AnsoftHFSS的有限元理論基礎(chǔ)謝擁軍

1、Ansoft高級培訓(xùn)班謝擁軍 編著西安電子科技大學(xué)Ansoft培訓(xùn)中心Ansoft高級培訓(xùn)班第一章 概述第二章 有限元的基本理論及三維有限元分析 21 電磁場邊值問題及其變分原理22 有限元方法的原理從一維簡單例子 來看其建模過程23 三維時諧場有限元問題24 有限元方程組的求解第三章 電磁內(nèi)問題和散射問題的有限元分析方法31 電磁內(nèi)問題32 電磁散射問題Ansoft高級培訓(xùn)班 Ansoft HFSS軟件是應(yīng)用有限元方法的原理來編制軟件是應(yīng)用有限元方法的原理來編制的，深入的了解有限元方法的理論基礎(chǔ)，及其在電磁場與的，深入的了解有限元方法的理論基礎(chǔ)，及其在電磁場與微波技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用原理，對于我們

2、靈活、準(zhǔn)確地使用微波技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用原理，對于我們靈活、準(zhǔn)確地使用Ansoft HFSS軟件來解決實際工程問題能夠提供幫助。軟件來解決實際工程問題能夠提供幫助。 這一部分教材的內(nèi)容就是在結(jié)合這一部分教材的內(nèi)容就是在結(jié)合Ansoft HFSS軟件中軟件中涉及到的有限元技術(shù)，力爭在最小的篇幅和最短的時間里涉及到的有限元技術(shù)，力爭在最小的篇幅和最短的時間里為學(xué)員建立理論結(jié)合實際的有限元方法的基本概念。為學(xué)員建立理論結(jié)合實際的有限元方法的基本概念。 Ansoft高級培訓(xùn)班 有限元方法是近似求解數(shù)理邊值問題的一種數(shù)值技有限元方法是近似求解數(shù)理邊值問題的一種數(shù)值技術(shù)，大約有術(shù)，大約有40年的歷史。他首先在本

3、世紀(jì)年的歷史。他首先在本世紀(jì)40年代被提出，年代被提出，在在50年用于飛機的設(shè)計。在六七十年代被引進(jìn)到電磁場年用于飛機的設(shè)計。在六七十年代被引進(jìn)到電磁場問題的求解中。問題的求解中。Ansoft高級培訓(xùn)班 電磁場的邊值問題和很多的物理系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)模型電磁場的邊值問題和很多的物理系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)模型中的邊值問題一樣，都可以用區(qū)域中的邊值問題一樣，都可以用區(qū)域內(nèi)的控制微分方程內(nèi)的控制微分方程（電磁場問題中可以是泊松方程、標(biāo)量波動方程和矢量（電磁場問題中可以是泊松方程、標(biāo)量波動方程和矢量波動方程等）和包圍區(qū)域的邊界波動方程等）和包圍區(qū)域的邊界上的邊界條件（可以上的邊界條件（可以是第一類的是第一類的Diri

4、chlet條件和第二類的條件和第二類的Neumann條件，條件，或者是阻抗和輻射邊界條件等）來定義。微分方程可表或者是阻抗和輻射邊界條件等）來定義。微分方程可表示為：示為： （2.1） 式中，式中， 是微分算符，是微分算符， 是激勵函數(shù)，是未知量。是激勵函數(shù)，是未知量。fLLfAnsoft高級培訓(xùn)班對于電磁場邊值問題，只有少數(shù)情況可以得到解析解。很多的時候我們采用基于變分原理的數(shù)值方法去求其近似解 ，比如伽遼金方法。在伽遼金方法中，我們首先定義非零的殘數(shù)： （2.2) 的最佳近似應(yīng)能滿足： （2.3) 0fLr0rdwRiiAnsoft高級培訓(xùn)班 這里 表示殘數(shù)加權(quán)積分（也可稱為誤差泛函），

5、是所選擇的加權(quán)函數(shù)。進(jìn)一步地，我們可以將近似解 展開為： (2.4) 式中， 是定義在區(qū)域內(nèi)的展開函數(shù)， 是待定的展開系數(shù)。并且我們將加權(quán)函數(shù)選為： （2.5）iRiwcvvcTNiii 1jvjciivw Ni,.,3 , 2 , 1Ansoft高級培訓(xùn)班這時，式（2.3）變?yōu)椋?（2.6）這樣問題的求解就轉(zhuǎn)化為能夠使上式最小化的展開系數(shù) 的線性問題的求解，將（2.6）式寫為矩陣形式： （2.7） 的元素為： （2.8） 的元素為： （2.9） 0dfvcvLvRiTiiNi,.,3 , 2 , 1 c bcS SdLvvSjiij bfdvbiiAnsoft高級培訓(xùn)班 從上一小節(jié)的內(nèi)容我們

