電子線路課件：第5章 大數(shù)定理與中心極限定理x

1、11第5章 大數(shù)定律及中心極限定理關(guān)鍵詞： 大數(shù)定律 中心極限定理25.1 大數(shù)定律一.依概率收斂設(shè)Xn為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，若任給0, 使得則稱Xn依概率收斂于X. 可記為3例如:意思是:當(dāng)a時,Xn落在內(nèi)的概率越來越大.4（ ）.切比雪夫不等式 切比雪夫不等式注：易知 D(X) 越大 的取值越分散56 例1：在n重貝努里試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為0.75，試?yán)闷醣妊┓虿坏仁焦烙媙,使A出現(xiàn)的頻率在0.74至0.76之間的概率不小于0.90。7二.幾個常用的大數(shù)定律1.切比雪夫大數(shù)定律 設(shè)隨機(jī)變量Xk,k=1,2,. 相互獨(dú)立，且有相同的數(shù)學(xué)期望 及 方差 2 ，則即

2、任給 0 , 有8證明:由切比雪夫不等式這里故92.伯努里大數(shù)定律 設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，記fn為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，則證明:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數(shù)定理10大數(shù)定律的重要意義： 貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正因?yàn)檫@種穩(wěn)定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法。 既然頻率nA/n與概率p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過做試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計，這種方法即是在第7章將要介紹的參數(shù)估計法，參數(shù)估計的重要理論基礎(chǔ)之一就

3、是大數(shù)定理。113. 辛欽大數(shù)定律 若Xk,k=1.2,.為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, E(Xk) = , k=1, 2, 則證明:設(shè)D(Xk)=212推論:若Xi,i=1.2,.為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列, E(X1k)= x=,則稱 x 為 X 的上 分位點(diǎn)(數(shù))(01)。 (6) 重要公式19（7）正態(tài)分布的重要性質(zhì)：兩個或多個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合仍是正態(tài)分布即 設(shè) X1,X2,Xn 相互獨(dú)立, 且 i=1,2,n, 則有特別地，設(shè) X1,X2,Xn 相互獨(dú)立, 且 X1,X2,Xn 服從同一分布 , 是 X1,X2,Xn 的算術(shù)平值，則有203.依分布收斂 設(shè)Xn為隨機(jī)變量序列，X

4、為隨機(jī)變量，其對應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x), F(x). 若在F(x)的連續(xù)點(diǎn)，有則稱Xn依分布收斂于X. 可記為則稱Xn滿足中心極限定理21定理1.獨(dú)立同分布的中心極限定理22定理表明:即，在定理的條件下，n充分大時從而23例1.將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于300的概率是多少？解: 設(shè)Xk為第k 次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,100, 則X1 , , X100獨(dú)立同分布.由中心極限定理24補(bǔ)充定理(李雅普諾夫定理)25則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量26李雅普諾夫定理表明:下面介紹的定理是定理的特殊情況.(如實(shí)例中射擊偏差服從正態(tài)分布)27定理2. 德莫佛-拉普拉斯中心極限定理 (De

5、Moivre-Laplace)證明：由于28根據(jù)定理得29定理表明:當(dāng)n充分大時, 即說明正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布,當(dāng)n充分大時, 可以利用下面公式計算二項(xiàng)分布的概率30下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.31例2 在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費(fèi)。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問： (1)保險公司虧本的概率有多大？ (2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元的概率不低于90%，賠償金至多可設(shè)為多少？解 設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6

6、%，設(shè)Y表示保險公司一年的利潤， Y=1000012-1000X32一年內(nèi)死亡人數(shù) X B(n, p), n= 10000，p=0.6%，一年的利潤 Y=1000012-1000X于是由中心極限定理(1) Y01000012-1000X120PY60000=PX60000/a0.9;（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價于34 例3. 某螺絲釘廠廢品率為0.01，問一盒中應(yīng)裝多少個螺絲釘才能使得盒中合格品數(shù)目不少于100個的概率不少于0.95？35例4. 檢驗(yàn)員逐個檢查某種產(chǎn)品，每查一件花10秒時間，有的產(chǎn)品可能要復(fù)查一次而再花10秒時間.假定每一件產(chǎn)品需復(fù)查的概率為1/2，求在8小時內(nèi)檢驗(yàn)員能夠至少檢查1900件的概率.解法一: 設(shè) Xi 為檢查第i 件產(chǎn)品所花時間,則36于是,檢查1900件所花時間為 ,則在8小時內(nèi)檢驗(yàn)員能夠至少檢查1900件的概率為37解法二: 設(shè)X為1900件產(chǎn)品中需復(fù)查的件數(shù),Y為檢查1900件產(chǎn)品所花時間,則 .在8小時內(nèi)檢驗(yàn)員能夠至少檢查1900件的概率為38 例4：設(shè)某工廠有400臺同類機(jī)器，各臺機(jī)器發(fā)生故障的概率都是0.02，各臺機(jī)器工作是相互獨(dú)立的，試求機(jī)器出故障的臺數(shù)不小于2的概率。39小結(jié)（）切比雪夫不等式（）大數(shù)定理切比雪夫大數(shù)定律 獨(dú)立同期望方差伯努里大數(shù)定律 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)辛欽大數(shù)定律 獨(dú)立同分布40(3