XH101 邏輯代數(shù)基礎2012

1、 無論是數(shù)字儀表，還是計算機，其內部功能比較復雜。但其內部通常由幾種或幾十種最基本的電子電路組成。在這些電子電路中多數(shù)是數(shù)字邏輯電路數(shù)字邏輯電路。數(shù)字邏輯電路：數(shù)字邏輯電路：用邏輯函數(shù)進行描述的電路。、輸入、輸出具有一定的邏輯關系、輸入、輸出具有一定的邏輯關系（條件、結果）（條件、結果）、實現(xiàn)邏輯函數(shù)的電路叫做邏輯電路、實現(xiàn)邏輯函數(shù)的電路叫做邏輯電路、描述輸出、輸入邏輯關系的表達式叫做邏輯表達式、描述輸出、輸入邏輯關系的表達式叫做邏輯表達式、邏輯電路的輸出、輸入量，、邏輯電路的輸出、輸入量，都用數(shù)字量表示都用數(shù)字量表示、實現(xiàn)邏輯關系的電子電路、實現(xiàn)邏輯關系的電子電路通稱為通稱為門電路。門電路。

2、數(shù)字邏輯電路特點：數(shù)字邏輯電路特點：邏輯電路A0A1AnB0B1Bn 邏輯代數(shù)是分析和設計數(shù)字電路的基本工具。因此首先要了解邏輯代數(shù)有什么基本特性，邏輯代數(shù)和普通代數(shù)又有什么異同之處。邏輯代數(shù)和普通代數(shù)的區(qū)別：邏輯代數(shù)和普通代數(shù)的區(qū)別：共同點：共同點： 都用字母都用字母 A A、B B、C - C - 等表示變量。等表示變量。 仍遵守與普通代數(shù)一樣的運算優(yōu)先順序（先括號、仍遵守與普通代數(shù)一樣的運算優(yōu)先順序（先括號、其次乘、最后加）。其次乘、最后加）。 不同點：不同點： 這些變量這些變量 A.B.C A.B.C 的取值范圍是的取值范圍是 0 0 和和 1 1 。 其運算規(guī)則是按邏輯規(guī)則來定義的。

3、其運算規(guī)則是按邏輯規(guī)則來定義的。 0 0、1 1不再表示數(shù)量的大小，只代表不同的邏輯狀態(tài)。不再表示數(shù)量的大小，只代表不同的邏輯狀態(tài)。 在邏輯代數(shù)中，在邏輯代數(shù)中，0和和1不再表示數(shù)量的大小，只不再表示數(shù)量的大小，只代表兩種不同的邏輯狀態(tài)。代表兩種不同的邏輯狀態(tài)。 邏輯代數(shù)也用字母表示變量，這種變量稱為邏輯代數(shù)也用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。在二值邏輯中，每個邏輯變量的取值邏輯變量。在二值邏輯中，每個邏輯變量的取值只有只有0和和1兩種。兩種。 邏輯代數(shù)主要用于解決開關電路和數(shù)字邏輯邏輯代數(shù)主要用于解決開關電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設計。電路的分析與設計。 邏輯代數(shù)也用字母表示變量，這種變

4、量稱為邏輯變量。在二值邏輯代數(shù)也用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。在二值邏輯中，每個邏輯變量的取值只有邏輯中，每個邏輯變量的取值只有0和和1兩種。兩種。 在邏輯代數(shù)中，在邏輯代數(shù)中，0和和1不再表示數(shù)量的大小，只代表兩種不同的邏不再表示數(shù)量的大小，只代表兩種不同的邏輯狀態(tài)。輯狀態(tài)。邏輯代數(shù)主要用于解決開關電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設計。邏輯代數(shù)主要用于解決開關電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設計。一、基本邏輯運算：一、基本邏輯運算：與、或、非與、或、非 三種。三種。 為了便于理解基本邏輯關系的基本含義，先通過一些簡單例子為了便于理解基本邏輯關系的基本含義，先通過一些簡單例子作一說明。作一說明。1

