概率論第02講

1、古典概型試驗(yàn)下古典概型試驗(yàn)下事件事件A A的概率的計(jì)算的概率的計(jì)算上一次課部分內(nèi)容回顧上一次課部分內(nèi)容回顧設(shè) 事 件設(shè) 事 件 A包含包含k個(gè)樣個(gè)樣本 點(diǎn) ， 定本 點(diǎn) ， 定義義 P(A) = k/n 樣本空間樣本空間S 只含只含有有限個(gè)元素有有限個(gè)元素 S =e=e1 1, , e, en n 試驗(yàn)中，每個(gè)基試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能本事件發(fā)生是等可能的的. .排列組排列組合是計(jì)合是計(jì)算古典算古典概率的概率的重要工重要工具具 .在概率論發(fā)展早期，人們就已經(jīng)注意到在概率論發(fā)展早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)試只考慮那種僅有有限個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還必須考慮

2、試驗(yàn)結(jié)果是驗(yàn)是不夠的，還必須考慮試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)無(wú)窮多個(gè)的情形窮多個(gè)的情形，這中間最簡(jiǎn)單的一類(lèi)是，這中間最簡(jiǎn)單的一類(lèi)是試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多個(gè)，而又有某種試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多個(gè)，而又有某種“等等可能可能”的情形的情形.G. g.如如 二二. 幾何概率幾何概率1.1.定義定義 向任一可度量區(qū)域向任一可度量區(qū)域G G內(nèi)投一點(diǎn)，如果內(nèi)投一點(diǎn)，如果所投的點(diǎn)落在所投的點(diǎn)落在G G中任意可度量區(qū)域中任意可度量區(qū)域g g內(nèi)內(nèi)的可能性與的可能性與g g的度量成正比，而與的度量成正比，而與g g的的位置和形狀無(wú)關(guān)，則稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)位置和形狀無(wú)關(guān)，則稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)為幾何型隨機(jī)試驗(yàn)?；蚝?jiǎn)稱(chēng)為幾何概為幾何型隨機(jī)試驗(yàn)?；蚝?jiǎn)稱(chēng)為幾何概

3、型。型。2、 概率計(jì)算概率計(jì)算 P(A)=A的度量的度量/S的度量的度量 4 4 頻率與概率頻率與概率1. 1. 事件的頻率事件的頻率 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為的樣本空間為S，A為為E的一個(gè)事件，的一個(gè)事件，把試驗(yàn)把試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行n次，這次，這n次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)次數(shù) nA 稱(chēng)為事件的頻數(shù)，比值稱(chēng)為事件的頻數(shù)，比值 nA/n 稱(chēng)為在這稱(chēng)為在這n次試次試驗(yàn)中驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率事件發(fā)生的頻率，記作，記作 fn(A)，即，即 fn(A) = nA /n直觀(guān)想法是用直觀(guān)想法是用頻率頻率來(lái)近似來(lái)近似事件事件 A 在一次在一次試驗(yàn)中發(fā)生的試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小可能性的大

4、小，但是這種，但是這種近似是否可行呢？近似是否可行呢？擲一枚均勻硬幣，記錄前擲一枚均勻硬幣，記錄前400次擲硬幣試驗(yàn)中頻率次擲硬幣試驗(yàn)中頻率P*的波動(dòng)情況。的波動(dòng)情況。（橫軸為對(duì)數(shù)尺度）（橫軸為對(duì)數(shù)尺度） 2. 頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性 長(zhǎng)期實(shí)踐表明長(zhǎng)期實(shí)踐表明，在重復(fù)試驗(yàn)中，事件，在重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的發(fā)生的頻率頻率 fn(A)總在一個(gè)常數(shù)值附近擺動(dòng)，而且，隨總在一個(gè)常數(shù)值附近擺動(dòng)，而且，隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù) n 的增加，頻率的擺動(dòng)幅度越的增加，頻率的擺動(dòng)幅度越來(lái)越小來(lái)越小. 觀(guān)測(cè)到的大偏差越來(lái)越稀少觀(guān)測(cè)到的大偏差越來(lái)越稀少 ，呈現(xiàn)出，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性一定的穩(wěn)定性.3概率的頻

