重慶郵電大學(xué) 自控原理課件第四章根軌跡法

1、2022-7-4自動控制原理1l4.1 根軌跡法的概念l4.2 根軌跡繪制的基本法則l4.3 廣義根軌跡l4.4 系統(tǒng)性能的分析l4.5 控制系統(tǒng)復(fù)域設(shè)計(jì)2022-7-4自動控制原理2-10ImK:0 24112, 1KS特征根特征根：02KssK8141211s2s-0.5Re特征方程：特征方程：KssKs2)(閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：001146. 0854. 05 . 05 . 05 . 05 . 0j5 . 05 . 0jj5 . 0j5 . 0 _)(sR)(sC) 1( ssK 對于高階系統(tǒng)，不能用特征方程求根的對于高階系統(tǒng)，不能用特征方程求根的解析方法得到根軌跡。解析方法得到

2、根軌跡。l4.1 根軌跡法的概念根軌跡法的概念2022-7-4自動控制原理3 開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從0變?yōu)?時(shí)，時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在特征方程的根在s s平面上變化的軌跡平面上變化的軌跡根軌跡法根軌跡法：Evans提出（1948年）的一種由開環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的簡便方法；是分析與設(shè)計(jì)線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法。2022-7-4自動控制原理4動態(tài)性能：-10ImRe-0.5K=0.25穩(wěn)定性：根軌跡若越過虛軸進(jìn)入s右半平面，與虛軸交點(diǎn)處的k k即為臨界增益。穩(wěn)態(tài)性能：根據(jù)坐標(biāo)原點(diǎn)處的根數(shù)，確定系統(tǒng)的型次，同時(shí)可以確定對應(yīng)的靜態(tài)誤差系數(shù)。特征方程的根特征方程的根 運(yùn)動模態(tài)運(yùn)動模態(tài) 系

3、統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)定性、系統(tǒng)性能）系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)定性、系統(tǒng)性能）開環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個極點(diǎn)，系統(tǒng)為開環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個極點(diǎn)，系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，根軌跡上的型系統(tǒng)，根軌跡上的K值就是靜值就是靜態(tài)誤差系數(shù)。但是由開環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡，態(tài)誤差系數(shù)。但是由開環(huán)傳遞函數(shù)繪制根軌跡，K是根軌跡增益，根軌跡增益是根軌跡增益，根軌跡增益與開環(huán)增益之間有一個轉(zhuǎn)換關(guān)系。與開環(huán)增益之間有一個轉(zhuǎn)換關(guān)系。過阻尼 00k k0.250.250.25單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程) 1()()(ssKsHsG2022-7-4自動控制原理5閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系設(shè)控制系

4、統(tǒng)如圖所示設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示)()(1)()(sHsGsGs)(sG)(sH)(sC)(sRhjjljjHpszsKsH11*)()()(qiifiiGGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()() 12)(1() 12)(1()(22121*TTKKGG設(shè)：設(shè)：GK*GK*HK ：前向通路增益：前向通路增益 ：前向通道根軌跡增益：前向通道根軌跡增益 ：反饋通道根軌跡增益：反饋通道根軌跡增益2022-7-4自動控制原理6*111111*,)()()()()()()()(HGgnjjmiighjjqiiljjfiiHGKKKlfmhqnpszsKpspszszsK

5、KsHsGmiignjjhjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1111*)()()()()()(1)()(qiifiiGpszsKsG11*)()()(hjjljjHpszsKsH11*)()()(2022-7-4自動控制原理7miignjjhjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1111*)()()()()()(1)()(結(jié)論：結(jié)論：（1）閉環(huán)系統(tǒng)的）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益根軌跡增益 = 開環(huán)前向通道系統(tǒng)開環(huán)前向通道系統(tǒng)根軌跡增益根軌跡增益。（2）閉環(huán)系統(tǒng)的）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)零點(diǎn)由由開環(huán)前向通道開環(huán)前向通道傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)的零點(diǎn)零點(diǎn)和和反饋通反饋通 道道傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)的極

6、點(diǎn)極點(diǎn)所組成。所組成。（3）閉環(huán)）閉環(huán)極點(diǎn)極點(diǎn)與開環(huán)與開環(huán)零點(diǎn)零點(diǎn)、開環(huán)、開環(huán)極點(diǎn)極點(diǎn)、根軌跡增益根軌跡增益均有關(guān)。均有關(guān)。*KqiifiiGpszsKsG11*)()()(hjjljjHpszsKsH11*)()()(根軌跡法的任務(wù)：由已知的開環(huán)零極點(diǎn)和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點(diǎn)。根軌跡法的任務(wù)：由已知的開環(huán)零極點(diǎn)和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點(diǎn)。njjmiigpszsKsHsG11)()()()(2022-7-4自動控制原理8由閉環(huán)傳遞函數(shù)由閉環(huán)傳遞函數(shù))()(1)()(sHsGsGs根軌跡方程GH1)()(0)()(111njjmiigpszsKsHsG特征方程特征方程izj

7、pgK根軌跡增益根軌跡增益開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)常數(shù)常數(shù) 0gK常數(shù)常數(shù)是什么是什么？考慮：考慮：s復(fù)平面上的點(diǎn)，特征方程的復(fù)平面上的點(diǎn)，特征方程的根，閉環(huán)極點(diǎn)根，閉環(huán)極點(diǎn)l4.2 根軌跡方程根軌跡方程2022-7-4自動控制原理9miinjjgzspsK11模值條件（幅值條件）：模值條件（幅值條件）：根軌跡方程實(shí)質(zhì)上為一向量方程根軌跡方程實(shí)質(zhì)上為一向量方程11()()(21),(0,1,2,)mnijijszspkk 相角條件（幅角條件）：（充分必要條件）相角條件（幅角條件）：（充分必要條件）開環(huán)有限零點(diǎn)到開環(huán)有限零點(diǎn)到s s的矢量輻角的矢量輻角 開環(huán)極點(diǎn)到開環(huán)極點(diǎn)到s s的矢量輻

