笫四章根軌跡法

1、第四章第四章 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法控制系統(tǒng)的根軌跡分析法4.1 系統(tǒng)根軌跡的基本概念系統(tǒng)根軌跡的基本概念4.2 繪制根軌跡的繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則基本條件和基本規(guī)則4.3 系統(tǒng)根軌跡的繪制系統(tǒng)根軌跡的繪制4.4 參量根軌跡參量根軌跡4.5 系統(tǒng)性能的根軌跡分析系統(tǒng)性能的根軌跡分析24.1 系統(tǒng)根軌跡的基本概念系統(tǒng)根軌跡的基本概念一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 在前一章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析的討論中已在前一章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析的討論中已經(jīng)知道，只要能求得系統(tǒng)微分方程的特征方經(jīng)知道，只要能求得系統(tǒng)微分方程的特征方程式的根即系統(tǒng)程式的根即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，則系，則系統(tǒng)的穩(wěn)

2、定性和動(dòng)態(tài)性能就可以確定。但是在統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能就可以確定。但是在高階系統(tǒng)中，求解特征根的根是一件很困難高階系統(tǒng)中，求解特征根的根是一件很困難的事，在實(shí)際工作中難以應(yīng)用。的事，在實(shí)際工作中難以應(yīng)用。 31948年伊文思根據(jù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)和閉環(huán)傳年伊文思根據(jù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，提出了求解特征方遞函數(shù)之間的關(guān)系，提出了求解特征方程根的圖解方法程根的圖解方法根軌跡法。根軌跡法。根軌跡根軌跡法是分析、設(shè)計(jì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的一種圖法是分析、設(shè)計(jì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的一種圖解方法。解方法。二、根軌跡的概念二、根軌跡的概念定義定義 的的某個(gè)參數(shù)某個(gè)參數(shù)，例如，例如K,由由 時(shí)，系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征

3、根在的閉環(huán)特征根在S平面上的變化平面上的變化 軌跡。軌跡。例例 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，請(qǐng)繪出已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，請(qǐng)繪出 K變化變化 時(shí)的根軌跡。時(shí)的根軌跡。)(sGk0:KR(s)4( ssKg-Y(s)解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為ggggggKsKsssDKssKssKssKs4204)(4)4(1)4()(2, 122j-4-20有了根軌跡圖，可以立即有了根軌跡圖，可以立即分析系統(tǒng)的各種性能分析系統(tǒng)的各種性能（1）穩(wěn)定性穩(wěn)定性 開(kāi)環(huán)增益開(kāi)環(huán)增益Kg從零變到無(wú)窮時(shí)，從零變到無(wú)窮時(shí)，根軌跡不根軌跡不會(huì)越過(guò)虛軸進(jìn)入右半會(huì)越過(guò)虛軸進(jìn)入右半s平面，

4、因此系統(tǒng)對(duì)所有的平面，因此系統(tǒng)對(duì)所有的Kg值值都是穩(wěn)定的。都是穩(wěn)定的。（2）穩(wěn)態(tài)特性穩(wěn)態(tài)特性 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所以屬于一型系統(tǒng)。因此根軌跡的以屬于一型系統(tǒng)。因此根軌跡的Kg值值就是靜態(tài)速度誤就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的允許范圍?？梢源_定閉環(huán)極點(diǎn)位置的允許范圍。7（3）動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)特性 由圖中可見(jiàn)，由圖中可見(jiàn)，當(dāng)當(dāng)0Kg4時(shí)時(shí)，所，所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過(guò)阻尼系有閉環(huán)極點(diǎn)都位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過(guò)阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程；統(tǒng)，單位階躍響

5、應(yīng)為非周期過(guò)程；當(dāng)當(dāng)Kg=4時(shí)時(shí)，閉環(huán)兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)相重合，系統(tǒng)為臨界阻尼閉環(huán)兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)相重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍仍為非周期過(guò)程，但響應(yīng)速系統(tǒng)，單位階躍仍為非周期過(guò)程，但響應(yīng)速度較度較0Kg4時(shí)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼震為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼震蕩過(guò)程，且超調(diào)量將會(huì)隨蕩過(guò)程，且超調(diào)量將會(huì)隨Kg值的增大值的增大而加大。而加大。9由上述分析表明：由上述分析表明：根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著比較密切的關(guān)系。比較密切的關(guān)系。 一般而言，繪制根軌跡時(shí)的一般而言，繪制根軌跡時(shí)的可變參量可變參量可以是系統(tǒng)可以