6、可以看到電磁場邊值問題從上一小節(jié)的內(nèi)容我們可以看到電磁場邊值問題變分解法的這樣的兩個特點：變分解法的這樣的兩個特點： （1）變分問題已經(jīng)將原來電磁場邊值問題的嚴(yán)格求解）變分問題已經(jīng)將原來電磁場邊值問題的嚴(yán)格求解變?yōu)榍蠼庠诜汉馑枷碌娜踅?，這個解可以和原來的變?yōu)榍蠼庠诜汉馑枷碌娜踅?，這個解可以和原來的解式不一樣的。解式不一樣的。 （2）在電磁場邊值問題的變分方法中，展開函數(shù)（也）在電磁場邊值問題的變分方法中，展開函數(shù)（也可成為試探函數(shù)）是由定義在可成為試探函數(shù)）是由定義在全域上的一組基函數(shù)組上的一組基函數(shù)組成，這種組合必須能夠表示真實解，也必須滿足適當(dāng)成，這種組合必須能夠表示真實解，也必須滿足

7、適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，這對于二維、三維問題是非常困難的。的邊界條件，這對于二維、三維問題是非常困難的。 Ansoft高級培訓(xùn)班 很自然的，人們認(rèn)為如果采用組成全域的子域上的一組基函數(shù)能夠提高近似解對于真實解的逼近精度。這就是有限元方法。下面我們通過一個簡單的一維例子來看看有限元方法的建模過程和其方法的特點。 考慮一個均勻充填介電常數(shù)為的平板電容器，如圖2.1所示:Ansoft高級培訓(xùn)班 如果我們假設(shè)電場只有x方向的分量，問題就可以簡化為一維問題。問題的支配方程為： （2.10） 其邊界條件為： （2.11） 利用（2.10）式與權(quán)函數(shù)構(gòu)成內(nèi)積，仿照（2.3）式的方法我們可以給出這里的誤差泛函： （2

8、.12）xVxV 00 V10010 V0dVWWRdAnsoft高級培訓(xùn)班 如圖2.2所示，我們可以將一維區(qū)域離散化為N段（單元），每一小段又有編號為“1”和“2”的兩個端點（結(jié)點），也稱為“本地”序號，當(dāng)然，與單元一樣每個結(jié)點還有相應(yīng)的全域序號。 Ansoft高級培訓(xùn)班 如果我們假設(shè)在單元內(nèi)部電位函數(shù)按照線性規(guī)律變化，也就是對于單元內(nèi)部的函數(shù)進(jìn)行一階插值： (2.13）特別的，在兩個結(jié)點 和 處我們令其值分別為 和 ，則（2.13）式可以重新寫為（實際上和就成為了這一子域上的待求的系數(shù)）： （2.14）其中： ， ， ， ， xaaxV211x2x1V2V 222111221111Vxqp

9、LVxqpLVxVxxV21xp 12xp11q12xxl12qAnsoft高級培訓(xùn)班 那么這時候在離散化的意義下，泛函（2.12）式可以寫為： （2.15）其中，k是結(jié)點的全域序號，K是所有結(jié)點的總數(shù)， 是第k個結(jié)點的子域。由于結(jié)點和單元的關(guān)系，我們可以在單元內(nèi)選取 （i1，2）做為權(quán)函數(shù)，在利用一些矢量運算恒等式，我們可以得到： （2.16）式中，n為單元的序號，N為總的單元數(shù)。 01KkkkkdRWik01NniindVAnsoft高級培訓(xùn)班注意到在離散化子域上有： （2.17） （2.18） 實際問題中，應(yīng)該是域內(nèi)無源， 所以為零。則在每個單元內(nèi)（2.16）式的左邊可以寫為線性表達(dá)式：

10、 （2.19） iiiiiiiVqlxVxqplxxxV2, 12, 111lqxxqplxxiiii12122122111VVqqqqqqqqlAnsoft高級培訓(xùn)班 （2.19） 具體的我們可以用圖2.1所示的例子來進(jìn)行數(shù)值實現(xiàn)。在圖2.1的離散化情況下我們有3個未知數(shù)，即對應(yīng)結(jié)點全域序號的 ， 和 （而其中的 和 又有邊界條件給定）。首先將（2.19）式對應(yīng)單元1中的線性表達(dá)式的值帶入到求解全部3個未知數(shù)的全域矩陣中： （2.20） 3210000717107171VVV1V2V3V3V2VAnsoft高級培訓(xùn)班 再將（2.19）式對應(yīng)單元2中的線性表達(dá)式的值帶入到求解全部 3個未知數(shù)的

11、全域矩陣中，構(gòu)成全域矩陣方程： （2.21）000313103131717107171321VVVAnsoft高級培訓(xùn)班 再在（2.21）式中加入邊界條件 和 ，則有最終的矩陣方程： （2.22）很方便的可以解出 。1000010031211071001321VVV01V1003V702VAnsoft高級培訓(xùn)班從這個很簡單的例子我們可以看出有限元方法的幾個特點：（1）通過離散化和建立誤差泛函，原來的電磁場邊值問題變?yōu)榍蠼饩仃嚪匠?，這是原來問題的弱解。（2）最終矩陣方程的維數(shù)與結(jié)點的總數(shù)相同，未知數(shù)是結(jié) 點上的數(shù)值解，單元內(nèi)的數(shù)值是依靠結(jié)點處數(shù)值解的 插值（這里是線性插值）。 （3）最終矩陣的構(gòu)

