彈性動力學(xué)中的基本波

1、第二章第二章 彈性動力學(xué)中的基本波彈性動力學(xué)中的基本波彈性體的運動表現(xiàn)為在彈性介質(zhì)中傳播的彈性波。彈性體的運動表現(xiàn)為在彈性介質(zhì)中傳播的彈性波。在本章中將介紹彈性波方程以及在均勻各向同性完在本章中將介紹彈性波方程以及在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中彈性波的基本類型和它們的特點。全彈性介質(zhì)中彈性波的基本類型和它們的特點。1、彈性波的控制方程、彈性波的控制方程2、聲波方程的建立、聲波方程的建立3、均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的平面波、均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的平面波4、均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的球面波、均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的球面波5、均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的柱面波、均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中

2、的柱面波6、波動方程的定解問題、波動方程的定解問題222()ugraduFt （1-98） 其中其中u為位移向量，體變?yōu)槲灰葡蛄浚w變 ，F(xiàn) 為體力向量。為體力向量。方程式（方程式（1-98）決定著彈性介質(zhì)運動狀態(tài)，決定著振動在）決定著彈性介質(zhì)運動狀態(tài)，決定著振動在彈性介質(zhì)中的傳播，稱為彈性介質(zhì)中的傳播，稱為拉梅方程拉梅方程。vudixxuexxyuveyxxzuwezxyyveyyzvwezyzzwez222xxxxyyyyzzzzeee xzxzyzyzxyxyeee(1-75)(1-74)下面是本章要用到的第一章中的公式下面是本章要用到的第一章中的公式21 彈性波控制方程彈性波控制方程一

3、、彈性波方程的導(dǎo)出一、彈性波方程的導(dǎo)出 彈性體的運動狀態(tài)由彈性體每一點上的位移向量彈性體的運動狀態(tài)由彈性體每一點上的位移向量u u所決定。所決定。作為質(zhì)點位置坐標(biāo)和時間的函數(shù)，位移向量作為質(zhì)點位置坐標(biāo)和時間的函數(shù)，位移向量u u滿足彈性介質(zhì)運動滿足彈性介質(zhì)運動平衡微分方程式。平衡微分方程式。根據(jù)亥姆霍茲根據(jù)亥姆霍茲( (HelmholtzHelmholtz) )定理，任何一個向定理，任何一個向量場可以表示為一個無源向量場及一個無旋向量場之和量場可以表示為一個無源向量場及一個無旋向量場之和，所以位，所以位移向量移向量u u可以寫作：可以寫作：其中其中 和和 稱為位移位，稱為位移位， 為標(biāo)量位，為

4、標(biāo)量位， 為向量位。為向量位。psuuugrc rladu（2 23 3）u up p為標(biāo)量位的梯度，其旋度為零，稱為無旋場；為標(biāo)量位的梯度，其旋度為零，稱為無旋場；u us s為向為向量位的旋度，其散度為零，稱為無散場；即量位的旋度，其散度為零，稱為無散場；即 和（和（2 23 3）式類似，對體力向量）式類似，對體力向量F F 使用場的分解，使用場的分解，將它分為位場部分將它分為位場部分grad grad 和旋場部分和旋場部分curlcurl，可有：，可有：()0()0curl graddiv curl（24）Fgradcurl（26）將（將（2 23 3）、（）、（2 26 6）代入拉梅方

5、程）代入拉梅方程(1-98)(1-98)，222()()()()()0grad div gradcurlgradcurlgradcurlgradcurlt 222()ugraduFt （1-98）其中除交換微分運算順序外其中除交換微分運算順序外, ,還考慮了還考慮了div curdiv curl =0 =0，2()graddiv 方程式（方程式（2 28 8）、（）、（2 29 9）為非齊次波動方程。）為非齊次波動方程。2222222tt （28）（29）22222(2)0g ra dtcu rlt 整理后可得：整理后可得：（27）在（在（2 27 7）式中若兩個方括號中的式子為零，則方程）式

6、中若兩個方括號中的式子為零，則方程得到滿足。因此我們有：得到滿足。因此我們有：n彈性介質(zhì)運動平衡方程式彈性介質(zhì)運動平衡方程式 分解為：分解為：表明，表明，在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中存在著兩種互相獨在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中存在著兩種互相獨立的波動類型立的波動類型。根據(jù)關(guān)系式。根據(jù)關(guān)系式其中其中 為相對體變，為相對體變， 為彈性介質(zhì)旋轉(zhuǎn)角位移量，前者表為彈性介質(zhì)旋轉(zhuǎn)角位移量，前者表示介質(zhì)的脹縮應(yīng)變，后者表示介質(zhì)的旋轉(zhuǎn)運動。示介質(zhì)的脹縮應(yīng)變，后者表示介質(zhì)的旋轉(zhuǎn)運動。2222222tt 二、縱波和橫波二、縱波和橫波2divucurlu這樣以這樣以 標(biāo)量位為未知函數(shù)的波動方程式（標(biāo)量位為未知函數(shù)的

7、波動方程式（2 28 8）描述）描述的是介質(zhì)某一區(qū)域的體積變化的是介質(zhì)某一區(qū)域的體積變化即膨脹或壓縮。在這種即膨脹或壓縮。在這種狀態(tài)下介質(zhì)質(zhì)點圍繞其平衡位置作前進或返回的往返運狀態(tài)下介質(zhì)質(zhì)點圍繞其平衡位置作前進或返回的往返運動，單元體不作旋轉(zhuǎn)。這種類型的波動稱為縱波，經(jīng)常動，單元體不作旋轉(zhuǎn)。這種類型的波動稱為縱波，經(jīng)常用用P P 表示，也稱表示，也稱P P波波。不難看出，不難看出，div us=div ( curl )=0。此處考慮了此處考慮了u us s為無散的旋度場為無散的旋度場2()()0psppdivudiv uudivucurlucurl grad (2-10)由方程式（由方程式（2

8、 29 9）所描述的是另一類型的波動。）所描述的是另一類型的波動。 在這種情況下運動形式是彈性介質(zhì)單元體旋轉(zhuǎn)，在這種情況下運動形式是彈性介質(zhì)單元體旋轉(zhuǎn)，而不發(fā)生膨脹或壓縮現(xiàn)象。這種類型的波動，其質(zhì)點位而不發(fā)生膨脹或壓縮現(xiàn)象。這種類型的波動，其質(zhì)點位移方向與振動傳播方向相垂直，因而得名為橫波，經(jīng)常移方向與振動傳播方向相垂直，因而得名為橫波，經(jīng)常用用S S表示，也稱表示，也稱S S波波。此處考慮了此處考慮了u up p為無旋場，為無旋場，curl upcurl (grad )=0。2()()()0psscurlucurl uucurl curldivudiv curl(2-11)當(dāng)當(dāng)外力作用停止外