5、 1、“與與”運算及與門運算及與門 邏輯與的概念：邏輯與的概念：若決定一件事的所有條件都成立，這件事的結果若決定一件事的所有條件都成立，這件事的結果就會發(fā)生。否則這件事就不會發(fā)生。這樣的邏輯關系稱為：就會發(fā)生。否則這件事就不會發(fā)生。這樣的邏輯關系稱為：邏輯與、邏輯與、邏輯乘、或稱為：邏輯乘、或稱為：“與與”運算。運算。能夠實現(xiàn)與邏輯運算的電子電路稱為與門電路。能夠實現(xiàn)與邏輯運算的電子電路稱為與門電路。開關斷開為 0開關閉合為 1燈亮為 1燈不亮為 0假設：假設：用四個式子表示：0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1與邏輯的表示方法：（四種）與邏輯的表示方法：（四種）真值表：真

6、值表： 將輸入變量所有的取值下對應的輸出值找出來，列成表格，即可得到真值表。ABF000010100111邏輯表達式邏輯表達式： 把輸出與輸入之間的邏輯關系寫出與與運算的邏輯代數(shù)式，即為邏輯表達式。F = A BABF 220V有有0為為0全全1為為1工作波形圖工作波形圖 把輸入和輸出之間的邏輯關系用波形圖的方法表示，即為工作波形圖。有有0 0為為0 0，全，全1 1為為1 1邏輯圖（符號）邏輯圖（符號） 將邏輯函數(shù)中各變量之間的邏輯關系用圖形符號表示，即為邏輯圖。 把實現(xiàn)與邏輯運算把實現(xiàn)與邏輯運算的單元電路叫做的單元電路叫做與門與門。F&ABFAB 邏輯或的概念：邏輯或的概念：決定某

7、一件事的諸條件中，只要有一個或一個以上的條件滿足，這件事的結果就會發(fā)生，否則結果不會發(fā)生。這樣的邏輯關系稱為：邏輯或、邏輯加、邏輯或、邏輯加、或稱為“或或”運算。運算。0 0 = 00 1 = 11 0 = 11 1 = 1假設：假設：開關閉合為 1開關斷開為 0燈亮為 1燈不亮為 0用四個式子表示：用并聯(lián)開關電路簡單說明或或邏輯關系：或邏輯的表示方法：或邏輯的表示方法： 220VABABF000011101111真值表：真值表：工作波形圖工作波形圖邏輯圖（符號）邏輯圖（符號）邏輯表達式邏輯表達式：F = A + B 把實現(xiàn)或邏輯運算的把實現(xiàn)或邏輯運算的單元電路叫做或門。單元電路叫做或門。有有

8、1為為1全全0為為0F11ABFAB 邏輯非的概念：邏輯非的概念：條件具備了，結果不會發(fā)生。條件不具備，結果一定發(fā)生。A F0 11 0邏輯表達式：邏輯表達式：AF 工作波形工作波形: :邏輯符號：邏輯符號：開關閉合為 1 開關斷開為 0燈亮為 1燈不亮為 0假設：假設：把實現(xiàn)非邏輯運算的單元電路叫做非門。把實現(xiàn)非邏輯運算的單元電路叫做非門。 220VAFAF1 1AFAAA0 AA邏輯運算邏輯運算邏輯符號邏輯符號真值表真值表基本運算規(guī)則基本運算規(guī)則與與ABF000010100111ABF000011101111AA100 AAAA1AA11AAA0AA AF0110邏輯表達式邏輯表達式BAF

9、BAFAF 或或非非&ABF1ABF1 1AF 實際的邏輯問題比與、或、非與、或、非復雜得多。利用這三種基本邏輯關系，可以得出處理實際邏輯問題的各種復合邏輯，如與非、或非、與或非、異或、同或與非、或非、與或非、異或、同或邏輯等。1 1、 與非邏輯與非邏輯 與非邏輯是與與邏輯運算和非非邏輯運算的組合。它是將輸入變量先進行與運算，然后再進行非運算。與非邏輯表達式：BAF與非門邏輯符號：能夠實現(xiàn)與非邏輯運算的電路稱為與非門能夠實現(xiàn)與非邏輯運算的電路稱為與非門。&AFBAFBAFB與非門真值表：與非門真值表：A B0 00 11 01 1有有0 0為為1,1,全全1 1為為0 0與非門