8、角，逆時(shí)針為正的矢量輻角，逆時(shí)針為正 2022-7-4自動控制原理10模值條件與相模值條件與相角條件的應(yīng)用角條件的應(yīng)用s1=-0.825s2,3= -1.09j2.07-1.09+j2.072.262.112.612.0722.262.112.612.072= 6.006892.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= 180o-1.5-1-20.592.49o66.27o78.8o127.53o2022-7-4自動控制原理11 根軌跡上的點(diǎn)一定滿足相角條件，且滿 足相角條件的點(diǎn)一定在根軌跡上，即相 角條件是確定根軌跡的重要條件。只有當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的根軌跡 增益時(shí)，才需

9、使用模值條件。 繪制根軌跡只需使用相角條件。2022-7-4自動控制原理121.1.根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)；根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)；2.2.根軌跡的條數(shù)、連續(xù)性和對稱性；根軌跡的條數(shù)、連續(xù)性和對稱性；3.3.實(shí)軸上的根軌跡；實(shí)軸上的根軌跡；4.4.根軌跡的漸近線；根軌跡的漸近線；5.5.根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)；6.6.根軌跡的起始角和終止角；根軌跡的起始角和終止角；7.7.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；8.8.根之和。根之和。 通常，我們把通常，我們把以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫繪制的根軌跡叫做做普通根軌跡普通根軌跡（或（或一般根

10、軌跡一般根軌跡）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要）。繪制普通根軌跡的基本規(guī)則主要有有8 8條：條：4.3 常規(guī)根軌跡及其繪制常規(guī)根軌跡及其繪制2022-7-4自動控制原理13l 根軌跡根軌跡180)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC_)(sH)(sG特征方程：特征方程：0)()(1)(sHsGsF)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig令根軌跡方程：根軌跡方程： 0)()(sNKsDg1)()(sHsG輻值條件：輻值條件： 1121,0,1mnijijsskkpz 輻角條件：輻角條件： 由相角條件（由相角條件（ 條件）繪制出的根軌跡，稱條件）繪制出的根

11、軌跡，稱 根軌根軌跡跡 。 變化參數(shù)為根軌跡增益變化參數(shù)為根軌跡增益 。(21)k180gK2022-7-4自動控制原理14規(guī)則規(guī)則1：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)jnjjpsps10)(0gK又從又從0)()(111miinjjgzspsKimiigzszsK10)(0)()(1sHsG證明：0)()(11miignjjzsKps)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig根軌跡方程：根軌跡方程： K*=0 時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)為根軌跡的起點(diǎn)時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)為根軌跡的起點(diǎn)K* 時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)為根軌跡的終點(diǎn)時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)為根軌跡的終點(diǎn)2022-7-4自動控制原理15 下面分

12、三種情況討論下面分三種情況討論 1 1當(dāng)當(dāng)m=nm=n時(shí)時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。與終點(diǎn)均有確定的值。2 2當(dāng)當(dāng)mnmnmn時(shí)時(shí)，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n n條根條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)( (稱為有限極點(diǎn)稱為有限極點(diǎn)) )外，還有外，還有m-nm-n條根軌跡條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)( (稱為無限極點(diǎn)稱為無限極點(diǎn)) )。這種情況在實(shí)際的物理。這種情況在實(shí)際的物理系統(tǒng)中雖不會出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等系統(tǒng)中雖不會出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡

13、中，有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中。效開環(huán)傳遞函數(shù)中。2022-7-4自動控制原理16 在實(shí)際系統(tǒng)通常是在實(shí)際系統(tǒng)通常是 ，則還有，則還有 條根軌跡終止于條根軌跡終止于s平平面的無窮遠(yuǎn)處，這意味著在無窮遠(yuǎn)處有面的無窮遠(yuǎn)處，這意味著在無窮遠(yuǎn)處有 個無限遠(yuǎn)（無窮）個無限遠(yuǎn)（無窮）零點(diǎn)。零點(diǎn)。mn)(mn)(mn0gKgK0mn有兩個無窮遠(yuǎn)處的終點(diǎn)有兩個無窮遠(yuǎn)處的終點(diǎn)0mn0gKgK有一個無窮遠(yuǎn)處的起點(diǎn)有一個無窮遠(yuǎn)處的起點(diǎn)2022-7-4自動控制原理17結(jié)論：結(jié)論：根軌跡根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)起始于開環(huán)極點(diǎn) ，終止于開環(huán)零終止于開環(huán)零點(diǎn)點(diǎn) ；如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)零點(diǎn)

14、數(shù)m m，則，則有有n-mn-m條根軌跡終止于條根軌跡終止于s s平面的無窮遠(yuǎn)處平面的無窮遠(yuǎn)處( (無限零點(diǎn)無限零點(diǎn)) )，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m m大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n n，則有，則有m-nm-n條根軌條根軌跡起始于跡起始于s s平面的無窮遠(yuǎn)處平面的無窮遠(yuǎn)處( (無限極點(diǎn)無限極點(diǎn)) )。0gKgK2022-7-4自動控制原理18結(jié)論結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)( (n n條）條） 。根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的曲線。根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的曲線。規(guī)則規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性gK 系統(tǒng)開

15、環(huán)根軌跡增益系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益( (實(shí)變量）與復(fù)變量實(shí)變量）與復(fù)變量s s有一一對應(yīng)的關(guān)有一一對應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)系，當(dāng) 由零到無窮大連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)由零到無窮大連續(xù)變化時(shí)，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量變量s s在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是在平面上的變化也是連續(xù)的，因此，根軌跡是n n條連續(xù)的條連續(xù)的曲線。曲線。 由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，若它的特征方程有復(fù)由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，若它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定是對稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對稱數(shù)根，一定是對稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對稱于實(shí)軸的。于實(shí)軸的。時(shí)）（mn 根軌跡的分支數(shù)即根

