水平與豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)之拓展

1、思考:過山車為什么在最高點(diǎn)也不會(huì)掉下來?過山車2NvFmgmr最高點(diǎn)：20NvFmgmr當(dāng) 時(shí)，minvgrv臨討論時(shí)，當(dāng)grv(1)2NvFmmgr時(shí)，當(dāng)grv (2)0NF 時(shí)，當(dāng)grv (3)物做近心運(yùn)動(dòng) 繩和內(nèi)軌模型理論研究mgFNv軌道提供支持力,繩子提供拉力。v 桿兒和雙軌模型能過最高點(diǎn)的臨界條件:0臨界v當(dāng)速度v 時(shí), 桿兒對(duì)小球是拉力;當(dāng)速度v 時(shí), 桿兒對(duì)小球是支持力;當(dāng)速度v = 時(shí), 桿兒對(duì)小球無作用力。grgrgrmgFNrvmmgFN2rvmFmgN2時(shí)當(dāng)mgFN討論FN=0桿既可以提供拉力,也可以提供支持力。FNFN 繩桿圓管 模型圖 m的受力情況 最高點(diǎn)A的速度

2、重力、繩的拉力gLvAAOmBL重力、桿的拉力或支持力0AvAOmBR重力、外管壁的支持力或內(nèi)管壁的支持力0Av豎直平面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)AOmBL練習(xí)練習(xí):用鋼管做成半徑為用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓的光滑圓環(huán)環(huán)(管徑遠(yuǎn)小于管徑遠(yuǎn)小于R)豎直放置豎直放置,一小球一小球(可看可看作質(zhì)點(diǎn)作質(zhì)點(diǎn),直徑略小于管徑直徑略小于管徑)質(zhì)量為質(zhì)量為m=0.2kg在環(huán)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)在環(huán)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),求求:小球通小球通過最高點(diǎn)過最高點(diǎn)A時(shí)時(shí),下列兩種情況下球?qū)鼙谙铝袃煞N情況下球?qū)鼙诘淖饔昧Α５淖饔昧Α?取取g=10m/s2A的速率為的速率為1.0m/s(1)A的速率為的速率為4.0m/s 解解：AOm先

3、求出桿的彈力為先求出桿的彈力為0的速率的速率v0mg=mv02/l v02=gl=5v0=2.25 m/s (1) v1=1m/s v0 球應(yīng)受到外壁向下的支持力球應(yīng)受到外壁向下的支持力N2如圖所示如圖所示:AOmFN2mg則則 mg+ FN2 =mv22/l得得 FN2 =4.4 N由牛頓第三定律由牛頓第三定律,球?qū)鼙诘淖饔昧Ψ謩e球?qū)鼙诘淖饔昧Ψ謩e為為:(1)對(duì)內(nèi)壁對(duì)內(nèi)壁1.6N向下的壓力向下的壓力;(2)對(duì)外壁對(duì)外壁4.4N向上的壓力。向上的壓力。如圖所示如圖所示,質(zhì)量為質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)始終靜止于地面的電動(dòng)機(jī)始終靜止于地面,其飛輪其飛輪上固定一質(zhì)量為上固定一質(zhì)量為m的物體的物體,物體距

4、輪軸為物體距輪軸為r,為使電動(dòng)為使電動(dòng)機(jī)不至于離開地面機(jī)不至于離開地面,其飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度其飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)如何應(yīng)如何?rMm解解:當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí),對(duì)底座對(duì)底座,受受到重力到重力Mg和物體對(duì)底座的拉力和物體對(duì)底座的拉力T,為為使電動(dòng)機(jī)不至于離開地面使電動(dòng)機(jī)不至于離開地面,必須必須 TMg;對(duì)物體對(duì)物體,受到重力受到重力mg和底座對(duì)和底座對(duì)物體的拉力物體的拉力T。MMgTmmgT由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有:mg+T = m2r即即 m2r(M+m)gmrgmM （1 1）16N16N，壓力，壓力 長(zhǎng)長(zhǎng)L=0.5mL=0.5m，質(zhì)量可忽略的桿，其下端固，質(zhì)量可忽略

5、的桿，其下端固定于定于O O點(diǎn)，上端連有質(zhì)量為點(diǎn)，上端連有質(zhì)量為m=2kgm=2kg的小球，的小球，它繞它繞O O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)通過最高點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)通過最高點(diǎn)時(shí)，如圖所示，求下列情況時(shí)桿受到的力，要求圖所示，求下列情況時(shí)桿受到的力，要求計(jì)算出力的大小，并說明是拉力還是壓力。計(jì)算出力的大小，并說明是拉力還是壓力。（g=10m/sg=10m/s2 2）（1 1）當(dāng)）當(dāng)v=1m/sv=1m/s時(shí)，大小為時(shí)，大小為 N N，是，是 力；力；（2 2）當(dāng)）當(dāng)v=4m/sv=4m/s時(shí)，大小為時(shí)，大小為 N N，是，是 力。力。Ov（2 2）44N44N，拉力，拉力 如圖所示，將一單擺拉到擺