5、率定義概率的頻率定義 在一組不變的條件下，重復(fù)作在一組不變的條件下，重復(fù)作 n 次試驗(yàn)，當(dāng)試次試驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)驗(yàn)次數(shù) n 很大時(shí)，事件很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 fn(A) 穩(wěn)定穩(wěn)定地在某數(shù)值地在某數(shù)值 p 附近擺動(dòng)。稱(chēng)數(shù)值附近擺動(dòng)。稱(chēng)數(shù)值 p 為事件為事件 A 在在這一組不變的條件下發(fā)生的概率，記作這一組不變的條件下發(fā)生的概率，記作 fn (A)=p4頻率定義概率的意義頻率定義概率的意義（1）它提供了一種可廣泛應(yīng)用的，近似計(jì)算事）它提供了一種可廣泛應(yīng)用的，近似計(jì)算事件概率的方法。件概率的方法。（2）它提供了一種檢驗(yàn)理論正確與否的準(zhǔn)則。）它提供了一種檢驗(yàn)理論正確與否的準(zhǔn)則。5. 頻率的

6、基本性質(zhì)頻率的基本性質(zhì) （1） 對(duì)任意事件對(duì)任意事件A，有，有 1)(0Af（2）1)(Sf0)(f（3）若）若A1，A2，An是互不相容的，則是互不相容的，則 )()(11nkknkkAfAf五、概率的公理化定義五、概率的公理化定義 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為的樣本空間為S， 為包含為包含S, ，以及，以及滿(mǎn)足一定條件的滿(mǎn)足一定條件的S的一些子集組成的集合，的一些子集組成的集合，P為定為定義在義在 上的一維實(shí)函數(shù)上的一維實(shí)函數(shù) P : R1 A P(A) 該函數(shù)滿(mǎn)足下面三條公理：該函數(shù)滿(mǎn)足下面三條公理：公理公理1：對(duì)任一事件：對(duì)任一事件A，有，有P(A) 0；公理公理2：對(duì)必然事件：對(duì)必然事

7、件S，有，有P(S)=1；公理公理3：若事件：若事件A1,A2,Ak,互不相容，則有互不相容，則有 11)()(kkkkAPAP那么稱(chēng)那么稱(chēng)P(A)為事件為事件A的的概率概率, 稱(chēng)稱(chēng)(S , , P)為一為一概率空間概率空間 2概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)0)(P (1)（2）有限可加性）有限可加性: 若若A1，A2，An互不相容，則互不相容，則nkknkkAPAP11)()()(1)(APAP(3) 若若A B, 則有則有 P(B A) = P(B) P(A) P(A) P(B) 特別地，對(duì)任何事件特別地，對(duì)任何事件A，都有，都有P(A) 1;ASBA 對(duì)事件對(duì)事件A，有，有)()()()(ABBP

8、APABBAPBAPBAB 又因又因再由性質(zhì)再由性質(zhì) 3便得便得 )(ABBASABAB)()()()(ABPBPAPBAP(4) 對(duì)任何兩個(gè)事件對(duì)任何兩個(gè)事件A, B，都有，都有 三個(gè)事件和的概率為三個(gè)事件和的概率為 =P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC) + P(ABC)(CBAP (5) 對(duì)任何對(duì)任何n個(gè)事件個(gè)事件A1，A2，An,都有都有 )() 1()() 1()()()(11111111212211nkknnkkkkkmknkkknkknkkAPAAAPAAPAPAPmm例例 3 3 (1) 若事件若事件A與與B互不相容互不相容, 求求 )(ABP（2）