10、運算順序是：與非門運算順序是： 先與后非先與后非即：當輸入A、B中，只要有一個0,輸出就是1,只有輸入全為1時，輸出才是0。BAF1110工作波形圖：工作波形圖：ABF 或非邏輯是或或邏輯運算和非非邏輯運算的組合。它是將輸入變量先進行或運算，然后再進行非運算。能夠實現(xiàn)或非邏輯運算的電路稱為或非門或非門?；蚍沁壿嫳磉_式：或非邏輯表達式：BAF或非門邏輯符號：或非門邏輯符號：或非門真值表：或非門真值表：AB00011011BAF或非門運算順序是：或非門運算順序是： 先或后非先或后非1000有有1為為0,全全0為為1即：當輸入A、B中，只要有一個1,輸出就是0,只有輸入全為0時，輸出才是1。或非門工

11、作波形或非門工作波形11FAB+AFBAFBABF 與或非邏輯是與與邏輯運算和或非或非邏輯運算的組合。它是將輸入變量A,B及C,D先進行與運算，然后再進行或非運算。能夠實現(xiàn)與或非邏輯運算的電路稱為與或非門與或非門。ABCDF00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110邏輯符號：邏輯符號：與或非門真值表：與或非門真值表：工作工作波形圖：波形圖：邏輯表達式：邏輯表達式：CDABF每組有每組有0為為1,某組全某組全1為為0。AFBCD&11ABCDFC+ABDFFABCDA,B

12、為兩個單刀雙擲開關。 燈亮的條件是：一個開關打在上面，另一個開關打在下面。兩個開關同時打在上面或者下面，則燈不亮。假設：假設：開關打在上面為1開關打在下面為0燈亮為1燈滅為0真值表：真值表：A A B BF F0 0 0 00 00 0 1 11 11 1 0 01 11 1 1 10 0由真值表寫出邏輯表達式：由真值表寫出邏輯表達式：取取F=1F=1列與項邏輯式。列與項邏輯式。對任何一種輸入變量組合，對任何一種輸入變量組合，變量之間是變量之間是“與與”運算。運算。如果輸入變量是如果輸入變量是“1”,1”,記記原變量。如果輸入變量是原變量。如果輸入變量是“0”,0”,記反變量。記反變量。各組合

13、之間是各組合之間是“或或”邏輯關邏輯關系。系。BABABAF異或運算特點：異或運算特點：相異為相異為1 1，相同為，相同為0 0AFB220V異或異或邏輯符號：邏輯符號：異或邏輯基本運算規(guī)律：異或邏輯基本運算規(guī)律：0 0 = 0 1 1 = 01 0 = 0 1 = 1推論：推論：異或門工作異或門工作波形圖：波形圖：1 AA0 AAAA0AA1BABA=1AFBFAB假設：假設：開關打在上面為1開關打在下面為0燈亮為1燈滅為0燈亮的條件是：兩個開關均打在上面，或均打在下面。 ABF001010100111ABBAF同或運算特點同或運算特點：相同為相同為1,1,相異為相異為0 0。同或同或邏輯符

14、號：邏輯符號：同或邏輯和異或邏輯互為反函數(shù)。同或邏輯真值表同或邏輯真值表同或邏輯表達式同或邏輯表達式ABABABABAB=1AFBAFB220V1 1、邏輯函數(shù)間的相等、邏輯函數(shù)間的相等設有兩個邏輯函數(shù)F = f (A1A2-An)G = g (A1A2-An)看出：F和G都是變量 A1A2-An的邏輯函數(shù)如果:2n 種組合中每一狀態(tài)組合F和G值相同，則稱為F和G相等，記作F=G。如果F=G，其真值表相同。反之，F(xiàn)和G真值表相同，F(xiàn)一定等于G。因此，要證明兩個邏輯函數(shù)相等，只需列出真因此，要證明兩個邏輯函數(shù)相等，只需列出真值表，若真值表相同，那么這兩個函數(shù)一定相等。值表，若真值表相同，那么這兩