6、線呈水平位置后由靜止釋如圖所示，將一單擺拉到擺線呈水平位置后由靜止釋放，在放，在P點(diǎn)有釘子阻止點(diǎn)有釘子阻止OP部分的細(xì)線移動(dòng)，當(dāng)單擺運(yùn)動(dòng)部分的細(xì)線移動(dòng)，當(dāng)單擺運(yùn)動(dòng)到此位置受阻時(shí)到此位置受阻時(shí)A擺球的線速度突然增大擺球的線速度突然增大 B擺球的角速度突然增大擺球的角速度突然增大C擺球的向心加速度突然增大擺球的向心加速度突然增大 D擺線的張力突然增大擺線的張力突然增大BCD 如圖，飛機(jī)做俯沖拉起運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最低點(diǎn)附近做如圖，飛機(jī)做俯沖拉起運(yùn)動(dòng)時(shí)，在最低點(diǎn)附近做半徑半徑r180 m的圓周運(yùn)動(dòng)，如果飛行員的質(zhì)量的圓周運(yùn)動(dòng)，如果飛行員的質(zhì)量m72 kg.飛機(jī)經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度飛機(jī)經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度v360

7、 km/h(g取取10 m/s2)，求這時(shí)飛行員對(duì)座位的壓力，求這時(shí)飛行員對(duì)座位的壓力 如圖，半徑為如圖，半徑為r r的圓筒繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小橡的圓筒繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，小橡皮塊緊帖在圓筒內(nèi)壁上，它與圓筒的摩擦因數(shù)為皮塊緊帖在圓筒內(nèi)壁上，它與圓筒的摩擦因數(shù)為，現(xiàn)，現(xiàn)要使小橡皮不落下，則圓筒的角速度至少多大？要使小橡皮不落下，則圓筒的角速度至少多大？GFfFNrg溫馨提醒：溫馨提醒：求解向心力的問題本質(zhì)上求解向心力的問題本質(zhì)上還是求解力與運(yùn)動(dòng)之間的動(dòng)力學(xué)問題，還是求解力與運(yùn)動(dòng)之間的動(dòng)力學(xué)問題，是牛頓運(yùn)動(dòng)定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的具體是牛頓運(yùn)動(dòng)定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的具體的應(yīng)用問題。的應(yīng)用問題。關(guān)鍵是尋找向心力

8、的來關(guān)鍵是尋找向心力的來源列出向心力的公式，注意以向心加源列出向心力的公式，注意以向心加速度方向即法向?yàn)檎较蛩俣确较蚣捶ㄏ驗(yàn)檎较颉?質(zhì)量相等的小球質(zhì)量相等的小球A A和和B B分別固定在輕桿的中點(diǎn)及端點(diǎn)，分別固定在輕桿的中點(diǎn)及端點(diǎn)，如圖所示如圖所示. .當(dāng)桿在光滑水平桌面上繞當(dāng)桿在光滑水平桌面上繞O O點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求桿桿OAOA段及段及ABAB段對(duì)球的拉力之比段對(duì)球的拉力之比 1：3溫馨提醒：溫馨提醒：求解向心力的問題本質(zhì)上還是求解向心力的問題本質(zhì)上還是求解力與運(yùn)動(dòng)之間的動(dòng)力學(xué)問題，是牛頓求解力與運(yùn)動(dòng)之間的動(dòng)力學(xué)問題，是牛頓運(yùn)動(dòng)定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的具體的應(yīng)用問題。運(yùn)動(dòng)定律在

9、圓周運(yùn)動(dòng)中的具體的應(yīng)用問題。關(guān)鍵是尋找向心力的來源列出向心力的公關(guān)鍵是尋找向心力的來源列出向心力的公式，注意以向心加速度方向即法向?yàn)檎绞?，注意以向心加速度方向即法向?yàn)檎较蛳颉?如圖所示、有一質(zhì)量為如圖所示、有一質(zhì)量為m m的小球在光滑的半球碗內(nèi)的小球在光滑的半球碗內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平在水平面內(nèi)，已知小球與半做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平在水平面內(nèi)，已知小球與半球形碗的球心的連線跟豎直方向的夾角為球形碗的球心的連線跟豎直方向的夾角為，半球，半球形碗的半徑為，求小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度及碗形碗的半徑為，求小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度及碗壁對(duì)小球的彈力。壁對(duì)小球的彈力。 如圖，質(zhì)量為如圖，質(zhì)量為m m的