9、力作用停止以后或在以后或在沒有外力作用的介質(zhì)沒有外力作用的介質(zhì)部分，討部分，討論已經(jīng)發(fā)生的彈性振動在介質(zhì)中的傳播情況，論已經(jīng)發(fā)生的彈性振動在介質(zhì)中的傳播情況，使用齊次使用齊次波動方程。波動方程。在式（在式（2 28 8）和式（）和式（2 29 9）中）中令令 ，可有：，可有：0,0 222222200tt（213）（212）三、波動方程的一般形式三、波動方程的一般形式 在彈性介質(zhì)中存在兩種類型的波，縱波和橫波。其齊在彈性介質(zhì)中存在兩種類型的波，縱波和橫波。其齊次方程可歸納為：次方程可歸納為：其中其中f=f(x，y，z，t) 為波函數(shù)，可以代表表示縱波和橫為波函數(shù)，可以代表表示縱波和橫波的各種物

10、理量，如波的各種物理量，如位移位、體變位移位、體變等，等，C表示波的傳播表示波的傳播速度速度縱波傳播速度：縱波傳播速度：橫波傳播速度：橫波傳播速度：22221ffCt(2-16)2PSVV(2-17)(2-18)取縱波和橫波傳播速度之比取縱波和橫波傳播速度之比 ，用用E E 和和v v 表示表示 、 ，并代入式（，并代入式（2-192-19），可得：），可得：可見縱波速度大于橫波速度。對自然界中常見的巖石可見縱波速度大于橫波速度。對自然界中常見的巖石來說，來說， , ,即即 =0.25=0.25。具有這種性質(zhì)的物體稱為。具有這種性質(zhì)的物體稱為泊松體泊松體。對泊松體而言，。對泊松體而言， 1.7

11、31.73；2(2-19)2(1)11 2(2-20) 總結(jié)：總結(jié)：在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中，縱波和在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中，縱波和橫波彼此獨立存在和傳播，在非均勻介質(zhì)中，縱波和橫橫波彼此獨立存在和傳播，在非均勻介質(zhì)中，縱波和橫波彼此不能分開、獨立傳播，即縱波能產(chǎn)生橫波，橫波波彼此不能分開、獨立傳播，即縱波能產(chǎn)生橫波，橫波也能產(chǎn)生縱波。也能產(chǎn)生縱波。拉梅方程拉梅方程 對上式取散度對上式取散度 對上式取旋度對上式取旋度2222divFt222curlFt222()ugraduFt 2PVSV四、初值與邊值條件四、初值與邊值條件n波動方程一般有無限多的解。求解波動方程，確定波動方程一般有無

12、限多的解。求解波動方程，確定位移場唯一解，要求給出補充條件位移場唯一解，要求給出補充條件初值條件和初值條件和邊值條件。邊值條件。n首先，求出波動方程的通解。首先，求出波動方程的通解。n其次，根據(jù)給定的初值、邊值條件確定待定系數(shù)。其次，根據(jù)給定的初值、邊值條件確定待定系數(shù)。n滿足條件的解為定解。滿足條件的解為定解。 如果要求確定在時間間隔如果要求確定在時間間隔00，t tm m ， 內(nèi)的波函數(shù)值，或稱為波場值，要求給出波函數(shù)及其對內(nèi)的波函數(shù)值，或稱為波場值，要求給出波函數(shù)及其對時間偏導(dǎo)數(shù)在時間偏導(dǎo)數(shù)在t t0 0時在所有求解區(qū)域上的值：時在所有求解區(qū)域上的值：稱為初值條件。如果在稱為初值條件。如

13、果在t=0t=0時刻以前介質(zhì)是靜止的，其時刻以前介質(zhì)是靜止的，其位移等于零，則初始條件應(yīng)是：位移等于零，則初始條件應(yīng)是：(2-22)00( , , )( , )tfx y z tfx y z(2-21)0mtt ( , , , )0( , , , )0oofx y z tfx y z t0( , )ffx y zt0t 這種形式的初值條件意味著除了給定的以外，這種形式的初值條件意味著除了給定的以外，在介質(zhì)中沒有任何形式的震源。在介質(zhì)中沒有任何形式的震源。 邊值條件邊值條件包括在波函數(shù)求解包括在波函數(shù)求解區(qū)域邊界上區(qū)域邊界上給定待求給定待求解的函數(shù)值和在求解區(qū)域解的函數(shù)值和在求解區(qū)域內(nèi)部介質(zhì)分界

14、面上內(nèi)部介質(zhì)分界面上給定的連給定的連續(xù)條件，前者稱為續(xù)條件，前者稱為邊界條件邊界條件，后者稱為，后者稱為分界面連續(xù)條分界面連續(xù)條件。件。三類邊界條件：三類邊界條件：1 1、在函數(shù)求解區(qū)域的邊界、在函數(shù)求解區(qū)域的邊界S S上給定上給定t t大于等于大于等于0 0時，待時，待求解的函數(shù)值，求解的函數(shù)值，這樣的邊界條件稱為這樣的邊界條件稱為位移邊界或狄里赫利邊界條件；位移邊界或狄里赫利邊界條件；2 2、在函數(shù)求解區(qū)域的邊界、在函數(shù)求解區(qū)域的邊界S S上給定上給定t t大于等于大于等于0 0時，待時，待求解的函數(shù)對邊界外法線求解的函數(shù)對邊界外法線n n的導(dǎo)數(shù)值，的導(dǎo)數(shù)值，1( , , , )( , ,

15、 , ),0sf x y z tf x y z t t(2-23)1S( , , , )0ffx y z ttn(2-24) 這樣的邊界條件稱為這樣的邊界條件稱為應(yīng)力邊界條件或諾埃曼邊界條件應(yīng)力邊界條件或諾埃曼邊界條件3 3、在部分邊界、在部分邊界S1S1上給定上給定位移邊界條件位移邊界條件，在另一部分，在另一部分邊界邊界S2S2上給定上給定應(yīng)力邊界條件，應(yīng)力邊界條件，這樣的邊界條件稱為這樣的邊界條件稱為混合邊界條件?；旌线吔鐥l件。1211s( , , , )( , , , )0( , , , )0sf x y z tf x y z ttffx y z ttn(2-25) 使用非零的邊界條件，

