結構力學——第6章結構位移計算

1、第六章 結構位移計算6-1 概述6-2 變形體系的虛功原理6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算6-5 圖乘法6-6 靜定結構溫度變化時的位移計算6-7 靜定結構支座移動時的位移計算6-8 線彈性結構的互等定理6-9 空間剛架的位移計算公式6-1 概述變形：變形：結構形狀的改變。結構形狀的改變。位移：位移：結構各處位置的移動。結構各處位置的移動。線段線段AAA點的線位移，計為點的線位移，計為A。截面截面A轉動的角度轉動的角度截面截面A的角位移，的角位移， 計為計為A。A可用水平分量可用水平分量Ax和豎向分量和豎向分量 Ay 表示。6-1 概述截面截面A的角

2、位移（順時針方向）的角位移（順時針方向）AB截面截面B的角位移（逆時針方向）的角位移（逆時針方向）BAAB截面截面A、B的相對角位移的相對角位移C點水平線位移（向右）點水平線位移（向右）CD點水平線位移（向左）點水平線位移（向左）DDCCDC、D兩點的水平相對線位移兩點的水平相對線位移產生位移的原因：荷載產生位移的原因：荷載 溫度改變溫度改變 支座移動支座移動 材料收縮材料收縮 制造誤差制造誤差6-1 概述計算結構位移的目的計算結構位移的目的（1）為了校核結構的剛度。）為了校核結構的剛度。（2）結構的施工中，也需要結構的位移。）結構的施工中，也需要結構的位移。（3）為分析靜定結構打下基礎。）為

3、分析靜定結構打下基礎。（4）結構的動力計算和穩(wěn)定計算中，需要計算結構的位移。）結構的動力計算和穩(wěn)定計算中，需要計算結構的位移。圖示結構進行懸臂拼裝時，由于自重及吊車等荷載作用，產生位移圖示結構進行懸臂拼裝時，由于自重及吊車等荷載作用，產生位移f fA A。必須先計算。必須先計算f fA A，以便采用相應措施，確保施工安全和拼裝就位。，以便采用相應措施，確保施工安全和拼裝就位。6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理：變形體系的虛功原理：變形體系處于平衡的必要和充分條件是，對于任何虛位移，外力所變形體系處于平衡的必要和充分條件是，對于任何虛位移，外力所做虛功總和等于各微段上的內力在其變形上所

4、作的虛功總和，簡單做虛功總和等于各微段上的內力在其變形上所作的虛功總和，簡單地說，地說，外力虛功等于變形虛功外力虛功等于變形虛功。位移狀態(tài)與位移狀態(tài)與力狀態(tài)無關力狀態(tài)無關虛位移必須虛位移必須是微小的是微小的6-2 變形體系的虛功原理外力虛功外力虛功W：整個結構所有外力（荷載與支座反力）在其：整個結構所有外力（荷載與支座反力）在其 相應的虛位移上所作虛功的總和。相應的虛位移上所作虛功的總和。變形虛功變形虛功WV：所有微段兩側截面上的內力在微段的變形上：所有微段兩側截面上的內力在微段的變形上 所作虛功的總和，也稱為內力虛功或虛應變能。所作虛功的總和，也稱為內力虛功或虛應變能。略去高階微量，微段上各

5、力在其變形上所作虛功為：略去高階微量，微段上各力在其變形上所作虛功為：sFMuFWddddSNV對整個結構有：對整個結構有：sFMuFWWddddSNVV虛功方程為：虛功方程為：VWW sFMuFWdddSN6-2 變形體系的虛功原理虛功原理的應用虛功原理的應用虛位移原理：虛位移原理： 對于給定的力狀態(tài)，虛設一個位移狀態(tài)，利對于給定的力狀態(tài)，虛設一個位移狀態(tài)，利 用虛功方程求解力狀態(tài)中的未知力。用虛功方程求解力狀態(tài)中的未知力。虛力原理：虛力原理： 對于給定的位移狀態(tài)，虛設一個力狀態(tài)，利用對于給定的位移狀態(tài)，虛設一個力狀態(tài)，利用 虛功方程求解位移狀態(tài)中的位移。虛功方程求解位移狀態(tài)中的位移。6-3