12、成是由子域上的小線性系統(tǒng)按照其全域 序陣，其計算機的存儲要求并不大。號來在相應(yīng)位置 上填充的，所以最終矩陣是稀疏矩陣，其計算機的存 儲要求并不大。 Ansoft高級培訓(xùn)班總結(jié)來看，有限元方法的建模過程可以分為以下幾個步驟：（1）區(qū)域離散。在任何有限元分析中，區(qū)域離散是第一步，或許也是最重要的一步，因為區(qū)域離散的方式將影響計算機內(nèi)存的需求、計算時間和數(shù)值結(jié)果的精確度。在我們前面的一維例子里面，我們選取短直線段為單元，二維可以選擇矩形或者三角形，三維問題可以選擇四面體、三棱柱或矩形塊。Ansoft HFSS選用的四面體作為基本單元，在下一小節(jié)我們將著重加以介紹。Ansoft高級培訓(xùn)班（2）插值函數(shù)

13、的選擇。在每一個離散單元的結(jié)點上的值是我們要求的未知量，在其內(nèi)部的其它點上的值是依靠結(jié)點值對其進(jìn)行插值。我們在以上的一維例子中選擇了線性插值，很多復(fù)雜的問題中如果選用高階多項式插值精度應(yīng)該更高，但是公式也更復(fù)雜。Ansoft HFSS軟件中有兩種插值方式可供選擇，我們將在下節(jié)中的介紹。Ansoft高級培訓(xùn)班（3）方程組的建立。對Maxwell方程利用變分方法建立誤差泛函，由于問題已經(jīng)離散化為很多個子域的組合，我們可以首先在每個單元內(nèi)建立泛函對應(yīng)的小的線性表達(dá)式，其次，將其填充到全域矩陣中的相應(yīng)位置，最后應(yīng)用邊界條件來得到矩陣方程的最終形式。（4）方程組的求解。方程組的求解是有限元分析的最后一步

14、。最終的方程組是下列兩種形式之一： （2.23）或者 （2.24） fL BAAnsoft高級培訓(xùn)班方程（2.23）是確定型的，它是從非齊次微分方程或非齊次邊界條件或從它們兩者兼有的問題中導(dǎo)出的。在電磁學(xué)中，確定性方程組通常與散射、輻射以及其它存在源或激勵的確定性問題有關(guān)。而方程（2.24）是本征值型的，它是從齊次微分方程和齊次邊界條件導(dǎo)出的。在電磁學(xué)中，本征值方程組通常與諸如波導(dǎo)中波傳輸和腔體中的諧振等無源問題有關(guān)。在這種情形下，已知向量 為零，矩陣 可以寫成 的形式，這里表示未知的本征值。這兩種方程組的解法是不同的，我們會在2.4節(jié)中具體介紹。 BA f LAnsoft高級培訓(xùn)班 在上一節(jié)

15、中，我們用一個靜電問題的例子介紹了有限在上一節(jié)中，我們用一個靜電問題的例子介紹了有限元的建模過程。這是一個很簡單的一維例子，能夠是我們元的建模過程。這是一個很簡單的一維例子，能夠是我們在介紹中將注意力最大限度的集中到有限元方法本身的介在介紹中將注意力最大限度的集中到有限元方法本身的介紹，從而使讀者很容易掌握有限元方法的基本特點。但是，紹，從而使讀者很容易掌握有限元方法的基本特點。但是，實際上所有的物理問題都是三維的，實際上所有的物理問題都是三維的，Ansoft HFSS軟件也軟件也是以三維有限元方法為基礎(chǔ)的，本小節(jié)將通過以下幾個方是以三維有限元方法為基礎(chǔ)的，本小節(jié)將通過以下幾個方面對其著力加以

16、介紹。面對其著力加以介紹。Ansoft高級培訓(xùn)班 廣義的來說，三維麥克思韋方程組是三維電磁場問題的三廣義的來說，三維麥克思韋方程組是三維電磁場問題的三維支配方程，但是，一般情況下為了方便求解和建模，大多維支配方程，但是，一般情況下為了方便求解和建模，大多選取由麥克思韋方程組的前兩個旋度方程導(dǎo)出的電場強度滿選取由麥克思韋方程組的前兩個旋度方程導(dǎo)出的電場強度滿足的矢量亥姆赫茲方程作為支配方程（注意：麥克思韋方程足的矢量亥姆赫茲方程作為支配方程（注意：麥克思韋方程組中的后兩個散度方程并沒有被考慮）。比如，組中的后兩個散度方程并沒有被考慮）。比如，Ansoft HFSS軟件的支配方程為：軟件的支配方程