16、或稱為非齊次邊界條件，求使用非零的邊界條件，或稱為非齊次邊界條件，求解齊次波動方程式解齊次波動方程式(2-12)、(2-13)或或(2-16)，可以代，可以代替求解帶震源項的非齊次波動方程式替求解帶震源項的非齊次波動方程式(2-8)、(2-9)，以研究震源的作用以研究震源的作用。這時，位于波函數(shù)求解區(qū)域。這時，位于波函數(shù)求解區(qū)域V V以外以外的震源作用由的震源作用由V V區(qū)域邊界面區(qū)域邊界面S S上給出的邊界條件所代替。上給出的邊界條件所代替。2222222tt 222222200tt 至于分界面連續(xù)條件，它由波場函數(shù)在彈性介質(zhì)至于分界面連續(xù)條件，它由波場函數(shù)在彈性介質(zhì)性性質(zhì)突變分界面質(zhì)突變分

17、界面上的性質(zhì)所決定。例如，分界面上的性質(zhì)所決定。例如，分界面S S將所研將所研究的彈性介質(zhì)分為兩部分，一部分的彈性參數(shù)和密度究的彈性介質(zhì)分為兩部分，一部分的彈性參數(shù)和密度為為 , ,另一部分的彈性參數(shù)和密度為另一部分的彈性參數(shù)和密度為 ；在這樣的分界面上自兩邊介質(zhì)作用的應(yīng)力應(yīng)該相等，正在這樣的分界面上自兩邊介質(zhì)作用的應(yīng)力應(yīng)該相等，正如在介質(zhì)內(nèi)部其它截面上一樣。在分界面上應(yīng)力相等的如在介質(zhì)內(nèi)部其它截面上一樣。在分界面上應(yīng)力相等的條件稱為應(yīng)力連續(xù)條件。在條件稱為應(yīng)力連續(xù)條件。在x x，y y，z z直角坐標(biāo)系內(nèi)取直角坐標(biāo)系內(nèi)取z z0 0為兩種彈性不同的介質(zhì)分界面，為兩種彈性不同的介質(zhì)分界面，xo

18、yxoy面在各個點上面在各個點上與分界面相切與分界面相切( (介質(zhì)分界面可以是非水平的或彎曲的介質(zhì)分界面可以是非水平的或彎曲的) )。111, 222, z z0 0時的應(yīng)力連續(xù)條件可以寫作：時的應(yīng)力連續(xù)條件可以寫作：經(jīng)過分界面經(jīng)過分界面z z0 0由介質(zhì)由介質(zhì)1 1過渡到介質(zhì)過渡到介質(zhì)2 2時位移和它的分時位移和它的分量應(yīng)是連續(xù)變化的。這樣的條件稱為位移連續(xù)條件。當(dāng)量應(yīng)是連續(xù)變化的。這樣的條件稱為位移連續(xù)條件。當(dāng)z z0 0時，可以寫作：時，可以寫作：u u1 1=u=u2 2或者或者 u u1 1=u=u2 2 v v1 1=v=v2 2 w w1 1=w=w2 2 (2-28) 作為波動

19、方程的解必須滿足（作為波動方程的解必須滿足（2 22626）、（）、（2 22828）兩類分界面連續(xù)條件。兩類分界面連續(xù)條件。12()()zxzx12()()zyzy12()()zzzz(2-26)2-2 聲波方程的建立聲波方程的建立n固體介質(zhì)中的縱波是一種脹縮應(yīng)變波，有時稱為固體介質(zhì)中的縱波是一種脹縮應(yīng)變波，有時稱為疏密波，它與流體中的聲波具有同樣性質(zhì)。如果疏密波，它與流體中的聲波具有同樣性質(zhì)。如果不考慮固體中的不考慮固體中的轉(zhuǎn)換波轉(zhuǎn)換波問題，地震波的傳播問題問題，地震波的傳播問題可以使用聲波方程來研究?？梢允褂寐暡ǚ匠虂硌芯?。n這種情況是模擬在介質(zhì)中只存在縱波。因為縱波這種情況是模擬在介質(zhì)

20、中只存在縱波。因為縱波的傳播速度是最快的，在縱波勘探時期，這種假的傳播速度是最快的，在縱波勘探時期，這種假設(shè)的正演模擬是非常有意義的。設(shè)的正演模擬是非常有意義的。一、運動方程式一、運動方程式 討論理想流體中一個體積元討論理想流體中一個體積元d d，使用牛頓運動第二使用牛頓運動第二定律定律，即，即F Fmama，m=m=d d，為流體密度。為流體密度。 若若v v為質(zhì)點運動的速度，則有為質(zhì)點運動的速度，則有 ；在一般；在一般情況下，流體密度及質(zhì)點運動速度是質(zhì)點位置坐標(biāo)和時情況下，流體密度及質(zhì)點運動速度是質(zhì)點位置坐標(biāo)和時間的間的函數(shù)；函數(shù)； (r，t)，v=v(r，t)，其中，其中r為質(zhì)點空間為質(zhì)

21、點空間坐標(biāo)點向徑，坐標(biāo)點向徑，r=xi +yj +zk。dmaddt隨著體積元的運動，位置坐標(biāo)也在改變，隨著體積元的運動，位置坐標(biāo)也在改變，r=r(t)r=r(t)，向徑向徑r r也是時間函數(shù)，所以有也是時間函數(shù)，所以有體積元運動的速度體積元運動的速度：加速度加速度a a為速度對時間的導(dǎo)數(shù)，為速度對時間的導(dǎo)數(shù)，考慮到式（考慮到式（2 22929）式可有：）式可有：其中其中drdxdydzvijkdtdtdtdt(2-29)dvvv dxv dyv dzadttx dty dtz dt(2-30)()dvvavvdtt(2-31)ijkxyz 另一方面討論作用于體積元另一方面討論作用于體積元d

22、d的力的力F F。流體中每一。流體中每一點都可定義一個壓強點都可定義一個壓強P P，壓強是個標(biāo)量，它是位置坐標(biāo)，壓強是個標(biāo)量，它是位置坐標(biāo)和時間的函數(shù)，和時間的函數(shù)，PP(r,t)。如圖。如圖2 21 1所示，對側(cè)面所示，對側(cè)面dydz，作用于左側(cè)面的壓強為作用于左側(cè)面的壓強為P(x,y,z,t)，作用于右側(cè)面的壓強，作用于右側(cè)面的壓強為為P(x+dx,y,z,t)；它們的壓力方向相反，合力為兩壓力；它們的壓力方向相反，合力為兩壓力之差，是作用于單元體的一個沿之差，是作用于單元體的一個沿x x方向的作用力：方向的作用力：P(x,y,z,t) P(x+dx,y,z,t)dydz同理，將得到作用于

