高三函數(shù)與方程思想-含有參變量的函數(shù)方程問題.

1、含有參變量的函數(shù)問題含有參變量的函數(shù)問題進修實驗學校進修實驗學校 侯天新侯天新 含有參變量的函數(shù)問題一直是全國各省高考命題含有參變量的函數(shù)問題一直是全國各省高考命題的熱點和難點，它綜合了函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化劃歸思的熱點和難點，它綜合了函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化劃歸思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，對學生的各方面想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，對學生的各方面能力要求也比較高，包括運算能力、邏輯思維能力、能力要求也比較高，包括運算能力、邏輯思維能力、抽象思維能力等等，而且涵蓋的知識覆蓋面時間跨度抽象思維能力等等，而且涵蓋的知識覆蓋面時間跨度大、覆蓋范圍大，因此成為學生的難點。同時此類題大、覆蓋范圍大，因此成

2、為學生的難點。同時此類題目可易可難，不好判斷，很難取舍。目可易可難，不好判斷，很難取舍。思考函數(shù)問題要有幾個好習慣！思考函數(shù)問題要有幾個好習慣！ 函數(shù)的定義域 函數(shù)是否有特殊點（原函數(shù)、導函數(shù)） 函數(shù)是否有特殊性質(zhì) 函數(shù)是否可以轉(zhuǎn)化 二次函數(shù)“四方面” 開口、對稱軸、判別式、特殊點 借助導數(shù)，形成草圖 分類討論分類討論 分與合換位分與合換位 反客為主、遷移轉(zhuǎn)換反客為主、遷移轉(zhuǎn)換關于分類討論的幾個問題：關于分類討論的幾個問題：1.1.為什么要分類討論？為什么要分類討論？2.2.哪些情況下要進行分類討論？哪些情況下要進行分類討論？3.3.分類討論的區(qū)間是如何產(chǎn)生和確定的？分類討論的區(qū)間是如何產(chǎn)生和

3、確定的？4.4.分類討論的結(jié)果如何處理？分類討論的結(jié)果如何處理？函數(shù)、方程、不等式分類討論函數(shù)、方程、不等式分類討論 對于含參變量的函數(shù)、不等式與方程求解問題對于含參變量的函數(shù)、不等式與方程求解問題, ,有時存在不確定因素，就需要先對參變數(shù)可能取值情有時存在不確定因素，就需要先對參變數(shù)可能取值情況逐一討論，然后在此制約下解決相關問題。況逐一討論，然后在此制約下解決相關問題。 要注重總結(jié)哪些情況經(jīng)常產(chǎn)生不確定因素。要注重總結(jié)哪些情況經(jīng)常產(chǎn)生不確定因素。 分類討論在導函數(shù)問題中經(jīng)?？疾?。分類討論在導函數(shù)問題中經(jīng)?？疾臁＃? 1）最高次項系數(shù)符號不確定）最高次項系數(shù)符號不確定（2 2）根是否存在不確

4、定）根是否存在不確定（3 3）根的大小不確定）根的大小不確定（4 4）點是否在區(qū)間內(nèi)不確定）點是否在區(qū)間內(nèi)不確定（5 5）函數(shù)值大小不確定）函數(shù)值大小不確定產(chǎn)生分類討論的不確定因素主要有以下五個；產(chǎn)生分類討論的不確定因素主要有以下五個；（系數(shù)等于（系數(shù)等于0 0）（判別式等于（判別式等于0 0）（兩個根相等）（兩個根相等）（點等于區(qū)間端點）（點等于區(qū)間端點）（函數(shù)值相等）（函數(shù)值相等）確定分界點確定分界點不確定因素不確定因素利用數(shù)軸，根據(jù)分界點在定義域內(nèi)確定分類討論范圍利用數(shù)軸，根據(jù)分界點在定義域內(nèi)確定分類討論范圍討論范圍分別為：討論范圍分別為：cxcxcxbbxbxbxaaxax；說明：等號

5、與不等號是否能夠合并，取決于不確定因說明：等號與不等號是否能夠合并，取決于不確定因素是否一致被確定素是否一致被確定確定分類討論范圍之后，首先在此范圍內(nèi)，將所有的確定分類討論范圍之后，首先在此范圍內(nèi)，將所有的不確定因素明確，然后再在此討論范圍內(nèi)分析解決下不確定因素明確，然后再在此討論范圍內(nèi)分析解決下面的問題面的問題例例1:1:設設Raaxaxaxf),1(3)74()2()(2解關于解關于的不等式的不等式x0)(xf25a解析解析:(1):(1)最高次項系數(shù)的符號不確定；令最高次項系數(shù)的符號不確定；令02 a確定一個討論分界點確定一個討論分界點2a(2)(2)因為因為0)52(2a，根是存在的，