17、為： （2.25） 式中：式中： 是時諧場對應(yīng)的相量，是時諧場對應(yīng)的相量， （在（在abc3d模塊中）。模塊中）。 是自由空間波數(shù)，是自由空間波數(shù)， 是復(fù)的相對導(dǎo)磁是復(fù)的相對導(dǎo)磁率，率， 是復(fù)的相對介電常數(shù)（考慮了介質(zhì)的損耗）。是復(fù)的相對介電常數(shù)（考慮了介質(zhì)的損耗）。 0120EkErrzyxE,tjezyxERtzyxE,0krrAnsoft高級培訓(xùn)班 根據(jù)我們上一節(jié)介紹的變分原理，上式的泛函可根據(jù)我們上一節(jié)介紹的變分原理，上式的泛函可以寫為：以寫為： （2.26） 特別要指出的是，這只是無源區(qū)的域內(nèi)支配方程特別要指出的是，這只是無源區(qū)的域內(nèi)支配方程對應(yīng)的泛函，還沒有強加邊界條件和源項。對應(yīng)

18、的泛函，還沒有強加邊界條件和源項。 dEEkEEEFrr201Ansoft高級培訓(xùn)班 從上一節(jié)關(guān)于有限元建模過程的介紹我們從上一節(jié)關(guān)于有限元建模過程的介紹我們可以看到，有限元方法的一個關(guān)鍵步驟是建可以看到，有限元方法的一個關(guān)鍵步驟是建立離散單元的小矩陣，只要我們得到了離散立離散單元的小矩陣，只要我們得到了離散單元的小矩陣，然后將其填充到全域矩陣中。單元的小矩陣，然后將其填充到全域矩陣中。因此三維有限元與一維和二維有限元的重要因此三維有限元與一維和二維有限元的重要區(qū)別也就在如何利用（區(qū)別也就在如何利用（2.3）式泛函建立三維）式泛函建立三維離散單元的小矩陣。對于三維問題，矩形塊、離散單元的小矩陣

19、。對于三維問題，矩形塊、四面體和六面體等都可以被選用做基本的離四面體和六面體等都可以被選用做基本的離散單元，但是，不同離散單元對于有限元運散單元，但是，不同離散單元對于有限元運算的精度、速度和內(nèi)存需求都有不同。算的精度、速度和內(nèi)存需求都有不同。Ansoft HFSS采用四面體作為基本離散單元，采用四面體作為基本離散單元，并選用上一世紀(jì)并選用上一世紀(jì) 80年代以后才被應(yīng)用于電磁年代以后才被應(yīng)用于電磁學(xué)中的棱邊元作為矢量基函數(shù)。學(xué)中的棱邊元作為矢量基函數(shù)。 圖2.3 Ansoft HFSS軟件中的四面體棱邊元 Ansoft高級培訓(xùn)班 下面我們首先介紹按照結(jié)點值定義的四面體棱邊元 ，然后分析其可能帶

20、來的偽解、界面不連續(xù)和奇異點等問題，最后介紹Ansoft HFSS選用的三維棱邊元，從而使讀者對其基本定義和選用其的優(yōu)越性得以充分了解。 假設(shè)圖2.4所示的四面體內(nèi)的未知函數(shù) 能夠近似為： （2.27） 圖2.4 四面體單元zdycxbaeeeeeeAnsoft高級培訓(xùn)班 如果用四面體的四個頂點 （即四個結(jié)點）處的值（i=1,4）來表示，我們可以得到： （2.28）式中插值函數(shù) 為 （2.29） （單元四面體體積）（2.30） 41,ieieiezyxLzyxzyxLei,zdycxbaVzyxLeieieieieei61,eeeeeeeeeeeeezzzzyyyyxxxxV432143214

21、321111161eiAnsoft高級培訓(xùn)班而 有下列等式獲得： （2.31） （2.32） eieieieidcba,eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeaaaaVzzzzyyyyxxxxVa4433221143214321432161111161eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeebbbbVzzzzyyyyVb4433221143214321432161111161Ansoft高級培訓(xùn)班 （2.33） （2.34） eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeccccVzzzzxxxxVc4433221143214321432161111161eeeeeeeeeeee

22、eeeeeeeeeeeddddVyyyyxxxxVd4433221143214321432161111161Ansoft高級培訓(xùn)班 這就是傳統(tǒng)的有限元四面體單元的線性系統(tǒng)，可以看到類似于上一節(jié)中一維問題的線段端點作為結(jié)點未知量，這里四面體的頂點作為結(jié)點。然而，按照這一思路研究的有限元方法在解決時諧電磁場問題時出現(xiàn)了偽解、界面不連續(xù)和奇異點等問題，一直困擾著很多的研究者，我們具體對其介紹如下。Ansoft高級培訓(xùn)班 在實際運用以上單元定義求解泛函（在實際運用以上單元定義求解泛函（2.26）時，有時）時，有時獲得的有限元數(shù)值解是錯誤的。進(jìn)一步研究表明這種解不獲得的有限元數(shù)值解是錯誤的。進(jìn)一步研究表

23、明這種解不滿足散度條件，即在無源區(qū)域不滿足滿足散度條件，即在無源區(qū)域不滿足 。初看起。初看起來，這似乎是不可能的，因為散度條件已經(jīng)隱含在矢量亥來，這似乎是不可能的，因為散度條件已經(jīng)隱含在矢量亥姆赫茲方程（姆赫茲方程（2.25）式的推導(dǎo)中。但是，（）式的推導(dǎo)中。但是，（2.26）式的解）式的解只是（只是（2.25）式解的弱解，（）式解的弱解，（2.25）式要求的場的二次可）式要求的場的二次可微（也就是說微（也就是說 必須是連續(xù)的），然而實際上必須是連續(xù)的），然而實際上我們只做到了插值函數(shù)本身的連續(xù)。這種情況下，不符合我們只做到了插值函數(shù)本身的連續(xù)。這種情況下，不符合物理實際的偽解就有可能產(chǎn)生。物

24、理實際的偽解就有可能產(chǎn)生。 0ErE/Ansoft高級培訓(xùn)班 另外一個按照以上單元定義容易出現(xiàn)的問題就是界面不連續(xù)情況的處理非常困難。如果實際物理問題中包含不同媒質(zhì)，即計算區(qū)域包含不連續(xù)性界面的情形下，我們需要在界面兩側(cè)強加連續(xù)性條件： （2.35） 但是按照現(xiàn)有定義，在實施上述過程中，我們也強加了法向場連續(xù)性，這與實際下列邊界條件矛盾： （2.36） 很多研究者為了消除以上矛盾，做了很多的努力。比如說，在界面處細(xì)分網(wǎng)格，但也帶來了大大增加未知量的缺點。EnEnEnEnrrAnsoft高級培訓(xùn)班 尖端場的奇異性也給有限元發(fā)展帶來了很大的阻礙。因為在很多實際應(yīng)用中，感興趣的區(qū)域包括導(dǎo)電體的尖邊緣

25、和尖點，或者材料的尖邊緣和尖點，又是兩者兼而有之。我們都知道，在導(dǎo)電體邊緣和尖點，或材料的邊緣和尖點上，場的某些分量可能變成無窮大。但在有限元分析中，因為是數(shù)值解，即使問題包含邊緣和尖點，我們也要確定邊緣和尖點的場，然而，我們也看到，通過結(jié)點場插值無法得到無窮大的場。 Ansoft高級培訓(xùn)班 上一世紀(jì)上一世紀(jì)80年代以后，棱邊元單元的出現(xiàn)解決了年代以后，棱邊元單元的出現(xiàn)解決了上面提到的這些有限元方法的缺點。上面提到的這些有限元方法的缺點。Ansoft HFSS正正是采用了棱邊元（也稱為矢量有限元）的方法，下面是采用了棱邊元（也稱為矢量有限元）的方法，下面我們對其進(jìn)行介紹。我們對其進(jìn)行介紹。 考

26、察矢量函數(shù)：考察矢量函數(shù)： （2.37） 首先，容易看出首先，容易看出 ， （2.38） eeeeLLLLW122112012 WeeLLW21122Ansoft高級培訓(xùn)班 其次，假設(shè) 表示從結(jié)點1指向結(jié)點2的單位矢量。因為 是從結(jié)點1處的1變化到結(jié)點2處的0的線性函數(shù)， 是從結(jié)點2處的1變化為結(jié)點1處的線性函數(shù)，所以， ， 其中， 表示連接結(jié)點1和2的棱邊長。因此 （2.39） 它表示 沿棱邊（1，2）有一個常切向分量，沿其它5個棱邊沒有切向分量。1 eeL1eL2eelLe111/1eelLe111/1el112WelWe11211Ansoft高級培訓(xùn)班如果定義該棱邊為1，則可以定義其矢量

27、基函數(shù)為： （2.40）類似可得到棱邊i的矢量基函數(shù)為： （2.41）其中棱邊數(shù)及相關(guān)結(jié)點 和 定義在表2.1中。 eieiieilWN211i2ieelWN1121Ansoft高級培訓(xùn)班表2.1 四面體單元的棱邊定義 棱邊棱邊 結(jié)點結(jié)點 結(jié)點結(jié)點 112213314423542634i1i2iAnsoft高級培訓(xùn)班 在以上定義的基礎(chǔ)上，適用于泛函（2.26）的四面體單元內(nèi)的電場矢量可以表示為： （2.42） 其中， （i1，6）就是單元內(nèi)的未知量。這就是Ansoft HFSS中使用的棱邊元（對應(yīng)其0th order basis function）。可以看到，這類矢量基函數(shù)在單元內(nèi)自然滿足散度

28、為零，旋度不為零（見（2.38）式），其定義也正好是沿切向定義的，棱邊元也避免了結(jié)點值，所以它能夠去除我們上一小節(jié)所談的結(jié)點值四面體的三個缺點。61iieiENEiEAnsoft高級培訓(xùn)班 四面體單元在模擬任意形狀的幾何體時，特別是不規(guī)則的幾何物體時，比矩形塊、六面體等單元更加靈活和準(zhǔn)確。雖然對于的同樣離散數(shù)，矩形塊和六面體比四面體的未知數(shù)要少，但是，有趣的是，對于幾乎同樣的未知量數(shù)目，采用四面體的有限元數(shù)值解比采用矩形塊和六面體的有限元數(shù)值解精度要高。應(yīng)該說，四面體單元特別是四面體棱邊元在解決三維問題時是較好的選擇。Ansoft高級培訓(xùn)班 在利用變分原理和離散化方法建立了有限元矩陣方在利用變

29、分原理和離散化方法建立了有限元矩陣方程后，我們就面臨著求解以結(jié)點值為未知數(shù)的矩陣方程后，我們就面臨著求解以結(jié)點值為未知數(shù)的矩陣方程。我們將方程寫為：程。我們將方程寫為： （2.42） 式中系數(shù)矩陣式中系數(shù)矩陣A是一個是一個nn方陣，方陣，x是待求解的未知量，是待求解的未知量，b表示已知向量。為了精確的描述電磁場工程中的實際表示已知向量。為了精確的描述電磁場工程中的實際問題，許多應(yīng)用中的系數(shù)矩陣的維數(shù)（對應(yīng)離散剖分問題，許多應(yīng)用中的系數(shù)矩陣的維數(shù)（對應(yīng)離散剖分的結(jié)點值未知量個數(shù)）非常大。結(jié)果，當(dāng)我們利用計的結(jié)點值未知量個數(shù)）非常大。結(jié)果，當(dāng)我們利用計算機尋求數(shù)值解時，我們遇到龐大的計算機內(nèi)存需求

30、算機尋求數(shù)值解時，我們遇到龐大的計算機內(nèi)存需求和過長的計算時間。幸好，正如我們在和過長的計算時間。幸好，正如我們在2.2節(jié)談到的，節(jié)談到的，有限元離散得到的矩陣總是稀疏的、對稱的和帶狀的。有限元離散得到的矩陣總是稀疏的、對稱的和帶狀的。如果我們充分的利用如果我們充分的利用這些性質(zhì)，就可以大大地bAx Ansoft高級培訓(xùn)班節(jié)省存儲量。比如說，一般的有限元矩陣每行的非零元素少于15個，如果我們只存儲非零元素，由于對稱性，我們只需要存儲8個元素，因此，對于一個10000個未知量的方程，只有大約810000個非零矩陣元素需要存儲。加上用于記號所需的兩個整型數(shù)組，總存儲量不到相應(yīng)滿秩矩陣存儲空間的六百

31、分之一。除存儲量降低外，有限元矩陣的特殊性質(zhì)也能減少計算時間。大量的零矩陣元素不需產(chǎn)生，加上適當(dāng)設(shè)計算法，它們在解過程中的運算也可避免。因此，正是這一為矩量法等積分方程方法所不具備的特殊性質(zhì)，使得有限元方法對分析電大尺寸問題時更有吸引力。 Ansoft高級培訓(xùn)班 下面我首先介紹矩陣方程的解法，然后介紹在此基礎(chǔ)上Ansoft HFSS為在一定精度的要求上最大限度的提高效率而設(shè)計的自適應(yīng)迭代算法。Ansoft高級培訓(xùn)班 當(dāng)式（2.42）右端的已知激勵向量b不為零時，為確定性方程求解，也就是利用各種等效方法的對矩陣A求逆，其中最適用于有限元方法矩陣的是分解法，Ansoft HFSS就是采用的分解法。

32、這其中，LU分解是最基礎(chǔ)的一種方法，很多的快速分解方法都是在其基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，所以我們這里將介紹LU分解方法。Ansoft高級培訓(xùn)班如果矩陣可以分解為 ALU （2.43）其中，L是一個下三角矩陣，U是一個上三角矩陣。那么，先求解 Lyb （2.44）然后求解 Uxy （2.45）即可得到（2.42）式的解。因為L是一個下三角矩陣，y可通過前向替代過程而高效地獲得 （2.46） （2.47） 1111lby111ikkikiiiiylbly1iAnsoft高級培訓(xùn)班然后，x可通過后向替代過程而獲得 （2.48） （2.49） 這種分解算法其計算的復(fù)雜度正比于 ，也并沒有利用有限元帶狀稀疏陣的

33、性質(zhì)。進(jìn)一步利用帶狀稀疏陣的分解算法能夠有效地提高運算效率，降低計算復(fù)雜度。Ansoft HFSS的快速算法計算度就在以下 。nnnnuyx nikkikiiiixuyux11ni 3NO3NOAnsoft高級培訓(xùn)班 矩陣方程的迭代方法又可以分為直接迭代方法和矩陣方程的迭代方法又可以分為直接迭代方法和共軛梯度法，特別是共軛梯度法現(xiàn)在被認(rèn)為是求解矩共軛梯度法，特別是共軛梯度法現(xiàn)在被認(rèn)為是求解矩陣方程的有效方法。共軛梯度法首先給出未知量的一陣方程的有效方法。共軛梯度法首先給出未知量的一個初始猜測，然后在一定的泛函空間中按照搜索向量個初始猜測，然后在一定的泛函空間中按照搜索向量進(jìn)行迭代，直到達(dá)到設(shè)定

34、的精度。共軛梯度法的計算進(jìn)行迭代，直到達(dá)到設(shè)定的精度。共軛梯度法的計算復(fù)雜度正比于。因為復(fù)雜度正比于。因為Ansoft HFSS使用的是分解法，使用的是分解法，這里對共軛梯度法不再詳細(xì)介紹。這里對共軛梯度法不再詳細(xì)介紹。Ansoft高級培訓(xùn)班 當(dāng)式（當(dāng)式（2.42）右端的已知激勵向量）右端的已知激勵向量b為零時，為對為零時，為對應(yīng)腔體諧振和波導(dǎo)分析的本征值方程求解。一個標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)腔體諧振和波導(dǎo)分析的本征值方程求解。一個標(biāo)準(zhǔn)的本征值問題由下式定義：的本征值問題由下式定義： Axx （2.50） 其中，其中，A是一個是一個nn方陣，方陣，x是本征向量，是本征向量，表示對應(yīng)表示對應(yīng)的本征值。顯然，僅當(dāng)下

35、式成立時的本征值。顯然，僅當(dāng)下式成立時 （2.51） （2.50）式才可能有非零解。在上式中，）式才可能有非零解。在上式中，I表示單位矩表示單位矩陣?？偟膩碚f，本征值問題的解法很多，也比確定性陣?？偟膩碚f，本征值問題的解法很多，也比確定性問題更復(fù)雜，有些也是以矩陣分解為基礎(chǔ)的。問題更復(fù)雜，有些也是以矩陣分解為基礎(chǔ)的。0det IAAnsoft高級培訓(xùn)班 有限元方法得到的一般是廣義形式的本征值問題：AxBx （2.52） 很明顯，如果把B分解為，其中L是一個下三角陣，那么廣義本征值問題可以改為標(biāo)準(zhǔn)形式 （2.53） Lanczos法是有效的求解帶狀稀疏矩陣的本征值問題的方法，大家可以在Ansof

36、t HFSS的solver中找到。yyTALL1xyTLAnsoft高級培訓(xùn)班 從上面的討論我們可以看出，矩陣方程的求解復(fù)從上面的討論我們可以看出，矩陣方程的求解復(fù)雜度與有限元的剖分密度即未知數(shù)數(shù)目有很大的關(guān)系，雜度與有限元的剖分密度即未知數(shù)數(shù)目有很大的關(guān)系，未知數(shù)數(shù)目越多，求解所需的時間越長。然而，從另未知數(shù)數(shù)目越多，求解所需的時間越長。然而，從另外一個方面來說，有限元方法求解的精度與也隨著未外一個方面來說，有限元方法求解的精度與也隨著未知數(shù)數(shù)目的增加而更加準(zhǔn)確。因此，有限元方法的求知數(shù)數(shù)目的增加而更加準(zhǔn)確。因此，有限元方法的求解時間與準(zhǔn)確度是一對矛盾。為了在越短的時間內(nèi)取解時間與準(zhǔn)確度是一

37、對矛盾。為了在越短的時間內(nèi)取得越大的精度，得越大的精度，Ansoft HFSS采取了自適應(yīng)迭代算法，采取了自適應(yīng)迭代算法，如圖如圖2.5所示。該算法一開始先選用較粗的剖分，采用所示。該算法一開始先選用較粗的剖分，采用我們上面所談的方法求解，然后看其進(jìn)度是否滿足要我們上面所談的方法求解，然后看其進(jìn)度是否滿足要求。如不滿足，進(jìn)一步細(xì)化剖分，再次進(jìn)行求解，知求。如不滿足，進(jìn)一步細(xì)化剖分，再次進(jìn)行求解，知道達(dá)到給定的精度。道達(dá)到給定的精度。 Ansoft高級培訓(xùn)班圖2.5 Ansoft HFSS的自適應(yīng)迭代算法Ansoft高級培訓(xùn)班 Ansoft HFSS是分析電磁場工程中的內(nèi)問題和射問題是分析電磁場

38、工程中的內(nèi)問題和射問題的有力工具，下面我們對其應(yīng)用于電磁內(nèi)問題和散射問的有力工具，下面我們對其應(yīng)用于電磁內(nèi)問題和散射問題時的一些關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行介紹。題時的一些關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行介紹。Ansoft高級培訓(xùn)班 Ansoft HFSS可以分析封閉的各種傳輸線及其不可以分析封閉的各種傳輸線及其不連續(xù)性、諧振腔特性等。在工程上，我們尤其關(guān)心各連續(xù)性、諧振腔特性等。在工程上，我們尤其關(guān)心各種微波結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)特性，一般來說，我們使用種微波結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)特性，一般來說，我們使用S參數(shù)來參數(shù)來描述這些網(wǎng)絡(luò)特性。實際用戶在使用描述這些網(wǎng)絡(luò)特性。實際用戶在使用Ansoft HFSS 時有時會出現(xiàn)和預(yù)想的情況不太吻合，甚至出現(xiàn)時有

39、時會出現(xiàn)和預(yù)想的情況不太吻合，甚至出現(xiàn) 的不合理情況。在本節(jié)中，我們著重講述的不合理情況。在本節(jié)中，我們著重講述Ansoft HFSS計算微波網(wǎng)絡(luò)計算微波網(wǎng)絡(luò)S參數(shù)的一些問題，幫助用戶分析參數(shù)的一些問題，幫助用戶分析實際使用中的一些問題。實際使用中的一些問題。 112njijSAnsoft高級培訓(xùn)班 在我們建立了微波問題的有限元研究模型并求解在我們建立了微波問題的有限元研究模型并求解其場結(jié)構(gòu)以后，我們可以利用求得的場進(jìn)一步求取其其場結(jié)構(gòu)以后，我們可以利用求得的場進(jìn)一步求取其多端口網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。多端口網(wǎng)絡(luò)的多端口網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。多端口網(wǎng)絡(luò)的S參數(shù)描述的是多端口參數(shù)描述的是多端口網(wǎng)絡(luò)端口反射波和入射波之間的

40、線性關(guān)系，比如一個網(wǎng)絡(luò)端口反射波和入射波之間的線性關(guān)系，比如一個二端口網(wǎng)絡(luò)的二端口網(wǎng)絡(luò)的S參數(shù)定義為：參數(shù)定義為： （3.1） 212221121121aaSSSSbbAnsoft高級培訓(xùn)班 Ansoft HFSS對其中各參數(shù)的定義為： 我們 是端口i的入射波，其模值平方 是激勵功率，相位 是激勵場相位（對于有耗端口模式和無耗傳輸模式定義為0，對于無耗截止模是90）。 是端口i的反射波，其模值平方 是激勵功率，相位 是反射場由于激勵場而產(chǎn)生的相位。 描述了端口j處的激勵場反射或傳輸?shù)蕉丝趇的比率和相移。 必須注意到，Ansoft HFSS定義的S參數(shù)是與模式有關(guān)的，其默認(rèn)的S參數(shù)是主模的S參數(shù)

41、，同時也具備計算高次模式的S參數(shù)。ia2iaiaib2ibibijSAnsoft高級培訓(xùn)班 Ansoft HFSS端口的特性阻抗有端口的特性阻抗有 ， 和和 三種三種阻抗定義，我們分別具體介紹如下。阻抗定義，我們分別具體介紹如下。 是由功率是由功率P和電流和電流I來定義的：來定義的： （3.2） 式中的功率式中的功率P和電流和電流I都可以由有限元方法計算的場來都可以由有限元方法計算的場來求得，功率求得，功率P由下式計算：由下式計算： （3.3） s表示端口表面積。表示端口表面積。piZpvZviZpiZIIPZpisdsHEPAnsoft高級培訓(xùn)班電流I由下式計算： （3.4）l為端口環(huán)線積分

42、。注意電流由流入和流出端口兩種，Ansoft HFSS取其平均。 是由功率P和電壓V定義的： （3.5）式中功率P的定義和（3.3）式相同，電壓V的定義為： （3.6）積分式在設(shè)定端口時定義的阻抗線上進(jìn)行。 則是由前兩個阻抗來定義的： （3.7）ldlHIpvZPVVZpvLdLEVviZpvpiviZZZAnsoft高級培訓(xùn)班 一般來說，對于TEM傳輸線，Ansoft HFSS選擇使用 作為特性阻抗的定義；對于微帶線，Ansoft HFSS建議使用 作為特性阻抗的定義；對于槽狀結(jié)構(gòu)的共面波導(dǎo)等，Ansoft HFSS建議使用 作為特性阻抗的定義。 viZpiZpvZAnsoft高級培訓(xùn)班 在選定和恰當(dāng)?shù)赜嬎懔硕丝谔匦宰杩购?，在選定和恰當(dāng)?shù)赜嬎懔硕丝谔匦宰杩购?，S參數(shù)就參數(shù)就可以反歸一到實際結(jié)構(gòu)的可以反歸一到實際結(jié)構(gòu)的S參數(shù)。但是，實際運算中，參數(shù)。但是，實際運算中，有時我們會看到有時我們會看到S參數(shù)的模值大于參數(shù)的模值大于1的現(xiàn)象，可能會使的現(xiàn)象，可能會使以下原因造成的。以下原因造成的。 很大的可能這是由于高次截止模式的影響。正如很大的可能這是由于高次截止模式的影響。正如前面我們提到的，前面我們提到的，Ansoft HFSS的的S參數(shù)的定義是和參數(shù)的定義是和模式聯(lián)系的，因此