一元一次方程應(yīng)用題專題等積變形問(wèn)題【東湖中學(xué)】

1、 愿大家乘風(fēng)破浪，愿大家乘風(fēng)破浪， 在數(shù)學(xué)的海洋里在數(shù)學(xué)的海洋里 自由翱翔自由翱翔駛向勝利的彼岸等積變形問(wèn)題等積變形問(wèn)題名稱 圖形 正方形三角形 梯形 圓平行四邊形用字母表示公式周長(zhǎng)（C）面積（S）aahabhrbccdahS21hbaS)(212rSrC2dcbaCcbaCaC42aS 你會(huì)填下表中各圖形的周長(zhǎng)和面積公式嗎？你會(huì)填下表中各圖形的周長(zhǎng)和面積公式嗎？ahb)( 2baCahS 名稱 圖形 正方體長(zhǎng)方體圓柱體圓錐體用字母表示公式體積（V）a3aV 你會(huì)填下表中各圖形的體積公式嗎？你會(huì)填下表中各圖形的體積公式嗎？abcrhrhabcV hrV2hrV231 一塊長(zhǎng)、寬、高分別為一塊長(zhǎng)

2、、寬、高分別為4厘米、厘米、3厘米、厘米、2厘厘米的長(zhǎng)方體橡皮泥，要用它來(lái)捏一個(gè)底面半徑為米的長(zhǎng)方體橡皮泥，要用它來(lái)捏一個(gè)底面半徑為1.5厘米的圓柱，它的高是多少？（精確到厘米的圓柱，它的高是多少？（精確到0.1厘米，厘米，=3.14）分析分析：變形過(guò)程中體積保持不變，變形過(guò)程中體積保持不變，即即 長(zhǎng)方形的體積長(zhǎng)方形的體積 = 圓柱的體積圓柱的體積例例 如圖，用直徑為如圖，用直徑為200200毫米的圓鋼，鍛造一個(gè)毫米的圓鋼，鍛造一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為長(zhǎng)、寬、高分別為300300毫米、毫米、300300毫米和毫米和8080毫毫米的長(zhǎng)方體毛坯底板，米的長(zhǎng)方體毛坯底板，應(yīng)截取圓鋼多少（圓柱應(yīng)截取圓鋼多

3、少（圓柱的體積公式：體積的體積公式：體積 = = 底面積底面積 高線長(zhǎng)高線長(zhǎng). .計(jì)算計(jì)算時(shí)時(shí) 取取3.14.3.14.要求結(jié)果誤要求結(jié)果誤差不超過(guò)差不超過(guò)1 1毫米）？毫米）？200 x 80300300精講 例題 80300300精講 例題200 x分 析 思考思考1 1：題目中有哪些已知題目中有哪些已知量和未知量？它們之間有什么關(guān)量和未知量？它們之間有什么關(guān)系？如何設(shè)未知數(shù)？系？如何設(shè)未知數(shù)？ 已知：已知：圓鋼直徑（圓鋼直徑（200mm200mm）、）、長(zhǎng)方體毛胚的長(zhǎng)寬高（長(zhǎng)方體毛胚的長(zhǎng)寬高（300mm300mm、300mm300mm、80mm80mm） 未知：未知：圓鋼的高圓鋼的高 相

4、等關(guān)系：相等關(guān)系：圓鋼體積圓鋼體積= =長(zhǎng)方體毛胚的體積長(zhǎng)方體毛胚的體積 設(shè)未知數(shù)：設(shè)未知數(shù)：設(shè)應(yīng)截取圓鋼設(shè)應(yīng)截取圓鋼x毫米。毫米。一、分析題意，找出一、分析題意，找出等量關(guān)系，分析題中等量關(guān)系，分析題中數(shù)量及其關(guān)系，用字?jǐn)?shù)量及其關(guān)系，用字母（例如母（例如x）, ,表示問(wèn)表示問(wèn)題里的未知數(shù)；題里的未知數(shù)； 80300300精講 例題200 x分 析 思考思考2 2：如何用字母（未知如何用字母（未知數(shù)數(shù)x x）表示圓鋼的體積？）表示圓鋼的體積？圓鋼的體積圓鋼的體積= = （200/2)200/2)2 2 x 立方毫米立方毫米. .二、二、用含未知數(shù)用含未知數(shù)x的的一次式表示有關(guān)的量；一次式表示有

5、關(guān)的量； 80300300精講 例題200 x分 析 思考思考3 3：如何根據(jù)等量關(guān)系如何根據(jù)等量關(guān)系“圓鋼體積圓鋼體積= =長(zhǎng)方體毛胚的體積長(zhǎng)方體毛胚的體積”列出方程？列出方程？ 根據(jù)等量關(guān)系列出方程，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，得：得： （200/2)2 x = 30030080三、三、根據(jù)等量關(guān)系列根據(jù)等量關(guān)系列出方程；出方程； 80300300精講 例題200 x分 析 思考思考4 4：如何解這個(gè)方程？如何解這個(gè)方程？ （200/2)2 x = 30030080化簡(jiǎn)的化簡(jiǎn)的3.14x=720，故，故x230。四、解方程，求出未四、解方程，求出未知數(shù)的值；知數(shù)的值； 80300300精講 例題

