二次函數(shù)存在性

1、 二次函數(shù)與幾何綜合類存在性二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題問題金沙縣第三中學(xué)初三數(shù)學(xué)備課組金沙縣第三中學(xué)初三數(shù)學(xué)備課組二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓和相似三角形常常綜合在二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓和相似三角形常常綜合在一起運用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把一起運用，解決這類問題需要用到數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)數(shù)”與與“形形”結(jié)合起來，互相滲透存在探索型問題是指在給定條件結(jié)合起來，互相滲透存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個結(jié)論是否出現(xiàn)的問下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個結(jié)論是否出現(xiàn)的問題解決這類問題的

2、一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，題解決這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，然后在這個假設(shè)下進行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；然后在這個假設(shè)下進行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例例1 1 20132013重慶重慶 如圖如圖42421 1，對稱軸為直線，對稱軸為直線x x1 1的拋的拋物線物線y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)與與x x軸的交點為軸的交點為A A、B B兩點，其中點兩點，其中點A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，0)0)(1)(

3、1)求點求點B B的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)(2)已知已知a a1 1，C C為拋物線與為拋物線與y y軸的交點軸的交點若點若點P P在拋物線上，且在拋物線上，且S SPOCPOC4S4SBOCBOC，求點求點P P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；設(shè)點設(shè)點Q Q是線段是線段ACAC上的動點，作上的動點，作QDxQDx軸交拋物線于點軸交拋物線于點D D，求線段，求線段QDQD長度的最大值長度的最大值探究一探究一 二次函數(shù)與三角形的結(jié)合二次函數(shù)與三角形的結(jié)合圖圖42421 1二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 例題分層分析例題分層分析 (1)(1)拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法確定

4、拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法確定點點B B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，能求出的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，能求出B B點的坐標(biāo)嗎？點的坐標(biāo)嗎？(2)(2)要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？要求拋物線解析式應(yīng)具備哪些條件？由由a a1 1，A(A(3 3，0)0)，B(1B(1，0)0)三個條件試一試；三個條件試一試；(3)(3)根據(jù)根據(jù)S SPOCPOC4S4SBOCBOC列出關(guān)于列出關(guān)于x x的方程，解方程求出的方程，解方程求出x x的值；的值；(4)(4)如何用待定系數(shù)法求出直線如何用待定系數(shù)法求出直線ACAC的解析式？的解析式？(5)D(5)D點的坐標(biāo)怎么用點的坐標(biāo)怎么用x

5、x來表示？來表示？(6)QD(6)QD怎樣用含怎樣用含x x的代數(shù)式來表示？的代數(shù)式來表示？(7)QD(7)QD與與x x的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何求出最大的函數(shù)關(guān)系如何？是二次函數(shù)嗎？如何求出最大值？值？二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題解題方法點析解題方法點析 以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點存在性問題是以二次函數(shù)、三角形為背景的有關(guān)點存在性問題是以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，判斷三角形滿足某以二次函數(shù)的圖象和解析式為背景，判斷三角形滿足某些關(guān)于點的條件時，是否存在的問題，這類問題有關(guān)于些關(guān)于點的條件時，是否存在的問題，這類問題有關(guān)于點的對稱點、線段、三

6、角形等類型之分這類試題集代點的對稱點、線段、三角形等類型之分這類試題集代數(shù)、幾何知識于一體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變數(shù)、幾何知識于一體，數(shù)形結(jié)合，靈活多變 二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 解解二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例例2 2 20132013棗莊棗莊 如圖如圖42422 2，在平面直角坐標(biāo)系中，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)二次函數(shù)y yx x2 2bxbxc c的圖象與的圖象與x x軸交于軸交于A A、B B兩點，兩點，B B點點的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3(3，0)0)，與，與y

