函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題

1、第十節(jié)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第十節(jié)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點(diǎn)定理（三）介值定理（四）應(yīng)用（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點(diǎn)定理（三）介值定理（四）應(yīng)用最值概念最值概念設(shè)設(shè)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I上有定義，如果存在上有定義，如果存在x0 0I，使得，使得對(duì)任一對(duì)任一xI，恒有恒有 00( )()( )()f xf xf xf x則稱(chēng)則稱(chēng)f( (x0 0) )是函數(shù)是函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值）. .注注(1) 最大值可以等于最小值最大值可以等于最小值(2) 函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間I上可能取不到最值上可

2、能取不到最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值最大值和最小值. .定理定理幾何意義幾何意義abxoy1 2 定理的條件是重要的定理的條件是重要的l注注u例例y= =x在在( (1,2)內(nèi)內(nèi)xoy1221311101xxxxxy在在 0,2 上上x(chóng)oy12（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點(diǎn)定理（三）介值定理（四）應(yīng)用（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點(diǎn)定理（三）介值定理（四）應(yīng)用設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f( (x) )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且上連續(xù)，且f( (a) )與與f( (b) )異號(hào)（即異號(hào)（即f(

3、 (a) )f( (b)0) )，則在開(kāi)區(qū)間，則在開(kāi)區(qū)間( (a,b) )內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn)使使f( ()=)=0. .定理定理幾何意義幾何意義如果連續(xù)曲線弧如果連續(xù)曲線弧y= =f( (x) )的兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)端點(diǎn)位于位于x軸的不同側(cè)，那么這段曲線弧軸的不同側(cè)，那么這段曲線弧與與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn). .xoyab如果如果x0 0使使f( (x0 0)=0)=0，那么，那么x0 0稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)f( (x) )的的零點(diǎn)零點(diǎn). .（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點(diǎn)定理（三）介值定理（四）應(yīng)用（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點(diǎn)定理（三）介值定理（四）應(yīng)用設(shè)函數(shù)設(shè)

4、函數(shù)f( (x) )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值不同的函數(shù)值f( (a)=)=A及及f( (b)=)=B，則對(duì)于，則對(duì)于A與與B之間的任意之間的任意一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間，在開(kāi)區(qū)間( (a,b) )內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn)使得使得 f( ()=)=C ( (a b)定理定理幾何意義幾何意義Abxoya)(xfy BC連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧y= =f( (x) )與水平直線與水平直線y= =C至少至少相交于一點(diǎn)相交于一點(diǎn). .推論推論在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)f( (x) )的值域的值域?yàn)殚]區(qū)間為閉區(qū)間 m,M

5、,其中其中m與與M依次為依次為f( (x) )在在 a,b 上的最小值與最大值上的最小值與最大值. .（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點(diǎn)定理（三）介值定理（四）應(yīng)用（一）有界性與最大值最小值定理（二）零點(diǎn)定理（三）介值定理（四）應(yīng)用u例例u例例01423 xx證明方程證明方程有一個(gè)實(shí)根有一個(gè)實(shí)根. .在區(qū)間在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少內(nèi)至少),( 若若f (x)在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),且且)(limxfx 存在存在, ,則則內(nèi)有界內(nèi)有界. .f (x)在在),( 函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)連續(xù)的概念連續(xù)的概

6、念定義定義注意注意優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)yx 0lim0)()(lim000 xfxxfx是變量是變量x 直觀、直觀、 便于分析便于分析 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx )(0 xf 左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)三個(gè)要點(diǎn)三個(gè)要點(diǎn)便于應(yīng)用便于應(yīng)用自然、自然、, 0 0 當(dāng)當(dāng) |0 xx時(shí)時(shí) | )()(|0 xfxfx可以等于可以等于0 x清晰、便于論證清晰、便于論證間斷的概念與分類(lèi)間斷的概念與分類(lèi)u概念概念在在處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義)(xf0 x在在處有定義處有定義)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在在在處有定義處有定義)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在但但)()(lim00

7、xfxfxx 但但u分類(lèi)分類(lèi)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)和和)( 0 xf)( 0 xf都存在都存在第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)和和)( 0 xf)( 0 xf至少一個(gè)不存在至少一個(gè)不存在第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn))()( 00 xfxf可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn))()( 00 xfxf跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算仍連續(xù)初等函數(shù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

8、性質(zhì)u有界性與最大值最小值定理有界性與最大值最小值定理u零點(diǎn)定理與介值定理零點(diǎn)定理與介值定理函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題(1)(6)(2)(xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，)( xf在在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .(3)( xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，)( xg在在0 x處不連續(xù)處不連續(xù))()(xgxf

9、 在在0 x處一定不連續(xù)處一定不連續(xù). .(4)( xf在在0 x處不連續(xù)，處不連續(xù)，)( xg在在處不連續(xù)處不連續(xù))()(xgxf 在在0 x處一定不連續(xù)處一定不連續(xù). .)(xf在在 ba,上不連續(xù)，則上不連續(xù)，則)( xf在在 ba,上無(wú)界上無(wú)界(5)一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .u例例1 1判斷下列說(shuō)法的正確性判斷下列說(shuō)法的正確性)(xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，在在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .| )(|xf二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷

10、點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題找間斷點(diǎn)找間斷點(diǎn)初等函數(shù)初等函數(shù)分段函數(shù)分段函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)無(wú)定義的點(diǎn)分段點(diǎn)（嫌疑）分段點(diǎn)（嫌疑）判類(lèi)型判類(lèi)型 求極限求極限求連續(xù)區(qū)間求連續(xù)區(qū)間 有定義的開(kāi)區(qū)間有定義的開(kāi)區(qū)間討論分段點(diǎn)的連續(xù)性討論分段點(diǎn)的連續(xù)性合并合并間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)無(wú)定義的點(diǎn)無(wú)定義的點(diǎn)思路思路u例例2xxxxxf111111 )(確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn)確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn), ,判斷類(lèi)型判斷類(lèi)型, ,并求連續(xù)區(qū)間并求連續(xù)區(qū)間討論全面討論全面xxxxxf)(sin)()(112 討論左右極限討論左右極限1( )lnf xxx=0=0也是間斷點(diǎn)也是間斷點(diǎn)(1)(2)(3)

11、011sin)1ln(0sin)(23xxxxxxxxf1112cos)(xxxxxfu補(bǔ)補(bǔ)1 1010sin)(xxxxxf確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn)確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn), ,判斷類(lèi)型判斷類(lèi)型, ,并求連續(xù)區(qū)間并求連續(xù)區(qū)間xxf1arctan)(xxxf2tan)(1212)(11xxxf(4)(5)(1)(2)(3)(4)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題u例例3 3確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b使函數(shù)使函數(shù)011ln1010cos

12、1sin)(xbxxxxxaxxf在在x=0=0處連續(xù)處連續(xù). .u補(bǔ)補(bǔ)2 2確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b使函數(shù)使函數(shù)1000111)21ln()(2xbxxaxxxxxf在在x=0=0處連續(xù)處連續(xù). .u例例4 4設(shè)設(shè) 11xxaxxf)( 002xxxbxg)(確定確定a, ,b使使)()(xgxf 在在),( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .u例例5 5設(shè)設(shè)21)(,lim)(xxgnnnnxfxxxxn 討論復(fù)合函數(shù)討論復(fù)合函數(shù))(xgf在在內(nèi)的連續(xù)性?xún)?nèi)的連續(xù)性. .及及)(xfg),( u例例6 6討論討論nnnnnxxxxxf 2lim)(的連續(xù)性的連續(xù)性. .u例例7 7u補(bǔ)補(bǔ)3 3討論討論xx

13、xxxfnnnn 112121lim)(的連續(xù)性的連續(xù)性. .設(shè)設(shè),1lim)(2212 nnnxbxaxxxf確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b使使)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( 二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題u例例8 8u例例9 9設(shè)設(shè)bxaeaxf 1)(a, ,b為常數(shù)為常數(shù)確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b的正負(fù)并求的正負(fù)并求 lim ( ).xf x, 0)(lim xfx在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,),( 且且有無(wú)窮間斷點(diǎn)有

14、無(wú)窮間斷點(diǎn)設(shè)設(shè))()(1 xxaexfx0 x及可去間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)試求常數(shù)試求常數(shù)a的值的值. ., 1 x二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)u例例1010u例例1111u補(bǔ)補(bǔ)4 4設(shè)設(shè)xexf )(在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( )()()(R,21

15、2121xfxfxxfxx 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( 在在)(xf)()()(R,212121xfxfxxfxx 設(shè)設(shè)0 x處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( ( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點(diǎn)定理（3）介值定理2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點(diǎn)定理（3）介值定理u例例1212u補(bǔ)補(bǔ)5 5證明證

16、明BxfAxfbxax )(lim,)(lim設(shè)設(shè))(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,)(xf在在),(ba內(nèi)有界內(nèi)有界. .),(ba設(shè)設(shè))(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,),( aBxfAxfxax )(lim,)(lim證明證明)(xf在在),( a內(nèi)有界內(nèi)有界. .2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點(diǎn)定理（3）介值定理2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點(diǎn)定理（3）介值定理（2 2）零點(diǎn)定理）零點(diǎn)定理u例例1313 證明證明01 xxsin在在 22 ,內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根. .u例例1414 證明奇次多項(xiàng)

17、式證明奇次多項(xiàng)式)()(001221120 aaxaxaxpnnn至少有一個(gè)實(shí)根至少有一個(gè)實(shí)根. .方程根的存在性方程根的存在性（2 2）零點(diǎn)定理）零點(diǎn)定理構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)u例例1515u例例1616u補(bǔ)補(bǔ)6 6設(shè)設(shè))(xf在在2 , 0a證明證明上連續(xù)上連續(xù), ,)()(aff20 ( )()f xf x a在在上至少有一個(gè)實(shí)根上至少有一個(gè)實(shí)根. ., 0a設(shè)設(shè)為連續(xù)函數(shù)，其定義域和值域都是為連續(xù)函數(shù)，其定義域和值域都是證明存在證明存在,ba 使使.)( f)(xf,ba)()(),()(bgbfagaf 設(shè)設(shè))(),(xgxf上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，是是證明存在證明存在),(0ba