向心繩桿模型賈俊明

1、勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的桿繩模型(專(zhuān)題）2013年3月22日賈俊明分析解決圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本步驟：1.明確研究對(duì)象明確研究對(duì)象2.分析運(yùn)動(dòng)：確定圓周運(yùn)動(dòng)所在的平面，明確圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡、分析運(yùn)動(dòng)：確定圓周運(yùn)動(dòng)所在的平面，明確圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡、半徑、圓心位置及運(yùn)動(dòng)量。寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)需要的向心力。半徑、圓心位置及運(yùn)動(dòng)量。寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)需要的向心力。3.分析受力，沿半徑方向各個(gè)力的合力提供向心力。分析受力，沿半徑方向各個(gè)力的合力提供向心力。4.據(jù)牛頓第二定律列方程據(jù)牛頓第二定律列方程F供供=F需，需，并求解。并求解。勻速圓周運(yùn)動(dòng)基本問(wèn)題：勻速圓周運(yùn)動(dòng)基本問(wèn)題： 供供（受力）（受力） 需需 （ 運(yùn)動(dòng)）運(yùn)動(dòng)） 知識(shí)點(diǎn)回顧

2、知識(shí)點(diǎn)回顧半徑不變以一定的半徑不變以一定的V或或或或T做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)F需需 沿半徑方向的合力沿半徑方向的合力F供供來(lái)來(lái)提供（即向心力來(lái)源）提供（即向心力來(lái)源）m2rrT4 m22問(wèn)題一 ： 長(zhǎng)為 r 的輕繩拴著 質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，小球的速度為V 求繩的拉力大?。咳粼谧畹忘c(diǎn)角速度為時(shí)拉力又為多少呢？V問(wèn)題二：長(zhǎng)為 r 的輕繩拴著 質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，小球的速度為V 求繩的拉力大小？（注繩的拉力不為零）V問(wèn)題三問(wèn)題三：當(dāng)小球在最高點(diǎn)的：當(dāng)小球在最高點(diǎn)的V 逐漸增大或減小時(shí)求繩的逐漸增大或減小時(shí)求繩的拉拉 力大小如何變化

3、？力大小如何變化？問(wèn)題四：?jiǎn)栴}四：當(dāng)小球在通過(guò)最高當(dāng)小球在通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)繩拉點(diǎn)時(shí)繩拉 力大小減小為零時(shí)，力大小減小為零時(shí)，小球的速度大小又是多少呢？小球的速度大小又是多少呢？問(wèn)題五：?jiǎn)栴}五：當(dāng)物體的速度小于臨界速度當(dāng)物體的速度小于臨界速度時(shí)物體能否過(guò)最高點(diǎn)？如果不能過(guò)時(shí)物體能否過(guò)最高點(diǎn)？如果不能過(guò)最高點(diǎn)物體做何運(yùn)動(dòng)？最高點(diǎn)物體做何運(yùn)動(dòng)？自己動(dòng)手試試：自己動(dòng)手試試：小球在小球在光滑軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，光滑軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫(xiě)出小球在最低點(diǎn)速度寫(xiě)出小球在最低點(diǎn)速度為為V1及最高點(diǎn)速度為及最高點(diǎn)速度為V2時(shí)對(duì)軌道壓力的表達(dá)式時(shí)對(duì)軌道壓力的表達(dá)式（已知球質(zhì)量（已知球質(zhì)量m 半徑為半徑為 r ）（1 1）小球能

4、過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件（受力）小球能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件（受力）：繩子和軌道對(duì)小球剛好沒(méi)有力的作用繩子和軌道對(duì)小球剛好沒(méi)有力的作用：（2 2）小球能過(guò)最高點(diǎn)條件（運(yùn)動(dòng)）小球能過(guò)最高點(diǎn)條件（運(yùn)動(dòng)）： （3 3）不能過(guò)最高點(diǎn)條件：）不能過(guò)最高點(diǎn)條件： V V （實(shí)際上球還沒(méi)有到最高點(diǎn)時(shí)，就脫離了軌道）（實(shí)際上球還沒(méi)有到最高點(diǎn)時(shí)，就脫離了軌道）RgvmmgR臨界2rgv rg（當(dāng) 時(shí)，繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力）歸納歸納：rgv 小試牛刀：質(zhì)量為m的小球連在長(zhǎng)為L(zhǎng)輕桿上，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)若在最低點(diǎn)角速度為 請(qǐng)寫(xiě)出球?qū)U作用力大小的表達(dá)式做一做：做一做：連著輕桿的小球能過(guò)連著輕桿的小球能過(guò)最高