7、 y軸交于軸交于C(0C(0，3)3)，點，點P P是直線是直線BCBC下下方拋物線上的動點方拋物線上的動點(1)(1)求這個二次函數(shù)的解析式；求這個二次函數(shù)的解析式；(2)(2)連接連接POPO、PCPC，并將，并將POCPOC沿沿y y軸對折，得到四邊形軸對折，得到四邊形POPCPOPC，那么是否存在點，那么是否存在點P P，使得四邊形，使得四邊形POPCPOPC為菱形？為菱形？若存在，求出此時點若存在，求出此時點P P的坐標(biāo)；若的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；不存在，請說明理由；(3)(3)當(dāng)點當(dāng)點P P運動到什么位置時，運動到什么位置時，四邊形四邊形ABPCABPC的面積最大？求的面積最

8、大？求出此時出此時P P點的坐標(biāo)和四邊形點的坐標(biāo)和四邊形A ABPCBPC的最大面積的最大面積探究二探究二 二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合 圖圖42422 2二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例題分層分析例題分層分析(1)(1)圖中已知拋物線上幾個點？圖中已知拋物線上幾個點？將將B B、C C的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；(2)(2)畫出四邊形畫出四邊形POPCPOPC，若四邊形，若四邊形POPCPOPC為菱形，那么為菱形，那么P P點必點必在在OCOC的垂直平分線上，由此能求出的垂直平分線上，由此能求出P P點坐標(biāo)嗎？點坐標(biāo)嗎

9、？(3)(3)由于由于ABCABC的面積為定值，求四邊形的面積為定值，求四邊形ABPCABPC的最大面積，即的最大面積，即求求BPCBPC的最大面積的最大面積解題方法點析解題方法點析求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補法把四邊形面求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補法把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 解解二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題探究三探究三 二

10、次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合 圖圖42423 3二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例題分層分析例題分層分析(1)將將_代入代入yax22axc，求出拋物線的解，求出拋物線的解析式；析式；(2)根據(jù)根據(jù)_的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解的解析式；析式；(3)根據(jù)拋物線和直線根據(jù)拋物線和直線AC的解析式如何表示出點的解析式如何表示出點P、點、點M的的坐標(biāo)和坐標(biāo)和PM的長？的長？(4)由于由于PFC和和AEM都是直角，都是直角，F(xiàn)和和E對應(yīng)，則若以對應(yīng)，則若以P、C、F為頂點的三角形和為頂點的三角形和AEM相似時，分兩種

11、情況進行相似時，分兩種情況進行討論：討論：PFC_，PFC_二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題解題方法點析解題方法點析 此類問題常涉及運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函此類問題常涉及運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)相似三直角三角形、等腰三角形的判定要注意的是當(dāng)相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確時，要分類討論，以免漏角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確時，要分類討論，以免漏解解二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題 解解二次函數(shù)

12、與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題探究四探究四 二次函數(shù)與圓的結(jié)合二次函數(shù)與圓的結(jié)合 例例4 4 20132013巴中巴中 如圖如圖42424 4，在平面直角坐標(biāo)系中，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點為O O，A A點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為(4(4，0)0)，B B點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為( (1 1，0)0)，以以ABAB的中點的中點P P為圓心，為圓心，ABAB為直徑作為直徑作P P與與y y軸的正半軸交

13、于軸的正半軸交于點點C.C.(1)(1)求經(jīng)過求經(jīng)過A A、B B、C C三點的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；三點的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)(2)設(shè)設(shè)M M為為(1)(1)中拋物線的頂點，求中拋物線的頂點，求直線直線MCMC對應(yīng)的函數(shù)解析式；對應(yīng)的函數(shù)解析式；(3)(3)試說明直線試說明直線MCMC與與P P的位置關(guān)系，的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論圖圖42424 4二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題例題分層分析例題分層分析(1)(1)已知拋物線上的哪兩個點？設(shè)經(jīng)過已知拋物線上的哪兩個點？設(shè)經(jīng)過A A、B B、C C三點的拋三點的拋物線解析式是物線解析式是y ya(xa(x4)(x4)(x1)1)，如何求出，如何求出C C點坐標(biāo)？點坐標(biāo)？(2)(2)怎么求出頂點怎么求出頂點M M的坐標(biāo)？的坐標(biāo)？(3)(3)若直線若直線MCMC與與P P相切，如何去求證？相切，如何去求證？解題方法點析解題方法點析 用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二