10、小物體在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上隨轉(zhuǎn)臺(tái)以的小物體在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上隨轉(zhuǎn)臺(tái)以周期周期T T作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物體到轉(zhuǎn)軸的距離為作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物體到轉(zhuǎn)軸的距離為d d、物、物體與轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦因素為體與轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦因素為，求：，求：（1）物體所需要的向心力？）物體所需要的向心力？（2）物體所受到的轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)它的支持力？摩擦力）物體所受到的轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)它的支持力？摩擦力（3）為使物體保持距離）為使物體保持距離d d隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)滿足什么條件？動(dòng)的角速度應(yīng)滿足什么條件？溫馨提醒：溫馨提醒：求解向心力的問題本質(zhì)上還是求解力與運(yùn)動(dòng)求解向心力的問題本質(zhì)上還是求解力與運(yùn)動(dòng) 之間的動(dòng)力學(xué)問題，是牛頓運(yùn)動(dòng)定律在

11、圓周之間的動(dòng)力學(xué)問題，是牛頓運(yùn)動(dòng)定律在圓周 運(yùn)動(dòng)中的具體的應(yīng)用問題。運(yùn)動(dòng)中的具體的應(yīng)用問題。 A A、B B 兩球質(zhì)量分別為兩球質(zhì)量分別為mm1 1與與mm2 2，用一勁度系數(shù)，用一勁度系數(shù)為為k k的彈簧相連，一長(zhǎng)為的彈簧相連，一長(zhǎng)為l l1 1 的細(xì)線與的細(xì)線與A A相連，置于相連，置于水平光滑桌面上，細(xì)線的另一端拴在豎直軸水平光滑桌面上，細(xì)線的另一端拴在豎直軸OOOO上，如圖所示，當(dāng)上，如圖所示，當(dāng)mm1 1與與mm2 2均以角速度均以角速度繞繞OO OO 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為ll2 2。求：（求：（1 1）此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量多大？繩子張力多大？）此時(shí)彈簧

12、伸長(zhǎng)量多大？繩子張力多大？ （2 2）將線突然燒斷瞬間兩球加速度各多大？）將線突然燒斷瞬間兩球加速度各多大？l 2l 1BAOO如圖5-6-5所示，長(zhǎng)為l的細(xì)線一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，讓小球在水平面內(nèi)做角速度為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，擺線與豎直方向成角，求小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度.GTF 如圖所示、有一質(zhì)量為如圖所示、有一質(zhì)量為m m的小球在光滑的半球碗的小球在光滑的半球碗內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平在水平面內(nèi)，已知小球與內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平在水平面內(nèi)，已知小球與半球形碗的球心的連線跟豎直方向的夾角為半球形碗的球心的連線跟豎直方向的夾角為，半，半球形碗的半徑為，求小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度

13、及球形碗的半徑為，求小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度及碗壁對(duì)小球的彈力。碗壁對(duì)小球的彈力。NmgF合合 如圖，細(xì)繩一端系著質(zhì)量如圖，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M=0.6M=0.6千克的物體，千克的物體，靜止在水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量靜止在水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3m=0.3千克的物體，千克的物體，MM的中點(diǎn)與圓孔距離為的中點(diǎn)與圓孔距離為0.20.2米，并知米，并知MM和水平面的最大靜摩擦力為和水平面的最大靜摩擦力為2N2N，現(xiàn)，現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度 在什么范在什么范圍圍mm會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？(g(g取取1010米米/ /秒秒

14、2 2) ) mMOrGN 一只半球殼半徑為一只半球殼半徑為R R，截口水平，現(xiàn)有一物體，截口水平，現(xiàn)有一物體A A，質(zhì)量為，質(zhì)量為m m，位于半球面內(nèi)側(cè)，隨半球面繞對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)面作圓周運(yùn)動(dòng)，如位于半球面內(nèi)側(cè)，隨半球面繞對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)面作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。圖所示。若若A A與球面間摩擦因數(shù)為與球面間摩擦因數(shù)為，則物體剛，則物體剛好能貼在截口附近，這時(shí)角速度多大？好能貼在截口附近，這時(shí)角速度多大？若不考慮摩擦，則當(dāng)球殼以上述角若不考慮摩擦，則當(dāng)球殼以上述角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體位于球面內(nèi)側(cè)的何處？速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體位于球面內(nèi)側(cè)的何處？2tan(sin)m gm R mgfNf=mgN=m2Rf=Nmg/