6、不需要討論；，根是存在的，不需要討論；(3)(3)0) 1(3)74()2()(2axaxaxf2130)3)(1()2(21aaxxxaxa，兩個根的大小不確定兩個根的大小不確定, ,令令213aa確定第二個討論分界點確定第二個討論分界點(4)(5)(4)(5)此題不涉及此題不涉及因此分類討論的分界點可以確定為因此分類討論的分界點可以確定為252aa，) 1(3)74()2()(2axaxaxf)3)(1()2(xaxa(1)(1)當當25a時，時，321, 02aaa解不等式為解不等式為(2)(2)當當25a時，時，2)3(21)(xxf不等式解集為不等式解集為R根據(jù)數(shù)軸，可以確定分類討論

7、的范圍根據(jù)數(shù)軸，可以確定分類討論的范圍22225 2525aaaaa；下面是具體的解題過程：下面是具體的解題過程：21aax或或3x(3)(3)當當225a時，時，321, 02aaa解不等式為解不等式為21aax或或3x分類之后，先將所分類之后，先將所有不確定因素明確有不確定因素明確分類為具體值時，分類為具體值時，將具體指代入到最將具體指代入到最原始函數(shù)式原始函數(shù)式(4)(4)當當2a時，時，解不等式為，解不等式為)3 ,(3)( xxf2a時，時，321, 02aaa，解不等式為，解不等式為321xaa(5)(5)當當), 3()21,(aa),21()3 ,(aa3x綜上：綜上：(1)(

8、1)當當25a時，解集為時，解集為(2)(2)當當25a時，解集為時，解集為R(3)(3)當當225a時，解集為時，解集為(4)(4)當當2a時，解集為時，解集為2a時，解集為時，解集為(5)(5)當當)3 21(，aa的對稱軸的對稱軸例例2:2:設函數(shù)設函數(shù))() 12(2)(22Raaxaxxf，求，求)(xf上的最小值上的最小值. .)(xf解析解析: :此題不確定因素不涉及前兩項，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，此題不確定因素不涉及前兩項，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，是否在是否在00，11上不確定上不確定12 ax需要討論，首先確定討論的分界點，再確定分類區(qū)間需要討論，首先確定討論的分界點，再確定分類區(qū)間

9、已知區(qū)間是固定的，而對稱軸是不固定的已知區(qū)間是固定的，而對稱軸是不固定的)(xf即即在在00，11對稱軸相對已知區(qū)間的位置影響函數(shù)在某區(qū)間上的最小值對稱軸相對已知區(qū)間的位置影響函數(shù)在某區(qū)間上的最小值令令21 012aa，令，令0 112aa，所以分類討論的分界點為所以分類討論的分界點為0 21，分類討論范圍為分類討論范圍為0021 21aaa，分類討論的目的是判斷對分類討論的目的是判斷對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)，所以稱軸是否在區(qū)間內(nèi)，所以可以合并可以合并(1)(1)當當，012a時，時，21a2min)0()(afxf(2)(2)當當時，時，021a143) 12()(2minaaafxf下面是具體的

10、解題過程：下面是具體的解題過程：)() 12(2)(22Raaxaxxf函數(shù)函數(shù)的對稱軸為直線的對稱軸為直線12 ax，1120 a綜上：綜上：)0(14)021( 143)21()(222minaaaaaaaaxf(3)(3)當當，112a時，時，0a14) 1 ()(2minaafxf圖像開口向上圖像開口向上例例3. 3. 已知函數(shù)已知函數(shù) 1, 22)(2ttxxxxf，則函數(shù)，則函數(shù))(xf最小值最小值)(tg的最小值為的最小值為_的對稱軸的對稱軸)(xf解析解析: :上不確定上不確定1x的對稱軸是固定的，區(qū)間是不固定的的對稱軸是固定的，區(qū)間是不固定的)(xf即即是否在是否在 1,tt

11、令令11tt，令，令011tt，所以分類討論的分界點為所以分類討論的分界點為1 0，分類討論范圍為分類討論范圍為110 0ttt，下面是具體的解題過程：下面是具體的解題過程：(1)(1)當當0t時，時，11t的對稱軸為直線的對稱軸為直線1x，圖像開口向上，圖像開口向上函數(shù)函數(shù)22)(2xxxf1) 1()(2minttfxf綜上：綜上：) 1(22) 10(1)0(1)()(22minttttttxftg當當0t時，時，112t當當1t時，時，1222 tt所以所以1)(mintg(3)(3)當當，t1時，時，1t22)()(2mintttfxf(2)(2)當當，11tt時，時，10 t1)