23、單元體的沿同理，將得到作用于單元體的沿y y和和z z方向的作用力：方向的作用力：P(x,y,z,t) P(x,y,z+dz,t)dxdyP(x,y,z,t) P(x, y+dy,z,t)dxdz作用于體積元作用于體積元d d總的作用力為：總的作用力為：考慮到考慮到d d為微小體積元，壓強隨空間坐標(biāo)呈線性規(guī)為微小體積元，壓強隨空間坐標(biāo)呈線性規(guī)律變化，即律變化，即則上式可以寫作：則上式可以寫作：(, , , )( , , , )PP xdx y z tP x y z tdxx()PPPijk dxdydzgradP dxyzF (2-32), , , , ,P x y z tP xdx y z

24、tdydzFi, , , ,P x y z tP x ydy z tjdxdz, , , ,P x y z tP x y zdz tkdxdy()vvtvgradP這樣牛頓運動學(xué)第二定律這樣牛頓運動學(xué)第二定律F Fmama可以寫成：可以寫成：稱為運動方程式。稱為運動方程式。這里去掉了體積元這里去掉了體積元dxdydz（233）二、連續(xù)性方程二、連續(xù)性方程依據(jù)質(zhì)量守恒原理依據(jù)質(zhì)量守恒原理。在一個封閉區(qū)域。在一個封閉區(qū)域，S S為該區(qū)域為該區(qū)域的表面積。積分：的表面積。積分：表示單位時間內(nèi)流過表示單位時間內(nèi)流過S S表面積的介質(zhì)質(zhì)量。單位時間內(nèi)表面積的介質(zhì)質(zhì)量。單位時間內(nèi)通過通過S S曲面?zhèn)鞑コ鋈?/p>

25、的質(zhì)量，應(yīng)該等于曲面?zhèn)鞑コ鋈サ馁|(zhì)量，應(yīng)該等于區(qū)域內(nèi)在單位區(qū)域內(nèi)在單位時間內(nèi)質(zhì)量減少量。有：時間內(nèi)質(zhì)量減少量。有：根據(jù)（高斯）散度定理，有：根據(jù)（高斯）散度定理，有：稱為流體介質(zhì)連續(xù)性方程。稱為流體介質(zhì)連續(xù)性方程。sv d SsvdSdt (2-34)()0divvt(2-36)三、可壓縮的流體中的聲波方程三、可壓縮的流體中的聲波方程設(shè)流體介質(zhì)密度設(shè)流體介質(zhì)密度和壓強和壓強P P在常數(shù)背景在常數(shù)背景0和和P P0 0上有一上有一個變化量個變化量和和P P ，且這個變化量遠(yuǎn)小于背景值，即：，且這個變化量遠(yuǎn)小于背景值，即： 將（將（2 23737）代入運動方程式）代入運動方程式（233）后可得：后可

26、得：（237）00PPP00()()PP00()()(vtvvgrad PPgrad P 、P P和和0 0、P P0 0相比是一個微量相比是一個微量; ; v 是一個二階是一個二階微量。略去含有這些微量的項，可得：微量。略去含有這些微量的項，可得：另一方面，將另一方面，將 代入代入連續(xù)性方程式連續(xù)性方程式（2 23636）進行整理。首先對方程式（進行整理。首先對方程式（2 23636）作一些變換。計）作一些變換。計算算div v ，可得：，可得：ovgradPt （238）odiv v= div v +v?grad （239）將上式代入式（將上式代入式（2 23636），），其中考慮其中考慮

27、v是一個微量，是一個微量， 項可以略去。連續(xù)項可以略去。連續(xù)性方程式變?yōu)椋盒苑匠淌阶優(yōu)椋簩?代入可得：代入可得：divdivgrad0vvvttdiv0vt(2-40)odiv0ovt(2-41)v?grad其中其中P P是壓強，是壓強，V V是氣體體積，是氣體體積， 為常數(shù)，為常數(shù)， 和和 是初始狀是初始狀態(tài)的壓強和體積。又：態(tài)的壓強和體積。又： ，代入（，代入（2 24343）式，并考慮體積與密度成反比關(guān)系，有：）式，并考慮體積與密度成反比關(guān)系，有： 00VPPV0Pn聲波傳播過程，可以看成是一個絕熱過程，聲波傳播過程，可以看成是一個絕熱過程，滿足泊松滿足泊松絕熱方程絕熱方程：0V00,

28、PPP000001PPP00PP因此：因此：該式右邊是個常數(shù)，用該式右邊是個常數(shù)，用C C2 2表示表示 。則得到。則得到2PC(2-45)(2-43)流體的狀態(tài)方程：流體的狀態(tài)方程：其中其中Cp為常壓下的比熱容為常壓下的比熱容Cv為常體積下的比熱容為常體積下的比熱容CpCv 使用以上導(dǎo)出的三個方程式（使用以上導(dǎo)出的三個方程式（2 23838）、（）、（2 24141）、（）、（2 24545）可以導(dǎo)出聲波方程。對）可以導(dǎo)出聲波方程。對（238） 取散度：取散度：將將（2 24545） 代入，可有：代入，可有：由由（2 24141） 式得式得divdiv(grad)ovPt 2divdiv(g

29、rad)ovCt （246）1divovt ovgradPt div0ovt2PC代入（代入（2 24646）式，）式，其中其中 。所以有：。所以有：將（將（2 24545）式代入上式，可得以壓強變化量）式代入上式，可得以壓強變化量P P 為函為函數(shù)的方程式：數(shù)的方程式：21()div(grad)ooCtt 2div(grad) 2222Ct（247）2222PCPt（248）這樣，在聲波傳播過程中介質(zhì)密度和壓強變化量這樣，在聲波傳播過程中介質(zhì)密度和壓強變化量 和和P P將分別滿足式（將分別滿足式（2 21616）的波動方程。式（）的波動方程。式（2 24747）、）、（2 24848）中的）

