平面問題有限元

1、第四章第四章平面問題的有限元法平面問題的有限元法4-1有限單元法的計算步驟有限單元法的計算步驟4-2平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元4-3單元剛度矩陣單元剛度矩陣4-4單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)4-5平面問題的矩形單元平面問題的矩形單元4-6六節(jié)點三角形單元六節(jié)點三角形單元4-7單元載荷移置單元載荷移置4-8整體分析整體分析4-9整體剛度矩陣的形成整體剛度矩陣的形成4-10整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點4-11支承條件的處理支承條件的處理4-12應力計算應力計算4-1 有限單元法的計算步驟有限單元法的計算步驟彈性力學平面問題的有限

2、單元法包括五個主要步驟：彈性力學平面問題的有限單元法包括五個主要步驟： 1、所分析問題的數(shù)學建模、所分析問題的數(shù)學建模 2、離散化、離散化 3、單元、單元分析分析 4、整體分析與求解、整體分析與求解 5、結(jié)果分析、結(jié)果分析圖 4-14-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個單元的集合體有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡化為由有來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡化為由有限個單元組成的離散體。限個單元組成的離散體。對于平面問題，最簡單，因而最常用的單元是對于平面問題，最簡單，因而最常用的單元是三三

3、角形單元角形單元。因平面問題的變形主要為平面變形，故平面上所因平面問題的變形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點都可視為平面鉸，即每個節(jié)點有兩個自由度。有的節(jié)點都可視為平面鉸，即每個節(jié)點有兩個自由度。單元與單元在節(jié)點處用鉸相連，作用在連續(xù)體載荷也單元與單元在節(jié)點處用鉸相連，作用在連續(xù)體載荷也移置到節(jié)點上，成為節(jié)點載荷。如節(jié)點位移或其某一移置到節(jié)點上，成為節(jié)點載荷。如節(jié)點位移或其某一分量可以不計之處，就在該節(jié)點上安置一個鉸支座或分量可以不計之處，就在該節(jié)點上安置一個鉸支座或相應的連桿支座。如圖相應的連桿支座。如圖4-1。4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元1、位移函數(shù)、

4、位移函數(shù) 如果彈性體的位移分量是坐標的已知函數(shù)，則可用幾何如果彈性體的位移分量是坐標的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應變分量，再從物理方程求應力分量。但對一個連續(xù)方程求應變分量，再從物理方程求應力分量。但對一個連續(xù)體，內(nèi)部各點的位移變化情況很難用一個簡單函數(shù)來描繪。體，內(nèi)部各點的位移變化情況很難用一個簡單函數(shù)來描繪。 有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細小網(wǎng)格，在每一個單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點的位移變化若干細小網(wǎng)格，在每一個單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點的位移變化情況可近似地用簡單函數(shù)來描繪。對每個單元，可以假定一情況可近似地用簡單函數(shù)來描繪。對

5、每個單元，可以假定一個簡單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個函數(shù)稱為個簡單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個函數(shù)稱為位位移函數(shù)移函數(shù)，或稱為，或稱為位移模式、位移模型、位移場位移模式、位移模型、位移場。對于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項式表示，對于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項式表示， 多項式中包含的項數(shù)越多，就越接近實際的位移分布，多項式中包含的項數(shù)越多，就越接近實際的位移分布，越精確。但選取多少項數(shù)，要受單元型式的限制。越精確。但選取多少項數(shù)，要受單元型式的限制。22123456.u a ax ay ax axy ay 22123456.v bbx b y bxbxy b y4-2

6、 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元 三結(jié)點三角形單元三結(jié)點三角形單元六個節(jié)點位移只能確定六個多項式六個節(jié)點位移只能確定六個多項式的系數(shù)，所以平面問題的的系數(shù)，所以平面問題的3節(jié)點三角節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)如下，形單元的位移函數(shù)如下，該位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點的該位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點的位移設(shè)定為坐標的線性函數(shù)，該位位移設(shè)定為坐標的線性函數(shù)，該位移模式很簡單。其中移模式很簡單。其中 為廣義為廣義坐標或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點坐標或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點i、j、m的位移值和坐標值求出。的位移值和坐標值求出。123456vuxyxy位移函數(shù)寫成矩陣形式為：位移函數(shù)寫成矩陣形式為

7、： 12345610000001aaauxyavxyaa 164-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元最終確定六個待定系數(shù)最終確定六個待定系數(shù)12312ijmiijmjijmmaaaubbbuAcccu45612ijmiijmjijmmaaavbbbvAcccv1()()() 2iiiijjjjmmmmua bx cyuabx c yuab x c yuA1()()() 2iiiijjjjmmmmva bx cyva bx cyvabx c yvA i,j,mijmmjijmimjax yx ybyycxx輪換其中其中為為2A第第1行各個元素的行各個元素的代數(shù)余子式，代

8、數(shù)余子式，1211iijjmmxyAxyxy4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元令令 （下標（下標i，j，m輪換）輪換）簡寫為簡寫為1()2iiiiNabx cyA 000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuv ieijmjmNINININ iiiejjjmmmuvuvuvI是單位矩陣，是單位矩陣，N稱為形稱為形函數(shù)函數(shù)矩陣，矩陣，Ni只與單元節(jié)點坐標有關(guān)，稱為單元只與單元節(jié)點坐標有關(guān)，稱為單元的形狀函數(shù)的形狀函數(shù)4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元 據(jù)彈性力學幾何方程得據(jù)彈性力學幾何方程得 單元的應變分量單元的應變分

9、量 由于三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則由于三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應變分量均為常量，故這類三角形單元稱為單元的應變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，常應變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，應變?yōu)槌Ａ浚優(yōu)槌Ａ浚?635xyxyuxvyuvyx4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元2、形函數(shù)的特點及性質(zhì)、形函數(shù)的特點及性質(zhì)1)形函數(shù)形函數(shù)Ni為為x、y坐標的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。坐標的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。2)形函數(shù)形函數(shù)Ni在在i節(jié)點處的值等于節(jié)點處的值等于1，而在其他節(jié)

10、點上的值為，而在其他節(jié)點上的值為0。即即 ( ,)1 (,)0 (,)0( ,)0 (,)1 (,)0 ( ,)0 (,)0 (,)1iiiijjimmjiijjjjmmmiimjjmmmN x yN xyN xyNx yNxyNxyNx yNxyNxy類似( , )( , )( , )1ijmN x yNx yNx y3)單元內(nèi)任一點的三個形函數(shù)之和恒等于單元內(nèi)任一點的三個形函數(shù)之和恒等于1。4)形函數(shù)的值在形函數(shù)的值在01間變化。間變化。4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元3、收斂性分析、收斂性分析 選擇單元位移函數(shù)時，應當保證有限元法解答的收斂性，即當選擇單元

11、位移函數(shù)時，應當保證有限元法解答的收斂性，即當網(wǎng)格逐漸加密時，有限元法的解答應當收斂于問題的正確解答。網(wǎng)格逐漸加密時，有限元法的解答應當收斂于問題的正確解答。因此，選用的位移模式應當滿足下列條件：因此，選用的位移模式應當滿足下列條件：(1)位移函數(shù)必須含單元常量應變。位移函數(shù)必須含單元常量應變。(2)單元必須能反映單元的剛體位移（即單元應變?yōu)閱卧仨毮芊从硢卧膭傮w位移（即單元應變?yōu)?時的位移）。時的位移）。前面位移函數(shù)改寫為（注意：前面位移函數(shù)改寫為（注意： 為為0 ）則單元剛體位移為則單元剛體位移為53351253354622v22uyxyxy2635, 5315342v2uyx1040

12、vuyx記為顯然，位移函數(shù)包顯然，位移函數(shù)包含了單元的剛體位含了單元的剛體位移（平動和轉(zhuǎn)動）移（平動和轉(zhuǎn)動）4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元(3)位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)位移。位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)位移。因為線性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù)因為線性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù) (4)位移函數(shù)必須保證相鄰單元在公共邊位移函數(shù)必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移協(xié)調(diào)（即在公共邊界上位界處的位移協(xié)調(diào)（即在公共邊界上位移值相同）。如右圖移值相同）。如右圖 設(shè)公共邊界直線方程為設(shè)公共邊界直線方程為y=Ax+B，代，代入位移函數(shù)可得：邊界上位移為入位移函數(shù)可得：邊界上位移為顯然，顯然，u,v仍為線

13、性函數(shù)，即公共邊界仍為線性函數(shù)，即公共邊界上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。綜上所述，常應變?nèi)切螁卧奈灰凭C上所述，常應變?nèi)切螁卧奈灰坪瘮?shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元函數(shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元為協(xié)調(diào)單元為協(xié)調(diào)單元123456()()uxAxBvxAxBy=Ax+B 邊界不協(xié)調(diào)產(chǎn)生裂縫邊界不協(xié)調(diào)產(chǎn)生重迭4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元例題：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣例題：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣N。0ijmmjax yx yijmbyya0imjcxx 0jm iimax yxy0jmibyy jimc x xa 2mijjiax yx

14、 yamijbyyamjicx xa 4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元 由三角形的面積由三角形的面積22aA 211()(00)2iiiixNabxc yaxAaa211()(0 0)2jjjjyNab x c yayAaa 2211()() 12mmmmx yNab x c yaax ayAaa a 00 10 0001xyxyaaaaNxyxyaaaa4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元 4、應力、應變矩陣、應力、應變矩陣將位移函數(shù)代入平面問題幾何方程，得應變矩陣：將位移函數(shù)代入平面問題幾何方程，得應變矩陣： 00000000ii

15、xijmjyijmjxymmuuvxxNNNuvyyNNNvuvuyxyxv 00010002iiijmjeeijmijmjiijjmmmmuvbbbucccBBBBvAcbcbcbuv4-2 平面問題的常應變平面問題的常應變(三角形三角形)單元單元 應力矩陣應力矩陣由平面問題物理方程得：由平面問題物理方程得： 應變矩陣應變矩陣B反映了單元內(nèi)任一點的應變與節(jié)點位移間的關(guān)系反映了單元內(nèi)任一點的應變與節(jié)點位移間的關(guān)系 應力矩陣應力矩陣S反映了單元內(nèi)任一點的應力與節(jié)點位移間的關(guān)系反映了單元內(nèi)任一點的應力與節(jié)點位移間的關(guān)系 顯然，常應變?nèi)切螁卧膽兙仃囷@然，常應變?nèi)切螁卧膽兙仃嘊為常量矩陣，

16、說明在為常量矩陣，說明在該單元上的應力和應變?yōu)槌Ｖ?。由此可見，在相鄰單元的邊該單元上的應力和應變?yōu)槌Ｖ?。由此可見，在相鄰單元的邊界處，應變及應力不連續(xù)，有突變。界處，應變及應力不連續(xù)，有突變。 eeeijmDDBSSSS yiFixmF xjF xiF ymFy jFmj*yiFi*xmF*xjF*xiF*ymF*yjFmjy*xy*y*xxytx(a)節(jié)點力、內(nèi)部應力(b)虛位移、虛應變4-3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 討論單元內(nèi)部的應力與單元的節(jié)點力的關(guān)系，導出用節(jié)點討論單元內(nèi)部的應力與單元的節(jié)點力的關(guān)系，導出用節(jié)點位移表示節(jié)點力的表達式。位移表示節(jié)點力的表達式。 由應力推算節(jié)點力，需要利