16、軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在S S平面上的分布，那么，根平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。0)()(11miignjjzsKps根軌跡方程：根軌跡方程： 2022-7-4自動控制原理19已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實(shí)軸上的根軌跡。22)3s)(2s (s)6s)(4s)(1s (K) s (G-1，-2 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=3。-4，-6 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=7。654321oj平面s規(guī)則規(guī)則3：實(shí)軸上的根軌跡實(shí)

17、軸上的根軌跡結(jié)論結(jié)論：若實(shí)軸上某線段若實(shí)軸上某線段右右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個數(shù)之和為側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)的個數(shù)之和為奇奇數(shù)，數(shù)，則該線段是實(shí)軸上的根軌跡。則該線段是實(shí)軸上的根軌跡。2022-7-4自動控制原理20規(guī)則規(guī)則4：根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線 當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m m時(shí)，時(shí)，系統(tǒng)有系統(tǒng)有n-mn-m條根軌跡終止于條根軌跡終止于S S平面的無窮平面的無窮遠(yuǎn)處，這遠(yuǎn)處，這n-mn-m條根軌跡變化趨向的直線叫條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有n-mn-m條，且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)。條，且它們交于實(shí)軸

18、上的一點(diǎn)。這些這些根軌跡分支趨向無窮遠(yuǎn)的漸近線由與實(shí)根軌跡分支趨向無窮遠(yuǎn)的漸近線由與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)來確定。軸的夾角和交點(diǎn)來確定。2022-7-4自動控制原理21(21)knmmnzpnjmiijk11)()(與實(shí)軸夾角與實(shí)軸夾角與實(shí)軸交點(diǎn)與實(shí)軸交點(diǎn)0 1 2k ， ，結(jié)論結(jié)論：根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線 n-m條條注注：1.2.與實(shí)軸交點(diǎn)必定在實(shí)軸上與實(shí)軸交點(diǎn)必定在實(shí)軸上ooooomnmnmn135,454180,6039023.計(jì)算與實(shí)軸交點(diǎn)時(shí)，只考慮開環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部即可計(jì)算與實(shí)軸交點(diǎn)時(shí)，只考慮開環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部即可2022-7-4自動控制原理22)22)(4()1()(2sssssK

19、sGg例：例： 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為111,4,014321zjpjppp，（2）有）有4條根軌跡的分支，對稱于實(shí)軸條根軌跡的分支，對稱于實(shí)軸（1）解：解：（4）有）有n-m=4-1=3條根軌跡漸近線條根軌跡漸近線ooookmnk180,6014180)12(180)12(67.114)1()1140()()(11jjmnzpnjmiijk與實(shí)軸夾角與實(shí)軸夾角與實(shí)軸交點(diǎn)與實(shí)軸交點(diǎn)-4-3-2-10（3）實(shí)軸上的根軌跡：）實(shí)軸上的根軌跡：），），（，（01460180-602022-7-4自動控制原理23 兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根

20、軌跡分支在 s 平面上相遇又立即分平面上相遇又立即分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)（會合點(diǎn)）。開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)（會合點(diǎn)）。規(guī)則規(guī)則5：根軌跡的分離點(diǎn)根軌跡的分離點(diǎn)) 1()()(ssKsHsG-10ImRe-0.5K=0.25 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益K 由零到無窮大由零到無窮大變化時(shí)，兩條根軌跡先在實(shí)軸上相向變化時(shí)，兩條根軌跡先在實(shí)軸上相向運(yùn)動運(yùn)動,相遇在點(diǎn)相遇在點(diǎn) (-0.5,j0)，當(dāng)，當(dāng) K 0.25后，離開實(shí)軸進(jìn)入后，離開實(shí)軸進(jìn)入s平面，且離開實(shí)軸平面，且離開實(shí)軸時(shí)，根軌跡與實(shí)軸時(shí)，根軌跡與實(shí)軸正交正交。我們稱該點(diǎn)。我們稱該點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn)。為根軌跡的分離點(diǎn)。實(shí)際上實(shí)際上,分離點(diǎn)是分離點(diǎn)是系

21、統(tǒng)特征方程的系統(tǒng)特征方程的等實(shí)根等實(shí)根。一般，常見一般，常見的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上兩條根的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上兩條根軌跡分支的分離點(diǎn)。軌跡分支的分離點(diǎn)。分離點(diǎn)會合點(diǎn)判別：分離點(diǎn)會合點(diǎn)判別：實(shí)軸上實(shí)軸上之間是根軌跡之間是根軌跡, ,必必有分離點(diǎn)；有分離點(diǎn)； 實(shí)軸上實(shí)軸上之間是根軌跡之間是根軌跡, ,必必有會合點(diǎn)；有會合點(diǎn)；實(shí)軸上實(shí)軸上之間是根軌跡，可之間是根軌跡，可能既無分離點(diǎn)也無會合點(diǎn)，也可能既有分離能既無分離點(diǎn)也無會合點(diǎn)，也可能既有分離點(diǎn)也有會合點(diǎn)。點(diǎn)也有會合點(diǎn)。 分離點(diǎn) 0 0 會合點(diǎn) (a) 兩開環(huán)極點(diǎn)之間是根軌跡 (b) 兩開環(huán)零點(diǎn)之間是根軌跡 0 0 會合點(diǎn) 分離點(diǎn) (c)

22、零極點(diǎn)是根軌跡,無分離匯合點(diǎn)(d) 零極點(diǎn)是根軌跡,同時(shí)有分離匯合點(diǎn)基于代數(shù)重根法則，如果方程函數(shù)基于代數(shù)重根法則，如果方程函數(shù)f(x)=0有重根，則有重根，則f (x)=0的根也是的根也是f(x)=0的根。的根。分離點(diǎn)會合點(diǎn)求?。悍蛛x點(diǎn)會合點(diǎn)求?。?)()(*1sDsNK0)(*)()(sNKsDsF0)(*)()(sNKsDsF0)()()()(sDsNsDsN重根法：重根法：分離點(diǎn)公式分離點(diǎn)公式1)()(*11inijmjpszsK1111mnjijidzdp2022-7-4自動控制原理27分離角：分離角：分離角公式：分離角公式：當(dāng)有當(dāng)有2條根軌跡分支進(jìn)入并離開分離點(diǎn)時(shí)，分離條根軌跡分支

23、進(jìn)入并離開分離點(diǎn)時(shí)，分離角為：角為：(21)l22l ，分分離離角角：分離點(diǎn)上的根軌跡的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角分離點(diǎn)上的根軌跡的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角2022-7-4自動控制原理283)2)(s1)(s(sH(s)G(s)gK例例 ： 繪制單位負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制單位負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡（2）根軌跡分支數(shù)為）根軌跡分支數(shù)為3條，有三個無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。條，有三個無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。（3）實(shí)軸上根軌跡）實(shí)軸上根軌跡 1, 2, 3,（1）3, 2, 1321ppp解：解：（4）漸近線：）漸近線：0(21)/ 360 ,180k 203) 0() 321(k條3mn0312111ddd0111232

24、dd1.421d)2.58(2舍d（5）分離點(diǎn)）分離點(diǎn)方法一：方法一：1)()3)(2)(1()(0)()()()(sNssssDsNsDsNsD方法二：方法二：gg-3 -2 -10jsKK2022-7-4自動控制原理29（2）根軌跡分支數(shù)為）根軌跡分支數(shù)為3條，有兩個無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。條，有兩個無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。（3）實(shí)軸上根軌跡）實(shí)軸上根軌跡0, 1, 2, 3例例 ： 繪制單位負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制單位負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡)3)(2()1(ssssKg)(sR)(sC（1）11z3, 2, 0321ppp解：解：（4）漸近線：）漸近線：(21)/(3 1)90k 213) 1() 320(k條2

25、13mn（5）分離點(diǎn)（用試探法求解）分離點(diǎn)（用試探法求解）3121111dddd47. 2d0j12347. 22022-7-4自動控制原理30jpzKKsssKsssKsHsGgg125 . 0)22()2(15 . 0) 15 . 0()()(2, 1122例例:設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。0j414. 312解：解：(1)根軌跡分支數(shù)為根軌跡分支數(shù)為2條，有一個無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。條，有一個無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。 (2)實(shí)軸上根軌跡實(shí)軸上根軌跡2,(3)漸近線：漸近線：01801/) 12(條1mn(4)分離點(diǎn)分離點(diǎn)2)(22)(0)

26、()()()(2ssNsssDsNsDsNsD)(586. 0414. 3024212舍dddd180) 12()1()1()2(jsjss(5)由相角條件可以證明復(fù)平面上的根軌跡由相角條件可以證明復(fù)平面上的根軌跡是圓的一部分，圓心為（是圓的一部分，圓心為（-2，j0)，半徑為半徑為211112,111tgtgtgjs22222111)2()2(02411)1)(2/() 1(1)1/() 1()2/(11112tgtgtg2022-7-4自動控制原理31規(guī)則規(guī)則6：根軌跡的起始角根軌跡的起始角(出射角出射角)與終止角與終止角(入射角入射角) 當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什

27、么方向離當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？ 出射角出射角 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。 入射角入射角 根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。j3P2P1P0s1p2p-1z2z1p2p1z2z2022-7-4自動控制原理32)(18011mjnijjppzppijiji11180()ijijmnzizzzpjjj i 結(jié)論：結(jié)論：出射角出射角 入射

28、角入射角 -sj1z2p3p0A1p)(31pp )(11zp )(21pp 1p2022-7-4自動控制原理33例：例：3213214180op10j2334p212022-7-4自動控制原理34 : (S) :)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2(j)-2j)(S21.5)(SK(S解跡試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌為設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函例jSjSSSkW ,(4) (3) 180 (2) -2.5,- , 0,-1.5 2, 5 . 1z -2.5p j1.5-0.5p j1.5-0.5p 0p (1) 3,214321入射角出射角無分離點(diǎn)一條漸近線實(shí)軸上的根軌跡，jz-2

29、2022-7-4自動控制原理35-1-2108.59059 37 19 56.5 7937905 .10859195 .561802p2022-7-4自動控制原理3690 121 153 199 63.5 117 5 .1491211991535 .63117901802）（z2022-7-4自動控制原理37-2795 .1492022-7-4自動控制原理38規(guī)則規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。這時(shí)，交點(diǎn)上的部為零）。這時(shí)，交點(diǎn)上的 用用 代入特征方程求代入特征方程求得。

30、也可用勞斯判據(jù)確定。得。也可用勞斯判據(jù)確定。js 3)2)(s1)(s(sH(s)G(s)gK解：其特征方程是令 并代入特征方程得06s11s6s23gk js0611j6j23gk其虛部和實(shí)部方程分別為06601123gk3.311c60gk例例 ： 繪制單位負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制單位負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡js1p2p3p-1-2-30gKdgK, K2022-7-4自動控制原理39js1p2p3p-1-2-30)60( 3 . 3gKjgKdgK)60( 3 . 3gK-j2022-7-4自動控制原理40例：例： 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。試

31、繪制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。)2)(1()()(sssKsHsGg（3）實(shí)軸上根軌跡）實(shí)軸上根軌跡 0, 1, 2,（1）2, 1, 0321ppp解：解：（4）漸近線：）漸近線：0180,603/) 12(103) 0() 021(k條3mn（2）根軌跡分支數(shù)為）根軌跡分支數(shù)為3條，有三個無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。條，有三個無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。（5）分離點(diǎn)）分離點(diǎn)111012ddd02632dd42. 01d（舍）58.12d-2-10jsggKK02323gjsKjj（6）與虛軸交點(diǎn)）與虛軸交點(diǎn)02323gKsss（舍）0123 , 22022-7-4自動控制原理41（2）實(shí)軸上根軌跡）實(shí)軸上根軌跡 0, 3

32、（1）jppp1, 3, 04321，解：解：（3）漸近線：）漸近線：0135,454/) 12(4504) 0() 311(k條4mn例：例：)22)(3()()(2ssssKsHsGg0j13（4）分離點(diǎn)）分離點(diǎn)3 . 2061615423dddd（5）出射角）出射角ooooooptgtgjj6 .719021)190(18090)31()1(180113op6 .7143 . 22022-7-4自動控制原理42（6）與虛軸的交點(diǎn)）與虛軸的交點(diǎn) 運(yùn)用勞斯判據(jù)運(yùn)用勞斯判據(jù)0685)(0)()(1)(234gKsssssFsHsGsF43210185668520425034ggggsKssKK

33、ssK由第一列、第四行元素為零由第一列、第四行元素為零16. 8025204ggKK由輔助方程由輔助方程095. 1016. 8)568(2, 12jss)22)(3()()(2ssssKsHsGg0j13 . 23j1.095-j1.0952022-7-4自動控制原理43（6）與虛軸的交點(diǎn)）與虛軸的交點(diǎn) 運(yùn)用另一方法運(yùn)用另一方法432( )1( )( )0( )5860gF sG s H sF sssssK 2( )( )(3)(22)gKG s H ss sss0j13 . 23j1.095-j1.09542(8)(6 )3-50gKj實(shí)部方程：實(shí)部方程： 虛部方程：虛部方程： 4280g

34、K3560解得：解得：1021.131.18.16gK 2022-7-4自動控制原理44規(guī)則規(guī)則8：根之和法則法則njnlljspmn112結(jié)論：結(jié)論：若若 n-m 2 ，閉環(huán)極點(diǎn)之和閉環(huán)極點(diǎn)之和 = 開環(huán)極點(diǎn)之和開環(huán)極點(diǎn)之和 = 常數(shù)。常數(shù)。表明：在某些根軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）向左移動，而另一些根表明：在某些根軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）向左移動，而另一些根軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）必須向右移動，才能維持閉環(huán)極點(diǎn)之和軌跡分支（閉環(huán)極點(diǎn)）必須向右移動，才能維持閉環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)。為常數(shù)。序序內(nèi)容內(nèi)容規(guī)規(guī) 則則 1 1起點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)終點(diǎn)起始于開環(huán)的極點(diǎn)（包括無限極點(diǎn)）起始于開環(huán)的極點(diǎn)（包括無限極點(diǎn)） ，終止于開，

35、終止于開環(huán)零點(diǎn)（包括無限零點(diǎn)）環(huán)零點(diǎn)（包括無限零點(diǎn)）2 2分支數(shù)分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（n n m m），或零點(diǎn)數(shù)），或零點(diǎn)數(shù)（mn).mn).連續(xù)且對稱于實(shí)軸連續(xù)且對稱于實(shí)軸漸近線漸近線相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)：相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)：坐標(biāo)為：坐標(biāo)為： 傾角為：傾角為：實(shí)軸上分實(shí)軸上分布布在實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳在實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù)遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù)11nmijijapznm(21)aknm序序內(nèi)容內(nèi)容規(guī)規(guī) 則則 分離（會分離（會合）點(diǎn)合）點(diǎn)實(shí)軸上的分離（會合）點(diǎn)實(shí)軸上的分離

36、（會合）點(diǎn)（必要條件）（必要條件）起始角起始角終止角終止角復(fù)極點(diǎn)處的出射角：復(fù)極點(diǎn)處的出射角： 復(fù)零點(diǎn)處的入射角：復(fù)零點(diǎn)處的入射角：虛軸交點(diǎn)虛軸交點(diǎn)（1）滿足特征方程）滿足特征方程 的的 值；值；（2）由勞斯陣列求得（及）由勞斯陣列求得（及K響應(yīng)的值）；響應(yīng)的值）；根之和根之和1111(21),mnjjjikdzdpl11(21)()ijijimnpz pp pjjj ik11(21)()ij ij inmzz zp zjij ik11nnjjjjsp1()()0G jH jj作業(yè)：作業(yè)：-2、4-3、-2022-7-4自動控制原理47有了以上繪制根軌跡的基本法則，在已知系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)(開

37、環(huán)傳遞函數(shù))的情況下，利用這些基本法則，就可以迅速準(zhǔn)確地確定出根軌跡的主要特征和大致圖形。如果需要，再利用根軌跡方程的相角條件。利用試探法確定若干點(diǎn)，就可以繪制出準(zhǔn)確的根軌跡。 繪制根軌跡的一般步驟為：2022-7-4自動控制原理48 根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，求出開環(huán)零、極點(diǎn)，并將它們標(biāo)在復(fù)平面上； 確定根軌跡的分支數(shù)及趨于無窮遠(yuǎn)處根軌跡的條數(shù)； 確定實(shí)軸上的根軌跡； 確定根軌跡的分離點(diǎn)(會合點(diǎn))，并計(jì)算分離角； 計(jì)算根軌跡的出射角和入射角； 確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；2022-7-4自動控制原理49 大體繪出根軌跡的概略形狀； 利用對稱性畫出上、下復(fù)平面的根軌跡； 利用閉環(huán)特征根之和的性質(zhì)估計(jì)

38、根軌跡的走向； 利用相角條件試探確定根軌跡上某些點(diǎn)； 某些系統(tǒng)在復(fù)平面上的根軌跡為圓或圓的一部分時(shí)，求出圓心和半徑。 必要時(shí)，對根軌跡進(jìn)行修正，以畫出系統(tǒng)精確根軌跡。2022-7-4自動控制原理50例例 若已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為： 試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 15(2 . 0) 1(sssK)(sR)(sC)2 . 0() 1()2 . 0() 1() 15(2 . 0) 1()(sssKsssKsssKsGgK2022-7-4自動控制原理51KKg11z2 . 0021pp，1 2 . 00，開環(huán)零點(diǎn)：開環(huán)極點(diǎn)：實(shí)軸上的根軌跡：漸近線：1條，負(fù)實(shí)軸方向分離點(diǎn)：8 . 01

