離散數(shù)學(xué)第四章

1、第四章 二元關(guān)系和函數(shù) 第一節(jié) 集合的笛卡兒積和二元關(guān)系 內(nèi)容：內(nèi)容： 有序?qū)?，笛卡兒積，二元關(guān)系。 重點(diǎn)：重點(diǎn)： (1) 掌握有序?qū)Φ母拍睿?(2) 笛卡兒積及性質(zhì)， (3) 二元關(guān)系的定義及三種表示法， (4) 一些特殊的二元關(guān)系。 了解：了解：有序nn階笛卡兒積。 元組和一、笛卡兒積。一、笛卡兒積。 2、笛卡兒積。 ,|ABx yxAyB1、有序?qū)?、有序?qū)?，? x y。特點(diǎn)： (1)xy,x yy x，時(shí)，(2) ,x yu vxu yv。有序n(3)n 12,nx xx。，記元組定義：定義：集合ABAB。的笛卡兒積，記作和解：解： 0, 0, 0, 1, 1, 1,ABabcabc,

2、0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1BAaabbcc0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1AAAB例例1、 ， 0,1 , ,ABa b c求ABBAAAAB。 ，解：解： ( ), , ,P AabA( ), , ,AP Aaaaaba A, , ,bbab bb A(2) 笛卡兒積是集合，有關(guān)集合的運(yùn)算都適合。 例例2、設(shè) , Aa b( )AP A。，求注意：注意： (1) 若則AmBnABmn元集，是元集，是元集。為(3) 一般，ABBA。(1) ()()()ABCABA C(2) ()()()BCABACA(3) ()()()ABCABA C(4) ()()()BCABACA3、笛卡

3、兒積運(yùn)算對(duì)滿(mǎn)足分配律。 或12nAAA121122,|nnnx xxxAxAxA4、n(2)n 笛卡兒積。 階特別，當(dāng)12nAAAA記為nA時(shí)，。如 , Aa b2,Aa aa bb ab b，二、二元關(guān)系。二、二元關(guān)系。 若, x yRxRy否則，記作xRy，則記作。 (1)ABAB的關(guān)系，到的任何子集都稱(chēng)作從特別，當(dāng)AB A上關(guān)系上關(guān)系。 時(shí)，稱(chēng)作(2) 若集合則稱(chēng)RR為空集或它的元素都是有序?qū)Γ?為二元關(guān)系二元關(guān)系。 1、定義設(shè) 1,0 ,0 ,2Rabb2R3RAB4,1Rb則1234,R R R RAB的關(guān)系。 到都是從例例4、 , Aa b0,1,2B ，2、A上不同關(guān)系的數(shù)目。

4、若AnAn則2AAn，元集，記為，的子集共有AA22n個(gè)，元集nA22n個(gè)。上不同的關(guān)系共有dom,Rxyx yRran,Ryxx yRflddomranRRR 關(guān)系關(guān)系RdomR值域值域ranRfldR，的定義域的定義域。和域和域3、關(guān)系、關(guān)系RA后后域域B，的的前前域域。4、特殊的關(guān)系。 空關(guān)系A(chǔ)EAI。，恒等關(guān)系，全域關(guān)系對(duì)任意集合A，空關(guān)系，全域關(guān)系,|AEx yxAyAAA，恒等關(guān)系,|AIx xxA。5、常用關(guān)系。 (1) 設(shè)ARA,ALx y x yAxy上小于等于關(guān)系： ，(2) 設(shè)BZB,|BDx y x yBx y上整除關(guān)系： ，(3) 冪集( )P AR,| ,( )Rx

5、 yx yP Axy：上的包含關(guān)系解：解： 2,2 , 2,3 , 2,6 , 2,8 , 3,3 ,AL3,6 , 3,8 , 6,6 , 6,8 , 8,82,2 , 2,6 , 2,8 , 3,3 , 3,6 , 6,6 , 8,8AD 例例5、2,3,6,8A ALAD。，求解：解： ， ( ), , ,P AabA, , ,Rab , , , , , ,a baaaA , , ,bbbAA A例例6、 , Aa b( )P AR。上的包含關(guān)系，求有三種集合表示法矩陣表示法圖形表示法三、A上二元關(guān)系的表示法。 解：解： 0110110000100010RM關(guān)系圖： 例例7、已知1,2,

6、3,4A A1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 3,3 , 4,3R 求RRM，上關(guān)系 ，和關(guān)系圖。的關(guān)系矩陣一般：設(shè) 12 ,nAx xx( )Rijn nMr，其中 10ijijijx Rxrx Rx關(guān)系圖表示點(diǎn)( 邊(每個(gè)有序?qū)?duì)應(yīng)一條有向弧)n個(gè)頂點(diǎn))四、關(guān)系的五種性質(zhì)四、關(guān)系的五種性質(zhì)(自反，反自反，對(duì)稱(chēng)，自反，反自反，對(duì)稱(chēng)，反對(duì)稱(chēng)，傳遞反對(duì)稱(chēng)，傳遞)。 1、定義及關(guān)系矩陣，關(guān)系圖特征由下表給出( RA上關(guān)系) 為定義 關(guān)系矩陣的特點(diǎn) 關(guān)系圖的特點(diǎn) 自反性 xA ，都有 , x xR主對(duì)角線元素全為1圖中每個(gè)頂點(diǎn)都有環(huán)反自反性 xA ，都有 , x xR主對(duì)角線元素全為0

7、圖中每個(gè)頂點(diǎn)都無(wú)環(huán)定義 關(guān)系矩陣的特點(diǎn) 關(guān)系圖的特點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)矩陣 若兩頂點(diǎn)間有 邊，必是一對(duì)方向相反的邊 反對(duì)稱(chēng)性 若兩頂點(diǎn)間有邊， 必是一條有向邊 若, x yR則 , y xR，若, x yRxy則 , y xR，且若1ijr ij則 0jir ，且定義 關(guān)系矩陣的特點(diǎn) 關(guān)系圖的特點(diǎn) 傳遞性 若, x yR, y zR, x zR，則且若頂點(diǎn)ixjxjxkx則ixkx有邊，到有邊，到必有邊到(1) 11,1 , 1,2 , 2,1R (2) 21,2 , 2,3 , 1,3R 例例1、1,2,3A A1234,R R R R如下所示，判斷1234,R R R R各有哪些性質(zhì)。上關(guān)系，

