方，由點到直線距離公式知。所以答案為18。一般地，形如的結構式都可以看作是距離的結構式。第二類結構代數(shù)結構和、差、積、商、冪、根式是最基本的代數(shù)結構，在此基礎上可以衍生出多種多樣的變式結構，如平方和，平方差，立方和，立方差，和或差的平方，和或差的立方，絕對值，二次三項式，判別式，等差中項，等比中項，以及各式各樣的定義式，公式等等。例題5 已知函數(shù)滿足求之值。解析：由的結

9、構特點聯(lián)想到在處的導數(shù)的定義式：，于是思路有了設，令則代入，所以=即原式=0。此例中，抓住在處的導數(shù)的定義式的結構來尋求思路，并通過換元和配湊的技術來達到目的，流暢自然。例題6 是什么數(shù)時，方程的兩根均大于1？錯解：原問題正解：事實上，原問題把直接與1比較大小，與把與0比較大小，表面上看僅僅是形式上的不同，然而結構異則功能異，實質也可能不同，這里實際上涉及到對實數(shù)運算的符號法則的認識是否透徹的問題。初中代數(shù)課本中明確指出，零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，而是正數(shù)與負數(shù)的分界數(shù)（零的性質）。正因為如此，高中課本在“不等式的性質”這一內容的開頭就給出一個簡單而重要的結論這就為比較實數(shù)的大小，為不等式系列

10、性質的推出，為解分式不等式以及用定義法判斷函數(shù)的單調性奠了一個基。解決上述問題出現(xiàn)錯誤解法的原因，是學生僅僅注意到了問題的表層結構，正確解法則注意到了問題的亞結構，即上面一組 “簡單”不等式性質，至于問題的元結構，其實是“零”的性質。例題7 數(shù)列中，求。只能觀察到表層結構的學生對對此一籌莫展，能夠覺察到亞結構的學生會發(fā)現(xiàn)等式中蘊涵一個公比為4的等比數(shù)列，只是還有些多余的部分，而能夠洞察到元結構的學生則知道可以通過待定系數(shù)法配湊出一個新的等比數(shù)列，從而求出。解：令那么，與已知比較得，所以故數(shù)列是一個首項為，公比為4的等比數(shù)列，因此，所以。例題8 證明對于任意實數(shù)，有不等式。只能觀察到表層結構的學

11、生難以下筆，能夠觀察到亞結構的學生則會發(fā)現(xiàn)三個分式的結構具有“某種程度的”相似性，而能夠洞察到元結構的學生會把問題轉化為考察函數(shù)的單調性。證明：取，則，在上遞增。，也就有 圖4?，F(xiàn)在，我們回頭看看例題1，由，如圖4知，在上遞增，即。原來，該問題的元結構在這里！例題9 求證：時，（）這當然不是很難，我們只要對問題的亞結構有所察覺就可以完成任務，而且還可以衍生出許多有用的不等式命題，請看在這張枝蔓縱橫的不等式命題網(wǎng)絡中，有三個結構式是最基本的，即與，這三者之間都有直接聯(lián)系，即有下列亞結構：看，其元結構竟然是簡單至極的而已！如果再深入考察，我們還能發(fā)現(xiàn)，（）竟然是對R上的單調遞增函數(shù)賦值的結果，即，

12、也就是說每一個式子都源于同一結構，真是令人驚異！例題10 （2006年重慶，12）若且則的最小值是（ ）A. B.3 C.2 D. 解析：從表面上看，條件與目標式似乎沒有什么有用的聯(lián)系，但不難看出條件式左邊分解因式以后變?yōu)椋藭r發(fā)現(xiàn)各出現(xiàn)了相同的2次，即，于是可以運用均值不等式解決之，選A?；仡^再看例題3，另解3：糖水甜度模型法。由與的結構特點聯(lián)想到溶液濃度公式，前者表示總質量為含有質量為的純糖的糖水溶液的濃度，后者表示在前述溶液中再加入質量為的純糖以后糖水的濃度，顯然糖水更甜了，濃度變大了，所以。一般地，如果，則可以視為溶液的濃度。第三類結構三角結構三角公式數(shù)量眾多，枝繁葉茂，然而追根溯源，

13、任意角三角函數(shù)的定義式是它們的元結構。從定義式出發(fā)，我們推導出同角的三角函數(shù)關系，誘導公式，和差角公式，二倍角公式，半角公式，萬能公式等等。解三角題有一句口訣叫做“看角、看名、看結構”，其實看“角”與“名”也還是看結構，具體的結構而已。例題11 （2006年重慶，10）若則的值等于（ ）A B C D解析：觀察到條件中出現(xiàn)了與的結構式，而待求目標中出現(xiàn)了的結構式，則不難發(fā)現(xiàn)它們之間有這樣的關系：這是“破題”的關鍵。“會湊角，云霧開，不會湊角變癡呆”，湊角是一種必須掌握的基本技術，而觀察結構是湊角成功的關鍵。 又，。當時，此時；當時，（舍去，） 選B。當然，我們也可以整體解出，進而得到。如果基于

14、條件與結論中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)是特殊角的三角函數(shù)值，我們甚至不難猜測出一組符合題意的角度。例題12、 求值（河南省高中數(shù)學競賽題）（1995年高考題）解析：注意到是已知值，而依次構成2倍的結構關系，所以聯(lián)想到運用二倍角公式。=首先切化弦，通分以后會出現(xiàn)，題目中已經出現(xiàn)了，注意到，而是特殊角度，因此作結構變換應該有道理！。注意到原式與余弦定理的推論有十分相似的結構，于是有。例題13、已知，求的值。解析：學生碰到這樣的問題往往不知如何下手，原因在于沒有意識到問題本身的結構：條件等式與目標式中均出現(xiàn)了兩個變量，因此只可能通過整體變形再代入得解。不難想到采用“切化弦”的技巧。順便說一句，此題如果作為選擇題或者

15、填空題出現(xiàn)，則根據(jù)問題中的結構式的對稱性，可以令得出，再用萬能公式把目標式用表示，則可迅速得到答案。例題14、已知：，求證：解析：從結構上看，以上兩個等式都類似于公式，于是看能不能證明這是在作一種積極的猜想。令于是那么題設變?yōu)椋鹤C明完畢。若不用心觀察式子的結構，并聯(lián)想其亞結構，那么解答此題不是很容易的事。反之則方法多多，比如用三角換元法或者兩點間的距離公式法都可以解決它。三、結語大凡解題，不外乎看條件，看目標，看結構。宏觀看目標，微觀看結構。因為條件與目標之間的異同，就體現(xiàn)在結構上，包括微觀的圖形結構、式子結構與宏觀的問題本身的層次結構。教會學生養(yǎng)成解題看結構的習慣是解題教學的關鍵，也是培養(yǎng)學生宏大的戰(zhàn)略眼光與正確的戰(zhàn)術手段的關鍵，更是培養(yǎng)學生將來從事科學研究必備的直覺能力的關鍵。有結構意識的人才會有結構眼光，有結構眼光的人才會有深刻的洞察力和優(yōu)異的預見能力，才會主動地按照目標的需要進行公式變形，而不是能夠變成什么就胡亂變成什么，完全陷入碰運氣的境地。王國維論治學三境界：“昨夜西風雕碧樹，獨上高樓，望斷天涯路。”此第一境界也；“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴！”此第二境界也；“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處?！贝说谌辰缫病ｎ愃频兀虒W生學習和