6、 位移計算的一般公式 單位荷載法 圖圖a所示結構由于荷載、溫度變化及支座移動引起了變形，所示結構由于荷載、溫度變化及支座移動引起了變形，求求K點沿任一指定方向點沿任一指定方向kk的位移的位移K。 虛設力狀態(tài)如圖虛設力狀態(tài)如圖b，使力狀態(tài)的外力能在位移狀態(tài)的，使力狀態(tài)的外力能在位移狀態(tài)的K 上作虛功。上作虛功。外力虛功為外力虛功為cFcFcFcFFWKKKR33R22R11R1變形虛功為變形虛功為dsddSNVFMuFW由虛功原理由虛功原理VWW dsddSNRFMuFcFK平面桿件結構位移計算一般公式平面桿件結構位移計算一般公式設設 FK=1單位荷載法單位荷載法6-3 位移計算的一般公式 單位

7、荷載法 圖圖a為求為求A點水平位移時的虛擬狀態(tài)點水平位移時的虛擬狀態(tài)圖圖b為求為求A截面轉角時的虛擬狀態(tài)截面轉角時的虛擬狀態(tài)圖圖c為求為求A、B兩點在其連線上相對線位移時的虛擬狀態(tài)兩點在其連線上相對線位移時的虛擬狀態(tài)圖圖d為求為求A、B兩個截面相對轉角時的虛擬狀態(tài)兩個截面相對轉角時的虛擬狀態(tài)廣義位移廣義位移：線位移、角位移、相對線位移、相對角位移、某一組位移的統(tǒng)稱。線位移、角位移、相對線位移、相對角位移、某一組位移的統(tǒng)稱。廣義力廣義力：集中力、力偶、一對集中力、一對力偶、某一力系的統(tǒng)稱。集中力、力偶、一對集中力、一對力偶、某一力系的統(tǒng)稱。6-3 位移計算的一般公式 單位荷載法 求圖求圖a所示桁

8、架所示桁架AB桿的角位移。桿的角位移。 在位移微小的前提下，桁架桿件的在位移微小的前提下，桁架桿件的角位移角位移=其兩端在垂直于桿軸方向上的其兩端在垂直于桿軸方向上的相對線位移除以桿長，如圖相對線位移除以桿長，如圖b。dBAABAB桿的角位移桿的角位移荷載所做的虛功荷載所做的虛功ABBABAddd116-3 位移計算的一般公式 單位荷載法 6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算計算對象：線彈性結構，位移與荷載成正比，應力與應變符合計算對象：線彈性結構，位移與荷載成正比，應力與應變符合 胡克定律。胡克定律。 求圖求圖a所示結構所示結構K點的豎向位點的豎向位移移KP。位移計算公式為。位移計算公式為

9、 dsddPSPPNPFMuFK 虛擬狀態(tài)如圖虛擬狀態(tài)如圖b所示。由材料力學所示。由材料力學EIsM ddPPEAsFuddNPPGAskFsddSPP k剪切變形的剪切變形的 改正系數(shù)改正系數(shù)平面桿件結構在荷載作用下的位移計算公式為：平面桿件結構在荷載作用下的位移計算公式為：GAsFFkEAsFFEIsMMKdddSPSNPNPP梁和剛架（受彎桿件）的位移計算公式為：梁和剛架（受彎桿件）的位移計算公式為：EIsMMKdPP桁架（只有軸力）的位移計算公式為：桁架（只有軸力）的位移計算公式為：EAlFFEAsFFKNPNNPNPd組合結構（受彎桿件組合結構（受彎桿件+鏈桿）的位移計算公式為：鏈桿

10、）的位移計算公式為：EAlFFEIsMMKNPNPPd6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算例例6-1 試求圖試求圖a所示剛架所示剛架A點的豎向位移點的豎向位移Ay。各桿的材料相。各桿的材料相 同，截面的同，截面的I、A均為常數(shù)。均為常數(shù)。解：解：（1）虛擬狀態(tài)如圖）虛擬狀態(tài)如圖b，各桿內力為，各桿內力為AB段：段：1, 0,SNFFxMBC段：段：0, 1,SNFFlM（2）實際狀態(tài)中，各桿內力為）實際狀態(tài)中，各桿內力為AB段：段：qxFFqxMSPNP2P, 0,20,2SPNP2PFqlFqlMBC段：段：（3）代入位移計算公式）代入位移計算公式)54581 (85285224224GA