8、解：解：1R是對(duì)稱(chēng)的，不是傳遞的。 既不是自反又不是反自反， 解：解：2R是反自反的，反對(duì)稱(chēng)的，傳遞的。 (3) 31,1 , 3,3R (4) 41,1 , 2,2 , 3,3 , 1,2 , 1,3 , 2,1R 例例1、1,2,3A A1234,R R R R如下所示，判斷1234,R R R R各有哪些性質(zhì)。上關(guān)系，解：解：3R既是對(duì)稱(chēng)又是反對(duì)稱(chēng)的，傳遞的。 既不是自反又不是反自反的， 解：解：4R不是傳遞的。 是自反的，既不是對(duì)稱(chēng)又不是反對(duì)稱(chēng)的， 例例2、判斷下圖中的關(guān)系分別具有哪些性質(zhì)。 解：解：1R是反自反，反對(duì)稱(chēng)，不是傳遞的。 例例2、判斷下圖中的關(guān)系分別具有哪些性質(zhì)。 解：解

9、：2R既是對(duì)稱(chēng)又是反對(duì)稱(chēng)的，傳遞的。是空關(guān)系，是反自反，例例2、判斷下圖中的關(guān)系分別具有哪些性質(zhì)。 解：解：3R既是對(duì)稱(chēng)又是反對(duì)稱(chēng)的，傳遞的。 是恒等關(guān)系，是自反的，例例2、判斷下圖中的關(guān)系分別具有哪些性質(zhì)。 解：解：4R傳遞的。是全域關(guān)系，是自反的，對(duì)稱(chēng)的，例例2、判斷下圖中的關(guān)系分別具有哪些性質(zhì)。 解：解：5R反對(duì)稱(chēng)的，傳遞的。 既不是自反也不是反自反的， 例例2、判斷下圖中的關(guān)系分別具有哪些性質(zhì)。 解：解：6R又不是反對(duì)稱(chēng)，不是傳遞的。 是反自反的，既不是對(duì)稱(chēng)則有以下文氏圖。 2、若把A上所有關(guān)系看成一個(gè)全集， 則有以下文氏圖。 2、若把A上所有關(guān)系看成一個(gè)全集， 第二節(jié)第二節(jié) 關(guān)系的運(yùn)

10、算關(guān)系的運(yùn)算 內(nèi)容：內(nèi)容：關(guān)系的定義域，值域，逆關(guān)系，合成關(guān)系。重點(diǎn)：重點(diǎn)：(1) 掌握逆關(guān)系，合成關(guān)系的概念及求法， 一般：一般：關(guān)系的定義域，值域。 (2) 掌握關(guān)系n次冪的概念及性質(zhì)。 一、逆關(guān)系，合成關(guān)系。一、逆關(guān)系，合成關(guān)系。 1、關(guān)系的逆。 (1) 定義：定義：關(guān)系R1,Ry xx yR的逆關(guān)系定義為解：解： 12,2 , 3,3 , 3,2 , 6,2 , 6,3 , 6,6AL,x y x yAxy12,2 , 6,2 , 3,3 , 6,3 , 6,6AD,| ,x yx yAxy 是 的倍數(shù)例例1、2,3,6A ALA為ADA1AL1AD上小于等于關(guān)系， 為，。，上整除關(guān)系

11、，分別求出即1ALA上大于等于關(guān)系。 為即1ADA上的倍數(shù)關(guān)系。 為2、關(guān)系的合成 (復(fù)合) 。(1) 定義定義，關(guān)系R和S的合成關(guān)系定義為： ,()RSx yz xSzzRy(2)1R1RMRRM，的關(guān)系矩陣與的關(guān)系矩陣滿(mǎn)足1RRMM的轉(zhuǎn)置。的關(guān)系圖只需將改向即得。 1RR的關(guān)系圖中的有向弧(3) 11()RR。例例2、設(shè) 1,2 , 2,2 , 3,4R 1,3 , 2,5 , 3,1 , 4,2 , 4,5S 求 R RR SSRSS()R RR，()R SR，。解：解： 1,4 , 3,2 , 4,2R S 1,5 , 2,5 , 3,2 , 3,5SR 1,2 , 2,2R R 例例

12、2、設(shè) 1,2 , 2,2 , 3,4R 1,3 , 2,5 , 3,1 , 4,2 , 4,5S 求 R RR SSRSS()R RR，()R SR，。1,1 , 3,3 , 4,5S S 解：解： ()1,2 , 2,2R RR ()3,2R SR 邏輯加法： 0000 11 1011 11 ，。(2)R SR SM,R S,RSMM滿(mǎn)足R SSRMMM的關(guān)系矩陣 與的關(guān)系矩陣。的關(guān)系圖可將R S,R S起來(lái)求得。 的關(guān)系圖連接如例2中， 次冪的運(yùn)算滿(mǎn)足： nmnm nRRR，()mnmnRR( ,)m nN(3) 合成關(guān)系滿(mǎn)足結(jié)合律：()()R STRS T。(4) 關(guān)系Rn次冪。的定義

13、：設(shè)RAnN的Rn 0,|Rx xxA 1(1)nnRRRn次冪次冪規(guī)定為： ，上關(guān)系，為解法一解法一 用集合表示。 0,Ra ab bc cd d10RRRR21,RRRR Ra aa cb bb d例例3、 , , , ,Aa b c dRa bb ab cc d求iR0,1,2,3,4,5i 。，543,RRRa ba db ab cR432,RRRa aa cb bb dR32,RRRa ba db ab c解法一解法一 用集合表示。 例例3、 , , , ,Aa b c dRa bb ab cc d求iR0,1,2,3,4,5i 。，解法二解法二 用關(guān)系圖表示。 例例3、 , , ,

14、 ,Aa b c dRa bb ab cc d求iR0,1,2,3,4,5i 。，解法二解法二 用關(guān)系圖表示。 解法三解法三 用矩陣表示(略)。 例例3、 , , , ,Aa b c dRa bb ab cc d求iR0,1,2,3,4,5i 。，3、關(guān)系的逆與合成間的聯(lián)系。 111()R SSR證明：任取 , x y1,()x yR S, y xR S,zy zSz xR 11, x ySR11,zz ySx zR 3、關(guān)系的逆與合成間的聯(lián)系。 111()R SSR證明：任取 , x y1,()x yR S故111()R SSR。例例4、分別求出以下關(guān)系的定義域和值域。 (1) 1,Rx y

15、 x yZxy解：解： 11domranRRZ20,1 , 0, 1 , 1,0 ,1,0R 解：解： (2) 222,1Rx y x yZxy22domran0,1, 1RR例例4、分別求出以下關(guān)系的定義域和值域。 (3) 3,2Rx y x yZyx解：解： 3domRZ(4) 4,3Rx y x yZxy解：解： 43,3 , 3, 3 ,3,3 ,3, 3R 44domran3, 3RR3ran |2Rt tkkZ即偶數(shù)集 第三節(jié)第三節(jié) 關(guān)系的性質(zhì)關(guān)系的性質(zhì) 例例3、設(shè)1,2,3A A11,2 , 1,3R 21,2 , 2,1 , 1,3 , 2,3R 判斷12,R R是否傳遞的。