6、是系統(tǒng)的任意參量。但最常用的可變參量是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳的任意參量。但最常用的可變參量是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)遞系數(shù)Kg（也稱(chēng)為根軌跡增益）。（也稱(chēng)為根軌跡增益）。 Kg常規(guī)根軌跡常規(guī)根軌跡 Kg以外的參數(shù)以外的參數(shù)參量根軌跡參量根軌跡以上二階系統(tǒng)的根軌跡可以用以上二階系統(tǒng)的根軌跡可以用解析法解析法來(lái)求得，但對(duì)來(lái)求得，但對(duì)于高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，解析法就不適用了，工程上常采于高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，解析法就不適用了，工程上常采用圖解的方法來(lái)繪制用圖解的方法來(lái)繪制。114.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則則本節(jié)重點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn): 掌握根軌跡的繪制方法掌握根軌跡的繪制方法本節(jié)難點(diǎn)：本節(jié)難點(diǎn)：根軌跡的

7、出射角和入射角，以根軌跡的出射角和入射角，以及根軌跡和虛軸的交點(diǎn)及根軌跡和虛軸的交點(diǎn) 一、根軌跡的幅值條件和相角條件一、根軌跡的幅值條件和相角條件一般的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，其特征方程為一般的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，其特征方程為其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)由等式兩邊幅值和相角分別相等的條件可得由等式兩邊幅值和相角分別相等的條件可得0)()(1sHsG1)()()(sHsGsGk, 2 , 1 , 0) 12(180)()(1)()(kksHsGsHsG13上兩式分別稱(chēng)為根軌跡的上兩式分別稱(chēng)為根軌跡的 幅值條件幅值條件 相角條件相角條件。14在在S平面上的任一點(diǎn)平面上的任一點(diǎn)，凡能滿(mǎn)足以上

8、幅值，凡能滿(mǎn)足以上幅值和相角條件的，就是系統(tǒng)特征方程的根，和相角條件的，就是系統(tǒng)特征方程的根，就必定在根軌跡上。就必定在根軌跡上。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)通常又可以寫(xiě)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)通常又可以寫(xiě)為其中其中 開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)，根軌跡增益。開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)，根軌跡增益。 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)即即其中其中 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)到開(kāi)環(huán)零點(diǎn)到S的矢量角的矢量角 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到S的矢量角的矢量角1)()()()(11niimjjgpszsKsHsGijgpzK,2, 1 ,0)12(180)()(1111111 kkpszsniimjjgmjniijmjniijpszsKij在測(cè)量相角時(shí)，規(guī)定以在測(cè)量相角時(shí)，規(guī)定以逆逆時(shí)針?lè)?/p>

9、向?yàn)檎龝r(shí)針?lè)较驗(yàn)檎＠?已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式，設(shè)已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式，設(shè) 為該閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)，為該閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)， 求其對(duì)應(yīng)的傳遞系數(shù)求其對(duì)應(yīng)的傳遞系數(shù) 。式中。式中 為開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)；為開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)； 為開(kāi)環(huán)為開(kāi)環(huán) 極點(diǎn)。極點(diǎn)。解：解：在上圖，各相角必滿(mǎn)足在上圖，各相角必滿(mǎn)足再按幅值條件求得該點(diǎn)的根軌跡傳遞系數(shù)再按幅值條件求得該點(diǎn)的根軌跡傳遞系數(shù))()()(211pspsszsKsGgK0s0gK1z21, 0pp ) 12(1803211k13210lLLLKg基本思想基本思想:根據(jù)幅值條件確定根軌跡根據(jù)幅值條件確定根軌跡上某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益，由上某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益，由

10、相角條件確定根軌跡上的相角條件確定根軌跡上的某點(diǎn)位置。某點(diǎn)位置。二、根軌跡繪制法則二、根軌跡繪制法則1.連續(xù)性連續(xù)性 2.對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸，因特征根為實(shí)數(shù)或?qū)ΨQ(chēng)性：對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸，因特征根為實(shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，根軌跡必然對(duì)為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡必然對(duì) 稱(chēng)于實(shí)軸。稱(chēng)于實(shí)軸。0 :1)()(11ggniimjjKKpszs化，根軌跡連續(xù)變化。連續(xù)變化，根也連續(xù)變gK183. 起點(diǎn)起點(diǎn) （Kg =0）和終點(diǎn)（）和終點(diǎn)（Kg = ） 當(dāng)當(dāng)Kg =0 閉環(huán)系統(tǒng)特征根即由開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征方閉環(huán)系統(tǒng)特征根即由開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征方程式?jīng)Q定，即閉環(huán)極點(diǎn)也就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，程式?jīng)Q定，即閉環(huán)極點(diǎn)也就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，根軌跡根軌跡從