17、用平衡方程。采用虛功方程表由應力推算節(jié)點力，需要利用平衡方程。采用虛功方程表示出平衡方程，即外力在虛位移上所作的虛功等于應力在虛應示出平衡方程，即外力在虛位移上所作的虛功等于應力在虛應變上作的虛應變功。變上作的虛應變功。 *T*TF dxdydz 4-3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 考慮上圖三角形單元的實際受力，節(jié)點力和內(nèi)部應力為：考慮上圖三角形單元的實際受力，節(jié)點力和內(nèi)部應力為： 任意虛設(shè)位移，任意虛設(shè)位移，節(jié)點位移與內(nèi)部應變?yōu)楣?jié)點位移與內(nèi)部應變?yōu)?xyxyt *xyxy xiyixjyjxmymFFFFFFF *i*i*e*j*j*m*muvuvuv4-3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 令實際受

18、力狀態(tài)在虛設(shè)位移上作虛功，外力虛功為令實際受力狀態(tài)在虛設(shè)位移上作虛功，外力虛功為TFFFFFF*ixiiyijxjjyjmxmmymuvuvuvFFFFFFxiyixj*iijjmmyjxmymuvuvuv eeT*F4-3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 計算內(nèi)力虛功時，從彈性體中截取微小矩形，邊長為計算內(nèi)力虛功時，從彈性體中截取微小矩形，邊長為dx和和dy，厚度為厚度為t，圖示微小矩形的實際應力和虛設(shè)變形。，圖示微小矩形的實際應力和虛設(shè)變形。dydxdxdxdydydxdxdxdydydyt dyxt dyxt dxyt dxyt dxxytt dxxytt dyxytt dyxytdx*xdy

19、*y*xy*xy(a)實際應力(b)虛設(shè)應變4-3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 微小矩形的內(nèi)力虛功為微小矩形的內(nèi)力虛功為整個彈性體的內(nèi)力虛功為整個彈性體的內(nèi)力虛功為*TUd Utd x d y*() () () () () ()xxyyxyxydUtdydxtdxdytdxdyt*)yxyxytdxdy t*xxy(tdxdyx*xyxyyxy 4-3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 根據(jù)虛功原理，得根據(jù)虛功原理，得這就是彈性平面問題的虛功方程，實質(zhì)是外力與應力之間的平這就是彈性平面問題的虛功方程，實質(zhì)是外力與應力之間的平衡方程。衡方程。虛應變可以由節(jié)點虛位移求出：虛應變可以由節(jié)點虛位移求出：代入虛功

20、方程代入虛功方程 *eTTeFtdxdy * TTeeTTBB * eTeTeTFBtdxdy eTFBtdxdy4-3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 接上式，將應力用節(jié)點位移表示出接上式，將應力用節(jié)點位移表示出 有有 令令實際上，單元剛度陣的一般格式可表示為實際上，單元剛度陣的一般格式可表示為 則則建立了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系，建立了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系， 稱為單元剛度稱為單元剛度矩陣。它是矩陣。它是6*6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標方向發(fā)矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標方向發(fā)生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定

21、于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標軸方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標軸的平行移動而改變。的平行移動而改變。 eD B eeTFBDB tdxdy eTKBD B tdxdy eeeFK eK eTVKBD B dxdydz4-3 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 由于由于D中元素是常量，而在線性位移模式下，中元素是常量，而在線性位移模式下，B中的元素也中的元素也是常量，且是常量，且因此因此可以進一步得出平面應力問題和平面應變問題中的單元剛度矩可以進一步得出平面應力問題和平面應變問題中的單元剛度矩陣。陣。 eeTFBDB tdxdydxdyA

22、eeTFBD B tA eTKBD BtA4-3 常應變?nèi)切螁卧膭偠染仃嚦內(nèi)切螁卧膭偠染仃?單元剛度矩陣單元剛度矩陣 可記可記為分塊矩陣形式為分塊矩陣形式 將應變矩陣將應變矩陣B的分塊陣的分塊陣代入單元剛度矩陣，可代入單元剛度矩陣，可得其子塊計算式：得其子塊計算式： 對于常應變?nèi)切螁卧瑢τ诔內(nèi)切螁卧?，考慮平面應力問題彈性考慮平面應力問題彈性矩陣矩陣D，可得，可得 iiijimejijjjmmimjmmKKKKKKKKKK , ,TrsrsVKBDB dxdydzr si j m eK 20010021122114(1)22srrrssrrssrsrsrsrssrsrrsr

23、sbbcKDctAcbAcbb bc cb cc bEtAb cc bc cb b4-4 單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 上述推導單元剛度矩陣的過程可歸納為上述推導單元剛度矩陣的過程可歸納為單元剛陣單元剛陣K的物理意義是單元受節(jié)點力作用后抗變形的能力。的物理意義是單元受節(jié)點力作用后抗變形的能力。其元素其元素 的意義為：當?shù)诘囊饬x為：當?shù)趈個自由度發(fā)生單位位移，而其他自個自由度發(fā)生單位位移，而其他自由度的位移為由度的位移為0時，在第時，在第i個自由度上所施加的力。若按節(jié)點來個自由度上所施加的力。若按節(jié)點來說明，則剛陣中每個子塊說明，則剛陣中每個子塊 表示：當節(jié)點表示