12、1 ()(min fxf設函數(shù)設函數(shù)例例4：山東卷：山東卷2015).(),()1ln()(2Raxxaxxf的取值范圍的取值范圍.a（1）討論函數(shù)）討論函數(shù))(xf0)(，0 xfx極值點的個數(shù)，并說明理由；極值點的個數(shù)，并說明理由；（2）若對于任意）若對于任意成立，求成立，求解析：函數(shù)的定義域為解析：函數(shù)的定義域為),1(112)12(11)( 2xaaxaxxaxxf令令12)(2aaxaxxg當當0a時，時，01)1(，0g設方程設方程0)(xg的兩個根分別為的兩個根分別為)(,2121xxxx，則，則211xx所以當所以當),1(2xx時，時，)(,0)( ,0)(xfxfxg單調(diào)增

13、單調(diào)增當當),(2xx時，時，)(,0)( ,0)(xfxfxg單調(diào)減單調(diào)減此時，此時，)(xf只有一個極值點只有一個極值點.“0 0”是怎是怎么確定的么確定的確定因素？確定因素？特殊點？特殊點？當當0a時，時，)( ,01)(xfxg所以所以)(xf在定義域內(nèi)單調(diào)增，函數(shù)沒有極值點在定義域內(nèi)單調(diào)增，函數(shù)沒有極值點當當980a時，時，0)( ,0)(,0 xfxg所以所以)(xf在定義域內(nèi)單調(diào)增，函數(shù)沒有極值點在定義域內(nèi)單調(diào)增，函數(shù)沒有極值點當當98a時，時，0)( ,0)(,0 xfxg所以所以)(xf在定義域內(nèi)單調(diào)增，函數(shù)沒有極值點在定義域內(nèi)單調(diào)增，函數(shù)沒有極值點當當98a時，時，01)1

14、(，0g設方程設方程0)(xg的兩個根分別為的兩個根分別為)(,2121xxxx，且，且2121xx所以所以2141xx，即，即21411xx所以所以當當時，時，),1(1xx)(,0)( ,0)(xfxfxg單調(diào)增單調(diào)增時，時，),(21xxx)(,0)( ,0)(xfxfxg單調(diào)減單調(diào)減當當時，時，),(2xx)(,0)( ,0)(xfxfxg單調(diào)增單調(diào)增當當“這個數(shù)這個數(shù)”是是怎么確定的怎么確定的是否可以合并討論？是否可以合并討論？所以所以)(xf有一個極值點有一個極值點綜上所述：綜上所述：當當0a時，函數(shù)時，函數(shù))(xf在定義域內(nèi)有兩個極值點在定義域內(nèi)有兩個極值點無極值點無極值點當當9

15、80a時，函數(shù)時，函數(shù))(xf有兩個極值點有兩個極值點當當98a時，函數(shù)時，函數(shù))(xf0)0(f（2）根據(jù)（）根據(jù)（1）可得：）可得：在定義域內(nèi)單調(diào)增且在定義域內(nèi)單調(diào)增且當當980a時，函數(shù)時，函數(shù))(xf所以所以0 x成立；成立；0)(xf時，時，當當198a時，時，01)0(ag，則，則02x所以所以)(xf在在),0(x上單調(diào)增，又上單調(diào)增，又0)0(f所以所以0 x成立；成立；0)(xf時，時，“1 1”是怎是怎么確定的么確定的當當1a時，時，01)0(ag，則，則02x所以所以)(xf在在),0(2xx上單調(diào)減，又上單調(diào)減，又0)0(f所以所以),0(2xx0)(xf時，時，不合題

16、意，不合題意. 當當0a時，先證明當時，先證明當),0(x時，時，xx )1ln(恒成立恒成立. 設設xxxh)1ln()(所以當所以當),0(x時，時，0111)( xxh所以所以)(xh在在),0(單調(diào)減，且單調(diào)減，且0)0(h所以當所以當),0(x時，時，xx )1ln(恒成立恒成立. 可得：可得：)11()()(2axaxxxaxxf由此，當由此，當ax11 時，時，0)11()(axaxxf，不合題意，不合題意. 綜上所述：綜上所述：的取值范圍是的取值范圍是a1,0兩個重要結(jié)論兩個重要結(jié)論特殊點？特殊點？例例5 5：全國大綱卷：全國大綱卷20122012設函數(shù)設函數(shù). 0 ,cos)

17、(，xxaxxf(1)(1)討論討論)(xf的單調(diào)性；的單調(diào)性；(2)(2)設設xxfsin1)(，求，求a的取值范圍的取值范圍. .解析解析(1)(1)： 0sin)( ， xxaxf當當1a時，時，0)( xf，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為 0，當當10 a時，令時，令0)( xf，解得，解得axarcsin0或或xaarcsin令令0)( xf，解得，解得axaarcsinarcsin當當0a時，時，時，時， 1 0sin，x0)( xf，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 0，綜上：綜上：當當1a時，單調(diào)增區(qū)間為時，單調(diào)增區(qū)間為 0，當當10 a時，單調(diào)增區(qū)間為時，單調(diào)增區(qū)間為 arcsin(