11、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出發(fā)。從開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出發(fā)。 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（有限，無(wú)限）為（有限，無(wú)限）為根軌跡終點(diǎn)根軌跡終點(diǎn)。設(shè)。設(shè)N(s)為為m階，有階，有m個(gè)個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，還有，還有n-m個(gè)個(gè)無(wú)限零點(diǎn)無(wú)限零點(diǎn)。194 .根軌跡數(shù)根軌跡數(shù)條數(shù)：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)條數(shù)：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，有，有n條根軌跡。條根軌跡。205.實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡 在在S平面實(shí)軸上的線(xiàn)段存在根軌跡的平面實(shí)軸上的線(xiàn)段存在根軌跡的條件是：條件是：線(xiàn)段右側(cè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)）線(xiàn)段右側(cè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)）和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)。21n例4-2n設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為n連續(xù)性、對(duì)稱(chēng)性、條數(shù)、起點(diǎn)、終點(diǎn)、實(shí)軸上的根軌跡。)2

12、0)(2)(1()5 . 0()(2SSSSsKsGgk6.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn) 分離點(diǎn)：根軌跡相遇后又分開(kāi)的點(diǎn)。分離點(diǎn)：根軌跡相遇后又分開(kāi)的點(diǎn)。 分離角：離開(kāi)分離點(diǎn)角度。分離角：離開(kāi)分離點(diǎn)角度。 會(huì)合點(diǎn)：根軌跡相會(huì)合的點(diǎn)。會(huì)合點(diǎn)：根軌跡相會(huì)合的點(diǎn)。 會(huì)合角：進(jìn)入分離點(diǎn)的角度。會(huì)合角：進(jìn)入分離點(diǎn)的角度。 一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間會(huì)有一個(gè)分離點(diǎn)，兩個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間會(huì)有一個(gè)分離點(diǎn)，兩個(gè)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間會(huì)有一個(gè)會(huì)合點(diǎn)。之間會(huì)有一個(gè)會(huì)合點(diǎn)。計(jì)算分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的依據(jù)：計(jì)算分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的依據(jù)：求出的求出的重根重根要代入原方程，只有當(dāng)要代入原方程，只有當(dāng)Kg為正，才是分離

13、點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。為正，才是分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。9090jj0)()()()(sNsDsDsN23n設(shè)閉環(huán)特征方程為)()(0)()()()()()(0)()(1SNSDKSNKSDSDSNKSHSGSHSGggg特征方程變成開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為240)()()()()()(0)()(dSNSDSNSDSNSDKKKgdSSdDdSSNKgdd代入前方程有為則產(chǎn)生重根的特征方程出現(xiàn)重根時(shí)有例例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。解：系統(tǒng)有一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為解：系統(tǒng)有一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為-1，有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)分別為，有兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)分別

14、為-0.1和和-0.5。 根據(jù)根軌跡繪制原則可知，根軌跡與實(shí)軸相重合的區(qū)間為根據(jù)根軌跡繪制原則可知，根軌跡與實(shí)軸相重合的區(qū)間為 -0.1-0.5,-1。 求根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：求根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：)5 . 0)(1 . 0() 1()(sssKsGgk33. 067. 1055. 02)()()()(6 . 02)(05. 06 . 0)5 . 0)(1 . 0()(1)(1)(2122sssssNsDsDsNssDsssssDsNssN求對(duì)應(yīng)分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)的求對(duì)應(yīng)分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)的Kg：06. 074. 206 . 020)()(21ggggKKKssNKsDjS1=-0.33Kg1

15、=0.06S1=-1.67Kg1=2.74277.漸近線(xiàn)漸近線(xiàn)（1）漸近線(xiàn)條數(shù)：）漸近線(xiàn)條數(shù)： n-m條，根軌跡條，根軌跡沿漸近線(xiàn)傾角方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處沿漸近線(xiàn)傾角方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處（2）漸近線(xiàn)交點(diǎn)：）漸近線(xiàn)交點(diǎn)： 與實(shí)軸交于一點(diǎn)與實(shí)軸交于一點(diǎn) 坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（，j0）mnk) 12(180mnzpnimjji11)()(例例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡的漸近線(xiàn)。已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡的漸近線(xiàn)。解：系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)分別為解：系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)分別為0，-2和和-4。8.與虛軸的交點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn) 方法一：代數(shù)法方法一：代數(shù)法 將將