16、上關(guān)系，解：解：因111RRR1R是傳遞的。 ，所以因2221,1 , 1,3 , 2,2 , 2,3RRR所以2R，不是傳遞的。 三、關(guān)系在各種運(yùn)算下保持原有特性問(wèn)題。三、關(guān)系在各種運(yùn)算下保持原有特性問(wèn)題。 證明：證明：對(duì)任意 , x y12, x yRR12,x yRx yR12,y xRy xR12, y xRR例如：設(shè)12,R RA證明12RRA上的對(duì)稱(chēng)關(guān)系， 為上的對(duì)稱(chēng)關(guān)系。 也是所以12RRA上是對(duì)稱(chēng)的。 在又如：設(shè)12,R RA證明A12RR上反對(duì)稱(chēng)關(guān)系， 為上的反對(duì)稱(chēng)關(guān)系。 不一定是反例： 121,2,1,2,2,1ARR都是A上的反對(duì)稱(chēng)關(guān)系，但121,2 , 2,1RR 的反

17、對(duì)稱(chēng)關(guān)系。A上不是第四節(jié)第四節(jié) 關(guān)系的閉包關(guān)系的閉包 內(nèi)容：內(nèi)容：關(guān)系的自反，對(duì)稱(chēng)，傳遞閉包。 重點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握關(guān)系的自反，對(duì)稱(chēng)，傳遞閉包 的概念及求法。 一、閉包的定義。一、閉包的定義。 (2)RR1、定義：定義：設(shè)RA的自反閉包(對(duì)稱(chēng)閉包，傳遞閉包) RR也是A上的關(guān)系， 是非空集合上關(guān)系，且滿(mǎn)足： (1)R是自反的(對(duì)稱(chēng)的，傳遞的)， (3) 對(duì)傳遞關(guān)系)RRRAR的自反關(guān)系(對(duì)稱(chēng)關(guān)系，上的任何包含。，都有2、記號(hào)。 3、性質(zhì)。 ( )r RR的自反閉包， ( )s RR的對(duì)稱(chēng)閉包， ( )t RR的傳遞閉包。 是自反的R( )r RR，是對(duì)稱(chēng)的R( )s RR ，是傳遞的R( )t R

18、R。二、閉包的求法。 1、利用以下公式。 (1) 0( )r RRR，(2)1( )s RRR，(3)23( )t RRRR。二、閉包的求法。 2、利用關(guān)系圖。 (1)( )r R的關(guān)系圖：在沒(méi)有環(huán)的結(jié)點(diǎn)上加上環(huán)， (2)( )s R的關(guān)系圖：把單向邊改為雙向邊， (3)以到達(dá)的終點(diǎn)添加一條有向邊，直到添加完畢。 ( )t Rxyxy，分別找出可的關(guān)系圖：對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)沒(méi)有有向邊，則到，若二、閉包的求法。 3、利用關(guān)系矩陣。 注意到以上公式，如0( )r RRR關(guān)系矩陣，即rRMMEE其余為0的矩陣)，其中的“+”表示矩陣對(duì)應(yīng)元素的邏輯加。同樣，可得sRRMMM( 轉(zhuǎn)置)，RMRM23tRRRMM

19、MM，轉(zhuǎn)換成表示主對(duì)角線為1，(的為。解法一解法一 0( )r RRR,a bb ab cc d,a ab bc cd d,a bb ab cc d,a ab bc cd d例例1、設(shè) , , , ,Aa b c d,Ra bb ab cc d求( ), ( ), ( )r R s R t R。1( )s RRR,a bb ab cc d,b aa bc bd c,a bb ab cc bc dd c例例1、設(shè) , , , ,Aa b c d,Ra bb ab cc d求( ), ( ), ( )r R s R t R。23( )t RRRR(參考第二節(jié)例3) ,a bb ab cc d,a

20、aa cb bb d,a bb aa db c例例1、設(shè) , , , ,Aa b c d,Ra bb ab cc d求( ), ( ), ( )r R s R t R。23( )t RRRR(參考第二節(jié)例3) ,a aa ba ca db a,b bb cb dc d例例1、設(shè) , , , ,Aa b c d,Ra bb ab cc d求( ), ( ), ( )r R s R t R。例例1、設(shè) , , , ,Aa b c d,Ra bb ab cc d求( ), ( ), ( )r R s R t R。解法二解法二 先畫(huà)出( ), ( ), ( )r R s R t RR的關(guān)系圖。 的關(guān)系

21、圖，再畫(huà)出 解法二解法二例例1、設(shè) , , , ,Aa b c d,Ra bb ab cc d求( ), ( ), ( )r R s R t R。解法二解法二例例1、設(shè) , , , ,Aa b c d,Ra bb ab cc d求( ), ( ), ( )r R s R t R。解法二解法二例例1、設(shè) , , , ,Aa b c d,Ra bb ab cc d求( ), ( ), ( )r R s R t R。解法三解法三 利用關(guān)系矩陣(略)。 例例1、設(shè) , , , ,Aa b c d,Ra bb ab cc d求( ), ( ), ( )r R s R t R。第五節(jié)第五節(jié) 等價(jià)關(guān)系和偏序

22、關(guān)系等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系 內(nèi)容：內(nèi)容：等價(jià)關(guān)系，偏序關(guān)系。 重點(diǎn)：重點(diǎn)：(1) 掌握等價(jià)關(guān)系和等價(jià)類(lèi)的概念， (3) 掌握偏序關(guān)系的概念， (4) 偏序集哈斯圖的畫(huà)法。 (2)之間的聯(lián)系， AA的劃分上的等價(jià)關(guān)系與集合一、等價(jià)關(guān)系。一、等價(jià)關(guān)系。 1、等價(jià)關(guān)系的定義。 若則稱(chēng)RRAA滿(mǎn)足自反，對(duì)稱(chēng)，傳遞，上關(guān)系上的等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系。為若, x yRxy 。，記(2) 三角形的全等關(guān)系，三角形的相似 關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。 (3) 在一個(gè)班級(jí)里“年齡相等”的關(guān)系 是等價(jià)關(guān)系。 例例1、(1) 集合A是等價(jià)關(guān)系。 上的恒等關(guān)系，全域關(guān)系 例例2、 1,2,3,4,5,7A ,(mod3)Rx y x yA