11、lkEIAlIEIqlGAkqlEAqlEIqlAy6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算)54581 (85224GAlkEIAlIEIqlAy（4）討論）討論上式中：第一項為彎矩的影響，第二、三項分別為軸力、剪力的影響。上式中：第一項為彎矩的影響，第二、三項分別為軸力、剪力的影響。設：桿件截面為矩形，寬度為設：桿件截面為矩形，寬度為b、高度為、高度為h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5)(252)(1521 85224lhGElhEIqlAy截面高度與桿長之比截面高度與桿長之比h/l愈大，軸力和剪力影響所占比重愈大。愈大，軸力和剪力影響所占比重愈大。當當h/l=1/10，G=0.4E

12、時，計算得時，計算得500175011 854EIqlAy此時軸力和剪力的影響不大，可以略去。此時軸力和剪力的影響不大，可以略去。6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算例例6-2 試求圖試求圖a所示等截面圓弧曲梁所示等截面圓弧曲梁B點的水平位移點的水平位移Bx。設。設 梁的截面厚度遠小于其半徑梁的截面厚度遠小于其半徑R。解：近似采用直桿的位移計算公式，只考慮彎解：近似采用直桿的位移計算公式，只考慮彎 矩影響。實際狀態(tài)中的截面彎矩為矩影響。實際狀態(tài)中的截面彎矩為虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)sinPFRM虛擬狀態(tài)如圖虛擬狀態(tài)如圖b，截面彎矩為，截面彎矩為)cos1 ()cos(1RRRM代入位移計算公式，可得

13、代入位移計算公式，可得)(2)cos1 (d32PEIFREIsMMBx6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算例例6-3 試求圖試求圖a所示對稱桁架結點所示對稱桁架結點D的豎向位移的豎向位移D。圖中右半。圖中右半 部各括號內數(shù)值為桿件的截面面積部各括號內數(shù)值為桿件的截面面積A（10-4m2），）， E=210GPa。解：實際狀態(tài)各桿內力解：實際狀態(tài)各桿內力 如圖如圖a（左半部）。（左半部）。虛擬狀態(tài)各桿內力如圖虛擬狀態(tài)各桿內力如圖b（左半部）。（左半部）。注意桁架桿件軸力是正對稱的注意桁架桿件軸力是正對稱的)mm(8NPNEAlFFD6-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算6-5 圖乘法梁和剛架

14、在荷載作用下的位移計算公式為梁和剛架在荷載作用下的位移計算公式為EIsMMKdPP公式中的積分運算比較麻煩，當結構中各桿段滿足下列條件時：公式中的積分運算比較麻煩，當結構中各桿段滿足下列條件時：（1）桿軸為直線；）桿軸為直線；（2）EI=常數(shù)；常數(shù)；（3）M 和和MP兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形。兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形。計算可以簡化計算可以簡化如圖：如圖：ds用用dx代替，代替， EI可提到積分號外?？商岬椒e分號外。tanxM tan為常數(shù)為常數(shù)6-5 圖乘法AxEIxxMEIEIsMMdtandtandPPxMAddPMP圖中陰影的微分面積圖中陰影的微分面積Axd微分面積對微分

15、面積對y軸的靜矩軸的靜矩CxAAxdAMP圖的面積；圖的面積；xC形心形心C到到y(tǒng)軸的距離。軸的距離。EIyAxAEIEIsMMCCtandPyC是是MP圖的形心圖的形心C所對應的所對應的M圖的豎標圖的豎標圖乘法圖乘法6-5 圖乘法如結構上所有各桿段均可圖乘，則位移計算公式可寫為如結構上所有各桿段均可圖乘，則位移計算公式可寫為EIyAEIsMMCKdPP 應用圖乘法時，應注意下列各點：應用圖乘法時，應注意下列各點：（1）必須符合上述前提條件。）必須符合上述前提條件。（2）豎標）豎標yC只能取自直線圖形。只能取自直線圖形。（3）A與與yC若在桿件的同側則乘積取正號，異側則取負號。若在桿件的同側則