39、2 . 01111dddd分離角：2/3 , 2/畫出根軌跡如圖所示，在復(fù)平面上，有一部分根軌跡為一圓，其圓心為（-1，j0) ，半徑為8 . 0R(1)( )(0.2)gKKsGss s2022-7-4自動控制原理52-0.2-1sj-21z1p2p2022-7-4自動控制原理53 例例 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得：) 121)(131() 15 . 0()(2sssssKsG)22)(3()2()22)(3()2(3)(22sssssKsssssKsGgKKg32022-7-4自動控制原理54 開環(huán)零點(diǎn)： ， 開環(huán)極點(diǎn)：將它們標(biāo)注于復(fù)平

40、面上；實(shí)軸上的根軌跡：漸近線： 條21zjppp1304, 321，320，314114)2()1130(11jjmnzpmjjniia3) 12() 12(kmnka2(2)( )(3)(22)gKsG ss sss2022-7-4自動控制原理55 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，起始角：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：0k603/a1k2k180a603/5a)(180431113343jjppjpzppjj6 .26)906 .26135(451802022-7-4自動控制原理56系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：將 代入上式，整理可得：聯(lián)立求解得：02)6(85234ggKsKsssjs 0)6(5)28(324ggKjK

41、0)6(5028324ggKK00*gK66. 12*gK2022-7-4自動控制原理57 畫出概略根軌跡如圖所示：-1sj-21z1p2p-33p4pa2022-7-4自動控制原理582022-7-4自動控制原理5960 前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規(guī)則是以開環(huán)根軌跡增益可變參數(shù)的，大多制規(guī)則是以開環(huán)根軌跡增益可變參數(shù)的，大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時(shí)候，為了分析數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況。但有時(shí)候，為了分析系統(tǒng)方便起見，或著重研究某個系統(tǒng)參數(shù)系統(tǒng)方便起見，或著重研究某個系統(tǒng)參數(shù)( (如如時(shí)間節(jié)數(shù)、反饋系數(shù)等時(shí)間節(jié)數(shù)、反饋系數(shù)等) )對系統(tǒng)性能的影響

42、，對系統(tǒng)性能的影響，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡，也常常以這些參數(shù)作為可變參數(shù)繪制根軌跡，我們把以非開環(huán)根軌增益作為可變參數(shù)繪制的我們把以非開環(huán)根軌增益作為可變參數(shù)繪制的根軌跡叫做參數(shù)根軌跡根軌跡叫做參數(shù)根軌跡( (或廣義根軌跡或廣義根軌跡) )。一. 參數(shù)根軌跡61 解解 系統(tǒng)的特征方程是系統(tǒng)的特征方程是 或或 用用 去除等式兩邊得去除等式兩邊得2( )( )(1)(1)G s H ss Tss(1)(1)20s Tss22(1)20Tssss22ss22(1)102Tssss62 令令 則有則有 我們稱我們稱 為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中，除

43、時(shí)間常數(shù)函數(shù)。在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中，除時(shí)間常數(shù)T取代了普通根軌跡中開環(huán)根軌跡增益取代了普通根軌跡中開環(huán)根軌跡增益 的的位置外，其形式與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳位置外，其形式與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)完全一致，這樣便可根據(jù)繪制普通根遞函數(shù)完全一致，這樣便可根據(jù)繪制普通根軌跡基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡。軌跡基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡。22(1)( )( )2TssG s H sss1( )( )0G s H s( )( )G s H s*KK63 系統(tǒng)特征方程的最高階次是系統(tǒng)特征方程的最高階次是3，該系統(tǒng)有三條連續(xù)，該系統(tǒng)有三條連續(xù)且對稱于實(shí)軸的根軌跡，根軌跡的終點(diǎn)且對稱于實(shí)軸的根軌跡，根軌跡的終點(diǎn)

44、(T=)是等是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個零點(diǎn)，即效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個零點(diǎn)，即 ；本例中，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)本例中，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)m=3,極極點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)n=2，即，即mn。我們在前面已經(jīng)指出，這種情。我們在前面已經(jīng)指出，這種情況在實(shí)際物理系統(tǒng)中一般不會出現(xiàn)，然而在繪制參況在實(shí)際物理系統(tǒng)中一般不會出現(xiàn)，然而在繪制參數(shù)根軌跡時(shí)，其等效開環(huán)傳遞函數(shù)卻常常出現(xiàn)這種數(shù)根軌跡時(shí)，其等效開環(huán)傳遞函數(shù)卻常常出現(xiàn)這種情況。情況。1, 0321zzz02ss) 1s (Ts12264(3)與與nm情況類似，這時(shí)我們認(rèn)為有情況類似，這時(shí)我們認(rèn)為有m-n條根條根軌跡起始于軌跡起始于S平面的無窮遠(yuǎn)處

45、（無限極點(diǎn)）。平面的無窮遠(yuǎn)處（無限極點(diǎn)）。因此，本例的三條根軌跡的起點(diǎn)因此，本例的三條根軌跡的起點(diǎn)(T=0)分別分別為為 ， 和無窮和無窮遠(yuǎn)處（無限極點(diǎn)）。遠(yuǎn)處（無限極點(diǎn)）。(4)實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上- -1至至- -線段。線段。(5)兩個等效開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角分別為兩個等效開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角分別為 866. 05 . 01jp866. 05 . 02jp3090120120601801p3012pp65(5) 求出根軌跡與虛軸的兩個交點(diǎn)，用求出根軌跡與虛軸的兩個交點(diǎn)，用 代入特征代入特征方程得方程得 由此得到虛部方程和實(shí)部方程分別為由此得到虛部方程和實(shí)部方程分別為