18、)arcsin 0，aa當當0a時，單調(diào)減區(qū)間為時，單調(diào)減區(qū)間為 0，特殊點？特殊點？分類討論的分類討論的原則？原則？解析解析(2)(2)：設：設xxaxxxfxgcossin1sin1)()( 0 ，x問題轉(zhuǎn)化為當問題轉(zhuǎn)化為當時，時，0)(maxxg，求，求a的取值范圍的取值范圍. . 0 ),4sin(2)sin(cos)( ，xxaxxaxg，則，則 2 22)4sin(2 45 44 ，xx當當22a時，時，)(0)( xgxg，單調(diào)減，單調(diào)減，00)0()(max gxg成立成立當當2a時，時，)(0)( xgxg，單調(diào)增，單調(diào)增，011)()(maxagxg解得解得22a，所以，所

19、以2a不合題意不合題意當當222a時，分別求時，分別求解得：解得： 4 4 0，上的最大值上的最大值21 4 0 ax，時，時，0)( xg 2 1)4sin(2 ，x令令1xx 當當 0 1xx，時，時，)(0)( xgxg，單調(diào)減單調(diào)減當當2 1，xx時，時，)(0)( xgxg，單調(diào)增單調(diào)增, 2 44，x單調(diào)增單調(diào)增與例與例4 4相似相似與例與例4 4相似相似122 4 0 ax，時，時，0)( 2 1)4sin(2 xgx，)( xg單調(diào)減單調(diào)減0)0( g成立成立222 4 ax，時，時， 2 1)4sin(2 ，x令令0)( xg, 45 24，x22)2( 0)0(agg，0)

20、(maxxg因為因為，所以，所以41 a且單調(diào)減，且單調(diào)減，解得：，解得：2xx 當當 4 2xx，時，時，)(0)( xgxg，單調(diào)減單調(diào)減當當 2，xx時，時，)(0)( xgxg，單調(diào)增單調(diào)增 2)(14)4(，agag0)(maxxg因為因為，所以，所以222a綜上綜上2a例例6. 湖南湖南2013已知函數(shù)已知函數(shù))0( . |2|)(aaxaxxf（）記）記)(xf在區(qū)間在區(qū)間4 0 ，上的最大值為上的最大值為)(ag，試求，試求)(ag的表達式；的表達式；（）是否存在）是否存在a，使函數(shù)，使函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間)4 0( ，內(nèi)的圖像內(nèi)的圖像上存在兩點，在該兩點的切線互相垂直

21、？若存在，求上存在兩點，在該兩點的切線互相垂直？若存在，求a的的取值范圍，若不存在，請說明理由取值范圍，若不存在，請說明理由.分析：第（分析：第（）問首先要討論去掉絕對值符號，求出）問首先要討論去掉絕對值符號，求出)(xfy 的分段函數(shù)，然后對各段函數(shù)進行求導求最值的分段函數(shù)，然后對各段函數(shù)進行求導求最值.第（第（）問，先假設存在，根據(jù)已知條件，建立模型求解）問，先假設存在，根據(jù)已知條件，建立模型求解解析（解析（）因為）因為40 0 xa，所以，所以02 ax當當ax 0時，時，axaxaxaxxf22)(當當ax 時，時，axaxxf2)(，即，即 )( 2)0( 2)(axaxaxaxax

22、axxf，當當ax 0時，時，0)2(3)( 2axaxf所以所以)(xf在區(qū)間在區(qū)間 0a，上單調(diào)減，上單調(diào)減，21)0()(max fxf當當ax 時，時，0)2(3)( 2axaxf所以所以)(xf在區(qū)間在區(qū)間) (，a上單調(diào)增，上單調(diào)增，當當10 a時，時，)(xf在在 0a，上單調(diào)減，在上單調(diào)減，在4 ，a上單調(diào)增上單調(diào)增且且02121244)0()4( 244)4(aaaaffaaf，所以所以21)0()(max fxf當當41 a時，時，)(xf在在 0a，上單調(diào)減，在上單調(diào)減，在4 ，a上單調(diào)增上單調(diào)增且且02121244)0()4( 244)4(aaaaffaaf，所以所以a

23、afxf244)4()(max當當4a時，時，)(xf在在4 0 ，上單調(diào)減，上單調(diào)減，21)0()(max fxf綜上：綜上：) 1( 21) 10( 244)(aaaaag，解析（解析（）假設存在滿足條件的）假設存在滿足條件的a值，當值，當4a時，時，)(xf在在)4 0( ，上單調(diào)減，不合題意，所以上單調(diào)減，不合題意，所以40 a設符合條件的兩個切點分別為設符合條件的兩個切點分別為)(xf在在) 0(a，上單調(diào)減，在上單調(diào)減，在)4 ( ，a上單調(diào)增上單調(diào)增由（由（）知：）知：)( ( )( (222111xfxPxfxP，則則4021xax令令22222111)2(3)( )2(3)(