23、xy(其中(mod3)xy3|()xy驗(yàn)證RA稱(chēng)模3的同余關(guān)系)， 上的等價(jià)關(guān)系。為，也就是證明：證明：顯然，是等價(jià)關(guān)系。RR滿(mǎn)足自反，對(duì)稱(chēng)，傳遞，所以例例2、R的關(guān)系圖如下：其中1 4 72 5。，推廣 ：整數(shù)集Zm,(mod)Rx y x yZxym的同余關(guān)系是等價(jià)關(guān)系： 上模事實(shí)上：(1)故xZ |()mxx, x xRR是自反的。，(2) 若, x yR|()mxy則|()myx, y xR是對(duì)稱(chēng)的。 R，故，即推廣 ：整數(shù)集Zm,(mod)Rx y x yZxym的同余關(guān)系是等價(jià)關(guān)系：上模事實(shí)上：(3) 若, x yR, y zR即|()mxy|()myz()()xzxyyz因所以|

24、()mxz, x zR是傳遞的。 R，故， ，由(1)，(2)，(3)，R是等價(jià)關(guān)系。例例2、 1,2,3,4,5,7A ,(mod3)Rx y x yAxy(其中(mod3)xy3|()xy驗(yàn)證RA稱(chēng)模3的同余關(guān)系)， 上的等價(jià)關(guān)系。 為，也就是證明：證明：顯然，是等價(jià)關(guān)系。RR滿(mǎn)足自反，對(duì)稱(chēng)，傳遞，所以例例2、R的關(guān)系圖如下： 其中1 4 72 5。，推廣 ：整數(shù)集Zm,(mod)Rx y x yZxym的同余關(guān)系是等價(jià)關(guān)系： 上模事實(shí)上：(1)故xZ |()mxx, x xRR是自反的。，(2) 若, x yR|()mxy則|()myx, y xR是對(duì)稱(chēng)的。 R，故，即推廣 ：整數(shù)集Zm

25、,(mod)Rx y x yZxym的同余關(guān)系是等價(jià)關(guān)系： 上模事實(shí)上：(3) 若, x yR, y zR即|()mxy|()myz()()xzxyyz因所以|()mxz, x zR是傳遞的。 R，故，由(1)，(2)，(3)，R是等價(jià)關(guān)系。例例3、設(shè)RA, a bR, a cR , b cRR，上的自反關(guān)系，且當(dāng)是是等價(jià)關(guān)系。 ，證明時(shí)，有證明：證明：已知RR只要證R是等價(jià)關(guān)系，是自反的，要證是對(duì)稱(chēng)的和傳遞的即可。 若, a bR, a bR, a aRR有, b aRR是對(duì)稱(chēng)的。，所以是自反的)， (及，由例例3、設(shè)RA, a bR, a cR , b cRR，上的自反關(guān)系，且當(dāng)是是等價(jià)關(guān)

26、系。 ，證明時(shí)，有證明：證明：已知RR只要證R是等價(jià)關(guān)系，是自反的，要證是對(duì)稱(chēng)的和傳遞的即可。 有若, a bR, b cRR, b aR, b cR, a cR所以R的對(duì)稱(chēng)性，由， ，所以，又是傳遞的。 由于RR是等價(jià)關(guān)系。 是自反，對(duì)稱(chēng)，傳遞的，故2、等價(jià)類(lèi)。 (1) 定義：定義：設(shè)對(duì)RAxA |Rxy yAxRy則稱(chēng) RxxR簡(jiǎn)稱(chēng)x x的等價(jià)類(lèi)的等價(jià)類(lèi)，記 的等價(jià)類(lèi)的等價(jià)類(lèi)，關(guān)于關(guān)于為，記上的等價(jià)關(guān)系，是非空集合在例2中，有 1471,4,7 252,5 33(2) 性質(zhì)。(證明略) 定理：定理：, x yRRA，上的等價(jià)關(guān)系，是非空集合() x xA，且() 若xRy xy，則() 若

27、xRy xy，則() x AxA。 在例2中， 1231,2,3,4,5,7。， 1 2 3A的非空子集，都是，, a bA， ab ab(由abab 或 決定)，或3、商集。 定義：定義：設(shè)以叫做即 RA RxxARARARA R。，下的商集商集，記作在的不交的等價(jià)類(lèi)為元素的集合 上的等價(jià)關(guān)系， 為非空集合例如：在例2中， 1,4,7 , 2,5 , 3A R 。例例4、(1) 非空集合AAI，xA xx AA Ix xA，所以商集是等價(jià)關(guān)系， 上的恒等關(guān)系(2) 非空集合AAExA ， xA AA EA是等價(jià)關(guān)系，上的全域關(guān)系，所以商集 其等價(jià)類(lèi)是： 0km kZ1(1)mkmmkZ 11

28、kmkZ 22kmkZ 商集 0 , 1 , 2 ,1Z Rm例例5、整數(shù)集Zm,(mod)Rx y x yZxym的等價(jià)關(guān)系上模二、集合的劃分。二、集合的劃分。 1、劃分的定義。 滿(mǎn)足：(1) ()ijAAij(2) 12mAAAA是非空集合，A12,mA AA是它的非空子集，則稱(chēng)12,mA AAA而12,mA AA稱(chēng)為這個(gè)劃分的塊劃分的塊。 的一個(gè)劃分劃分， 為例例6、設(shè)判斷下列子集族是否, , ,Aa b c dA，的劃分。(5) , , ,a b c d是A的劃分，(4) ,ab cd是A的劃分，(3) ,a bc d不是A的劃分，(1) ,a bcc d不是A的劃分，(2) ,a b

29、d不是A的劃分，2、集合AA的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 的一個(gè)劃分確定上的一個(gè)劃分AA若定義同一塊中的元素有關(guān)系R可以證明RA稱(chēng)為劃分則這個(gè)劃分的塊就是等價(jià)關(guān)系的等價(jià)類(lèi)， 劃分就是商集。 分成若干劃分塊， 把，上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系， 是誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系，,Ra ab bb cc bc cd d商集： ,A Rab cd如例6中的(4)的劃分確定等價(jià)關(guān)系A(chǔ)R2、集合AA的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 的一個(gè)劃分確定如下： 上的一個(gè)3、AA的一個(gè)劃分。上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系可確定若RA即商集A RA誘導(dǎo)的劃分。R的一個(gè)劃分，稱(chēng)為由，就是上的等價(jià)關(guān)系，則所有等價(jià)類(lèi)的集合， 為即如例2中由R 1,4,7 , 2,5 , 3誘導(dǎo)的劃分，。