15、個函數(shù)一定相等。 CBAC,B,AF CAABC,B,AG 例：設證明 F = G證：(1)、列出F和G的真值表 從真值表中可以看出： 每一種組合 F 和 G 都相等，所以 F = G。 即：即：F F 和和 G G是同一邏是同一邏輯的兩種不同表達式。輯的兩種不同表達式。ABC000001010011100101110111CBACAAB0 00 00 00 01 10 01 11 1FA BCGABAC(2)、實現(xiàn)F和G的邏輯電路圖兩種不同的電路形式，表示同一種邏輯功能。兩種不同的電路形式，表示同一種邏輯功能。CCBBACCA將運算符號變?yōu)檫壿嫹枌⑦\算符號變?yōu)檫壿嫹?1&ABCA

16、BC&11交換律A+B=B+AAB=BA結合律A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配律A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收律A+AB=AA(A+B)=A01律A+1=1,A+O=AA0=0,A1=A互補律重疊律A+A=AAA=A非非律反演律包含律1 AAAA BABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0 AA兩點說明：兩點說明：1 1、乘法運算中乘號、乘法運算中乘號“”可以省略，可以省略，A A B B 可寫為可寫為ABAB2 2、運算順序，先括號，再算乘，最后加。、運算順序，先括號，再算乘，最后加。 這些基本定律反應了邏輯代數(shù)

17、的基本規(guī)律，其正確性都可以利用真值表加以驗證。例：證明反演律BAABBABA, 00 1 1 1 1 01 0 0 1 1 10 0 0 1 1 11 0 0 0 0BABAABBAAB從真值表中看出：BABABAABBABABAAB（1 1）、代入規(guī)則）、代入規(guī)則 任何一個含變量任何一個含變量 A A 的等式中，如果將出現(xiàn)的等式中，如果將出現(xiàn) A A 的地方，的地方，都代之一個邏輯函數(shù)都代之一個邏輯函數(shù) F F ，則等式仍然成立。，則等式仍然成立。例1：分配律A(B+C) = AB+AC令：C = EF 代入公式A(B+EF)證:A(B+EF)用乘對加的分配率證明例2:BABAABCDBCD

18、CD則：令：A = CD證：BCDBCDCDCDBCDCD)(代入規(guī)則之所以正確： 是因為任何一個邏輯函數(shù)和任何一個邏輯變量一樣，只有兩種可能取值 (0 ,1),所以可以將邏輯函數(shù)當作一個邏輯變量對待。= AB+AEF= AB+AEF 有了代有了代入規(guī)則，基本入規(guī)則，基本定律不受變量定律不受變量限制，擴大了限制，擴大了基本公式的應基本公式的應用范圍。用范圍。（2 2）、反演規(guī)則：）、反演規(guī)則： （摩根定理）目的：求原函數(shù)的反函數(shù)求原函數(shù)的反函數(shù) 已知函數(shù)為已知函數(shù)為 F F ，將，將 F F 中的所有中的所有 “ “” ” 換為換為“”，“” ” 換為換為 “” ” ，0 0 換為換為 1 1

19、 ，1 1 換為換為 0 0，原變量換為反變量，反變量換為原變量。，原變量換為反變量，反變量換為原變量。得到的函數(shù)式就是原函數(shù)的反函數(shù)，或稱為補函數(shù)。記作得到的函數(shù)式就是原函數(shù)的反函數(shù)，或稱為補函數(shù)。記作FCDBAFF求例1:已知解：由反演規(guī)則直接得出由反演規(guī)則直接得出DCBAF)(CDBAF由反演律得由反演律得2 2、在運算過程中適當增加括號，以保證原函數(shù)的運算順序不變。、在運算過程中適當增加括號，以保證原函數(shù)的運算順序不變。本例說明：本例說明： 1 1、由反演規(guī)則求反函數(shù)，比直接用反演律求反函數(shù)方便、簡單。、由反演規(guī)則求反函數(shù)，比直接用反演律求反函數(shù)方便、簡單。CDBA DCBA)(例2:

20、 已知EDCBAFEDCBAF解：利用反演規(guī)則直接寫出利用反演規(guī)則直接寫出注意：不屬于單個變量上的反號保持不變。注意：不屬于單個變量上的反號保持不變。（3 3）、對偶規(guī)則：）、對偶規(guī)則： 對偶式：已知函數(shù)為對偶式：已知函數(shù)為 F F ，將，將 F F 中的所有中的所有 “ “” ” 換為換為“”，“” ” 換為換為 “ “” ” ，變量保持不變變量保持不變。得到的函。得到的函數(shù)式就是原函數(shù)的對偶式數(shù)式就是原函數(shù)的對偶式 F F。例：CBAFCBAF) 1)(CABAF0CABAFCBAFCBAFF求首先了解什么是對偶式；對偶規(guī)則：對偶規(guī)則： 如果兩個函數(shù)如果兩個函數(shù) F F 和和 G G 相等

21、，那么它們各自的對偶式相等，那么它們各自的對偶式 F F 和和 G G也相等。也相等。例：F = A(B+C) 由乘對加的分配律知：F= A+BC由加對乘的分配律知: G= (A+B)(A+C)G = AB+ACF = A(B+C)=AB+AC F = G F= GF= A+BC = (A+B)(A+C) 掌握對偶規(guī)則的掌握對偶規(guī)則的目的目的：當證明某一等式相等當證明某一等式相等后，根據(jù)對偶規(guī)則，其對偶式也相等。使證明的后，根據(jù)對偶規(guī)則，其對偶式也相等。使證明的式子數(shù)目減少一半。起到事半功倍的效果。式子數(shù)目減少一半。起到事半功倍的效果。 目的：要求學會證明函數(shù)相等的方法，運用邏輯代數(shù)的目的：要

22、求學會證明函數(shù)相等的方法，運用邏輯代數(shù)的基本定律，得出一些常用公式?；径桑贸鲆恍┏Ｓ霉?。ABAABAABBABAAB1證：ABABA1 BBBABAABABABAAABAA1證：ABBAA吸收律：吸收律：（互補律）說明：兩個乘積項相加說明：兩個乘積項相加時，若乘積項分別包含時，若乘積項分別包含B B和和/B/B兩個因子。而其兩個因子。而其余因子相同。則兩項定余因子相同。則兩項定能合并成一項，消去能合并成一項，消去B B和和/B/B兩個因子。兩個因子。 說明：兩個乘積項相加時，其中一項的部分因子恰好說明：兩個乘積項相加時，其中一項的部分因子恰好是另一乘積項的補是另一乘積項的補（/A)/A

23、)，則該乘積項中的則該乘積項中的/A/A是多余的。是多余的。吸收律吸收律：對偶式：對偶式：對偶式：對偶式：若若兩兩個個乘乘積積項項中中分分別別包包含含A A和和A A兩兩個個因因子子，而而這這兩兩個個乘乘積積項項的的其其余余因因子子組組成成第第三三個個乘乘積積項項，則則第第三三個個乘乘積積項項是是多多余余的的?？煽上トAABBCCAABBCAACAABBCCAABBCACAB11CAABCAABBCDECAABBCDEBCCAAB證：DEBCCAAB1CAABBCCAABCABAEDCBCABA包含律：包含律：推論：推論：對偶式：對偶式：BCAABCCAAB證：BACACAABBCCAA

24、BAABACA證右：CAABBCCAAB 0BAACCABAA+BC = (A+B)(A+C)證：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC= A+BCA(B+C)=AB+AC交叉互換律：交叉互換律：對偶式：對偶式：加對乘的分配律：加對乘的分配律：對偶式：對偶式：常用邏輯函數(shù)表示方法有：1 1、邏輯真值表、邏輯真值表2 2、邏輯表達式、邏輯表達式3 3、邏輯圖、邏輯圖各種表示方法間的相互轉換一、從真值表寫出邏輯表達式一、從真值表寫出邏輯表達式例：已知一個奇偶判別函數(shù)的真值表（偶例：已知一個奇偶判別函數(shù)的真值表（偶為為1,奇為奇為0)，試寫出它

25、的邏輯函數(shù)式。，試寫出它的邏輯函數(shù)式。ABCY00000101001110010111011110000110BCACBACAB解： 當ABC=011時，1BCA使乘積項當ABC=101時，1CBA使乘積項當ABC=110時，1CAB使乘積項因此，Y的邏輯函數(shù)應當?shù)扔谶@三個乘積項之和。CABCBABCAY4 4、工作波形圖、工作波形圖通過以上例題可以總結出從真值表寫出邏輯函數(shù)式的一般方法。通過以上例題可以總結出從真值表寫出邏輯函數(shù)式的一般方法。1 1、找出真值表中使邏輯函數(shù)、找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1Y=1的輸入變量取值組合。的輸入變量取值組合。2 2、每組輸入變量的取值組合對應一個乘積項，

26、輸入變量取值為、每組輸入變量的取值組合對應一個乘積項，輸入變量取值為1 1的寫入原變量，取值為的寫入原變量，取值為0 0的寫入反變量。的寫入反變量。3 3、將取值為、將取值為1 1的乘積項相加，即得到的乘積項相加，即得到Y Y的邏輯函數(shù)式。的邏輯函數(shù)式。二、從邏輯表達式列出真值表二、從邏輯表達式列出真值表 將輸入變量的所有狀態(tài)組合逐一代入邏輯式，求出函數(shù)值，列成表，即可得到真值表。例：已知函數(shù)CBACBAY求其對應真值表。A B C000001010011100101110111CBCBAY解：將三變量所有取值組合代入Y式中，將計算結果列表。010001001000000001011111&a

27、mp;111&11三、從邏輯表達式畫出邏輯圖三、從邏輯表達式畫出邏輯圖 用圖形符號代替邏輯式中的運算符號，就可以畫出邏輯圖。例：已知邏輯函數(shù),CCBACBAY畫出對應邏輯圖。 解：將式中所有的與、或、非運算符號用邏輯符號代替，并根據(jù)運算優(yōu)先順序把這些邏輯符號連接起來，就得到Y的邏輯圖。ABCABCCBACBCBACCBACBAY11111ABY四、四、從邏輯圖寫出邏輯表達式從邏輯圖寫出邏輯表達式 從輸入端到輸出端逐級寫出每個邏輯符號的邏輯式，就得到對應的邏輯表達式。例：已知邏輯圖，試寫出邏輯表達式。 解：從輸入A、B開始逐個寫出每個邏輯符號輸出端的邏輯式。ABBABABABABABAY

28、)(BABABABABA與與-或式或式與非與非式與非與非式或或-與式與式或非或式或非或式或或-與非式與非式邏輯函數(shù)的八種形式可以用八種邏輯電路來實現(xiàn)。邏輯函數(shù)的八種形式可以用八種邏輯電路來實現(xiàn)。八種不同的邏輯電路可以實現(xiàn)同一邏輯功能。八種不同的邏輯電路可以實現(xiàn)同一邏輯功能。FABCACBCABC AC BC()()()ABCACBC() () ()ABCACBCABCACBC與與-或非式或非式ABC AC BC與非與式與非與式()()()ABCAC BC()()()ABCACBC或非或非式或非或非式BCAAC ,如：BCAAC ,B C AB C如：CBACB目的：為圖解化簡法打好基礎。目的：

29、為圖解化簡法打好基礎。與項：與項：邏輯變量間只進行乘運算的表達式稱為與項 。 與或表達式：與或表達式：與項和與項間只進行加運算的表達式稱為與或表達式。如: 或項：或項：邏輯變量間只進行或運算的表達式稱為或項。 或與表達式：或與表達式：或項和或項間只進行乘運算的表達式稱為或與表達式。如: 在介紹邏輯函數(shù)的標準形式之前，先介紹最小項和最大項的概念，然后介紹邏輯函數(shù)的“最小項之和最小項之和”及“最最大項之積大項之積”兩種標準形式。幾個概念：幾個概念：( (1) 1) 定義：定義：最小項是一個與項。最小項是一個與項。 ( (2) 2) 特點特點： n n 個變量都出現(xiàn)，每個變量以原變量或反變量的形式個

30、變量都出現(xiàn)，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。稱這個出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。稱這個與項與項為最小項。為最小項。n n 變量變量有有 2 2n n 個最小項。個最小項。例如：在三變量A、B、C的最小項中：1 1、最小項、最小項 輸入變量的每一組取值都使一個對應的最小項的值等于1。當A=1、B=0、C=1時，乘乘積積項項ABC=1ABC=1。如如果果將將ABCABC的的取取值值101101看看作作一一個個二二進進制制數(shù)數(shù)，所對應的十進制數(shù)就是5。5 5一一般般將將ABCABC這這個個最最小小項項記記做做m m 。按照上述約定，作出三變量最小項編號表。原取原取1,1,反取反取0.