5、點(diǎn)的最小速度是多少？最高點(diǎn)的最小速度是多少？勇于探索：勇于探索：桿對(duì)小球的作用力桿對(duì)小球的作用力方向與速度大小有何關(guān)系？作方向與速度大小有何關(guān)系？作用力的大小與速度有何關(guān)系？用力的大小與速度有何關(guān)系？ 放飛思想：放飛思想：若質(zhì)量為若質(zhì)量為m的小球在半徑為的小球在半徑為r的的光滑圓管中做圓周運(yùn)動(dòng)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)光滑圓管中做圓周運(yùn)動(dòng)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是什么？球?qū)苌?、下壁的壓的臨界條件是什么？球?qū)苌?、下壁的壓力與小球的速度是什么關(guān)系？力與小球的速度是什么關(guān)系？ 輕繩模型輕桿模型常見(jiàn)類(lèi)型特點(diǎn) 在最高點(diǎn)時(shí)，沒(méi)有物體支撐，只能產(chǎn)生拉力輕桿對(duì)小球既能產(chǎn)生拉力，又能產(chǎn)生支持力 這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？

6、處理圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的步驟：1.明確研究對(duì)象明確研究對(duì)象2.分析運(yùn)動(dòng)：確定圓周運(yùn)動(dòng)所在的平面，明確圓周運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)：確定圓周運(yùn)動(dòng)所在的平面，明確圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡、半徑、圓心位置寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)需要的向心力。的軌跡、半徑、圓心位置寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)需要的向心力。3.分析受力并求出沿半徑方向各個(gè)力的合力分析受力并求出沿半徑方向各個(gè)力的合力。此合力提。此合力提供向心力。供向心力。4.據(jù)牛頓第二定律列方程據(jù)牛頓第二定律列方程F供供=F需，需，并求解。并求解。2、學(xué)會(huì)了對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)繩、桿及管、學(xué)會(huì)了對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)繩、桿及管道的上、下壁是否有作用力及作用力的方向以及是否道的上、下壁是否有作用力及作用

7、力的方向以及是否能做圓周運(yùn)動(dòng)是能做圓周運(yùn)動(dòng)是由物體的速度來(lái)決定的。由物體的速度來(lái)決定的。而這用作參而這用作參考的速度就是臨界速度考的速度就是臨界速度一個(gè)處理問(wèn)題的一個(gè)處理問(wèn)題的步驟步驟及分析問(wèn)題的及分析問(wèn)題的方法方法rg一、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題 對(duì)于物體在豎直面內(nèi)做的圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)于物體在豎直面內(nèi)做的圓周運(yùn)動(dòng)是一種是一種典型的變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)典型的變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，該類(lèi)運(yùn)，該類(lèi)運(yùn)動(dòng)常有動(dòng)常有臨界問(wèn)題臨界問(wèn)題，題中常出現(xiàn)題中常出現(xiàn)“最最大大”“”“最小最小”“”“剛好剛好”等詞語(yǔ)，常分等詞語(yǔ)，常分析兩種模型析兩種模型輕繩模型和輕桿模型輕繩模型和輕桿模型，分析比較如下：分析比較如下：豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)

8、動(dòng)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng) 1.1.輕繩模型輕繩模型 ：能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件：能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件：RgvmmgR臨界2小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力剛好小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力剛好等于等于0 0，小球的重力充當(dāng)圓周運(yùn)，小球的重力充當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力。動(dòng)所需的向心力。圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng) 2.2.輕桿模型輕桿模型 ：能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件（運(yùn)動(dòng)）：（運(yùn)動(dòng)）：0臨界vrgvrgv 歸納：歸納：桿與繩不同，它既能產(chǎn)生拉力，也能產(chǎn)生壓力桿與繩不同，它既能產(chǎn)生拉力，也能產(chǎn)生壓力能過(guò)最高點(diǎn)能過(guò)最高點(diǎn)v臨界臨界0，此時(shí)支持力，此時(shí)支持力N

9、mg；rgv0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，N N為支持力，有為支持力，有0 0N Nmgmg，且，且N N隨隨v v的增大而減??；的增大而減小；當(dāng) 時(shí)，N0；當(dāng)當(dāng) ，N為拉力，有為拉力，有N0，N隨隨v的增大而增大的增大而增大質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道的內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)而不脫離軌道的臨界速度為v，當(dāng)小球以2v的速度經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力是 （ ）A0 Bmg C3mg D5mgC例例2 2、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為L(zhǎng) L0.5m0.5m的輕質(zhì)細(xì)桿的輕質(zhì)細(xì)桿OAOA，A A端有一質(zhì)量端有一質(zhì)量為為m m3.0kg3.0kg的小球，如圖的小球，如圖5 5所示，小球以所示，小球以O(shè) O點(diǎn)為圓心點(diǎn)為圓心在