30、由以上可知，集合集合AA上的等價(jià)關(guān)系與的劃分是一一對(duì)應(yīng)的。例例7、設(shè)1,2,3A 求出A，上的所有的等價(jià)關(guān)系。解：解：只需列出A并找出由它們確定的等價(jià)關(guān)系。 上所有的劃分，11,2 , 1,3 , 2,1 , 2,3 , 3,1 , 3,2R AAIE22,3 , 3,2ARI例例7、設(shè)1,2,3A 求出A解：解：A(1,2,5)ii的等價(jià)關(guān)系為iR上的所有的等價(jià)關(guān)系。，的不同劃分只有以上五種，設(shè)對(duì)應(yīng)于劃分，則有 31,3 , 3,1ARI41,2 , 2,1ARI5ARI例例7、設(shè)1,2,3A 求出A解：解：A(1,2,5)ii的等價(jià)關(guān)系為iR上的所有的等價(jià)關(guān)系。，的不同劃分只有以上五種，設(shè)

31、對(duì)應(yīng)于劃分，則有 ,a bc dSS,a bc dadbc則由此等價(jià)關(guān)系誘導(dǎo)的劃分中 (1) 共有幾個(gè)劃分塊？(2) 求其中最大的塊。 (3) 求其中最小的塊。例例8、設(shè)1,2,3S SS：上定義等價(jià)關(guān)系，在解：解：依題意得： ,a bc dadbcabcd差為0的:1,1 2,2 3,3差為1的： 2,1 3,2差為2的： 3,1即第一元素與第二元素之差相等的有序?qū)ハ嗟葍r(jià)，將SS中的元素按差劃分。差為11,2 2,3的：差為21,3的：解：解：(1) 共有5個(gè)劃分塊。 (2) 最大的劃分塊為： 1,1 , 2,2 , 3,3(3) 最小的劃分塊為：1,3和3,1三、偏序關(guān)系。三、偏序關(guān)系。

32、 1、偏序關(guān)系的定義。 若則稱(chēng)記作ARRA, x yRxy滿(mǎn)足自反，反對(duì)稱(chēng)，傳遞， 上關(guān)系上的偏序關(guān)系偏序關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)偏序偏序， 為。，記，若集合記作AAR,A R。一起叫做偏序集偏序集，上的偏序關(guān)系與例例1、偏序關(guān)系的常見(jiàn)例子。有理數(shù)集上的小于等于關(guān)系正整數(shù)集上的整除關(guān)系,Q R,ZR整除,AA I集合A上的恒等關(guān)系( ),P A R冪集( )P A上的包含關(guān)系2、偏序集中的兩元素可比，蓋住的定義。 設(shè),A , x yA，為偏序集，若xyyx則稱(chēng), x y成立，或是可比可比的，若xyxyxy且不存在zAxzy則稱(chēng)yx)，且 ( ， 使得。蓋住蓋住1與任何數(shù)都可比，2與3不可比，2蓋住1，4蓋住

33、2，例例2、1,2,3,4,5A 為偏序集。 ,A 為整除關(guān)系， ，但4不蓋住1( 124 )3、全序集。 是全序集，,A R,A R整除不是全序集。 設(shè),A , x yA都可比，則稱(chēng)xyA ,A 為全序集全序集。上的全序關(guān)系全序關(guān)系，且稱(chēng) 為和，為偏序集，若例如：1,2,3,4,5A ，步驟如下： 四、偏序關(guān)系的哈斯圖四、偏序關(guān)系的哈斯圖()Hasse 。 1、哈斯圖()Hasse。(1)A若xyxy中的每個(gè)元素用結(jié)點(diǎn)表示， 結(jié)點(diǎn)的下方。排在，結(jié)點(diǎn)(2) 若yx, x y之間連一條線。 ，則在蓋住(1) 1,2,3,12A 解：解：哈斯圖： 812435610121179例例3、畫(huà)出,A R

34、整除A分別為的哈斯圖，其中1,2,3,4,6,9,12,18,36A (2) 解：解：哈斯圖： 364916121823例例3、畫(huà)出,A R整除A分別為的哈斯圖，其中解：解： ( ),P Aaba b哈斯圖： , a b a b(1) ,Aa b例例4、畫(huà)出A( ),P A R分別為 的哈斯圖，其中(2) , ,Aa b c ( ),P Aabca b解：解： , ,a cb ca b c例例4、畫(huà)出A( ),P A R分別為 的哈斯圖，其中(2) 解：解：哈斯圖： , ,Aa b c, ,a b c, a b, a c, b c a b c例例4、畫(huà)出A( ),P A R分別為 的哈斯圖，其

35、中其哈斯圖為一直線 (右圖)： 51234例例5、畫(huà)出偏序集1,2,3,4,5A ,A R，的哈斯圖。解：解：因,A R(任兩元素均可比)為全序集abfcdegh解：解：, , , , , ,Aa b c d e f g h,a ca da eb cb d,Ab ec ed ef gI例例6、已知偏序集,R 哈斯圖(右圖)，求集合的偏序關(guān)系A(chǔ)的。五、偏序集中極小元，極大元，最小元，五、偏序集中極小元，極大元，最小元，最大元，上界，下界，上確界，下確界。最大元，上界，下界，上確界，下確界。 1、極大、小元，最大、小元。 定義：設(shè),A BA，為偏序集，(1) 若yB (x xByx）則稱(chēng)By的最小

36、元最小元。 是成立， ，使得(2) 若yB (x xBxy）則稱(chēng)By的最大元最大元。是成立， ，使得五、偏序集中極小元，極大元，最小元，五、偏序集中極小元，極大元，最小元，最大元，上界，下界，上確界，下確界。最大元，上界，下界，上確界，下確界。 1、極大、小元，最大、小元。 定義：設(shè),A BA，為偏序集，(3) 若yB x xBxy（）則稱(chēng)By成立，使得的極小元極小元。是(4) 若yB ()x xByx則稱(chēng)By的極大元極大元。是成立，使得五、偏序集中極小元，極大元，最小元，五、偏序集中極小元，極大元，最小元，最大元，上界，下界，上確界，下確界。最大元，上界，下界，上確界，下確界。 1、極大、小

37、元，最大、小元。 由定義知： 最小元最大元BBBB不一定存在,若存在必唯一中其它元，小于中其它元，大于五、偏序集中極小元，極大元，最小元，五、偏序集中極小元，極大元，最小元，最大元，上界，下界，上確界，下確界。最大元，上界，下界，上確界，下確界。 1、極大、小元，最大、小元。 由定義知： 中沒(méi)有比它小的元極小元極大元BBBB一定存在，可能多個(gè)中沒(méi)有比它大的元，五、偏序集中極小元，極大元，最小元，五、偏序集中極小元，極大元，最小元，最大元，上界，下界，上確界，下確界。最大元，上界，下界，上確界，下確界。 2、上、下界，上、下確界。 定義：設(shè),A BA，為偏序集，(1) 若存在則稱(chēng)ByyA()x