46、 解虛部方程得合理值為解虛部方程得合理值為 ， 代入實(shí)部方程求得代入實(shí)部方程求得 秒，所以秒，所以 為根軌跡為根軌跡與虛軸的兩個交點(diǎn)。與虛軸的兩個交點(diǎn)。 js02j) 1T(jT230) 1T(20T23T1c1Tc1c66sj)(1Tz)(2Tz0)0(2Tp1)0(pT 1p2pT012060-1-0.53)(zT1) 1(jTc) 1(1cTj02ss) 1s (Ts12267 最后繪制出以時(shí)間常數(shù)最后繪制出以時(shí)間常數(shù)T T為可變參數(shù)的根軌跡圖如圖為可變參數(shù)的根軌跡圖如圖4-144-14所示。由根軌跡圖可知，時(shí)間常數(shù)所示。由根軌跡圖可知，時(shí)間常數(shù) 秒時(shí)，秒時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)處

47、于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，T1T1秒時(shí)，根軌跡在秒時(shí)，根軌跡在S S平面右半部，平面右半部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可知，參數(shù)根軌跡在研究非開環(huán)根軌跡系統(tǒng)不穩(wěn)定。由此可知，參數(shù)根軌跡在研究非開環(huán)根軌跡增益對系統(tǒng)性能的影響是很方便的。增益對系統(tǒng)性能的影響是很方便的。 可將繪制參數(shù)根軌跡的方法歸納為下述兩個步驟：可將繪制參數(shù)根軌跡的方法歸納為下述兩個步驟： （1 1）先根據(jù)系統(tǒng)的特征方程求出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)）先根據(jù)系統(tǒng)的特征方程求出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù) （2）根據(jù)繪制普通根軌跡基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡。）根據(jù)繪制普通根軌跡基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡。1TTc( )1( )( )0( )1( )( )( )(

48、)01( )F sG s H sP sG s H sQ sAP sAQ s 11( )( )( )( )P sG s H sAQ s等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)68例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （a a0 0）試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果給該系統(tǒng)增加一試用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果給該系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點(diǎn)，試分析附加開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響。個開環(huán)零點(diǎn)，試分析附加開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響。)as (sK) s (H) s (G2r解:原系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。由于根軌跡的兩條分支全部位于S平面的右半部，故該系統(tǒng)無論 為何值都是不穩(wěn)定的。rK69jsrKrKr

49、K3aa)0(2rKP)0(1rKP)0(3rKP0)as (sK) s (H) s (G2r)as (s)bs (K) s (H) s (G2rjsrKrK1P2P3P1Z)0(rK)0(rK)0(rK)(rK2bababa（a）0baj1P2P3P1Z) 0(rK2abbaba0)(rK)(rK)(rK70由上面的分析可以看出，附加開環(huán)零點(diǎn)可使原由上面的分析可以看出，附加開環(huán)零點(diǎn)可使原來不穩(wěn)定的系統(tǒng)變成穩(wěn)定系統(tǒng)，但附加零點(diǎn)的取來不穩(wěn)定的系統(tǒng)變成穩(wěn)定系統(tǒng)，但附加零點(diǎn)的取值要適當(dāng)，否則便達(dá)不到預(yù)期的目的。值要適當(dāng)，否則便達(dá)不到預(yù)期的目的。 例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試分析附加開環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)性能

50、的影響。)()()(32pspssKsHsGr023 pp解 原系統(tǒng)的根軌跡如圖所示，由圖可看出，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 時(shí)，該系統(tǒng)有兩條根軌跡進(jìn)入S平面右半部成為不穩(wěn)定系統(tǒng)。rcrKK 71 給原系統(tǒng)增加一附加負(fù)實(shí)零點(diǎn)給原系統(tǒng)增加一附加負(fù)實(shí)零點(diǎn) （ ），系統(tǒng)），系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為的開環(huán)傳遞函數(shù)為 此時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)分子與分母的最高階次分別為此時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)分子與分母的最高階次分別為n=3n=3，m=1m=1；n-m=2n-m=2。因此根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角。因此根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別為分別為9090和和-90-90，兩條漸近線垂直于實(shí)軸，它們與，兩條漸近線垂直于實(shí)軸，它

51、們與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)位置視附加零點(diǎn)的取值而改變，分別實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)位置視附加零點(diǎn)的取值而改變，分別討論如下。討論如下。1z01z)()()()(321pspsszsKsHsGr72j1P2P3P0rcKrcKs)()()(32pspssKsHsGr)()()()(321pspsszsKsHsGr1z1p2p3prcKrcK0js0321ppz1z1p2p3p1rK0js1rK1s2snn0213pzp1z1p2p3prKrK0jsrK1s2s3s0123zpp73附加負(fù)實(shí)零點(diǎn)具有將附加負(fù)實(shí)零點(diǎn)具有將S S平面上的根軌跡向左平面上的根軌跡向左“拉拉”的的作用，且附加零點(diǎn)愈靠近虛軸，這種作用，且附加

52、零點(diǎn)愈靠近虛軸，這種“拉力拉力”愈強(qiáng)，愈強(qiáng)，反之亦然。因此選擇合適的附加零點(diǎn)有可能將系統(tǒng)反之亦然。因此選擇合適的附加零點(diǎn)有可能將系統(tǒng)的根軌跡從平面的右半部全部的根軌跡從平面的右半部全部“拉拉”到到S S平面左半部，平面左半部，有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。適當(dāng)選擇附加零點(diǎn)的大小，不僅可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定適當(dāng)選擇附加零點(diǎn)的大小，不僅可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和簡化系統(tǒng)的分析。性，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能和簡化系統(tǒng)的分析。如上例中附加零點(diǎn)可使三階系統(tǒng)簡化成由主導(dǎo)極點(diǎn)如上例中附加零點(diǎn)可使三階系統(tǒng)簡化成由主導(dǎo)極點(diǎn) 所確定的二階系統(tǒng)，適當(dāng)選擇附加零點(diǎn)的大小，就所確定的

