環(huán)狀涂色問題的優(yōu)化教學(xué)

1、問題的背景：問題的背景： （2003年全國高考題）年全國高考題） 如圖，一個地區(qū)分為如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有可供選擇，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有可供選擇，則不同的著色方法有則不同的著色方法有_種。種。 12345 在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種觀賞植物（如圖）要求同一區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊（如圖）要求同一區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物?，F(xiàn)有種不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則栽種不同的植物可供選擇，則栽種方案有種方案有 _種。種。 ABCD

2、EFP問題：問題：第一類：第一類：若若A、C、E所種植物都相同，則種所種植物都相同，則種A、C、E有有4 種方法，種種方法，種B、D、F各有各有 3 種方法，所以完成種植種方法，所以完成種植有有4333=108 種方法。種方法。 第二類：第二類：若若A、C、E所種植物兩兩不同，則種所種植物兩兩不同，則種A、C、E 有有4 3 2種方法，種種方法，種B、D、F各有各有2種方法，所以完成種方法，所以完成 種植有種植有4 3 2 2 2 2=192種方法。種方法。對對A、C、E 所種植物是否相同分為三類：所種植物是否相同分為三類：第三類：第三類：若若A、C、E所種植物僅有兩區(qū)域一樣。所種植物僅有兩區(qū)

3、域一樣。若若A與與C同，則種同，則種A、C、E有有4 3種方法，種種方法，種B、D、F分別有分別有3、2、2種方法，故有種方法，故有4 3 3 2 2=144種方法。種方法。若若A與與E同，同理可得，有同，同理可得，有144種方法。種方法。 若若C與與E同，亦同理可得，有同，亦同理可得，有144種方法。種方法。 將上述三大類結(jié)果相加，得所求種植方法數(shù)為將上述三大類結(jié)果相加，得所求種植方法數(shù)為732種。種。 （更巧解）（更巧解）作圓被分成了作圓被分成了3、4、5、6個扇形區(qū)域的圖形個扇形區(qū)域的圖形,如下：如下： （圖（圖A）（圖（圖B）（圖（圖C） （圖（圖D） 對圖對圖A，按要求顯然有，按要求

4、顯然有4 3 2=24種栽種方案。種栽種方案。對圖對圖B，用去雜法求解，假設(shè)，用去雜法求解，假設(shè)4區(qū)域種法依次為區(qū)域種法依次為4、3、3、3種種， 則需減去首尾兩區(qū)域種相同植物的情形（相當(dāng)于圖則需減去首尾兩區(qū)域種相同植物的情形（相當(dāng)于圖A的情形）的情形） 故有故有 種栽種方案。種栽種方案。 34 32484 對圖對圖C，類似于圖，類似于圖B的解法，假設(shè)的解法，假設(shè)5個區(qū)域種法依次為個區(qū)域種法依次為4、3、3、3、3種，則需減去首尾兩區(qū)域種相同植物的情形（相當(dāng)于種，則需減去首尾兩區(qū)域種相同植物的情形（相當(dāng)于圖圖B的情形）。的情形）。 故有故有44 384240 種栽種方案。種栽種方案。（圖（圖A

5、）（圖（圖B）（圖（圖C） （圖（圖D） 對圖對圖D，類似于圖，類似于圖C的解法，假設(shè)的解法，假設(shè)6區(qū)域種法依次為區(qū)域種法依次為4、3、3、3、3、3種，則需減去首尾兩區(qū)域種相同植物的情形（相當(dāng)于種，則需減去首尾兩區(qū)域種相同植物的情形（相當(dāng)于圖圖C的情形）。的情形）。 種栽種方案。種栽種方案。 故有故有 732240345問題：問題： 記為記為相連構(gòu)成相連構(gòu)成n個三角形，個三角形， 2MnM1M、，k(2)k 現(xiàn)取現(xiàn)取種顏色對這種顏色對這n個三角形涂色，每相鄰的兩個三角形的涂色不同，個三角形涂色，每相鄰的兩個三角形的涂色不同，試求涂色的方案有多少種？試求涂色的方案有多少種？ 如圖，已知如圖，已

6、知p是是n(n3)邊形內(nèi)的一點，它與邊形內(nèi)的一點，它與n個頂點個頂點 圖2 M n M 6 M 5 M 4 M 3 M 2 M 1Pan) 2( n設(shè)涂法總數(shù)為設(shè)涂法總數(shù)為先對先對 2n 1M2M當(dāng)當(dāng)時，看作只有時，看作只有兩個相鄰區(qū)域，兩個相鄰區(qū)域， 與與1M涂色，有涂色，有 種涂法，繼而對種涂法，繼而對 k2M有有 1k種涂法，種涂法， 因而因而 ) 1(2kka下面導(dǎo)求當(dāng)下面導(dǎo)求當(dāng) 3n時，時， an的遞推公式：的遞推公式： 先對先對 1M涂色，有涂色，有 k種涂法，繼而種涂法，繼而 2M有有 1k種涂法，種涂法，這樣，共有這樣，共有 1( 1)nk k種涂法。種涂法。 1nM有有 1k

7、種涂法，種涂法， nM仍有仍有 1k種涂法，種涂法，而這些涂法可分為兩類：而這些涂法可分為兩類： 一類是一類是 nM與與 1M同色；同色； 另一類是另一類是 nM與與 1M不同色，不同色， 前者與要求不符，但可認為前者與要求不符，但可認為 nM與與 1M合為一個三角形，合為一個三角形， 此時，涂法有此時，涂法有 1na種。種。故得遞推公式為：故得遞推公式為： 11) 1(nnnkkaa) 3( n令令 1nnnkab) 1() 1)(1(1bbnnk 即即 111 ()(1)1nnkbb 2221111(1)()()111nnnkkkbb 211( 1) ()1nnk 則則 11nnkkb b

8、nnnkka) 1() 1() 1(23n ( 1)11nnnkka 故故問題的評價：問題的評價：教學(xué)題材的創(chuàng)新是創(chuàng)新教學(xué)的源頭活水。教學(xué)題材的創(chuàng)新是創(chuàng)新教學(xué)的源頭活水。傳統(tǒng)的題材對學(xué)生形成概念和鞏固概念有著很好的效能。傳統(tǒng)的題材對學(xué)生形成概念和鞏固概念有著很好的效能。但一成不變的但一成不變的“單一思路單一思路”不能使青年學(xué)生廣泛接受，不能使青年學(xué)生廣泛接受，不利于學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的正確的情感、態(tài)度和價值觀，不利于學(xué)生形成對數(shù)學(xué)的正確的情感、態(tài)度和價值觀，也不利于數(shù)學(xué)能力的高層次發(fā)展。也不利于數(shù)學(xué)能力的高層次發(fā)展。 因此，對傳統(tǒng)題材推陳出新，因此，對傳統(tǒng)題材推陳出新，對解題思路的不斷更新，是一項非常有價值的工作。對解題思路的不斷更新，是一項非常有價值的工作。人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