24、 axaxfkaxaxfk，由假設知由假設知1 21kk，即，即1)2(3)2(32221axaaxa整理得：整理得：axaax23221因為因為ax 10，所以，所以aaxa3221因為因為42 xa，所以，所以aaxa24232所以所以1232432axaaa因為因為axaax23221所以所以310 aaa312或或aaaa32432解解aa312得：得：2131 a解解得：得：aaaa32432綜上：綜上：210a即存在即存在21 0( ，a，使函數(shù)，使函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間)4 0( ，內(nèi)的圖像內(nèi)的圖像上存在兩點，在該兩點的切線互相垂直上存在兩點，在該兩點的切線互相垂直.例例7

25、 7：江蘇：江蘇20142014xxeexf)(，其中，其中e（1 1）證明：）證明：是自然對數(shù)的底數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù). .已知函數(shù)已知函數(shù))(xf是是R上的偶函數(shù)；上的偶函數(shù)；（2 2）若關于）若關于x的不等式的不等式1)(mexmfx在在)，0(上恒成立，求實數(shù)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；的取值范圍；（3 3）已知正數(shù)）已知正數(shù)a滿足：存在滿足：存在)，10 x，使得，使得)3()(0300 xxaxf成立，試比較成立，試比較1ae和和1ea的大小，并證明你的結(jié)論的大小，并證明你的結(jié)論. .解析解析:(1):(1)略略(2)(2)因為因為)，0(x，設，設)，1(tex不等式不等式1)(

26、mexmfx在在)，0(上恒成立，即上恒成立，即11)1(mtttm在在)，1(上恒成立，設上恒成立，設)1(1)11()1()(mtmmtmtttmtg222)1(1)( tmmttmmtg222)1(1)( tmmttmmtg當當10m時，時，0)( tg，則，則)(tg在在)，1(單調(diào)增單調(diào)增所以所以0)1()(mgtg，不合題意；，不合題意；當當1m時，令時，令0)(th，則，則，同，不合題意；，同，不合題意；，設，設)1()(2mmtth111，01121mtmt所以當所以當)，1(t時，時，0)( ,0)(tgth當當0m時，令時，令0)(th，則，則111，01121mtmt所以

27、當所以當)，1(2tt時，時，)(，0)( ,0)(tgtgth單調(diào)增單調(diào)增當當)，(2tt時，時，)(，0)( ,0)(tgtgth單調(diào)減單調(diào)減所以所以)1(2)1(-)11()(maxmmmmgtg由題意可知：由題意可知：0)(maxtg，解得：，解得：31-m綜上：綜上：31-，-( m因為因為)，0(x，設，設)，1(tex不等式不等式1)(mexmfx在在)，0(上恒成立，即上恒成立，即11)1(mtttm在在)，1(上恒成立，即上恒成立，即(2)(2)另解另解11)1-1(tttm上恒成立，因為上恒成立，因為01-1tt，即，即111111-11-1112ttttttttm上恒成立

28、，上恒成立，因為因為3111111tt，當且僅當，當且僅當2t時等號成立，時等號成立，所以所以31-m(3)(3)略略設函數(shù)設函數(shù)北京卷北京卷201520151a.1，)2)(4，1，2)(xaxaxxaxfx若若)(xf恰有兩個零點，則實數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)，則，則分段函數(shù)綜合零點問題分段函數(shù)綜合零點問題的最小值為的最小值為_.若若)(xf的取值范圍是的取值范圍是_._.a解析：略解析：略分討論，分界點為分討論，分界點為2，1，21，0aaaa當當0a時，時，02ax，無零點；，無零點；02，0，0)2)(421axaxaxax，無零點；，無零點；當當0a時，時，axax2log，02ax

29、axaxax2，0)2)(421當當210a時，時，1log2a12，1aa，有一個零點；，有一個零點；，無零點，不符合題意；，無零點，不符合題意；當當121a時，時，1log2a12，1aa，有一個零點；，有一個零點；，有一個零點，符合題意；，有一個零點，符合題意；當當21a時，時，1log2a12，1aa，有一個零點；，有一個零點；，有兩個零點，不符合題意；，有兩個零點，不符合題意；當當2a時，時，1log2a12，1aa，無零點；，無零點；，有兩個零點，符合題意；，有兩個零點，符合題意；綜上：綜上：)，2)1，21a已知函數(shù)已知函數(shù)江蘇卷江蘇卷2015,1，2|4|，10，0)(，|ln

30、|)(2xxxxgxxf1|)()(|xgxf則方程則方程實數(shù)根的個數(shù)為實數(shù)根的個數(shù)為_.解析：分類討論，分界點為解析：分類討論，分界點為2，1xx當當10 x時，時，0)(，ln)(xgxxfexxxgxf1，1|ln|)()(|有一個實數(shù)根；有一個實數(shù)根；當當21x時，時，22)(，ln)(xxgxxf，1|2ln|)()(|2xxxgxf，1ln，12ln22xxxx01，0ln2xx因為因為，無實數(shù)根；，無實數(shù)根；或者或者，3ln，12ln22xxxx由圖像可知，有一個實數(shù)根；由圖像可知，有一個實數(shù)根；缺一個圖缺一個圖當當2x時，時，6)(，ln)(2xxgxxf，1|6ln|)()(

31、|2xxxgxf或者或者由圖像可知，有一個實數(shù)根；由圖像可知，有一個實數(shù)根；7ln，16ln22xxxx5ln，16ln22xxxx由圖像可知，有一個實數(shù)根；由圖像可知，有一個實數(shù)根；缺一個圖缺一個圖缺一個圖缺一個圖綜上：共有四個實數(shù)根綜上：共有四個實數(shù)根已知函數(shù)已知函數(shù)天津卷天津卷2015),2()(xfbxg,2，)2(，2|,|2)(2xxxxxfRb恰有恰有4個零點，則個零點，則函數(shù)函數(shù)其中其中.若函數(shù)若函數(shù))()(xgxfyb的取范圍是（的取范圍是（ ）,2)47( D. )47 (0, C. )47,(- B. ) ,47( A.解析：分類討論，分界點為解析：分類討論，分界點為2，

32、0 xx當當0 x時，時，2)(，2)(xbxgxxfbxxxgxfy2)()(2當當20 x時，時，xbxgxxf)(，2)(bxgxfy2)()(當當2x時，時，bxxgxxf4)(，)2()(2bxxxgxfy85)()(2，最多有兩個零點；，最多有兩個零點；，最多有兩個零點；，最多有兩個零點；，無零點或無數(shù)個零點；，無零點或無數(shù)個零點；函數(shù)函數(shù))0，(，21xx022bxxy0852bxxy由題意，問題轉(zhuǎn)化為：由題意，問題轉(zhuǎn)化為：的兩個不等實根的兩個不等實根且函數(shù)且函數(shù))，2(，43xx的兩個不等實根的兩個不等實根第一個問題等價于：第一個問題等價于：0207421bxxb，解得：，解得

33、：247b第二個問題等價于：因為對稱軸直線第二個問題等價于：因為對稱軸直線020742bybx，解得：，解得：247b225x，所以：，所以：綜上：綜上：)2，47(b已知函數(shù)已知函數(shù)湖南卷湖南卷2015.，)(23axxaxxxf的取范圍是的取范圍是_.a若存在實數(shù)若存在實數(shù)bxfxg)()(b，使函數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)有兩個零點，則實數(shù)解析：分類討論，分界點為解析：分類討論，分界點為1，0aa當當0a時，由圖像可知，符合題意時，由圖像可知，符合題意；當當10a時，時，3)(，xxfax單調(diào)增，且單調(diào)增，且3)(aaf2)(，xxfax單調(diào)增，且單調(diào)增，且322)(aaxxf所以函數(shù)

34、所以函數(shù))(xf在定義域內(nèi)單調(diào)增，不符合題意；在定義域內(nèi)單調(diào)增，不符合題意；當當1a時，時，3)(，xxfax單調(diào)增，且單調(diào)增，且3)(aaf2)(，xxfax單調(diào)增，且單調(diào)增，且23xx恒恒成立，符合題意；成立，符合題意；綜上：綜上：)，1()0，(a“1 1”是怎是怎么確定的么確定的分與合換位方法分與合換位方法 函數(shù)、方程問題經(jīng)常出現(xiàn)參變量，在自變量或參變量函數(shù)、方程問題經(jīng)常出現(xiàn)參變量，在自變量或參變量滿足某種條件的情況下設置問題，這時可以采用分離變量滿足某種條件的情況下設置問題，這時可以采用分離變量方法，將參變量和自變量分立與不等號或等號兩側(cè)，轉(zhuǎn)化方法，將參變量和自變量分立與不等號或等號

35、兩側(cè)，轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的問題。需要注意的是轉(zhuǎn)化過程中不等為只含有一個變量的問題。需要注意的是轉(zhuǎn)化過程中不等號方向的變化是否固定，盡量不要出現(xiàn)分類討論情況號方向的變化是否固定，盡量不要出現(xiàn)分類討論情況例例1 1：若：若0139)(,1,(2xxaax恒成立，則恒成立，則a范圍為范圍為_ 的取值的取值解析一：設解析一：設2 ) 31 0(3aamttx，問題轉(zhuǎn)化為：，問題轉(zhuǎn)化為：當當31 0( ，t時，時，01)(2tmttf恒成立，恒成立，當當0m時，二次函數(shù)開口向下，只需時，二次函數(shù)開口向下，只需0)31(0)0(ff解得解得012m當當0m時，時，01)( ttf恒成立，恒成立，當當0m