30、中的 和和P P都為標(biāo)量，所以稱之為標(biāo)量波都為標(biāo)量，所以稱之為標(biāo)量波動方程。動方程。四、聲波的速度位四、聲波的速度位 質(zhì)點運動速度質(zhì)點運動速度v v 是一個向量，在聲學(xué)研究中經(jīng)常是一個向量，在聲學(xué)研究中經(jīng)常使用聲波傳播介質(zhì)質(zhì)點運動速度的位函數(shù)使用聲波傳播介質(zhì)質(zhì)點運動速度的位函數(shù) ，稱為，稱為速度位。速度位。v v 可用位函數(shù)的空間偏導(dǎo)數(shù)來表示。流體可用位函數(shù)的空間偏導(dǎo)數(shù)來表示。流體介質(zhì)中的聲波是一個脹縮應(yīng)變波或疏密波，是一個介質(zhì)中的聲波是一個脹縮應(yīng)變波或疏密波，是一個無旋運動，無旋運動，curlcurlv =0=0。因此。因此v可表示為位函數(shù)的梯度可表示為位函數(shù)的梯度寫成分量形式可有：寫成分量

31、形式可有：gradv (2-49)XYZvvvxyz (2-50)可以說明，位函數(shù)可以說明，位函數(shù) 將滿足聲波方程。為此，將（將滿足聲波方程。為此，將（2 24949）式代入）式代入運動方程式運動方程式（2 23838），可得：），可得：在上式中交換求導(dǎo)順序，在上式中交換求導(dǎo)順序，因此有：因此有：(grad )gradoPt （251）grad()gradoPt oPt （252）將將狀態(tài)方程狀態(tài)方程（2 24545）用于）用于連續(xù)方程連續(xù)方程（2 24141），以），以P P代替代替 ，有：，有：將式（將式（2 24949）、式（）、式（2 25252）代入上式，得到：）代入上式，得到：整理

32、后可有：整理后可有：21div0oPvCt（253）21div (grad )0oovCtt222210Ct（254）五、求解聲波方程時的分界面連續(xù)條件五、求解聲波方程時的分界面連續(xù)條件 對兩個流體介質(zhì)分界面，要求滿足兩類邊界條件：對兩個流體介質(zhì)分界面，要求滿足兩類邊界條件：聲壓連續(xù)條件和速度連續(xù)條件。聲壓連續(xù)條件是分界聲壓連續(xù)條件和速度連續(xù)條件。聲壓連續(xù)條件是分界面兩側(cè)介質(zhì)中的聲壓函數(shù)在分界面上的值應(yīng)該相等；面兩側(cè)介質(zhì)中的聲壓函數(shù)在分界面上的值應(yīng)該相等；速度連續(xù)條件是分界面兩側(cè)介質(zhì)質(zhì)點運動速度的沿界速度連續(xù)條件是分界面兩側(cè)介質(zhì)質(zhì)點運動速度的沿界面法向方向分量應(yīng)該相等。面法向方向分量應(yīng)該相等。

33、使用速度位解題時，應(yīng)使使用速度位解題時，應(yīng)使用速度位用速度位 表示聲壓和速度，寫出連續(xù)條件，即：表示聲壓和速度，寫出連續(xù)條件，即： gradoPvt （252）(2-49)23 均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的平面波平面波n平面波是等相位面為平面，且與波的傳播方向垂平面波是等相位面為平面，且與波的傳播方向垂直的波動。直的波動。n從點震源產(chǎn)生的球面波向四周傳播在離震源足從點震源產(chǎn)生的球面波向四周傳播在離震源足夠遠(yuǎn)的地方，研究一個局部的等相位面，可以看夠遠(yuǎn)的地方，研究一個局部的等相位面，可以看成是一個平面。成是一個平面。n在理論上任何類型的波可以平面波合成形式表示。在理論上

34、任何類型的波可以平面波合成形式表示。一、波動方程的平面波形式解一、波動方程的平面波形式解n選擇坐標(biāo)系，使選擇坐標(biāo)系，使X X軸與波的傳播方向重合軸與波的傳播方向重合。這時位移向。這時位移向量量u u和它的分量和它的分量 與坐標(biāo)與坐標(biāo)y,zy,z無關(guān)，有：無關(guān)，有：n對縱波而言，波函數(shù)可以取作位移分量對縱波而言，波函數(shù)可以取作位移分量u, ,則則C C為縱波傳為縱波傳播速度，播速度， ； 對橫波而言，波函數(shù)可取作位移分量對橫波而言，波函數(shù)可取作位移分量v或或w，則，則C C為橫為橫波速度，波速度， 。 方程式方程式(2(257)57)稱為一維波動方程，描述一個平面稱為一維波動方程，描述一個平面波

35、，它有兩種類型，一是平面縱波，另一是平面橫波。波，它有兩種類型，一是平面縱波，另一是平面橫波。, ,u v w222221ffxCt（257）2CC對方程（對方程（2-572-57）求傅立葉變換，）求傅立葉變換， 可以得到：可以得到：其中其中 ；方程；方程式（式（2 25959）為線性均勻常微分方程，為線性均勻常微分方程，稱稱為一維亥姆霍茲方程。為一維亥姆霍茲方程。這個方程的解是已知的，這個方程的解是已知的，（2-60）對對式（式（2-60）使用傅立葉變換）使用傅立葉變換可得可得時間域的解時間域的解，其形式為：，其形式為：（2-61）式（式（2-61）稱為平面波達蘭貝爾解）稱為平面波達蘭貝爾解

36、,是一維波動方程的一個通解是一維波動方程的一個通解.2220dKdxKC12( ,)( )( )xxjjCCxee 12( , )()()xxf x tf tf tCC( , )( , )j txf x t edt（2-59）n等相位面由達蘭貝爾解中的波函數(shù)復(fù)合變量定義等相位面由達蘭貝爾解中的波函數(shù)復(fù)合變量定義：n其中其中常數(shù)決定了等相位面的相位值常數(shù)決定了等相位面的相位值，為參變量，為參變量，表示表示同一等相位面在不同時刻同一等相位面在不同時刻t t0 0處于空間不同位處于空間不同位置。置。它是垂直它是垂直x x軸的一系列平面軸的一系列平面。所以一維波動方。所以一維波動方程的解是平面波。程的

37、解是平面波。n 是一個沿是一個沿x x方向以方向以C C為速度傳播的平面為速度傳播的平面波，波， 是一個沿是一個沿x x方向以方向以C C為速度傳播的平為速度傳播的平面波。面波。0 xtC 常數(shù)（262）2()xf tC1()xf tC 簡諧波簡諧波是自然界中一切波動形式中最簡單的，其波是自然界中一切波動形式中最簡單的，其波函數(shù)可用正弦或余弦函數(shù)或復(fù)函數(shù)表示。一維波動方函數(shù)可用正弦或余弦函數(shù)或復(fù)函數(shù)表示。一維波動方程簡諧形式解，按公式（程簡諧形式解，按公式（2 26161）可以寫作：）可以寫作：其中其中A A1 1、A A2 2為復(fù)數(shù)，為復(fù)數(shù)， 為簡諧波頻率。為簡諧波頻率。寫成實數(shù)形式：寫成實