31、0.最小項使最小項為1的變量取值對應十進制數(shù)編號ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBABCACBACBACABABC0m1m2m3m4m5m6m7m（3 3）最小項的重要性質）最小項的重要性質 在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，而且在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為僅有一個最小項的值為1 1。所有最小項之和為所有最小項之和為1 1。1120niim任意兩個最小項的乘積為任意兩個最小項的乘積為0 0。0jimmji 具有相鄰性的兩個最小項之和，可以合并成一項，并消具有相鄰性的兩個最小項之和，可以合并成一項，并消去一

32、對因子。去一對因子。ABCCABCBACBABCACBACBACBA證：ABBABABA1AA0)(CCBACBACBA證：相鄰性：相鄰性： 若兩個最小項彼此只有一個因子不同，且互為反變量，若兩個最小項彼此只有一個因子不同，且互為反變量，則稱這兩個最小項具有相鄰性。則稱這兩個最小項具有相鄰性。例：CBACBABACCBA)( 定理：定理：任何邏輯函數(shù)任何邏輯函數(shù) F F 都可以用最小項之和的形式表示。都可以用最小項之和的形式表示。而且這種形式是唯一的。而且這種形式是唯一的。真值表法：真值表法： 將邏輯函數(shù)先用真值表表示，然后再根據(jù)真值表寫出最小項之和。例：將CABCCBAF表示為最小項之和的形

33、式。解：由最小項特點知：n 個變量都出現(xiàn)，BC 缺變量 A ,所以 F 是一般與或式，不是最小項之和的標準形式。列：F 真值表：ACAC缺缺變變量量B,B,BCBC和和ACAC不不是是最最小小項項。000 1 0 0 1 001 0 0 0 0 010 0 0 0 0 011 0 1 0 1 100 0 0 1 1 101 0 0 0 0 110 0 0 1 1 111 0 1 0 1 CBABCCAFABCCABCBABCACBAF76430mmmmm m7 .6 .4 .3 .0ABC 由最小項性質、知：每個最小項等于1的自變量取值是惟一的。 那么：將 F = 1 的輸入變量組合相加即可。

34、1表示原變量 ,0表示反變量CABCCBAF摩根定律及配項法摩根定律及配項法 將邏輯函數(shù)反復利用摩根定律及配項法，將其表示為最小項之和的形式。例1：CABCCBAF解：CABBBCAACBAFCBACABBCAABCCBA46370mmmmm m7 , 6 , 4 , 3 , 0原取原取1 1反取反取0 0例2：將表示為最小項之和的形式。ABCBAABFABCBAABABCBAAB解：ABCBAABFABCBABACCABCBABACABABCBCACBA6735mmmmm7 , 6 , 5 , 3說明：說明：全部由最小全部由最小項相加構成的與項相加構成的與- -或或表達式稱為最小項表達式稱為

35、最小項表達式，是與表達式，是與- -或表或表達式的標準形式。達式的標準形式。( (都是最小項，不是都是最小項，不是全部最小項全部最小項) )。( (1) 1) 定義：定義：最大項是一個或項。最大項是一個或項。 (2) (2) 特點：特點： n n 個變量都出現(xiàn)，每個變量以原變量或反變量的形式個變量都出現(xiàn)，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。稱這個出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。稱這個或項或項為最大項。為最大項。n n 變量變量有有 2 2n n 個最大項。個最大項。例如：在三變量A、B、C的最大項中：2 2、最大項、最大項 輸入變量的每一組取值都使一個對應的最大項的值等于0。當A=1