10、豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)小球的速在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)小球的速率是率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，則此時(shí)細(xì)桿，則此時(shí)細(xì)桿OAOA受到受到（）（）A A、6.0N6.0N的拉力的拉力B B、6.0N6.0N的壓力的壓力C C、24N24N的拉力的拉力D D、24N24N的壓力的壓力B練習(xí)練習(xí):用鋼管做成半徑為用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓環(huán)的光滑圓環(huán)(管徑遠(yuǎn)小管徑遠(yuǎn)小于于R)豎直放置豎直放置,一小球一小球(可看作質(zhì)點(diǎn)可看作質(zhì)點(diǎn),直徑略小于管徑直徑略小于管徑)質(zhì)質(zhì)量為量為m=0.2kg在環(huán)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)在環(huán)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),求求:小球通過(guò)最高

11、點(diǎn)小球通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)時(shí),下列兩種情況下球?qū)鼙诘淖饔昧?。下列兩種情況下球?qū)鼙诘淖饔昧Α?取取g=10m/s2A的速率為的速率為1.0m/sA的速率為的速率為4.0m/s 7/6/2022解解：AOm先求出桿的彈力為先求出桿的彈力為0的速率的速率v0mg=mv02/l v02=gl=5v0=2.25 m/s (1) v1=1m/s v0 球應(yīng)受到外壁向下的支持力球應(yīng)受到外壁向下的支持力N2如圖所示如圖所示:AOmFN2mg得得 FN2 =4.4 N由牛頓第三定律由牛頓第三定律,球?qū)鼙诘淖饔昧Ψ謩e為球?qū)鼙诘淖饔昧Ψ謩e為:(1)對(duì)內(nèi)壁對(duì)內(nèi)壁1.6N向下的壓力向下的壓力;(2)對(duì)外壁對(duì)外壁4.4

12、N向上的向上的壓力。壓力。lmvFmgN211 lmvFmgN222lmvFmgN2227/6/2022例3：輕桿長(zhǎng)L=1m,其兩端各連接質(zhì)量為1kg的小球，桿可繞距B端0.2m處的軸o在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，輕桿由水平靜止轉(zhuǎn)至豎直方向，A球在最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為4m/s，求此時(shí)B球?qū)U的作用力oABBAVA=4VBrA=0.8rB=0.2mgFB研研B B最高點(diǎn)，據(jù)牛二律最高點(diǎn)，據(jù)牛二律 mg+FB= m2rB解解 ABAB在同一個(gè)物體上同一時(shí)刻在同一個(gè)物體上同一時(shí)刻相同相同 在B通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)FB= m2rB mg= 1520.2 110=5牛牛由題意，由題意，OBOB桿對(duì)桿對(duì)B B球作用力方向

13、向上球作用力方向向上據(jù)牛三律據(jù)牛三律 B B球?qū)η驅(qū)BOB桿作用力向下，大小為桿作用力向下，大小為5N5NAAV45(rad / s)r0.8=7/6/2022AOB22.(2 ):(2 )BLgLg22.():()CLgLg22.():()DLgLg8如圖所示，長(zhǎng)為2L的輕桿，兩端各固定一小球，A球質(zhì)量為m1，B球質(zhì)量m2。過(guò)桿的中點(diǎn)O有一水平光滑固定軸，桿可繞軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置且A球在上端、B球在下端時(shí)桿的角速度為，此時(shí)桿對(duì)轉(zhuǎn)軸的作用力為零，則A、B小球的質(zhì)量之比為（ ）A 1：1 D7/6/2022例1：如圖所示，光滑圓盤(pán)中心有一個(gè)小孔，用細(xì)繩穿過(guò)小孔，兩端各系一小球

14、A B，A B等質(zhì)量，盤(pán)上的小球A做半徑為r=20cm的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要保持B球靜止，A球的角速度多大？=？FmgF解：隔離解：隔離A A，據(jù)，據(jù) 牛二律牛二律 F= m2r 隔離隔離B B， F = mg 聯(lián)立解得聯(lián)立解得=gr=100.2=5 2(Rad/s)r=0.2實(shí)例研究實(shí)例研究連接體問(wèn)題連接體問(wèn)題7/6/2022例2：細(xì)繩一段系一質(zhì)量為M=0.6千克,的物體,靜止在水平面上,另一端通過(guò)光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3千克的物體,M的中心距圓孔0.2米,已知M與水平面間的最大靜摩擦力是2牛,現(xiàn)使此平面繞中心軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng),問(wèn)在什么范圍內(nèi)m會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài) =？FmgF解：研解：研A A即將向圓心滑