38、數(shù)形式：A A1 1,A,A2 2為振幅；為振幅； 為初相位為初相位; ;上式定義的波動稱為上式定義的波動稱為駐波駐波. .00()()12( , )xxjtjtCCf x tAeA e+(2-63)0101202( , )cos()cos()xxf x tAtAtCC(2-66)12, )()(cos)(),(111CxtAtxf)()(cos)(),(222CxtAtxf二、沿任意方向傳播的空間平面波二、沿任意方向傳播的空間平面波n設(shè)設(shè)R R方向方向與與x,y,zx,y,z坐標(biāo)軸所成角度分別為坐標(biāo)軸所成角度分別為 ，其方向其方向余弦用余弦用l,m,nl,m,n表示，即表示，即 并且并且波函

39、數(shù)可寫作：波函數(shù)可寫作：或者或者對式（對式（2 26363）形式的簡諧波，這時可有：）形式的簡諧波，這時可有：、 、2221lmn(2-68)(2-69) 12( , , , )()()lxmynzlxmynzf x y z tf tf tCC(2-70)( , , , )exp()exp()f x y z tAjlxmynzj tC(2-71)cos,cos,coslmn12( , )()()RRCCf R tf tf t是二維波動方程是二維波動方程 的通解。的通解。n三維波動方程：三維波動方程： 的通解是：的通解是：考慮到考慮到 ，則令，則令 分別為分別為K K在在x x，y y，z z坐

40、標(biāo)軸方向上的投影，則式（坐標(biāo)軸方向上的投影，則式（2 27171）可改寫為：）可改寫為：K K為波數(shù)，為波數(shù)，K Kx x，K Ky y，K Kz z為視波數(shù)。為視波數(shù)。/CK,xyzKKl KKm KKn( , , , )exp()exp()xyzf x y z tAj K xK yK zj t(2-72) (2-80)( , , , )()lxmynzf x y z tf tC22221ffCt22222221fffxzCt( , , )()xzf x z tf txzCC( , , )()xzxzCCf x z tf t視速度視速度三、不均勻平面波三、不均勻平面波 平面波傳播方向的平面波

41、傳播方向的方向余弦方向余弦 不是實數(shù)不是實數(shù)，而而是一復(fù)數(shù)是一復(fù)數(shù)。這樣的平面波稱為不均勻平面波。這樣的平面波稱為不均勻平面波。與它相與它相區(qū)別，前面已經(jīng)介紹的沿空間區(qū)別，前面已經(jīng)介紹的沿空間R R方向傳播，其方向余弦方向傳播，其方向余弦為實數(shù)的平面波，稱為均勻平面波。為實數(shù)的平面波，稱為均勻平面波。設(shè)設(shè) = ， 若它們滿足若它們滿足條件式（條件式（2 26868），即），即 , , 有有 ,l m n,ljl mmjm nnjn2221lmn( , , , )exp()exp()exp()f x y z tAK l xm yn zjK l xm yn zj t（282）l平面波平面波f(xf

42、(x，y y，z z，t)t)的等相位面決定于方程式：的等相位面決定于方程式：為一個其法線的方向余弦為為一個其法線的方向余弦為 的平面。波的的平面。波的振幅在空間是變化的。其等振幅面決定于方程式：振幅在空間是變化的。其等振幅面決定于方程式：為一個其法線方向余弦為為一個其法線方向余弦為 的平面。的平面。將為復(fù)數(shù)的方向余弦將為復(fù)數(shù)的方向余弦 代入式（代入式（2 26868），），l xm yn z常數(shù)（283）lmn、l xm yn z常數(shù)（284）lmn、m nl、 、并使等式兩端虛數(shù)部分相等可以得到：并使等式兩端虛數(shù)部分相等可以得到：可見所討論的不均勻平面波其可見所討論的不均勻平面波其等相位面

43、與振幅互相垂等相位面與振幅互相垂直直，式（，式（2 28585）為兩平面正交條件。）為兩平面正交條件。 在研究彈性波在不同彈性性質(zhì)介質(zhì)分界面上的反在研究彈性波在不同彈性性質(zhì)介質(zhì)分界面上的反射和折射現(xiàn)象時，會遇到不均勻平面波問題。當(dāng)?shù)诙浜驼凵洮F(xiàn)象時，會遇到不均勻平面波問題。當(dāng)?shù)诙橘|(zhì)中波速大于第一介質(zhì)中的波速時，波由第一介質(zhì)介質(zhì)中波速大于第一介質(zhì)中的波速時，波由第一介質(zhì)入射到第二介質(zhì)時存在一個臨界角。入射到第二介質(zhì)時存在一個臨界角。0l lm mn n （285） 當(dāng)入射波以大于臨界角的入射角入射時，在第當(dāng)入射波以大于臨界角的入射角入射時，在第二介質(zhì)中將產(chǎn)生一個不均勻平面波，它將沿分界面二介質(zhì)

44、中將產(chǎn)生一個不均勻平面波，它將沿分界面方向傳播，而振幅在與界面垂直方向上呈指數(shù)規(guī)律方向傳播，而振幅在與界面垂直方向上呈指數(shù)規(guī)律衰減。衰減。 當(dāng)所討論的波是不均勻波時，當(dāng)所討論的波是不均勻波時，角也將是一個復(fù)角也將是一個復(fù)數(shù)。數(shù)。當(dāng)當(dāng)角為復(fù)數(shù)時，它的正弦和余弦可由如下形式的角為復(fù)數(shù)時，它的正弦和余弦可由如下形式的公式所表示：公式所表示：討論討論/2/2的情況，可得到的情況，可得到( , , )exp( sincos)exp()f x z tAjK xzjtjsinsincosscoscossinschjhchjhsincoschjshexp()( , , )exp()exp()KshzKcf x

45、 z tAjxj th已知已知證明證明c ( ); ( )22xxxxeeeeh xsh xsinsincosscoscossinschjhchjhj24 均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的球面波球面波n在點震源作用下，介質(zhì)中發(fā)生的彈性振動在點震源作用下，介質(zhì)中發(fā)生的彈性振動從中心向四周傳播。在均勻各向同性介質(zhì)從中心向四周傳播。在均勻各向同性介質(zhì)中這種波動過程具有中心對稱性質(zhì)，波前中這種波動過程具有中心對稱性質(zhì)，波前面為球面，因此稱為球面波。面為球面，因此稱為球面波。22221ffCt22221Ct一、中心對稱條件下波動方程及其通解一、中心對稱條件下波動方程及其通解 球坐

46、標(biāo)系坐標(biāo)為：球坐標(biāo)系坐標(biāo)為： ，與直角坐標(biāo)，與直角坐標(biāo)x x，y y，z z的的關(guān)系是關(guān)系是 ： 如圖如圖2 25 5所示，所示，為余為余緯度，緯度， 為經(jīng)度。為經(jīng)度。顯然，顯然，所討論的波場與所討論的波場與 和和 角無關(guān)。角無關(guān)。標(biāo)量波動方程標(biāo)量波動方程可以寫作：可以寫作： r， ，sincossinsincosxryrzr(2-91)(2-91)與一維波動方程平面波解式類似，方程與一維波動方程平面波解式類似，方程(2(293)93)的解是：的解是： 第一項表示由中心向四周第一項表示由中心向四周擴展的波擴展的波，而第二項表示由無，而第二項表示由無限遠(yuǎn)處向中心限遠(yuǎn)處向中心匯集的波匯集的波。當(dāng)。

47、當(dāng)r,tr,t固定，則復(fù)合變量固定，則復(fù)合變量 為常數(shù)，波函數(shù)也為一定值。這樣，在為常數(shù)，波函數(shù)也為一定值。這樣，在t t瞬間在以瞬間在以r r為半為半徑的球面上波場值相同，該球面為等相位面，如同平面徑的球面上波場值相同，該球面為等相位面，如同平面波一樣波一樣對起始相位的等相位面稱為波前面。對起始相位的等相位面稱為波前面。(2-93)(2-94)()rtC22222()1()0rrrCt1211( , )()()rrCCr tf tftrrn波函數(shù)前的系數(shù)波函數(shù)前的系數(shù) 1 1r r 表示波遠(yuǎn)離震源向外傳播，表示波遠(yuǎn)離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與到震源的距離成反比。其振幅不斷衰減，且與到

48、震源的距離成反比。n1 1r r稱為波前面發(fā)散因子。稱為波前面發(fā)散因子。n波前面是尚未振動的介質(zhì)部分與已起始并處于振動波前面是尚未振動的介質(zhì)部分與已起始并處于振動狀態(tài)下的介質(zhì)部分分界；而將已經(jīng)停止振動處于靜狀態(tài)下的介質(zhì)部分分界；而將已經(jīng)停止振動處于靜止?fàn)顟B(tài)的介質(zhì)部分與尚處于振動狀態(tài)下的介質(zhì)分開止?fàn)顟B(tài)的介質(zhì)部分與尚處于振動狀態(tài)下的介質(zhì)分開的曲面稱為波尾。波前和波尾在介質(zhì)中以的曲面稱為波尾。波前和波尾在介質(zhì)中以C C為速度傳為速度傳播。與波前正交的線稱為射線，表示波動過程傳播播。與波前正交的線稱為射線，表示波動過程傳播方向。在球面波情況下，它們是一組由中心向四周方向。在球面波情況下，它們是一組由中

49、心向四周放射的直線。放射的直線。n脹縮點震源產(chǎn)生一個無旋場，其中位移向量為標(biāo)量位脹縮點震源產(chǎn)生一個無旋場，其中位移向量為標(biāo)量位 的梯度。在中心對稱條件下，標(biāo)量位滿足波動方程：的梯度。在中心對稱條件下，標(biāo)量位滿足波動方程：n 從通解中取由從通解中取由中心向四周擴展的球面波中心向四周擴展的球面波：它的位移場是：它的位移場是：對對 按按r r求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得二、脹縮點震源引起的球面波二、脹縮點震源引起的球面波（縱波）（縱波）1( , )()rr tf trC(2-98)（299）211()()prruftf trCCrC (2-100)prugradr r22222()1()0rrrCtPPSSud

50、Su dS 2211444RRRftftRCCRCRRRftftCCC 首先討論函數(shù)首先討論函數(shù)f(t)f(t)的物理意義。以的物理意義。以O(shè) O點為圓心，點為圓心，R R為半為半徑作一個圓球面徑作一個圓球面S S，計算位移向量通過圓球面的通量：，計算位移向量通過圓球面的通量：n將式將式（2 2100100）代入得（代入得（u uP P為常量）為常量）位移向量位移向量u up p的通量是的通量是以以R R為半徑的圓球體在介質(zhì)為半徑的圓球體在介質(zhì)質(zhì)點發(fā)生徑向位移時發(fā)生質(zhì)點發(fā)生徑向位移時發(fā)生體積變化體積變化膨脹或壓縮膨脹或壓縮。使用使用 性質(zhì)，可略去帶性質(zhì)，可略去帶 1/r1/r項，項， 為高階微

51、為高階微量，量，所以有：所以有：i204( )idf t (2-106)2222014( )idf tCt (2-107)10( )r22t 00limlimPPiiRStudSdivu d 為在為在 附近的微小體積。在附近的微小體積。在 以外以外無震源作用，所以無震源作用，所以根據(jù)空間單位脈沖根據(jù)空間單位脈沖 的性質(zhì)，式（的性質(zhì)，式（2 2107107）、式（）、式（2 2108108）可以聯(lián)合寫成：）可以聯(lián)合寫成：ii222210idCt (2-108)iiiir xyz= i+ j+ k xyz 222214( )iiif txxyyzzCt (2-109)其中其中 表示點震源位置坐標(biāo)。

52、表示點震源位置坐標(biāo)。這樣，脹縮點震源產(chǎn)生的波場可用非齊次標(biāo)量波動方程這樣，脹縮點震源產(chǎn)生的波場可用非齊次標(biāo)量波動方程描述：描述： 由以上討論可見，由以上討論可見， 表示在震源點上一個半表示在震源點上一個半徑為無限小的圓球體體積隨時間膨脹或壓縮的變化徑為無限小的圓球體體積隨時間膨脹或壓縮的變化規(guī)律。規(guī)律。 反映了震源強度變換，稱之為震反映了震源強度變換，稱之為震源強度函數(shù)。式（源強度函數(shù)。式（2 2109109）、式（）、式（2 2110110）方程式）方程式中的非齊次項中的非齊次項 222214( )iiiiif txxyyzzCt （2110）,iiix y z t 4tf t 正好表明了正