38、xBxy成立， ，使得的上界上界。為(2) 若存在則稱(chēng)ByyA()x xByx成立， ，使得的下界下界。 為五、偏序集中極小元，極大元，最小元，五、偏序集中極小元，極大元，最小元，最大元，上界，下界，上確界，下確界。最大元，上界，下界，上確界，下確界。 2、上、下界，上、下確界。 (3) 令為Cy yB為 的上界CB定義：設(shè),A BA，為偏序集，的上確界上確界(最小上界最小上界)。中最小元 ，稱(chēng)(4) 令為BDy yB為 的下界D的下確界下確界(最大下界最大下界)。 中最大元 ，稱(chēng)五、偏序集中極小元，極大元，最小元，五、偏序集中極小元，極大元，最小元，最大元，上界，下界，上確界，下確界。最大元

39、，上界，下界，上確界，下確界。 2、上、下界，上、下確界。 由定義知： 上界中其它元下界中其它元不一定存在，若存在不一定只有一個(gè)AABB，小于，大于五、偏序集中極小元，極大元，最小元，五、偏序集中極小元，極大元，最小元，最大元，上界，下界，上確界，下確界。最大元，上界，下界，上確界，下確界。 2、上、下界，上、下確界。 由定義知： 上確界最小的上界下確界最大的下界不一定存在，若存在必唯一, ,a b c, a b, a c, b c a b c(1) ,Bacb c例例7、, ,Aa b c( ),P A R求上、下界，上、下確界。B，偏序集的最大、小元，極大、小元，解：解：B的最大元：無(wú)，最

40、小元：無(wú)， 極大元： ,ab c ,ac ，極小元：上界：, ,a b c，下界：上確界：, ,a b c。，下確界：, ,a b c, a b, a c, b c a b c(2) ,Baba b例例7、, ,Aa b c( ),P A R求上、下界，上、下確界。B，偏序集的最大、小元，極大、小元，解：解：B, a b，最小元：無(wú)， 的最大元：，極大元：, a b ,ab，極小元：上界： , ,a ba b c， ，下界：上確界：, a b。，下確界：(2) 其中有多少種等價(jià)關(guān)系？ 例例8、設(shè)1,2A ，問(wèn)： (1)A上可以定義多少種不同的二元關(guān)系？ 解：解：因2A 2 24AA的不同子集共

41、4216AA個(gè)。，也就是說(shuō)A上可以定義16種不同的二元關(guān)系。 解：解：因1,2A 即1,2 1 , 2，所以只有2種等價(jià)關(guān)系。 和，不同的劃分只有兩種，(3) 其中有多少種偏序關(guān)系？ 12(i)12(ii)12(iii)所以，有3種偏序關(guān)系。 例例8、設(shè)1,2A ，問(wèn)：解：解：因只有以下三種：A只有2個(gè)元素，不同的哈斯圖不滿(mǎn)足自反性，所以既不是等價(jià)關(guān)系， 又不是偏序關(guān)系。 例例8、設(shè)1,2A ，問(wèn)：(4)是偏序關(guān)系嗎？ AI是等價(jià)關(guān)系嗎？ 和空關(guān)系解：解：所以AIAI滿(mǎn)足自反，對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)，傳遞，既是等價(jià)關(guān)系，又是偏序關(guān)系。 第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)的定義和性質(zhì)函數(shù)的定義和性質(zhì) 內(nèi)容：內(nèi)容：函數(shù)的定

42、義，性質(zhì)。 重點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握函數(shù)的定義，單射、滿(mǎn)射、 雙射的概念及判定。 一、函數(shù)的定義。一、函數(shù)的定義。 而211122132,Fx yx yxyxy不是函數(shù)。1、定義：定義：FdomxF都存在唯一的ranyFxFy稱(chēng)F，為二元關(guān)系，若對(duì)任意的成立，則 ，使得為函數(shù)函數(shù)。 例如：1122231,Fx yxyxy是函數(shù)， 3、有關(guān)集合和關(guān)系的運(yùn)算對(duì)函數(shù)都適合。 fgfggfdomdom ,xfg ( )( )f xg x2、記號(hào)：如, , ,F G Hf g h，若xFy( )F xy。，記4、函數(shù)的定義域，值域。設(shè),A Bf(1)dom fAran fB則稱(chēng)fAB:fAB滿(mǎn)足：是集合，若函數(shù)

43、，(2)。的函數(shù)，記作到是從符號(hào):ABf fABAB的全體構(gòu)成的集合。 的函數(shù)到表示從例如：函數(shù)( )2f xxxR到RRRfR，是從實(shí)數(shù)集，的函數(shù)，即函數(shù)( )lng xxxR 到RRRgR，是從正實(shí)數(shù)集 ，。的函數(shù)，即10, 1, 2,faaa20, 1, 2,faab30, 1, 2,faba40, 1, 2,fabb例例1、0,1,2A ,Ba bAB。，求，解：解：題目要求從定義，有AB的所有函數(shù)，依函數(shù)到50, 1, 2,fbaa60, 1, 2,fbab70, 1, 2,fbba80, 1, 2,fbbb例例1、0,1,2A ,Ba bAB。，求，解：解：題目要求從定義，有AB的

44、所有函數(shù)，依函數(shù)到解：解：故128,ABfff例例1、0,1,2A ,Ba bAB。，求，一般，若AmBn,m n則AmBn。不全為0)，(，二、函數(shù)的性質(zhì)。二、函數(shù)的性質(zhì)。 1、滿(mǎn)射：滿(mǎn)射：若ran fBf(或到上的) 。 是滿(mǎn)射滿(mǎn)射的，則稱(chēng)2、單射：?jiǎn)紊洌喝?2,x xA12xx12()()f xf x，則f(或一一的)。 ，則 ，稱(chēng)是單射單射的 3、雙射：雙射：若f是雙射雙射的 (或一一到上的)。 f既是滿(mǎn)射，又是單射，則稱(chēng) 1,8 , 3,9 , 4,10 , 2,6 , 5,9f 也不是滿(mǎn)射。例例2、判斷以下, ,f g hAB若是函數(shù)，再判斷是否單射，滿(mǎn)射，雙射的； 若不是，請(qǐng)說(shuō)明