9、若）若A B, 求求 )(ABP（3）若）若P(AB)=1/8, 求求 )(ABP設(shè)設(shè)P(A)=1/3, P(B)=1/2 提示提示:81)()3(),()()2( , 0)() 1 (),()()()(ABPAPABPABPABPBPABBPABP例例4 4 設(shè)元件盒中裝有設(shè)元件盒中裝有5050個(gè)電阻，個(gè)電阻，2020個(gè)電感，個(gè)電感，3030個(gè)電個(gè)電容，從盒中任取容，從盒中任取3030個(gè)元件，求所取元件中至少有一個(gè)元件，求所取元件中至少有一個(gè)電阻同時(shí)至少有一個(gè)電感的概率個(gè)電阻同時(shí)至少有一個(gè)電感的概率. . )(1)(ABPABP)(1BAP )()()(1BAPBPAP所求概率為所求概率為P

10、(AB)解解: : 設(shè)設(shè)A=所取元件中至少有一電阻所取元件中至少有一電阻 B=所取元件中至少有一所取元件中至少有一電感電感 )()()(1)(BAPBPAPABP301001308030501例例 5.5. 甲、乙兩人先后從甲、乙兩人先后從5252張牌中各抽取張牌中各抽取1313張張, ,求甲或乙拿到求甲或乙拿到4 4張張A的概率的概率. . (1) (1) 甲抽后不放回，乙再抽甲抽后不放回，乙再抽; ; (2) (2) 甲抽后將牌放回，乙再抽甲抽后將牌放回，乙再抽. . (1)(1)A、B互不相容互不相容 =P(A)+P(B)解：設(shè)解：設(shè)A=甲拿到甲拿到4張張A， B=乙拿到乙拿到4張張A所

11、求為所求為計(jì)算計(jì)算P(A)和和P(B)時(shí)用古典概型時(shí)用古典概型1339135293513481352948CCCCCC 13529482CC )(BAP )(BAP (2) A、B相容相容 =P(A)+P(B) P(AB)解：設(shè)解：設(shè)A=甲拿到甲拿到4張張A， B=乙拿到乙拿到4張張A所求為所求為1352135294894813529482CCCCCC )(BAP )(BAP 在實(shí)際應(yīng)用中，除了要研究事件在實(shí)際應(yīng)用中，除了要研究事件A的概率的概率P(A)之外，有時(shí)還需要研究在之外，有時(shí)還需要研究在事件事件B已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生的條件，的條件，事件事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率。我們稱(chēng)這種概率為。我們稱(chēng)

12、這種概率為事件事件B已發(fā)已發(fā)生的條件下事件生的條件下事件A發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率，記為，記為5 5 條件概率條件概率 P(A|B)一般說(shuō)來(lái)一般說(shuō)來(lái) P(A|B) P(A)P(A )=1/6，例例如如，擲一顆均勻骰子，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)，P(A|B)=？擲骰子擲骰子 已知事件已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B， B中共中共于是于是 P(A|B)= 1/3.容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)有有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有其中只

13、有1個(gè)在集個(gè)在集 A 中中 又如，向長(zhǎng)方形又如，向長(zhǎng)方形S內(nèi)隨機(jī)均勻投點(diǎn)，若已知點(diǎn)內(nèi)隨機(jī)均勻投點(diǎn)，若已知點(diǎn)落在區(qū)域落在區(qū)域B內(nèi)，求在此條件下點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)，求在此條件下點(diǎn)落在區(qū)域A A內(nèi)的概率內(nèi)的概率 SABAB條件概率條件概率P(A|B)實(shí)質(zhì)就是縮減了樣本空間實(shí)質(zhì)就是縮減了樣本空間上的事件的概率。由于已知事件上的事件的概率。由于已知事件B已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生，原樣本空間，原樣本空間S縮減為縮減為B，在該空間上再進(jìn)，在該空間上再進(jìn)一步計(jì)算事件一步計(jì)算事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率可以證明，在古典概型下，若可以證明，在古典概型下，若P(B)0, 有有)()()|(BPABPBAP1.定義定義 設(shè)設(shè)A、B是

14、兩個(gè)事件，且是兩個(gè)事件，且P(B)0，則稱(chēng)則稱(chēng) 一、一、條件概率條件概率為在事件為在事件B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件A的條的條件概率件概率. .)()()|(BPABPBAP2. 性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)B是一事件，且是一事件，且P(B)0，則則P(.|B)滿(mǎn)足概率的三滿(mǎn)足概率的三條公理，即條公理，即(1). 非負(fù)性：對(duì)任一事件非負(fù)性：對(duì)任一事件A，0P(A|B)1;(2). 規(guī)范性：規(guī)范性： P (S | B) =1 ；(3). 可列可加性：可列可加性：設(shè)設(shè) A1,An互不相容，則互不相容，則 11)|()|(iiiiBAPBAP條件概率條件概率P(.|B)也具有三條公理導(dǎo)出的一切性質(zhì)也具有

15、三條公理導(dǎo)出的一切性質(zhì)如如)|()|()|()|(BACPBCPBAPBCAP )|(1)|(BAPBAP （2） 在縮減的樣本空間上計(jì)算在縮減的樣本空間上計(jì)算 3. 條件概率的計(jì)算條件概率的計(jì)算（1） 用定義計(jì)算用定義計(jì)算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 擲骰子擲骰子例：例：A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)P(A|B）=31B B 發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間在縮減樣本空間中中A A 所含樣本點(diǎn)所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)解法解法1: ()(|)( )P ABP B AP A解法解法2: 62(|)93P B A 應(yīng)用定義

16、應(yīng)用定義在在A(yíng)發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間中計(jì)算中計(jì)算2234112334A /2/3AA AA例例3 一盒子裝有一盒子裝有4只產(chǎn)品，其中只產(chǎn)品，其中3只一等品，只一等品，1只二等只二等品。從中取產(chǎn)品品。從中取產(chǎn)品2次，每次任取一件，做不放回抽樣。次，每次任取一件，做不放回抽樣。設(shè)事件設(shè)事件 A為為“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品”，事件，事件 B為為“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”，試求，試求P(B|A). P(AB)=P(B)P(A|B) (1) 二二. 乘法公式乘法公式公式（公式（1 1）和（）和（2 2）均稱(chēng)為概率的乘法公式或稱(chēng)）均稱(chēng)為概率的乘法公式或

17、稱(chēng)為概率的乘法定理為概率的乘法定理 如果如果 P(A)0，由條件概率公式得由條件概率公式得 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) 1. 定義定義 設(shè)有兩個(gè)事件設(shè)有兩個(gè)事件A，B，如果，如果P(B)0，由條，由條件概率公式得件概率公式得 乘法公式容易推廣到多個(gè)事件的積事件的情況，如乘法公式容易推廣到多個(gè)事件的積事件的情況，如 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)當(dāng)當(dāng)P(A1A2An-1)0時(shí)，有時(shí)，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)當(dāng)當(dāng)P(AB)0，有，有 例例4 一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5 5個(gè)球迷

18、個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券好不容易才搞到一張入場(chǎng)券. .大家都想去大家都想去, ,只只好用抽簽的方法來(lái)解決好用抽簽的方法來(lái)解決. .入場(chǎng)入場(chǎng)券券“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái)，誰(shuí)抽到按次序來(lái)，誰(shuí)抽到入場(chǎng)券入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都的機(jī)會(huì)都一樣大一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大。先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！苯馕覀冇梦覀冇肁i表示表示“第第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券個(gè)人抽到入場(chǎng)券” i1,2,3,4,5.顯然，顯然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，iA則則 表示表示

19、“第第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”因?yàn)槿舻谝驗(yàn)槿舻?個(gè)人抽到個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第了入場(chǎng)券，第1個(gè)人個(gè)人肯定沒(méi)抽到肯定沒(méi)抽到.)|()()()(121212AAPAPAAPAP 212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 = (4/5)(1/4)= 1/5)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 也就是說(shuō)也就是說(shuō)“抽簽與順序無(wú)關(guān)抽簽與順序無(wú)關(guān).” 同理，第同理，第3個(gè)人要抽到個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券入場(chǎng)券”，必須，必須第第1，第，第2個(gè)人都沒(méi)有抽到個(gè)人都沒(méi)有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽

20、到每個(gè)人抽到“入入場(chǎng)券場(chǎng)券” 的概率都是的概率都是1/5.B1B2B3B4B5B6B7B8A在概率論中常常會(huì)遇到一些較復(fù)雜的事件。這就在概率論中常常會(huì)遇到一些較復(fù)雜的事件。這就提出如下問(wèn)題：復(fù)雜事件提出如下問(wèn)題：復(fù)雜事件A的概率如何求？的概率如何求？三、全概率公式和貝葉斯公式三、全概率公式和貝葉斯公式定義定義 設(shè)設(shè)S為試驗(yàn)為試驗(yàn)E的樣本空間，的樣本空間，B1,Bn為為E的一組事件。若的一組事件。若（1）B1,Bn互不相容互不相容，i=1,n （2）SBnii1則稱(chēng)則稱(chēng)B1,Bn為樣本空間為樣本空間S的一個(gè)劃分。的一個(gè)劃分。一一. . 全概率公式全概率公式)|()()(1iniiBAPBPAP上

21、式稱(chēng)為全概率公式上式稱(chēng)為全概率公式 定理定理 設(shè)設(shè)S為試驗(yàn)為試驗(yàn)E的樣本空間，的樣本空間， A 為為E的事件，的事件，B1,Bn為為S的一個(gè)劃分，且的一個(gè)劃分，且P(Bi)0, i=1, n, 則則例例6 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1, 2, 3，1號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有1個(gè)個(gè)紅球紅球4個(gè)白球，個(gè)白球，2號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有2紅紅3白球，白球，3號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有3紅紅球球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率求取得紅球的概率.解：記解：記 A =取得紅球取得紅球 且且 AB1、AB2、AB3 兩兩互斥兩兩互斥P(A)=P(

22、AB1)+P(AB2)+P(AB3)運(yùn)用加法公式得123Bi=球取自球取自i 號(hào)箱號(hào)箱, i=1, 2, 3; 321ABABABA 對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得 31)()()(iiiBAPBPAP代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(A)=8/15P(A)=P( AB1)+P(AB2)+P(AB3) 某一事件某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因（或途徑，的發(fā)生有各種可能的原因（或途徑，或前提條件），或前提條件），i=1, 2, n。如果。如果A是由原因是由原因Bi 所所引起，則引起，則A發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故發(fā)生，故A發(fā)生的概率發(fā)生的概率是各原

23、因引起是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即發(fā)生概率的總和，即全概率公式全概率公式.P(BiA)=P(Bi)P(A|Bi) 由此可以形象地把全概率公式看成為由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因由原因推結(jié)果推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用作用”大大小有關(guān)小有關(guān). 全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系 .諸諸Bi是原因是原因A是結(jié)果是結(jié)果B1B2B3B4B5B6B7B8A例例7 發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出“.”的概率為的概率為0.6，發(fā)出，發(fā)出“”的的概率為概率為0.40；收?qǐng)?bào)機(jī)將；收?qǐng)?bào)機(jī)將“.”收為收為“.”的概率為的概率為0.99，將將“”收為收為“.”的概率為的概率為0.02。求收?qǐng)?bào)機(jī)將任一。求收?qǐng)?bào)機(jī)將任一信號(hào)收為信號(hào)收為“.”的概率的概率 實(shí)際中還有下面一類(lèi)問(wèn)題，是實(shí)際中還有下面一類(lèi)問(wèn)題，是“已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因” 這一類(lèi)問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn)，它所求的是這一類(lèi)問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn)，它所求的是條件概率，即已知結(jié)果發(fā)生的條件下，求某原因條件概率，即已知結(jié)果發(fā)生的條件下，求某原因發(fā)生可能性的大小發(fā)生可能性的大小.例例8 某人從任一箱中任意摸某人從任一箱中任意摸出一球，出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)