15、m2RRg設(shè)設(shè)N與豎直方向夾角為與豎直方向夾角為sinsin2RmNmgNcosRgRgsintancosmmarccos 如圖，一光滑圓錐體固定在水平面上，如圖，一光滑圓錐體固定在水平面上，OCABOCAB，AOC=30oAOC=30o，一條不計(jì)質(zhì)量、長(zhǎng)為，一條不計(jì)質(zhì)量、長(zhǎng)為L(zhǎng) L的繩的繩(LOA)(LOA)一端固一端固定在頂點(diǎn)定在頂點(diǎn)O O，另一端拴一質(zhì)量為，另一端拴一質(zhì)量為m m的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)以速度的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)以速度v v繞圓錐體的軸線繞圓錐體的軸線OCOC在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。gL61gL23當(dāng)當(dāng)v=v=(2)(2)當(dāng)當(dāng)v=v=時(shí)，求出繩對(duì)物體的拉力；時(shí)，求

16、出繩對(duì)物體的拉力；時(shí)，求出繩對(duì)物體的拉力。時(shí)，求出繩對(duì)物體的拉力。 A A、B B兩個(gè)物體放在旋轉(zhuǎn)圓臺(tái)上，動(dòng)摩擦因數(shù)兩個(gè)物體放在旋轉(zhuǎn)圓臺(tái)上，動(dòng)摩擦因數(shù)均為均為 ，A A的質(zhì)量為的質(zhì)量為mm，B B的質(zhì)量為的質(zhì)量為2m2m，A A離軸為離軸為R/2R/2，B B離軸為離軸為R R，則當(dāng)圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)：，則當(dāng)圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)：( (設(shè)設(shè)A A、B B都都沒有滑動(dòng)，如下圖所示沒有滑動(dòng)，如下圖所示)( )( )A.BA.B的向心加速度是的向心加速度是A A的向心加速度的兩倍的向心加速度的兩倍B.BB.B的靜摩擦力是的靜摩擦力是A A的靜摩擦力的兩倍的靜摩擦力的兩倍C.C.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，A

17、A比比B B先滑動(dòng)先滑動(dòng)D.D.當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)速增加時(shí)，B B比比A A先滑動(dòng)先滑動(dòng)A AB BBAABrr2ABff2mgmgN Nf fA A 如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量為如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量為M=0.6Kg的物體，的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量靜止在水平面上，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3Kg的物體，的物體，M的中點(diǎn)與圓孔距離為的中點(diǎn)與圓孔距離為0.2m ，并知，并知M和水平面的最大靜摩擦力為和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。問角速度軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。問角速度在什么范圍內(nèi)在什么范圍內(nèi)m處于靜止?fàn)顟B(tài)？處于靜止?fàn)顟B(tài)？

18、(g取取10m/s2) 解析：解析：A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成角速度角速度取最大值時(shí)，取最大值時(shí)，A有離心趨勢(shì)，靜摩擦力指向圓心有離心趨勢(shì)，靜摩擦力指向圓心O；角速度角速度取最小值時(shí)，取最小值時(shí)，A有向心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，靜摩擦力背離圓心有向心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，靜摩擦力背離圓心O 對(duì)于對(duì)于B，T=mg 對(duì)于對(duì)于A， 所以所以 21MrfT22MrfTsrad/5 . 61srad/9 . 22sradsrad/5 . 6/9 . 2 如圖所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐形筒的軸線垂如圖所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定不動(dòng)，兩個(gè)質(zhì)量相同的直于水平

19、面，圓錐筒固定不動(dòng)，兩個(gè)質(zhì)量相同的小球小球A A和和B B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則( )( )A.A.球球A A的線速度一定大于球的線速度一定大于球B B的線速度的線速度B.B.球球A A的角速度一定小于球的角速度一定小于球B B的角速度的角速度C.C.球球A A的運(yùn)動(dòng)周期一定小于球的運(yùn)動(dòng)周期一定小于球B B的運(yùn)動(dòng)周期的運(yùn)動(dòng)周期D.D.球球A A對(duì)筒壁的壓力一定大于球?qū)ν脖诘膲毫σ欢ù笥谇駼 B對(duì)筒壁的壓力對(duì)筒壁的壓力mgmgN NF Ftan/mgF rmv /22mrtan/grv tan/rgsin/mgN 如圖所示，在質(zhì)量為如圖所示，在質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)上，裝有質(zhì)量為的偏心輪，的電動(dòng)機(jī)上，裝有質(zhì)量為的偏心輪，偏心輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為偏心輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，當(dāng)偏心輪重心在轉(zhuǎn)軸正上方時(shí)，當(dāng)偏心輪重心在轉(zhuǎn)軸正上方時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力剛好為零；則偏心輪重心離轉(zhuǎn)軸的距離電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力剛好為零；則偏心輪重