45、理由。 的函數(shù)， 到的是否從(1)1,2,3,4,5A 6,7,8,9,10B ，解：解：fAB的函數(shù)，到是從但f不是單射，1,8 , 3,10 , 2,6 , 4,9g 例例2、判斷以下, ,f g hAB若是函數(shù)，再判斷是否單射，滿(mǎn)射，雙射的； 若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。 的函數(shù)， 到的是否從解：解：ABg的函數(shù)， 到不不是從(1)1,2,3,4,5A 6,7,8,9,10B ，1,7 , 2,6 , 3,8 , 4,5 , 1,9 , 5,10h 例例2、判斷以下, ,f g hAB若是函數(shù)，再判斷是否單射，滿(mǎn)射，雙射的； 若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。 的函數(shù)， 到的是否從(1)1,2,3,4,5A

46、6,7,8,9,10B ，解：解：ABh的函數(shù)，到不不是從2( )f xxx但它不是單射， 也不是滿(mǎn)射。3( )g xx( )h xx(2)ABR(實(shí)數(shù)集) 解：解：fAB的函數(shù)，到是從解：解：gAB的雙射函數(shù)。到是從解：解：hAB的函數(shù)。到不不是從( )1g xx( )1f xx且是單射的， 但不是滿(mǎn)射的 。(3)ABZ(正整數(shù)集)解：解：fAB的函數(shù)，到是從解：解：gAB的函數(shù)。到不不是從1(1)( )1(1)xh xxx是滿(mǎn)射的。 不是單射的，(3)ABZ(正整數(shù)集)解：解：hAB的函數(shù)，到是從三、常用的一些函數(shù)。三、常用的一些函數(shù)。 1、常函數(shù)常函數(shù)，:fABxA ( )f xc( c

47、Bc都有 ，為常數(shù))，2、恒等函數(shù)恒等函數(shù)，:AIAAxA 都有 ( )AIxx，3、特征函數(shù)特征函數(shù)，:0,1AAxA 1( )0AxAxxAA，其中AA，。三、常用的一些函數(shù)。三、常用的一些函數(shù)。 4、自然映射自然映射，設(shè)RA是從gAA R:g AA R，aA ( )g aa。，的函數(shù)到商集上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，是第七節(jié)第七節(jié) 函數(shù)的復(fù)合和反函數(shù)函數(shù)的復(fù)合和反函數(shù) 內(nèi)容：內(nèi)容：復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)。 一般：一般：基本掌握復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)的定義及求法。一、復(fù)合函數(shù)。一、復(fù)合函數(shù)。 1、定義：定義：設(shè)函數(shù):fBC:g AB則:fg ACxA( )( )fg xfg x，稱(chēng)為, f g的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)

48、。 ，對(duì)任意，例例1、設(shè), ,Rf g hR( )3f xx( )21g xx( )2xh x ，求fggfffgghffh g，其中。，解：解：因?yàn)? ,f g hRR的復(fù)合函數(shù)也是從RR的函數(shù) 。 到的函數(shù)，所以所求 到均為從解：解：( )( )(21)fg xfg xfx(21)324xx( )( )(3)gf xg f xg x2(3)127xx 例例1、設(shè), ,Rf g hR( )3f xx( )21g xx( )2xh x ，求fggfffgghffh g，其中。，解：解：( )( )(3)ff xff xf x(3)36xx( )( )(21)gg xg g xgx2(21)14

49、3xx 例例1、設(shè), ,Rf g hR( )3f xx( )21g xx( )2xh x ，求fggfffgghffh g，其中。，解：解：1( )( )(3)(3)2hf xh f xh xx例例1、設(shè), ,Rf g hR( )3f xx( )21g xx( )2xh x ，求fggfffgghffh g，其中。，( )( )(21)fh g xf h g xf hx17322xx11(21)22fxfx解：解：例例1、設(shè), ,Rf g hR( )3f xx( )21g xx( )2xh x ，求fggfffgghffh g，其中。，2、性質(zhì)。 因此， ( )( )( )fg xf g xf

50、 yz設(shè):fBC:g AB，(1) 若, f g:fg AC也是滿(mǎn)射的。 是滿(mǎn)射的，則證：zC fyB ( )f yz，使?jié)M射，故，由于對(duì)這個(gè)ygxA ( )g xy，使?jié)M射，故，又由于所以fg是滿(mǎn)射。 2、性質(zhì)。設(shè):fBC:g AB，(2) 若, f g:fg AC也是單射的。是單射的，則證：12,x xA12xxg故12()()g xg x12(), ()domg xg xBf，且單射，由于，若又由f12()()f g xf g x即12()()fg xfg x，的單射，有，所以fg是單射的。2、性質(zhì)。 二、反函數(shù)。二、反函數(shù)。 設(shè):fBC:g AB ，(3) 若, f g:fg AC也是

51、雙射的。是雙射的，則證：綜合(1)、(2)，即得fg是雙射的。1、定義：定義：設(shè)函數(shù):fAB1:fBA也是雙射的，稱(chēng)1f反函數(shù)反函數(shù)。f的是是雙射的，則 例例2、判斷以下函數(shù)是否存在反函數(shù)，若存在， 請(qǐng)寫(xiě)出反函數(shù)，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由。(1) :fRR2( )1f xx，解：解：f不存在反函數(shù)，因?yàn)閒( 1)(1)0ff。不是單射，(2) :g RR( )31g xx，解：解：g是雙射的，存在反函數(shù)1:gRR11( )(1)3gxx。，例例2、判斷以下函數(shù)是否存在反函數(shù)，若存在， 請(qǐng)寫(xiě)出反函數(shù)，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由。(3) :h RR( )xh xe，解：解：h是雙射的，存在反函數(shù)1:hRR1( )l

52、nhxx。，第四章第四章 小結(jié)和例題小結(jié)和例題 一、集合的笛卡兒積與二元關(guān)系。一、集合的笛卡兒積與二元關(guān)系。 1、基本概念。 2、應(yīng)用。(1) 求給定集合的笛卡兒乘積。 (2) 求給定集合上的小于等于關(guān)系，整除關(guān)系，及冪集上的包含關(guān)系。 有序?qū)?，笛卡兒積；關(guān)系，集合AB集合A關(guān)系矩陣，關(guān)系圖。 的關(guān)系，到上的關(guān)系；空關(guān)系，全域關(guān)系，恒等關(guān)系；一、集合的笛卡兒積與二元關(guān)系。一、集合的笛卡兒積與二元關(guān)系。 1、基本概念。 2、應(yīng)用。(3) 關(guān)系三種表示法間的互相轉(zhuǎn)換。有序?qū)Γ芽▋悍e；關(guān)系，集合AB集合A關(guān)系矩陣，關(guān)系圖。 的關(guān)系，到上的關(guān)系；空關(guān)系，全域關(guān)系，恒等關(guān)系；二、關(guān)系的運(yùn)算。二、關(guān)系的