16、乘積取正號，異側則取負號。6-5 圖乘法常用簡單圖形的面積和形心常用簡單圖形的面積和形心6-5 圖乘法兩個梯形相乘時：兩個梯形相乘時：將將MP圖分解為兩個三角形（或一個圖分解為兩個三角形（或一個矩形和一個三角形）。矩形和一個三角形）。dcya3132dcyb3231兩個圖的豎標兩個圖的豎標a、b或或c、d不在基線同不在基線同一測時：可分解為位于基線兩側的兩一測時：可分解為位于基線兩側的兩個三角形，在進行圖乘。個三角形，在進行圖乘。6-5 圖乘法均布荷載作用下的任何一段直桿：均布荷載作用下的任何一段直桿：彎矩圖彎矩圖=一個梯形一個梯形+一個標準拋物一個標準拋物線圖形如圖線圖形如圖a。 圖圖a的彎

17、矩圖與圖的彎矩圖與圖b所示相所示相應簡支梁的彎矩圖是相同的，應簡支梁的彎矩圖是相同的，由此可以很方便地進行圖乘。由此可以很方便地進行圖乘。6-5 圖乘法 yC所在圖形是折線圖形時，所在圖形是折線圖形時，應分段圖乘。如圖所示。應分段圖乘。如圖所示。)(1332211yAyAyAEI 桿件為變截面直桿時，應分桿件為變截面直桿時，應分段圖乘。如圖所示。段圖乘。如圖所示。333222111EIyAEIyAEIyA6-5 圖乘法例例6-4 試求圖試求圖a所示剛架所示剛架C、D兩點的距離改變。設兩點的距離改變。設EI=常數(shù)。常數(shù)。解：實際狀態(tài)彎矩圖如圖解：實際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。所示。 虛擬狀態(tài)如圖虛擬

18、狀態(tài)如圖c所示。所示。 由圖乘法，可得由圖乘法，可得)(12)832(132EIqhlhlqlEIEIyACCD6-5 圖乘法例例6-5 試求圖試求圖a所示剛架所示剛架A點的豎向位移點的豎向位移Ay，并勾繪剛架的，并勾繪剛架的 變形曲線。變形曲線。解：實際狀態(tài)彎矩圖如圖解：實際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。所示。 虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖c所示。所示。)(164)32(212)2(13EIFlFlllEIFlllEIEIyACAy 根據(jù)根據(jù)實際狀態(tài)實際狀態(tài)彎矩圖，彎矩圖，判定桿件判定桿件變形后的變形后的凸凹方向。凸凹方向。6-5 圖乘法例例6-6 試求圖試求圖a所示外伸梁所示外伸梁C點的豎

19、向位移點的豎向位移Cy，梁的，梁的EI=常數(shù)。常數(shù)。解：實際狀態(tài)彎矩圖如圖解：實際狀態(tài)彎矩圖如圖b所示。所示。 虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖c所示。所示。 將將AB段的彎矩圖分解為一個三角段的彎矩圖分解為一個三角形和一個標準二次拋物線圖形。形和一個標準二次拋物線圖形。 由圖乘法得由圖乘法得)(1284)832(3)821(83)2831(14222EIqlllqlllqlllqlEICy6-5 圖乘法例例6-7 圖圖a為一組合結構，試求為一組合結構，試求D點的豎向位移點的豎向位移Dy。解：實際狀態(tài)解：實際狀態(tài)FNP、MP如圖如圖b所示。所示。 虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)FN、M如圖如圖c所示。所

20、示。)(34)221 (221122113NPNIEFaAEFaIEyAAElFFCDy6-6 靜定結構溫度變化時的位移計算 試求圖試求圖a所示結構由于溫度變所示結構由于溫度變化產生的化產生的K點的豎向位移點的豎向位移Kt。為材料的線膨脹系數(shù)。為材料的線膨脹系數(shù)。dsddSNtttKtFMuF桿軸線處的溫度變化為桿軸線處的溫度變化為stutdd2112thhthhthsthststtdddd1212ttt對于桿件結構溫度變化不引起剪切變形，對于桿件結構溫度變化不引起剪切變形，t=0。桿件截面對稱于形心軸桿件截面對稱于形心軸221ttt將溫度變化引起的微段變形代入位移計算公式可得將溫度變化引起的