15、動(dòng)狀態(tài)，據(jù)牛二律即將向圓心滑動(dòng)狀態(tài)，據(jù)牛二律 F= 隔離隔離B B， F = mg r=0.2Mga1Nf21mr聯(lián)得1m g-f=Mr3-2=0.60.2研研A A即將背離圓心滑動(dòng)狀態(tài)，據(jù)牛二律即將背離圓心滑動(dòng)狀態(tài)，據(jù)牛二律=？FFMgaNfmg F=22mr 隔離隔離B B， F = mg 聯(lián)得2m g+f=Mr3+2=0.60.253=(rad/s)3515=(rad/s)37/6/2022例例3 3 如圖如圖6-11-96-11-9所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓所示，固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧形軌道弧形軌道ABCDABCD，其，其A A點(diǎn)與圓心等高，點(diǎn)與圓心等高，D D點(diǎn)為軌道最高點(diǎn)，

16、點(diǎn)為軌道最高點(diǎn)，DBDB為豎直線(xiàn)，為豎直線(xiàn)，ACAC為水平線(xiàn)，為水平線(xiàn)，AEAE為水平面，今使小球自為水平面，今使小球自A A點(diǎn)正上方某處由靜止釋放，且從點(diǎn)正上方某處由靜止釋放，且從A A點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道運(yùn)點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道運(yùn)動(dòng)，通過(guò)適當(dāng)調(diào)整釋放點(diǎn)的高度，總能保證小球最終動(dòng)，通過(guò)適當(dāng)調(diào)整釋放點(diǎn)的高度，總能保證小球最終通過(guò)最高點(diǎn)通過(guò)最高點(diǎn)D D，則小球在通過(guò)，則小球在通過(guò)D D點(diǎn)后（點(diǎn)后（ ）A A會(huì)落到水平面會(huì)落到水平面AEAE上上 B B一定會(huì)再次落到圓軌道上一定會(huì)再次落到圓軌道上C C可能會(huì)落到水平面可能會(huì)落到水平面AEAE上上 D D可能會(huì)再次落到圓軌道上可能會(huì)再次落到圓軌道上A A在水平面上

17、做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度在水平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度變化時(shí)，變化時(shí)，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的（半徑有變化）趨勢(shì)。物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的（半徑有變化）趨勢(shì)。這時(shí)，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個(gè)力這時(shí)，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向朝哪（特別是一些是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向朝哪（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力，接觸面的支持力接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力，接觸面的支持力等）。等）。二、在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題二、在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題例例4 4 如圖細(xì)繩一端系著質(zhì)量如圖細(xì)繩一端系著質(zhì)量M M0.6kg0.6kg的物體，

18、靜止在的物體，靜止在水平面上，另一端通過(guò)光滑的小孔吊著質(zhì)量水平面上，另一端通過(guò)光滑的小孔吊著質(zhì)量m m0.3kg0.3kg的物體，的物體，M M與圓孔距離為與圓孔距離為0.2m0.2m，并知，并知M M和水平面的最大和水平面的最大靜摩擦力為靜摩擦力為2N2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)角速?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)角速度度在什么范圍在什么范圍m m會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？ （g g10m10ms s2 2）Mrom 解析解析 要使要使m m靜止，靜止，m m也應(yīng)與平面相對(duì)靜止，而也應(yīng)與平面相對(duì)靜止，而m m與平面靜止時(shí)有兩個(gè)臨界狀態(tài)：與平面靜止時(shí)有兩個(gè)臨界狀態(tài)：當(dāng)當(dāng)為所求范圍最小值時(shí)，為所求范圍最小值時(shí)，m m有向著圓心運(yùn)動(dòng)的有向著圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，水平面對(duì)趨勢(shì)，水平面對(duì)m m的靜摩擦力的方向背離圓心，的靜摩擦力的方向背離圓心，大小等于最大靜摩擦力大小等于最大靜摩擦力2 N.2 N.此時(shí)，對(duì)此時(shí)，對(duì)m m運(yùn)用牛頓第二定律，運(yùn)用牛頓第二定律，有有T Tf fmaxmaxm mr r ，且，且T Tmgmg解得解得1 12.9 rad/s.2.9 rad/s.當(dāng)當(dāng)為所求范圍最大值時(shí)，為所求范圍最大值時(shí)，