36、時，二次函數(shù)開口向上，對稱軸直線時，二次函數(shù)開口向上，對稱軸直線021mx只需只需01)0(f，顯然恒成立，顯然恒成立綜上：綜上：12m所以：所以：122aa，解得，解得43a解析二：因為解析二：因為09 x，所以原不等式恒成立等價為，所以原不等式恒成立等價為xxxxaa)31()31(91322恒成立恒成立當當 1,(x時，時，), 3)31(xu), 3,)(2uuuuf12)3()(min fuf所以所以122aa，解得，解得43a，又因為，又因為解析三：關于解析三：關于即即當當 1,(x時，時，), 331x即即43ax3的不等式的不等式0139)(2xxaa因式分解為因式分解為0 1

37、3) 1)(13(xxaa整理成關于整理成關于a的不等式的不等式0)13(3)13(xxxaa0)131()31(xxaa恒成立恒成立13131xxa恒成立恒成立所以所以，3)31(maxx4) 131(minx所以所以例例4 4：已知函數(shù)：已知函數(shù).ln)(xxxf()()討論函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)性; ;()()對于任意正實數(shù)對于任意正實數(shù)恒成立，求實數(shù)恒成立，求實數(shù))(xf21)( kxxf，不等式，不等式xk的取值范圍的取值范圍. .解析解析()()：函數(shù)：函數(shù))(xf的定義域為的定義域為1ln)( ) 0(xxf，令令0)( xf，解得：，解得：ex1，令，令0)( xf，解得：

38、，解得：ex10所以：所以：)(xf在區(qū)間在區(qū)間)1 (0e，上單調(diào)減，在區(qū)間上單調(diào)減，在區(qū)間) 1(，e上單調(diào)增上單調(diào)增. .解析解析()()： 設函數(shù)設函數(shù))0(21ln21)()(xkxxxkxxfxgkxxg1ln)( ，令，令1 0)( kexxg，列表：，列表：0單調(diào)減單調(diào)減極小值極小值單調(diào)增單調(diào)增x)( xg)(xg) 0(1k-e，1k-e) (1，k-e對于任意正實數(shù)對于任意正實數(shù)恒成立，等價于：恒成立，等價于：21)( kxxf，不等式，不等式x對于任意正實數(shù)對于任意正實數(shù)恒成立恒成立0)(minxg，x所以所以0211ke，解得：，解得：2ln1k解析解析()()：對于任

39、意正實數(shù)對于任意正實數(shù)恒成立，恒成立，21)( kxxf，不等式，不等式x等價于等價于: :對于任意正實數(shù)對于任意正實數(shù)恒成立，恒成立，xxxxfk21ln21)(, ,不等式不等式x設設22212211)( 21ln)(xxxxxhxxxh，0)( xh令令，解得：，解得：21x0)( xh，令，令，解得：，解得：21x所以所以2ln1)21()(min hxh，所以，所以2ln1k所以所以2121ln)()(11111minkkkkkekeeeegxg)()()()1()(2xgxgxfxxG221)( ln)(xxgxxf，例例5 5：已知函數(shù)：已知函數(shù)()()設函數(shù)設函數(shù)()()設函數(shù)

40、設函數(shù))()()(xagxfxF，若，若)2 0( ，x，函數(shù)，函數(shù))(xF不存在極值，不存在極值，求實數(shù)求實數(shù)a的取值范圍；的取值范圍；，如果對于任意實數(shù)，如果對于任意實數(shù)， 1 (tx都有不等式都有不等式)()()()(tGxGtxGxtG成立，求實數(shù)成立，求實數(shù)t的最大值的最大值. .解析解析()()：由：由)0(21ln)(2xaxxxF，得，得xaxaxxxF211)( 當當0a時，時，)(0)( xFxF，在在)2 0( ，單調(diào)增，不存在極值點；單調(diào)增，不存在極值點；當當0a時，令時，令0)( xF，解得：，解得：，ax10令令0)( xF，解得：，解得：，ax1)(xF在在)1

41、0(a，單調(diào)增；單調(diào)增；)(xF在在) 1(，a單調(diào)減單調(diào)減. .)2 0( ，x時，函數(shù)時，函數(shù))(xF不存在極值，只需不存在極值，只需21a，即，即410 a綜上：綜上：41a解析解析()()：對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)， 1 (tx)()()()(tGxGtxGxtG不等式不等式恒成立，恒成立，)() 1()() 1(tGxxGt恒成立，因為恒成立，因為tx 1，所以原命題等價于，所以原命題等價于1)(1)(ttGxxG恒成立恒成立. .設設)()(1)()(2xgxfxxGxh，原問題等價于當，原問題等價于當 1 (tx，時，時，)()(thxh恒成立，即恒成立，即)(th為為)(xh最