16、s=jw代入系統(tǒng)特征方程，求出代入系統(tǒng)特征方程，求出w的值。的值。 )4)(2()(sssKKsGggk) 1(180)0(603) 12(18023420kkk29方法二：勞斯判據(jù)方法二：勞斯判據(jù)令令的列做輔助方程求解。數(shù)，利用的系數(shù)為零，解有關(guān)參21ss例例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。解：系統(tǒng)的特征方程為解：系統(tǒng)的特征方程為:方法一方法一：將：將 代入特征方程代入特征方程經(jīng)整理得經(jīng)整理得)2)(1()(sssKsGgk0230)2)(1(23ggKsssKsssjs 0)2()3(02)(3)(322

17、3jKKjjjgg26gK方法二方法二：由特征方程可知，該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，系統(tǒng)型別為一型。：由特征方程可知，該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，系統(tǒng)型別為一型。列勞斯表列勞斯表若根軌跡與虛軸相交，則表示系統(tǒng)存在純虛根，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的若根軌跡與虛軸相交，則表示系統(tǒng)存在純虛根，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg使系統(tǒng)處使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，令于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，令s1 行的系數(shù)為零。行的系數(shù)為零。 因此因此又因?yàn)橐粚?duì)純虛根必為數(shù)值相同，符號(hào)相反的根，所以用勞斯表又因?yàn)橐粚?duì)純虛根必為數(shù)值相同，符號(hào)相反的根，所以用勞斯表s2行的行的系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程。系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程。gggKsKsKss0123363216036ggKK2032, 12

18、jsKsg9.出射角與入射角出射角與入射角 出射角：位于復(fù)平面上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，根軌跡離開(kāi)此極點(diǎn)與正實(shí)軸的夾角。出射角：位于復(fù)平面上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，根軌跡離開(kāi)此極點(diǎn)與正實(shí)軸的夾角。 入射角：位于復(fù)平面上的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，根軌跡進(jìn)入此零點(diǎn)與正實(shí)軸的夾角。入射角：位于復(fù)平面上的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，根軌跡進(jìn)入此零點(diǎn)與正實(shí)軸的夾角。例例 求以下特征方程的根軌跡。求以下特征方程的根軌跡。解：解：mijjnjjjimjnijjjji, 111, 1)(180)(180入出023223KKssss0)2() 32(232)(223skssskksssssD其等效傳遞函數(shù)為其等效傳遞函數(shù)為其漸近線(xiàn)為其漸近線(xiàn)為其出射角為其出射角為)2

19、1)(21()2() 32()2()(2jsjssskssssksGk43.193 .1259073.54180902) 12(180013)2()2121(kjjj10.走向走向設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)開(kāi)環(huán)的分母：開(kāi)環(huán)的分母：是一個(gè)常數(shù)。是一個(gè)常數(shù)。0)(12211nnnnnasasasassD2mn11apniii0).()(21npspsps35n說(shuō)明在開(kāi)環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，說(shuō)明在開(kāi)環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，根之和根之和是一個(gè)不變的常數(shù)是一個(gè)不變的常數(shù)。所以當(dāng)開(kāi)環(huán)增益。所以當(dāng)開(kāi)環(huán)增益Kg增大時(shí)，若閉環(huán)某些根在增大時(shí)，若閉環(huán)某些根在S平面上向平面上向左移動(dòng)，則另一部

20、分根必向右移動(dòng)。左移動(dòng)，則另一部分根必向右移動(dòng)。4.3 系統(tǒng)根軌跡的繪制系統(tǒng)根軌跡的繪制按繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡。按繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡。 例例 4-5 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示試畫(huà)出其根軌跡。試畫(huà)出其根軌跡。解解：（：（1）系統(tǒng)有三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（起點(diǎn)）：）系統(tǒng)有三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（起點(diǎn)）： （2）實(shí)軸上有根軌跡的區(qū)間為）實(shí)軸上有根軌跡的區(qū)間為0，-1，-4，-。)4)(1()(sssKsGgk4, 1, 0210ppp38（3）根軌跡的分離點(diǎn)可按以下公式計(jì)算）根軌跡的分離點(diǎn)可按以下公式計(jì)算解此方程得解此方程得因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?1，-4區(qū)間不可能有根軌跡，所以區(qū)間不可能有根軌跡，所以分離點(diǎn)應(yīng)為分離點(diǎn)應(yīng)為0) 1()4()4)(1()()( )( )(sssssssNsDsNsD87. 2,467. 021ss467. 01s39（4）根軌跡的漸近線(xiàn)）根軌跡的漸近線(xiàn)35180,60) 12(180amnk（5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令令 ，得，得解之得解之得0)4)(1(gKsssjs 20204050)4)(1(3