24、：當節(jié)點j處發(fā)生單位位移，處發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點固定時，在節(jié)點而其他節(jié)點固定時，在節(jié)點i上所施加的力。上所施加的力。 tABT tA BD BKTee eF D B BDS (6)(6)(3)(3)(3)(3)(6(63)3)(3(33)3)(3(36)6)(3(36)6)(6(66)6)ijkijK4-4 單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系：節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系：(以簡單平面桁架為例以簡單平面桁架為例)平面問題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)平面問題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)點載荷的作用下，節(jié)點對單元、

25、單元對節(jié)點都有作用力與反作點載荷的作用下，節(jié)點對單元、單元對節(jié)點都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為節(jié)點力。用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為節(jié)點力。節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系前面已經(jīng)求出：節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系前面已經(jīng)求出：ADBPCAP eeeFK4-4 單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 單元剛度矩陣的物理意義：單元剛度矩陣的物理意義：將將 寫成分塊矩陣寫成分塊矩陣寫成普通方程寫成普通方程其中其中 表示節(jié)點表示節(jié)點S(S=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時，在產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)節(jié)點點r(r=i,j,m)上所需要施加的上所需要施加的節(jié)節(jié)點力的大小。點力的大小。

26、iiiijimijjijjjmjmmimjmmmFKKKFKKKFKKK iiiiijjimmjjiijjjjmmimiimjjmmmFK K K FK K K FK K K eF rsK4-4 單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 單元剛度矩陣的物理意義：單元剛度矩陣的物理意義：將節(jié)點力列矩陣將節(jié)點力列矩陣 與節(jié)點位移列矩陣與節(jié)點位移列矩陣 均展開成均展開成(6*1)階階列矩陣，單元剛度矩陣相應地展開成列矩陣，單元剛度矩陣相應地展開成(6*6)階方陣：階方陣：元素元素K的腳碼，標有的腳碼，標有“-”的表示水平方向，沒有標的表示水平方向，沒有標“-”的表的表示垂直方向。

27、示垂直方向。 eF e xiiiiiijijimimiiiijimimyiiiijixjjijijjjjjmjmjjijjjmjmyjjijjjmimjmmmmxmmimjmmimjmmmmymmimjmKKKKKKFuKKKKKKFvKKKKKKFuKKKKKKFvKKKKKKFuKKKKKKFv 4-4 單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 單元剛度矩陣的物理意義：單元剛度矩陣的物理意義： 單元剛度矩陣的每一個元素都有明顯的物理意義。單元剛度矩陣的每一個元素都有明顯的物理意義。 表示節(jié)點表示節(jié)點S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移

28、時，在產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)節(jié)點點r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平上分別所要施加的水平節(jié)節(jié)點點力和垂直力和垂直節(jié)節(jié)點力的大小。例如點力的大小。例如 表示表示節(jié)節(jié)點點j在垂直方向產(chǎn)生在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在單位位移時，在節(jié)節(jié)點點i所需要施加的水平所需要施加的水平節(jié)節(jié)點力的大小。點力的大小。, ,()(, ,)xrrssrssS i j mFK uK vri j m , ,()(, , )yrrssrs sS i j mFK uK vri j m rsrsrsrsKKKK， ， ，ijK4-4 單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 1）單元剛度矩陣是對稱陣，）單元

29、剛度矩陣是對稱陣，(只要證明只要證明 ) 2）單元剛陣主對角線元素恒為正值；因為主對角元素）單元剛陣主對角線元素恒為正值；因為主對角元素 表表示力的方向和位移方向一致，故功總為正值。示力的方向和位移方向一致，故功總為正值。 3）單元剛陣是奇異陣，即）單元剛陣是奇異陣，即|K|=0，這是因為計算單元剛陣時，這是因為計算單元剛陣時沒有對單元的節(jié)點加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，沒有對單元的節(jié)點加以約束，雖然，單元處于平衡狀態(tài)，但容許單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元剛度平衡方程不可能但容許單元產(chǎn)生剛體位移，故從單元剛度平衡方程不可能得到唯一位移解得到唯一位移解 ，只能得到唯一的節(jié)點力解。，只能得到唯一的

30、節(jié)點力解。 4）單元剛陣所有奇數(shù)行的對應元素之和為零，所有偶數(shù)行）單元剛陣所有奇數(shù)行的對應元素之和為零，所有偶數(shù)行的對應元素之和也為零。由此可見，單元剛陣各列元素的的對應元素之和也為零。由此可見，單元剛陣各列元素的總和為零。由對稱性可知，各行元素的總和也為零?？偤蜑榱?。由對稱性可知，各行元素的總和也為零。 ()eeTKKiik 1()eeKF4-4 單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)例題：求下圖所示例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，單元的剛度矩陣，設(shè)設(shè) 1000101000101011011Ba 1、求、求B 2、求求D 3、求求S 4、求求 100 010000.5D

31、E 1000100001010 0.5 0.5 00.50.5ESa 1000100.5.50.5.50.5.50.5.500010121.5.501.5.50.5.51.51.5eEtK eK0yxaai(a,0)m(0,0)j(0,a)4-4 單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì) 幾點說明：幾點說明： 1）單元剛度方程是滿足節(jié)點力平衡條件而建立的，即有限）單元剛度方程是滿足節(jié)點力平衡條件而建立的，即有限元方程是一組節(jié)點力平衡方程組。元方程是一組節(jié)點力平衡方程組。 2）單元內(nèi)任一點位置的平衡條件往往不滿足，即微分平衡）單元內(nèi)任一點位置的平衡條件往往不滿足，即微分平衡方

32、程可能不滿足。對于非線性單元，位移函數(shù)常不滿足以位方程可能不滿足。對于非線性單元，位移函數(shù)常不滿足以位移為未知量的平衡方程，對線性單元，因位移函數(shù)為線性的，移為未知量的平衡方程，對線性單元，因位移函數(shù)為線性的，應變、應力為常量，可以滿足單元內(nèi)平衡。應變、應力為常量，可以滿足單元內(nèi)平衡。 3）單元之間的平衡條件一般得不到滿足，線性單元的應力）單元之間的平衡條件一般得不到滿足，線性單元的應力為常量，單元間應力有突變，明顯不滿足平衡條件。為常量，單元間應力有突變，明顯不滿足平衡條件。4-5 平面問題的矩形單元平面問題的矩形單元利用節(jié)點位移，可待定系數(shù)利用節(jié)點位移，可待定系數(shù)xaxyi(1,-1)j(

33、1,1)l(-1,1)m(-1,-1)ybxa12345678vuxyxyxyxy181000000001uv 115148 mmuvCCuv 111111111 1111 111C 矩形單元是平面問題常用的一種矩形單元是平面問題常用的一種單元，尤其是邊界比較規(guī)則的平單元，尤其是邊界比較規(guī)則的平面結(jié)構(gòu)，如圖面結(jié)構(gòu)，如圖2a*2b的的4節(jié)點節(jié)點8自自由度矩形單元。由度矩形單元。位移函數(shù)位移函數(shù)取無量綱坐標，得矩陣表示取無量綱坐標，得矩陣表示4-5 平面問題的矩形單元平面問題的矩形單元 代入系數(shù)至位移函數(shù)，并整理成位移插值函數(shù)代入系數(shù)至位移函數(shù)，并整理成位移插值函數(shù) Ni為形函數(shù)，仍具有前述的形函

34、數(shù)的基本性質(zhì)為形函數(shù)，仍具有前述的形函數(shù)的基本性質(zhì) 記為矩陣形式，記為矩陣形式，I為單位矩陣為單位矩陣 可以證明該位移函數(shù)滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)元可以證明該位移函數(shù)滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)元00000000iijlmiijlmmuNNNNvuNNNNvv 11(1)(1) (1)(1)4411(1)(1) (1)(1)44ijlmNNNN eeijlmuNININININv 4-5 平面問題的矩形單元平面問題的矩形單元 應變矩陣應變矩陣 0000000000ixiijlmyijlmxymmuuxxvNNNNvyyNNNNuuvyxyxv ()000()00()0()00()()()()

35、eeeijlmbybybybyaxaxaxaxaxbyaxbyaxbyaxbyBBBBB 應變矩陣應變矩陣B的元素是的元素是x，y的函數(shù)，所以，矩形單元中的應的函數(shù)，所以，矩形單元中的應變不是常量，而是隨變不是常量，而是隨x或或y線性變化的，顯然，應力也是隨線性變化的，顯然，應力也是隨x或或y線性變化的。較常應變單元有更高的計算精度線性變化的。較常應變單元有更高的計算精度 eeDDBS4-5 矩形單元的剛度矩陣矩形單元的剛度矩陣 將剛陣記為分塊形式將剛陣記為分塊形式 其子塊的計算為其子塊的計算為 （雖然該計算式是從三角形推導的，但它是一般格式，適用（雖然該計算式是從三角形推導的，但它是一般格式

36、，適用于所有單元）于所有單元） 8 8iiijilimjijjjljmeliljlllmmimjmlmmKKKKKKKKKKKKKKKKK TrsrsVKBDB dV4-6 六節(jié)點三角形單元六節(jié)點三角形單元 面積坐標面積坐標 稱為稱為p點的面積坐標，顯然三個點的面積坐標，顯然三個面積坐標不完全獨立，有如下關(guān)面積坐標不完全獨立，有如下關(guān)系系 實際為三角形實際為三角形 的高與的高與 高的比，即平行高的比，即平行jm線的直線上的線的直線上的所有點有相同的所有點有相同的 。同時，易。同時，易得得 jimijmAAALLLAAA 1ijmijmAAAALLLiLiA 1 0 1 0 1 0ijmjimm

37、jiiLLLLLLLLL點j點m點ijmpiAmAjAAiL4-6 六節(jié)點三角形單元六節(jié)點三角形單元 將三角形頂點將三角形頂點ijm坐坐標與標與p點坐標代入面點坐標代入面積坐標，則得面積坐積坐標，則得面積坐標與直角坐標標與直角坐標xoy的的關(guān)系式關(guān)系式 比較比較 與常應變?nèi)c常應變?nèi)切蔚男魏瘮?shù)角形的形函數(shù) 可可知，兩者相同知，兩者相同1111()221ijjiiimmxyAxyab xc yxy1() , ,2rrrrLab xc yri j mA112iiiijjjjmmmmLabcLabcxALabcy rLrN4-6 六節(jié)點三角形單元六節(jié)點三角形單元 如圖六節(jié)點如圖六節(jié)點12自由度三角

38、形單元自由度三角形單元 位移函數(shù)：單元內(nèi)任意一點的位位移函數(shù)：單元內(nèi)任意一點的位移函數(shù)用移函數(shù)用6個節(jié)點位移與相應的形個節(jié)點位移與相應的形函數(shù)來表示函數(shù)來表示1 122331 1223 3iijjmmiijjmmuN uN uN uN uN uN uvN vN vN vN vN vN vi(1,0,0)j(0,1,0)m(0,0,1)1(1/2,1/2,0)2(0,1/2,/2)3(1/2,0,1/2)123(21) 4(21) 4(21) 4iiiijjjjjmmmmmiNLLNL LNLLNL LNLLNL L4-6 六節(jié)點三角形單元六節(jié)點三角形單元 應變矩陣應變矩陣 1233xiyijm