53、運(yùn)算。1、基本概念。 關(guān)系的定義域，值域；逆關(guān)系，合成關(guān)系； 關(guān)系的冪運(yùn)算。 2、運(yùn)用。(1) 求給定關(guān)系的逆關(guān)系，合成關(guān)系。(3) 求給定關(guān)系的定義域，值域。 (2) 求給定關(guān)系的n次冪。三、關(guān)系的性質(zhì)。三、關(guān)系的性質(zhì)。1、基本概念。 關(guān)系的自反性，反自反性，對(duì)稱(chēng)性，反對(duì)稱(chēng)性，傳遞性。2、運(yùn)用。(1) 關(guān)系的五種性質(zhì)及關(guān)系圖，關(guān)系矩陣特征。(2) 五種性質(zhì)的判斷和驗(yàn)證。 四、關(guān)系的閉包。四、關(guān)系的閉包。1、基本概念。 自反閉包，對(duì)稱(chēng)閉包，傳遞閉包。 2、運(yùn)用。求給定關(guān)系的自反，對(duì)稱(chēng)，傳遞閉包。五、等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系。五、等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系。1、基本概念。 2、運(yùn)用。(1) 等價(jià)關(guān)系，偏序關(guān)系

54、的判斷。等價(jià)關(guān)系，等價(jià)類(lèi)，商集，劃分；偏序關(guān)系，偏序集，哈斯圖；極大元，極小元，最大元，最小元，上界，下界，上確界，下確界。 (2) 求給定等價(jià)關(guān)系決定的劃分；求給定劃分決定的等價(jià)關(guān)系。五、等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系。五、等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系。1、基本概念。 2、運(yùn)用。(3) 畫(huà)出給定偏序關(guān)系的哈斯圖。等價(jià)關(guān)系，等價(jià)類(lèi)，商集，劃分；偏序關(guān)系，偏序集，哈斯圖；極大元，極小元，最大元，最小元，上界，下界，上確界，下確界。 (4) 求極大、小元，最大、小元，上、下界，上、下確界。六、函數(shù)的定義和性質(zhì)。六、函數(shù)的定義和性質(zhì)。1、基本概念。 函數(shù)；單射，滿(mǎn)射，雙射。2、運(yùn)用。(1) 判斷一個(gè)關(guān)系是否為函數(shù)。 (2

55、) 判斷一個(gè)函數(shù)是否單射，滿(mǎn)射，雙射。 七、函數(shù)的復(fù)合和反函數(shù)。七、函數(shù)的復(fù)合和反函數(shù)。1、基本概念。 復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)。2、運(yùn)用。(1) 求復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)。 (2) 驗(yàn)證函數(shù)的單射，滿(mǎn)射，雙射性，經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算后仍保持。 解：解：2,1 , 3,2 , 4,3 , 5,4 ,R 6,5 , 3,1 , 4,2 , 5,3 , 6,4例例1、設(shè)1,2,3,4,5,6A A2,()Rx yxyAxyS , x yyxT ,xx yy上的二元關(guān)系，的倍數(shù)是是素?cái)?shù) (1) 寫(xiě)出, ,R S T的元素。1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 6,6 ,S 1,2 , 1,3 , 1

56、,4 , 1,5 , 1,6 , 2,4 ,2,6 , 3,6解：解：例例1、設(shè)1,2,3,4,5,6A A2,()Rx yxyAxyS , x yyxT ,xx yy上的二元關(guān)系，的倍數(shù)是是素?cái)?shù) (1) 寫(xiě)出, ,R S T的元素。解：解：2,1 , 3,1 , 5,1 , 4,2 , 6,2 , 6,3T 例例1、設(shè)1,2,3,4,5,6A A2,()Rx yxyAxyS , x yyxT ,xx yy上的二元關(guān)系，的倍數(shù)是是素?cái)?shù) (1) 寫(xiě)出, ,R S T的元素。是自反，反對(duì)稱(chēng)，傳遞的。 S是反自反，反對(duì)稱(chēng)的。T例例1、設(shè)1,2,3,4,5,6A A2,()Rx yxyAxyS , x

57、 yyxT ,xx yy上的二元關(guān)系，的倍數(shù)是是素?cái)?shù) (2), ,R S T具有哪些性質(zhì)。解：解：R是反自反，反對(duì)稱(chēng)的。解：解：3,1 , 4,2 , 5,3 , 5,2 ,R R 6,4 , 6,3 , 4,1 , 6,24,1 , 6,1 , 6,2R T 例例1、設(shè)1,2,3,4,5,6A A2,()Rx yxyAxyS , x yyxT ,xx yy上的二元關(guān)系，的倍數(shù)是是素?cái)?shù) (3) 求R RR T，解：解：1,1 , 2,2 , 3,3R 解：解：1,2 , 2,1 , 1,3R 解：解：1,2 , 2,3 , 1,3R 例例2、舉出使它有如下的性質(zhì)：1,2,3A R的例子，上的關(guān)

58、系(1)R既是對(duì)稱(chēng)的，又是反對(duì)稱(chēng)的。(2)R既不是對(duì)稱(chēng)的，也不是反對(duì)稱(chēng)的。 (3)R是傳遞的。(1) 1(0)_R1,2,3,4(2) 2(0)_R1,0(3) 3(3)_R(4) 1(1)_R2,3,4例例3、xXRX定義集合( )R xy xRy若4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4X 且令1,Rx y x yXxy2,12Rx y x yXyxy 23,Rx y x yXxy求以下集合： ，上的二元關(guān)系，對(duì)是(5) 2( 1)_R 2, 1例例3、xXRX定義集合( )R xy xRy若4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4X 且令1,Rx y x yXxy2,12Rx y x yXyxy 23,Rx y x yXxy求以下集合： ，上的二元關(guān)系，對(duì)是解：解：關(guān)系圖：0100001001010010RM關(guān)系矩陣：例例4、設(shè), , ,Aa b c dA,Ra bb cc bc dd c上關(guān)系，(1) 畫(huà)出RR的關(guān)系矩陣。的關(guān)系圖，并寫(xiě)出解：解：2,Ra cb bc cb dd bd d3,Ra ba db cc bc dd c4,Ra cb bb dc cd bd d1,Rb ac bb cd cc d例例4、設(shè), , ,Aa b c dA,Ra bb cc bc