6、200 x分 析五、檢驗(yàn)求得的值五、檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)是否正確和符合實(shí)際情形，并寫出答際情形，并寫出答案案. . 答：略。答：略。1.1.將一個(gè)底面直徑為將一個(gè)底面直徑為1010厘米，高為厘米，高為3636厘米的厘米的“瘦瘦長(zhǎng)長(zhǎng)”形圓柱鍛壓成底面直徑是形圓柱鍛壓成底面直徑是2020厘米的厘米的“矮胖矮胖”形圓柱，高變成了多少？形圓柱，高變成了多少？鍛壓鍛壓等量關(guān)系：變形前的體積等量關(guān)系：變形前的體積= =變形后的體積變形后的體積練 習(xí)2.2.已知一圓柱形容器底面半徑為已知一圓柱形容器底面半徑為0.5m,0.5m,高線長(zhǎng)為高線長(zhǎng)為1.5m,1.5m,里面盛里面盛有有1m1m深的水，將底

7、面半徑為深的水，將底面半徑為0.3m0.3m，高線長(zhǎng)為，高線長(zhǎng)為0.5m0.5m的圓柱形鐵的圓柱形鐵塊沉入水中，問(wèn)容器內(nèi)水面將升高多少塊沉入水中，問(wèn)容器內(nèi)水面將升高多少? ? 1. 5m5dm0. 5m3dm練 習(xí)分析：分析： 根據(jù)以上演示我們知道了它們的等量關(guān)系：根據(jù)以上演示我們知道了它們的等量關(guān)系： 水位上升部分的體積水位上升部分的體積= =小圓柱形鐵塊的體積小圓柱形鐵塊的體積 圓柱形體積公式是圓柱形體積公式是_,_, 水升高后的體積水升高后的體積 小鐵塊的體積小鐵塊的體積 （_） （_)_) 解：設(shè)水面將升高解：設(shè)水面將升高x米米, , 根據(jù)題意得根據(jù)題意得 方程為：方程為：_ 解這個(gè)方

8、程：解這個(gè)方程：_ 答：答：_ r2h0.52 x0.32 0.5 0.52 x = 0.32 0.5 x =0.18容器內(nèi)水面將升高容器內(nèi)水面將升高0.18m0.18m。小結(jié)：小結(jié)：說(shuō)說(shuō)列方程解應(yīng)用題的一半步驟：說(shuō)說(shuō)列方程解應(yīng)用題的一半步驟：列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：1 1、分析題意，找出等量關(guān)系，分析題中數(shù)量及其、分析題意，找出等量關(guān)系，分析題中數(shù)量及其關(guān)系，用字母（例如關(guān)系，用字母（例如x）, ,表示問(wèn)題里的未知數(shù)表示問(wèn)題里的未知數(shù). .2 2、用字母的一次式表示有關(guān)的量、用字母的一次式表示有關(guān)的量. .3 3、根據(jù)等量關(guān)系列出方程、根據(jù)等量關(guān)系

9、列出方程. .4 4、解方程，求出未知數(shù)的值、解方程，求出未知數(shù)的值. .5 5、檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫、檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫出答案出答案. .用一根直徑用一根直徑12厘米的圓柱形鉛柱，鑄造厘米的圓柱形鉛柱，鑄造10只直只直徑徑12厘米的鉛球，問(wèn)應(yīng)截取多長(zhǎng)的鉛厘米的鉛球，問(wèn)應(yīng)截取多長(zhǎng)的鉛 柱？柱？（ 球的體積球的體積= ）34R3分析分析：變形過(guò)程中體積保持不變，變形過(guò)程中體積保持不變，即即圓柱形鉛柱圓柱形鉛柱的體積的體積 = 10只鉛球只鉛球的體積的體積解：設(shè)應(yīng)截取解：設(shè)應(yīng)截取X 厘米長(zhǎng)的鉛柱。厘米長(zhǎng)的鉛柱。根據(jù)題意，列方程得根據(jù)題意，列方程得解得解得經(jīng)

10、檢驗(yàn)，符合題意。經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。答：應(yīng)截取答：應(yīng)截取8080厘米長(zhǎng)的鉛柱。厘米長(zhǎng)的鉛柱。80 x x ）（212210 34）（2123在一個(gè)底面直徑在一個(gè)底面直徑5厘米、高厘米、高18厘米的圓柱厘米的圓柱形瓶?jī)?nèi)裝滿水，再將瓶?jī)?nèi)的水倒入一個(gè)形瓶?jī)?nèi)裝滿水，再將瓶?jī)?nèi)的水倒入一個(gè)底面直徑底面直徑6厘米、高厘米、高10厘米的圓柱形玻璃厘米的圓柱形玻璃杯中，能否完全裝下？若裝不下，那么杯中，能否完全裝下？若裝不下，那么瓶?jī)?nèi)水面還有多高？若未能裝滿，求杯瓶?jī)?nèi)水面還有多高？若未能裝滿，求杯內(nèi)水面離杯口的距離？?jī)?nèi)水面離杯口的距離？圓柱形瓶?jī)?nèi)裝滿水，則水的體積為圓柱形瓶?jī)?nèi)裝滿水，則水的體積為: (立方厘米立方