53、二階系統(tǒng)，適當(dāng)選擇附加零點(diǎn)的大小，就可以使所確定的二階系統(tǒng)滿足響應(yīng)速度和阻尼比的可以使所確定的二階系統(tǒng)滿足響應(yīng)速度和阻尼比的要求，這在工程實(shí)踐上是很有用的。要求，這在工程實(shí)踐上是很有用的。 2022-7-4自動控制原理74在一些復(fù)雜系統(tǒng)中，包含了正反饋內(nèi)回路，有時(shí)為了分析內(nèi)回在一些復(fù)雜系統(tǒng)中，包含了正反饋內(nèi)回路，有時(shí)為了分析內(nèi)回路的特性，則有必要繪制相應(yīng)的根軌跡，其相角條件為路的特性，則有必要繪制相應(yīng)的根軌跡，其相角條件為在一些非最小相位系統(tǒng)中相角條件為在一些非最小相位系統(tǒng)中相角條件為 具有這類相角條件的相軌跡稱為具有這類相角條件的相軌跡稱為：零度根軌跡：零度根軌跡20 o20 o)(sC)(

54、sR)(sG)( sH)(1sG)(1sH零度根軌跡零度根軌跡以具有正反饋內(nèi)回路的的系統(tǒng)為例。以具有正反饋內(nèi)回路的的系統(tǒng)為例。具有正反饋內(nèi)回路系統(tǒng)如圖所示，外回路是采用負(fù)反饋加以具有正反饋內(nèi)回路系統(tǒng)如圖所示，外回路是采用負(fù)反饋加以穩(wěn)定，為了分析整個系統(tǒng)的性能，通常首先要確定內(nèi)回路的穩(wěn)定，為了分析整個系統(tǒng)的性能，通常首先要確定內(nèi)回路的零、極點(diǎn)，這就相當(dāng)于繪制具有正反饋系統(tǒng)的根軌跡。零、極點(diǎn)，這就相當(dāng)于繪制具有正反饋系統(tǒng)的根軌跡。2022-7-4自動控制原理75l零度根軌跡的繪制零度根軌跡的繪制( )( )1( )( )G ssG s H s)(sR)(sC+)(sH( )G s特征方程：特征方程

55、：0)()(1)(sHsGsF)()()()()(11sDsNKpszsKsGgjnjimigK令根軌跡方程：根軌跡方程： 11()1()miginjjKszsp輻值條件輻值條件： 11202,0,1mnijijsskkkpz輻角條件輻角條件： 由相角條件（由相角條件（ 條件）繪制出的根軌跡，稱條件）繪制出的根軌跡，稱 根軌根軌跡跡 。 變化參數(shù)為根軌跡增益變化參數(shù)為根軌跡增益 。02k0gK11()1()miingjjszKsp2022-7-4自動控制原理76與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比：與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比：模值條件沒有變化。模值條件沒有變化。零度根軌跡的繪制規(guī)則零

56、度根軌跡的繪制規(guī)則只要考慮相角條件所引起的某些規(guī)則的修改只要考慮相角條件所引起的某些規(guī)則的修改gjnjimiKpszs1)()(11輻值條件輻值條件： 輻角條件輻角條件： 規(guī)則規(guī)則3：實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊若實(shí)軸的某一個區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)（開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)+開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為偶數(shù)偶數(shù)。11202,0,1mnijijsskkkpz2022-7-4自動控制原理77規(guī)則規(guī)則6：根軌跡的出射角入射角根軌跡的出射角入射角出射角：出射角：入射角：入射角：mjnijjipjpipjzpi11mijjnjiz

57、jpizjzzi112(0, 1, 2,)kknm與實(shí)軸夾角與實(shí)軸夾角規(guī)則規(guī)則4：漸近線的夾角漸近線的夾角2022-7-4自動控制原理78例：設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別為例：設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別為1)(,)22)(3()2()(2sHssssKsGg試?yán)L制該回路的根軌跡圖。試?yán)L制該回路的根軌跡圖。23,1,11321zpjpjp解：解：（1）（2）實(shí)軸上的根軌跡（實(shí)軸上的根軌跡（- ，-3，-2， ）。）。（3）2mn漸近線漸近線21800 ,1803 1oook（5）出射角）出射角oooooptgarctgarc6 .71)906 .26(45)9021(1

58、1op6 .7120j123jj（4）分離點(diǎn)）分離點(diǎn)8 . 00)24. 67 . 4)(8 . 0(111131212ddddjdjddd2022-7-4自動控制原理79（6）確定臨界開環(huán)增益）確定臨界開環(huán)增益顯然根軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)對應(yīng)的開環(huán)增益為顯然根軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)對應(yīng)的開環(huán)增益為3232)2(0)3(0)1(0)1(0*jjKg13/33/232*ggKKK1)(,)22)(3()2()(2sHssssKsGg10j23jj80解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。 (1)實(shí)軸上的根軌跡是由0至+線段和由-1至-2線段。 (2) 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是0（k = 0）、12

59、0（k = 1）和-120（k = 2）。 ( )( )(1)(2)rKG s H ss ss81sj1)0(PKrrK0120120-1rKrK3)0(PKr)0(2rKP-22)2)(1()()(sssKsHsGr82 自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由它的閉環(huán)極點(diǎn)唯自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由它的閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，其動態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在一確定，其動態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在S S平面上的分布有關(guān)。因此確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)平面上的分布有關(guān)。因此確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在和零點(diǎn)在S S平面上的分布，特別是從已知的開環(huán)零、平面上的分布，特別是從已知的開環(huán)零、極點(diǎn)的分布確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布

60、，是對控制極點(diǎn)的分布確定閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布，是對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析必須首先要解決的問題。解決的方系統(tǒng)進(jìn)行分析必須首先要解決的問題。解決的方法之一，是第三章介紹的解析法，即求出系統(tǒng)特法之一，是第三章介紹的解析法，即求出系統(tǒng)特征方程的根。解析法雖然比較精確，但對四階以征方程的根。解析法雖然比較精確，但對四階以上的高階系統(tǒng)是很困難的。上的高階系統(tǒng)是很困難的。83 根軌跡法是解決上述問題的另一途徑，它是根軌跡法是解決上述問題的另一途徑，它是在已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布的基在已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，研究某礎(chǔ)上，研究某個和某些參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉個和某些參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布