21、微段變形代入位移計算公式可得 hsMtsFhstMsFKtddtdtdNN若各桿為等截面桿若各桿為等截面桿MFKthtAtAN圖的面積圖的面積MFMFAANN，符號的確定：溫度變化以升溫為正，軸力以拉力為正；符號的確定：溫度變化以升溫為正，軸力以拉力為正； 彎矩彎矩M以使以使t2邊受拉為正。邊受拉為正。對于桁架對于桁架tlFKtN對于桁架由于桿件制造誤差對于桁架由于桿件制造誤差lFKtN6-6 靜定結構溫度變化時的位移計算例例6-8 圖圖a所示剛架施工時溫度為所示剛架施工時溫度為20，試求冬季當外側溫度為，試求冬季當外側溫度為 -10 ，內側溫度為，內側溫度為0 時時A點的豎向位移點的豎向位移

22、Ay。已知。已知 l=4m，=10-5 -1-1，各桿均為矩形截面，高度，各桿均為矩形截面，高度h=0.4=0.4m。解：虛擬狀態(tài)如圖解：虛擬狀態(tài)如圖b，軸力圖、彎矩圖如圖，軸力圖、彎矩圖如圖c、d。外側溫度變化為。外側溫度變化為t1， t1=-30 ，內側溫度變化為內側溫度變化為t2=-20 。25221ttt10t)(mm5AtANMFAyht6-6 靜定結構溫度變化時的位移計算6-7 靜定結構支座移動時的位移計算 圖圖a所示靜定結構，其支座發(fā)生了水平位移所示靜定結構，其支座發(fā)生了水平位移c1、豎向沉陷、豎向沉陷c2和轉角和轉角c3，現(xiàn)要求由此引起的任一點沿任一方向的位移，如現(xiàn)要求由此引起

23、的任一點沿任一方向的位移，如K點的豎向位移點的豎向位移Kc。 對于靜定結構，支座發(fā)生移動并不引起內力，材料不發(fā)生變形，此對于靜定結構，支座發(fā)生移動并不引起內力，材料不發(fā)生變形，此時結構的位移屬剛體位移。位移計算一般公式簡化為時結構的位移屬剛體位移。位移計算一般公式簡化為cFKcRRF為虛擬狀態(tài)的支座反力為虛擬狀態(tài)的支座反力RF與與c方向一致時其乘積取正方向一致時其乘積取正例例6-9 圖圖a所示三角剛架右邊支座的豎向位移所示三角剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m, 水水 平位移為平位移為Bx=0.06m, 已知已知l=12m，h=8m。試求由此引。試求由此引 起的起的A段轉角段轉角 。A解：

24、虛擬狀態(tài)及支座反力計算結果如圖解：虛擬狀態(tài)及支座反力計算結果如圖b。) rad(0075. 0RcFA6-7 靜定結構支座移動時的位移計算6-8 線彈性結構的互等定理（1）功的互等定理）功的互等定理W12第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應的位移上作的虛功第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)相應的位移上作的虛功Wi12第一狀態(tài)的內力在第二狀態(tài)相應的變形上作的虛功第一狀態(tài)的內力在第二狀態(tài)相應的變形上作的虛功12i12WWGAsFFkEAsFFEIsMMFdddS2S1N2N121121同理同理GAsFFkEAsFFEIsMMFdddS1S2N1N212212可得可得212121FF或或2112WW功的互等定理：功的

25、互等定理：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于等于 第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。（2）位移互等定理）位移互等定理設：設：F1=1，F(xiàn)2=1，由功的互等定理，由功的互等定理211211可得可得2112 單位力引起的位移用小寫字母單位力引起的位移用小寫字母12和和21表示表示上式改寫為上式改寫為2112 位移互等定理：位移互等定理： 第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向的位移，第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向的位移，等等 于于第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向的位移第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向的位移 。6-8 線彈性結構的互等定理單位力可以是廣義單位力，位移即是相應的廣義位移。單位力可以是廣義單位力，位移即是相應的廣義位移。如圖如圖a、b。根據(jù)位移互等定理，應有根據(jù)位移互等定理，應有CAf由材料力學由材料力學EIMlfEIFlCA16,1622注意：注意：F=1、M=1的量綱為的量綱為1， 含義不同，但此時二者在含義不同，但此時二者在數(shù)值上是相等的，量綱也相同。數(shù)值上是相等的，量綱也相同。CAf、6-8 線彈性結構的互等定理