39、xyuxuvBBBBBByvuvyx eB(41)010(41) , ,2(41)(41)rrrrrrrrrbLBcLri j mAcLbL14()01,j,m104() 2,i,m24()4()3,i,jjmjmjmjmjmjmjmjmb LL bBc LL cAc LL cb LL b 從上可知：位移為從上可知：位移為面積坐標或直角坐面積坐標或直角坐標的二次函數(shù)，應標的二次函數(shù)，應變或應力為面積坐變或應力為面積坐標或直角坐標的一標或直角坐標的一次式，即在單元內(nèi)次式，即在單元內(nèi)位移為二次變化，位移為二次變化，應變或應力為線性應變或應力為線性變化變化4-6 六節(jié)點三角形單元六節(jié)點三角形單元 將

40、剛陣記為分塊形式將剛陣記為分塊形式 123123123111111213222212223333313233iiijimiiijijjjmjjjmimjmmmmmeijmijmijmKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK TrsrsVKBDB dV 其子塊的計算為其子塊的計算為 (雖然該計算式是從三角形推導的，但它是一般格式，適用于雖然該計算式是從三角形推導的，但它是一般格式，適用于所有單元所有單元)4-7 單元載荷移置單元載荷移置 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷

41、都向節(jié)點移置彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點移置(分解分解)，而成為節(jié)點，而成為節(jié)點載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力載荷。如果彈性體承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點取為節(jié)點，就不存在移置的問題，集中力就是節(jié)點載的作用點取為節(jié)點，就不存在移置的問題，集中力就是節(jié)點載荷。荷。但實際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用但實際問題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在節(jié)點上在節(jié)點上。因此，必須進行載荷移置。如果集中力的作用點未。因此，必須進行載荷移置。如果集中力的作用點未被取為節(jié)點，該集中力也要向節(jié)點移置。被取為節(jié)點，該集中力也要向節(jié)點移置。 將載荷移

42、置到節(jié)點上，必須遵循靜力等效的原則。將載荷移置到節(jié)點上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等靜力等效是指原載荷與節(jié)點載荷在任意虛位移上做的虛功相等效是指原載荷與節(jié)點載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。則。4-7 單元載荷移置單元載荷移置 載荷移置的原則：能量等效，即單元的實際載荷與移置后的節(jié)載荷移置的原則：能量等效，即單元的實際載荷與移置后的節(jié)點載荷在相應的虛位移上所做的虛功相等點載荷在相應的虛位移上所做的虛功相等 載荷移置的條件：圣維南原理載荷移置的條件：圣維南原理 載荷移置的方法

43、：載荷移置的方法： 1）直接法（靜力等效法，虛功移置法）直接法（靜力等效法，虛功移置法） 2）普遍公式法）普遍公式法0.5ql0.5ql0.5ql0.5qlMM靜力等效靜力等效4-7 單元載荷移置單元載荷移置 虛功移置：虛功移置：在線性位移模式下，對于常見的一些載荷，可以通過在線性位移模式下，對于常見的一些載荷，可以通過簡單的虛功計算得節(jié)點載荷。即簡單的虛功計算得節(jié)點載荷。即移置前后虛功相等移置前后虛功相等。如均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把如均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把1/3的重力移到每的重力移到每個節(jié)點，即個節(jié)點，即 yjcbxiwlmmyiYjYyjcbxiwlmmxiXjX

44、1/31*1*3iYW4-7 單元載荷移置單元載荷移置 例：例：總載荷的總載荷的2/3移置到節(jié)點移置到節(jié)點i，1/3移置到節(jié)點移置到節(jié)點j，與原載荷同向，與原載荷同向yxmjip=0.5qLiX =2/3pjX =1/3pjL =2/3LiL =1/3LyxmjiqL4-7 單元載荷移置單元載荷移置 普遍公式法普遍公式法集中力的移置集中力的移置體力的移置體力的移置分布面力的移置分布面力的移置在線性位移模式下，用直接在線性位移模式下，用直接計算法簡單；非線性模式下，計算法簡單；非線性模式下，要用普遍公式計算。要用普遍公式計算。yxoMpmjimxjxixmyjyiyypxp eTRNp tdxd

45、y eTsRNP tds eTRNp4-8 整體分析整體分析23yP3xP314562xP1yPaaaa圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個單圖示結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格共有四個單元和六個節(jié)點。在節(jié)點元和六個節(jié)點。在節(jié)點1、4、6共有四個支桿支承。結(jié)構(gòu)的共有四個支桿支承。結(jié)構(gòu)的載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為節(jié)點載荷。載荷已經(jīng)轉(zhuǎn)移為節(jié)點載荷。整體分析的四個步驟：整體分析的四個步驟：1、建立整體剛度矩陣；、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；度矩陣；3、解方程組，求節(jié)點位移；、解方程組，求節(jié)點位移；4、根據(jù)節(jié)點位移求出應力。、根據(jù)節(jié)點位移求出應力。單元分析得出單元剛度矩陣，下面，將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進

46、單元分析得出單元剛度矩陣，下面，將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進行整體分析。行整體分析。4-8 整體分析整體分析1、建立整體剛度矩陣、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣) 上圖中的結(jié)構(gòu)有六個節(jié)點，共有上圖中的結(jié)構(gòu)有六個節(jié)點，共有12個節(jié)點位移分量和個節(jié)點位移分量和12個節(jié)點個節(jié)點力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點力向量時，轉(zhuǎn)換關(guān)力分量。由結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量求結(jié)構(gòu)的節(jié)點力向量時，轉(zhuǎn)換關(guān)系為：系為：分塊形式為：分塊形式為： 其中子向量其中子向量 和和 都是二階向量，子矩陣都是二階向量，子矩陣 是二行二是二行二列矩陣，整體剛度矩陣列矩陣，整體剛度矩陣K是是12*12階矩陣。階矩陣。

47、FK 111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666FKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKK i iFijK4-8 整體分析整體分析2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣 建立整體剛度矩陣時，每個節(jié)點的位移當作未知量看待，沒建立整體剛度矩陣時，每個節(jié)點的位移當作未知量看待，沒有考慮具體的支承情況，因此進行整體分析時還要針對支承條有考慮具體的支承情況，因此進行整體分析時還要針對支承條件加以處理。件加以處理。

48、在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個，即在節(jié)點在上圖的結(jié)構(gòu)中，支承條件共有四個，即在節(jié)點1、4、6的四的四個支桿處相應位移已知為零：個支桿處相應位移已知為零： 建立節(jié)點平衡方程時，應根據(jù)上述邊界條件進行處理。建立節(jié)點平衡方程時，應根據(jù)上述邊界條件進行處理。3、解方程組，求出節(jié)點位移。、解方程組，求出節(jié)點位移。 通常采用消元法和迭代法兩種方法。通常采用消元法和迭代法兩種方法。4、根據(jù)節(jié)點位移求出應力。、根據(jù)節(jié)點位移求出應力。14460000uuvv，4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 是單元剛度矩陣是單元剛度矩陣 的集成。的集成。1、剛度集成法的物理概念：、剛度集

49、成法的物理概念：剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點作單位位移時引起的節(jié)點力。在剛度矩陣中的元素，即由節(jié)點作單位位移時引起的節(jié)點力。在單元剛陣單元剛陣 中，中， 表示表示j節(jié)點單位位移，其他節(jié)點位移為零節(jié)點單位位移，其他節(jié)點位移為零時，時，單元單元e在在i節(jié)點引起的節(jié)點力節(jié)點引起的節(jié)點力；類似，在整體剛陣中，；類似，在整體剛陣中， 表表示示j節(jié)點單位位移，其他節(jié)點位移為零時，節(jié)點單位位移，其他節(jié)點位移為零時，整體結(jié)構(gòu)在整體結(jié)構(gòu)在i節(jié)點引起節(jié)點引起的節(jié)點力的節(jié)點力(由于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與由于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與i、j節(jié)點節(jié)點相關(guān)的單元在相關(guān)的單元在i節(jié)點引起的節(jié)點力之和節(jié)點引

50、起的節(jié)點力之和)。 如上圖結(jié)構(gòu)，計算如上圖結(jié)構(gòu)，計算 時，與節(jié)點時，與節(jié)點2和和3相關(guān)的單元有單元相關(guān)的單元有單元和和，當節(jié)點，當節(jié)點3發(fā)生單位位移時，相關(guān)單元發(fā)生單位位移時，相關(guān)單元和和同時在節(jié)點同時在節(jié)點2引起節(jié)點力，將相關(guān)單元在節(jié)點引起節(jié)點力，將相關(guān)單元在節(jié)點2的節(jié)點力相加，就得出結(jié)構(gòu)在的節(jié)點力相加，就得出結(jié)構(gòu)在節(jié)點節(jié)點2的節(jié)點力的節(jié)點力 。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相關(guān)單元的對應子塊的集成。關(guān)單元的對應子塊的集成。 ek K ekeijkijk23k132323

51、23kkk4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式2、剛度矩陣的集成方法：、剛度矩陣的集成方法：1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應保證各單元）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應保證各單元在節(jié)點處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)在節(jié)點處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在該節(jié)點處所有單元在該節(jié)點上有相同位移，點處所有單元在該節(jié)點上有相同位移，2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點應滿足平衡條件。）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點應滿足平衡條件。即環(huán)繞每個節(jié)點的所有單元作用其上的節(jié)即環(huán)繞每個節(jié)點的所有單元作用其上的節(jié)點力之和應等于作用于該節(jié)點上的節(jié)點載點力之和應等于作用于該節(jié)點上的節(jié)點載荷荷Ri， 12niiii eiieFR12i 3412i Ri34

52、4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式 2、整體剛度矩陣的集成方法、整體剛度矩陣的集成方法 具體集成方法是：先對每個單元求出單元剛度矩陣具體集成方法是：先對每個單元求出單元剛度矩陣 ，然后將其中的每個子塊然后將其中的每個子塊 送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對應位送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對應位置上去，進行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣置上去，進行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K的子塊，從的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K。 關(guān)鍵是如何找出關(guān)鍵是如何找出 中的子塊在中的子塊在K中的對應位置。這需要了中的對應位置。這需要了解單元中的節(jié)點編碼與結(jié)構(gòu)中的節(jié)點編碼之間的對應關(guān)系。解單元中的節(jié)點編碼與結(jié)構(gòu)中的

53、節(jié)點編碼之間的對應關(guān)系。 ekkij ek4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式結(jié)構(gòu)中的節(jié)點編碼稱為節(jié)點的總結(jié)構(gòu)中的節(jié)點編碼稱為節(jié)點的總碼，各個單元的三個節(jié)點又按逆碼，各個單元的三個節(jié)點又按逆時針方向編為時針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點的局稱為節(jié)點的局部碼。部碼。單元剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點單元剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按節(jié)點的總碼排列陣中的子塊是按節(jié)點的總碼排列的。因此，在單元剛度矩陣中，的。因此，在單元剛度矩陣中，把節(jié)點的局部碼換成總碼，并把把節(jié)點的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排其中的子塊按照總碼次序

54、重新排列。列。4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式以單元以單元為例，局部碼為例，局部碼i,j,m對應于總碼對應于總碼5,2,4，因此，因此 子塊按照總子塊按照總碼重新排列后，得出擴大矩陣碼重新排列后，得出擴大矩陣 為：為： (2)k(2)K 而相應的單元剛度方程為而相應的單元剛度方程為（或節(jié)點力表達式）：（或節(jié)點力表達式）： 1222(2)32442556000FKFF4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式 用同樣的方法可得出其他用同樣的方法可得出其他單元的擴大的單元剛度方單元的擴大的單元剛度方程程: 1122( )33445566 e=1,2,.4eeeeeeeFFFKFFF

55、i=1,.6eiieFR KR 據(jù)節(jié)點力平衡，各個單元相應據(jù)節(jié)點力平衡，各個單元相應節(jié)點力疊加：節(jié)點力疊加： 整理可得，整體平衡方程：整理可得，整體平衡方程：4-9 整體剛度矩陣的形式整體剛度矩陣的形式整體平衡方程：整體平衡方程： 1）其中）其中K為將各單元的擴大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣：為將各單元的擴大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣：集成包含搬家和迭加兩個環(huán)節(jié)：集成包含搬家和迭加兩個環(huán)節(jié)： A、將單元剛度矩陣、將單元剛度矩陣 中的子塊搬家，得出單元的擴大剛中的子塊搬家，得出單元的擴大剛度矩陣度矩陣 。 B、將各單元的擴大剛度矩陣、將各單元的擴大剛度矩陣 迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣迭加，得出結(jié)構(gòu)

56、剛度矩陣K。2） 為節(jié)點載荷向量，為節(jié)點載荷向量， 為節(jié)點位移向量。為節(jié)點位移向量。 (1)(2)(3)(4)( ) eKKKKKK eK KReK eK 1TnRRR 1Tn)1(jjK)2(mmK)2(miK)1(jmK)1(jiK)2(jmK)4(iiK)4(miK)4(jiK2m1j2m4i126543216543局部碼總碼321i ,j ,m431j ,m,i432m,j ,i321ijm1j431jmi432mji4i)1(mmK)2(jjK)3(iiK)1(miK)3(imK)1(iiK)3(mmK)4(jjK)2(jiK)3(ijK)3(mjK)4(jmK)2(iiK)3(jj

57、K)4(mmK4-10 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。在解算時常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達到節(jié)省存貯容量的途徑。找到整體剛度矩陣的特性達到節(jié)省存貯容量的途徑。 1、對稱性。、對稱性。 只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。量。 2、稀疏性。、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。部分。4-10 整體剛度矩陣的

58、特點整體剛度矩陣的特點2、稀疏性。、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。 節(jié)點節(jié)點5只與周圍的六個節(jié)點只與周圍的六個節(jié)點(2、3、4、6、8、9)用三角形用三角形單元相連，它們是單元相連，它們是5的相關(guān)節(jié)的相關(guān)節(jié)點。只有當這七個相關(guān)節(jié)點產(chǎn)點。只有當這七個相關(guān)節(jié)點產(chǎn)生位移時，才使該節(jié)點產(chǎn)生節(jié)生位移時，才使該節(jié)點產(chǎn)生節(jié)點力，其余節(jié)點發(fā)生位移時并點力，其余節(jié)點發(fā)生位移時并不在該節(jié)點處引起節(jié)點力。因不在該節(jié)點處引起節(jié)點力。因此，在矩陣此，在矩陣K中，第中，第5行的非行的非零子塊只有七個零子塊只有七個(即與相關(guān)節(jié)點即與相關(guān)節(jié)點對應的七

59、個子塊對應的七個子塊)。4-10 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點2、稀疏性、稀疏性一般，一個節(jié)點的相關(guān)節(jié)點不一般，一個節(jié)點的相關(guān)節(jié)點不會超過九個，如果網(wǎng)格中有會超過九個，如果網(wǎng)格中有200個節(jié)點，則一行中非零子個節(jié)點，則一行中非零子塊的個數(shù)與該行的子塊總數(shù)相塊的個數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于比不大于9/200，即在，即在5%以下，以下，如果網(wǎng)格的節(jié)點個數(shù)越多，則如果網(wǎng)格的節(jié)點個數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。剛度矩陣的稀疏性就越突出。 利用矩陣利用矩陣K的稀疏性，可的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量。大量地節(jié)省存貯容量。11109876

60、543210987654324-10 整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的特點 3、帶形分布規(guī)律。、帶形分布規(guī)律。 上圖中，矩陣上圖中，矩陣K的非零元素分布在以對角線為中心的帶的非零元素分布在以對角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個帶形區(qū)域中形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個帶形區(qū)域中(包括對角線元包括對角線元素在內(nèi)素在內(nèi))，每行具有的元素個數(shù)叫做半帶寬，用，每行具有的元素個數(shù)叫做半帶寬，用d表示。半帶表示。半帶寬的一般計算公式是：寬的一般計算公式是： 半帶寬半帶寬 d = ( 相鄰節(jié)點碼的最大差值相鄰節(jié)點碼的最大差值 + 1 ) * 2 上圖中相鄰節(jié)點碼的最大差值為上圖中相鄰節(jié)點碼的最大差值