53、好表明了f(t)f(t)是作為震源函數(shù)而在震源點位置是作為震源函數(shù)而在震源點位置上存在的體力項。上存在的體力項。 其次，從球面波位移場公式（其次，從球面波位移場公式（2 2100100）可以看到，）可以看到，位移場可以分為兩部分。當(dāng)位移場可以分為兩部分。當(dāng)r r很小是，很小是， 部分部分起主要作用起主要作用 隨著傳播距離隨著傳播距離r r加大，該項作用迅速衰減，另一項加大，該項作用迅速衰減，另一項 貢獻逐漸增大；遠(yuǎn)離震源時，貢獻逐漸增大；遠(yuǎn)離震源時，r r很大，前很大，前一項接近于零，后一項成為主要項。一項接近于零，后一項成為主要項。 21()rf trC1()rftrCC211()()prr

54、uftf trCCrC （2 2100100） 在地震震源附近記錄的信號是近震源場與遠(yuǎn)震源在地震震源附近記錄的信號是近震源場與遠(yuǎn)震源場的混合，場的混合，對于這樣的記錄使用下面的濾波器可以得對于這樣的記錄使用下面的濾波器可以得到遠(yuǎn)震源場分量。到遠(yuǎn)震源場分量。如果得到近場的分量呢？如果得到近場的分量呢？ 其應(yīng)用條件是均勻各項同性介質(zhì)中的點震源場。其應(yīng)用條件是均勻各項同性介質(zhì)中的點震源場。作為作業(yè)，請同學(xué)們證明一下！作為作業(yè)，請同學(xué)們證明一下！ /11/j r cFj rjKrjcKr研究點震源在求解實際問題時很重要。一個有限尺寸的研究點震源在求解實際問題時很重要。一個有限尺寸的震源可以表示為點震源

55、的組合。若點震源的解式震源可以表示為點震源的組合。若點震源的解式取傅立葉變換后得：取傅立葉變換后得：( ,)( )jkrerSr(2-112)其中其中 為震源強度函數(shù)為震源強度函數(shù)f(t)f(t)的傅立葉變換，則點震的傅立葉變換，則點震源組合的波場的傅立葉變換為：源組合的波場的傅立葉變換為：( )S( , , ,)( )( , ,)jkreP rSGr (2-113) 其中其中 既是頻率的函數(shù)，又與方位角既是頻率的函數(shù)，又與方位角 有關(guān)，稱為方向頻率特性。有關(guān)，稱為方向頻率特性。( (偶極子震源舉例略偶極子震源舉例略) )( , ,)G , 1( , )()rr tf trC三、旋轉(zhuǎn)點震源引起

56、的球面波三、旋轉(zhuǎn)點震源引起的球面波設(shè)在均勻各向同性介質(zhì)中有一個以設(shè)在均勻各向同性介質(zhì)中有一個以 為半徑的圓球形為半徑的圓球形空腔。在球面各點作用一個與水平面平行的切向力，它空腔。在球面各點作用一個與水平面平行的切向力，它將引起球面整體相對將引起球面整體相對Z Z軸旋轉(zhuǎn)，從而激發(fā)在介質(zhì)中傳播的軸旋轉(zhuǎn)，從而激發(fā)在介質(zhì)中傳播的橫波。根據(jù)旋度場性質(zhì)，在介質(zhì)中任意一點橫波。根據(jù)旋度場性質(zhì)，在介質(zhì)中任意一點R R，且，且 ，質(zhì)點位移為質(zhì)點位移為 ， 為向量位，考慮到點為向量位，考慮到點震源中心對稱性質(zhì)，震源中心對稱性質(zhì)， 將滿足方程式（將滿足方程式（2 29393），），curl( , )suR t( ,

57、 )R t2222210sRRRvtRllcurlsxyzijkuxyz（2 2116116）考慮到考慮到位移的位移的z z分量為分量為0 0要求向量位要求向量位 只有一個分量只有一個分量 。事實上，。事實上，位移位移u us s各個分量為：各個分量為：z()()()0yzzsxxzzsyyxszuyzyuzxxuxy （2-1172-117）(u(us s) )z z為零要求為零要求 各自為零。轉(zhuǎn)換為中心對稱的各自為零。轉(zhuǎn)換為中心對稱的球坐標(biāo)表示可有：球坐標(biāo)表示可有：水平位移水平位移us的模為：的模為：向量位向量位z z分量分量 滿足方程式（滿足方程式（2 29393），取通解中自），取通解

58、中自中心點向外傳播的球面波解：中心點向外傳播的球面波解：,xy zzsxzzsyRyuRyRRRxuRxRR (2-118)22sinzzzsxyruRRRRR(2-119)z代入（代入（2 2119119）式可得橫波位移表達式：）式可得橫波位移表達式：與脹縮點震源相似，通過圍繞中心點的圓球面的位移與脹縮點震源相似，通過圍繞中心點的圓球面的位移向量向量 的模的通量為：的模的通量為：1zsRftRv(2-120)211sinssssRRuftftRvRvv(2-121)2(, )|1()()sinsssSSRRRvvvSR tudSf tftdSRsu面積元面積元 , , 分別為經(jīng)緯度、余緯分別

59、為經(jīng)緯度、余緯度，考慮到度，考慮到f f與它們無關(guān)，積分后得到：與它們無關(guān)，積分后得到：2sindSRd d f(t)為旋轉(zhuǎn)點震源強度，是在中心點上一個半徑為無限小的圓為旋轉(zhuǎn)點震源強度，是在中心點上一個半徑為無限小的圓球面作旋轉(zhuǎn)運動的位移總和。在震源附近，位移隨時間變化規(guī)球面作旋轉(zhuǎn)運動的位移總和。在震源附近，位移隨時間變化規(guī)律重復(fù)震源強度的變化。在遠(yuǎn)離震源時，位移接近于震源強度律重復(fù)震源強度的變化。在遠(yuǎn)離震源時，位移接近于震源強度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2,sssRRRR tftftvvv(2-124) 20limSRStu dSf t(2-125)(2-126), 2/f tt211sins

60、sssRRuf tftRvRvv()0( , )Rvsjtf R tA e25 均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的柱面波柱面波出于實際考慮，地震波場經(jīng)常是沿測線觀測，被出于實際考慮，地震波場經(jīng)常是沿測線觀測，被看作是二維的，滿足波動方程：看作是二維的，滿足波動方程：以及在以及在xozxoz平面上給出的邊界條件。但是在二維區(qū)域中平面上給出的邊界條件。但是在二維區(qū)域中是不存在點震源的。必須使用是不存在點震源的。必須使用線震源線震源來代替在三維空來代替在三維空間使用的點震源。間使用的點震源。線震源波場可以由點震源波場合成。線震源波場可以由點震源波場合成。22222221fffx