36、、B=0、C=1時，或或項項（A AB BC C） =0=0。按照上述約定，作出三變量最大項編號表。 如果將最大項為0的ABC取值視為一個二進制數(shù)，并以其對應的十進制數(shù)給出最大項編號，5 5則則(A+B+C)(A+B+C)可可記記做做MM 。原取原取0,0,反取反取1 1。最大項使最大項為0的變量取值對應十進制數(shù)編號ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBACBACBACBACBACBA0M1M2M3M4M5M6M7M（3 3）最大項的重要性質）最大項的重要性質在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且僅有在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且

37、僅有一個最大項的值為一個最大項的值為0 0。1MMji ji 所有最大項之積為所有最大項之積為0 0任意兩個最大項之和為任意兩個最大項之和為1 1。只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。之和。例：BACBACBA(4)(4)、用最大項表示邏輯函數(shù)的方法：、用最大項表示邏輯函數(shù)的方法： 定理：定理：任何邏輯函數(shù)任何邏輯函數(shù) F F 都可以用最大項之積的形式都可以用最大項之積的形式表示。而且這種形式是惟一的。表示。而且這種形式是惟一的。用最大項表示邏輯函數(shù)的方法有兩種：用最大項表示邏輯函數(shù)的方法有兩種：真值表法真值表法加對乘的分配率及

38、配項法加對乘的分配率及配項法ABCAAABACBABBBCCACBCC證：A+B+C1ABCC1B ACC AB真值表法真值表法例例：將將F= ABC+BC+ACF= ABC+BC+AC表示為最大項之積的形式。列：F 真值表000000 1 1 0 0 0 0 1 1 001001 0 0 0 0 0 0 0 0 010010 0 0 0 0 0 0 0 0 011011 0 0 1 1 0 0 1 1 100100 0 0 0 0 1 1 1 1 101101 0 0 0 0 0 0 0 0 110110 0 0 0 0 1 1 1 1 111111 0 0 1 1 0 0 1 1 ABCC

39、BABCCAF解：把真值表中 F = 0 的輸入變量，以最大項的形式表示。輸入0 表示原變量，1 表示反變量。 CBACBACBAF521MMM函函數(shù)數(shù)F= ABC+BC+ACF= ABC+BC+AC既可以用最大項之積表示，又可以用最小項之和表示。M5 , 2 , 1ABCCABCBABCACBAF比較函數(shù)比較函數(shù)F F的最大項之積和最小項之和表達式，可以發(fā)現(xiàn)；的最大項之積和最小項之和表達式，可以發(fā)現(xiàn)；只要知道一種形式就可以直接寫出另一種表達形式。只要知道一種形式就可以直接寫出另一種表達形式。mmmmmm7643076430，例例：將將F= A+ABCF= A+ABC CABAAAF 加對乘的

40、分配率加對乘的分配率 CABA BBCACCBA 配項配項 BBHCCG 代入規(guī)則 BHBHCGCG 加對乘的分配率加對乘的分配率 BCABCACBACBA CBACBACBA 合并項210MMM 2 , 1 , 0M加對乘的分配律及配項法加對乘的分配律及配項法表示成最大項之積和最小項之和的形式。解：最大項原變量記做最大項原變量記做0 0，反變量記做，反變量記做1 1。最小項之和為：最小項之和為：7 , 6 , 5 , 4 , 3FBAGCAHA+BA+B缺變量缺變量C,A+CC,A+C缺變量缺變量B B由以上討論可知：全部由最大項相乘構成的或-與表達式稱為最大項的標準表達式，又稱為標準或-與表達式。最小項與最大項之間的關系：最小項與最大項之間的關系： 腳號相同，互為反演。腳號相同，互為反演。iiMm iimM 00MCBACBAm77MCBAABCm 7 . 4 . 3 . 2F74327432mmmmmmmmF 例1:例2:7432MMMM 7 , 4 , 3 , 2M最小項與最大項之間的關系最小項與最大項之間的關系DCBAm9 69MDCBAm DCBAm0 150MDCBAm9 . 8 . 7 . 6 . 5F例：6 , 7 , 8 , 9 ,10MF 因子相同，互為對偶。因子相同，互為對偶。150Mm 求其對偶式。141Mm 132Mm123Mm 114