42、大值最大值. .)0()ln1 (ln4)( ln2)()()(3222xxxxxhxxxgxfxh，令令exxh 0)( ，當，當ex 1 時，時， 0)( ，xh)(xh單調(diào)增，單調(diào)增，當當ex 時，時， 0)( ，xh)(xh單調(diào)減，所以單調(diào)減，所以)()(maxehxh所以所以et ，即，即t的最大值為的最大值為. e等價于等價于因為因為例例6.)0( 022:222kkyxC，已知曲線已知曲線和點和點)4 3()2 1 (，BA線段線段AB總與曲線總與曲線C有公共點，則有公共點，則k的取值范圍是（的取值范圍是（ ）282 253.( 282 223. )2713 223. )25 3

43、2.(，DCBA解析：將已知曲線解析：將已知曲線與線段與線段CAB兩個方程聯(lián)立，然后分離兩個方程聯(lián)立，然后分離k再求出另一部分的值域即可再求出另一部分的值域即可AB由已知，線段由已知，線段的方程為的方程為) 31 ( 1xxy，則則0221222kyxxy，整理得：，整理得：02) 1(2222kxx分離參數(shù)得：分離參數(shù)得：243222xxk函數(shù)圖像開口向上，對稱軸為直線函數(shù)圖像開口向上，對稱軸為直線32x所以所以41)(9xf即即41292 k又因為又因為0k，所以，所以282223 k設設)31 ( 243)(222xxxxfk，故選故選C例例7.（四川（四川2013）設函數(shù)）設函數(shù)xxx

44、mmxxxf4112)(222，若自變量，若自變量為任意正實數(shù)時，為任意正實數(shù)時，x0)(xf恒成立，則恒成立，則m的取值范圍是的取值范圍是_.解析：因為解析：因為04112222xxxmmxx恒成立，即恒成立，即04112) 1(222xxxxxm，即，即0411222xxxxm分離參數(shù)得：分離參數(shù)得：xxxxm411222因為因為0 x，所以，所以24112241122222xxxxxxxx當當xxxx411222，即，即12 x時，等號成立時，等號成立所以所以2m例例8. 已知方程已知方程0)4(2axax在在) 0(，有解，則有解，則a的取值范圍是的取值范圍是_.解析：已知方程整理為解

45、析：已知方程整理為04) 1(2xxxa1x不合題意，所以不合題意，所以01x分離參數(shù)得：分離參數(shù)得：)0( 142xxxxa，設設) 1( 1txt，則，則1tx，代入整理得：，代入整理得：65265562ttttta當當5 5ttt，時，等號成立時，等號成立所以所以526 a例例9.0848)84(222aaxxaa給出不等式給出不等式，當不等式有，當不等式有解時，解時，a的取值范圍是的取值范圍是_. 若不等式恒成立時，若不等式恒成立時，a的取的取值范圍是值范圍是_. 解析：原不等式整理為解析：原不等式整理為xxaa8) 1)(84(22因為因為012x，所以分離參數(shù)得：，所以分離參數(shù)得：

46、188422xxaa設設182xxy，整理得：，整理得：082yxyx當當0y，即，即0 x時，方程有解時，方程有解當當0y時，時，04642y，解得，解得4 0()0 4，y所以所以4 4，y若不等式若不等式188422xxaa有解，只需有解，只需4842 aa，解得：，解得：62a若不等式若不等式188422xxaa恒成立，只需恒成立，只需4842 aa，解得：，解得：222222a例例10. 已知函數(shù)已知函數(shù)，1ln)1()(xxxxf)( xf是導函數(shù)，若是導函數(shù)，若1)( 2axxxxf恒成立，求恒成立，求a的取值范圍的取值范圍.（這是試題第（這是試題第1問，第問，第2問略）問略）解析：易知原函數(shù)的定義域為解析：易知原函數(shù)的定義域為) 0(，xxxxxxxfln11ln1)( ，代入恒成立不等式整理得：，代入恒成立不等式整理得：1)ln1(2axxxxx，分離參數(shù)得：，分離參數(shù)得：xxa ln恒成立恒成立設設xxxxgxxxg111)( ln)(，顯然顯然 1 0( ，x時，時，)( 0)( xgxg，單調(diào)增單調(diào)增) 1 ( ，x時，時，)( 0)( xgxg，單調(diào)減單調(diào)減所以所以1) 1 ()(max gxg故故1a遷移轉(zhuǎn)換思想遷移轉(zhuǎn)換思想反客為主法反客為主法 此類題型是設法將函數(shù)此類題型是設法將函數(shù)f(x)f(x)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)形式形式, ,然后借用