11、厘米)圓柱形玻璃杯的容積為圓柱形玻璃杯的容積為:(立方厘米立方厘米)因?yàn)椋阂驗(yàn)椋捍鸫?；圓柱形玻璃杯裝不下，圓柱形圓柱形玻璃杯裝不下，圓柱形瓶?jī)?nèi)仍剩余部分的水瓶?jī)?nèi)仍剩余部分的水。5 .11218)25(29010)26(2解：解：90112.5所以可得到相等關(guān)系：所以可得到相等關(guān)系：圓柱形瓶?jī)?nèi)剩余水的體積圓柱形瓶?jī)?nèi)剩余水的體積 = 圓柱形瓶?jī)?nèi)圓柱形瓶?jī)?nèi)裝滿水的體積裝滿水的體積-玻璃杯里的水的體積玻璃杯里的水的體積 在變形過(guò)程中在變形過(guò)程中水的總體積水的總體積保持不變。保持不變。分析：分析：解解：設(shè)圓柱形瓶?jī)?nèi)的水面還有設(shè)圓柱形瓶?jī)?nèi)的水面還有x厘米高，厘米高，則剩余水的體積為則剩余水的體積為 。立方

12、厘米x2)25(90-112.5)25(2x根據(jù)題意，列方程得根據(jù)題意，列方程得解得解得3.6x經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。答：不能完全裝下，瓶?jī)?nèi)水面還有答：不能完全裝下，瓶?jī)?nèi)水面還有3.63.6厘米。厘米。例1 如圖,用直徑為200的圓柱體鋼，鍛造一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為300mm、300mm和90mm的長(zhǎng)方體毛坯，至少應(yīng)截取多少毫米的圓柱體鋼（計(jì)算時(shí)取3.14，結(jié)果精確到1mm)?把圓柱體鋼鍛造成長(zhǎng)方體毛坯，雖然形狀發(fā)生改變 ，但鍛造前后的體積是相等。圓柱體體積=長(zhǎng)方體體積x分析20030090300 圓柱體體積圓柱體體積= =？ 長(zhǎng)方體體積=?xhrV22220014. 390300

13、300 abcV解 設(shè)應(yīng)截取圓柱形鋼Xmm. 根據(jù)題意，得方程 解方程，得x258答：應(yīng)截取約258mm的圓柱體鋼。90300300220014. 32x 例2、一個(gè)梯形下底比上底多2cm，高是5cm，面積是40cm2,求上底。解設(shè)梯形的上底為xcm,則上底為（x+2）cm根據(jù)題意，得405221 xx解方程，得x=7答：梯形的上底為7cm。梯形的面積公式是什么 1、用一根長(zhǎng)60m的繩子圍成一個(gè)矩形，使它的長(zhǎng)是寬的1.5倍，長(zhǎng)和寬各是多少？動(dòng)手做一做 2、用直徑為4厘米的圓柱體鋼，鑄造3個(gè)直徑為2厘米，高為16厘米的圓柱形零件，問(wèn)需要截取多長(zhǎng)的圓柱形鋼？動(dòng)手做一做 用底面用底面20cm 20c

14、m長(zhǎng)方體容器長(zhǎng)方體容器（已注滿水）向一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是（已注滿水）向一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是16cm ，10cm 和和5cm的的 長(zhǎng)方體鐵盒內(nèi)長(zhǎng)方體鐵盒內(nèi)倒水。當(dāng)鐵盒裝滿水時(shí)，長(zhǎng)方體容器中倒水。當(dāng)鐵盒裝滿水時(shí)，長(zhǎng)方體容器中水的高度下降多少？水的高度下降多少？動(dòng)手做一做 如圖，有如圖，有A、B兩個(gè)圓柱形容兩個(gè)圓柱形容 器，器，A容器的底面積是容器的底面積是B容器底面積的容器底面積的2倍，倍，B容器的壁高為容器的壁高為22cm.已知已知A容器容器內(nèi)裝有高為內(nèi)裝有高為10cm的水，若把這些水倒的水，若把這些水倒入入B容器，水會(huì)溢出嗎？容器，水會(huì)溢出嗎？AB動(dòng)手做一做變形前的體積變形前的體積=變形后的體積變形后的體積:注注 意意有關(guān)圓柱、有關(guān)圓柱、 圓錐、球等體積變換問(wèn)題圓錐、球等體積變換問(wèn)題中中,經(jīng)常給的條件是直徑經(jīng)常給的條件是直徑,而公式中的是而公式中的是半徑半徑,不注意這一點(diǎn)就會(huì)犯錯(cuò)誤。不注意這一點(diǎn)就會(huì)犯錯(cuò)誤。 用一根長(zhǎng)用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲圍