第三章勞斯判據(jù)1

1、35.1 穩(wěn)定性概念及定義穩(wěn)定性概念及定義q系統(tǒng)受到擾動偏離了平衡狀態(tài)，擾動消失后，又恢復(fù)到系統(tǒng)受到擾動偏離了平衡狀態(tài)，擾動消失后，又恢復(fù)到平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。q線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與初始條線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與初始條件及外作用無關(guān)。件及外作用無關(guān)。穩(wěn)穩(wěn)定定的的擺擺不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的擺擺3.53.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析q不論擾動引起的初始偏差有不論擾動引起的初始偏差有多大，擾動取消后，系統(tǒng)都能多大，擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)是夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)是大大范圍穩(wěn)定。范圍穩(wěn)定。大范圍穩(wěn)定大范圍

2、穩(wěn)定q線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定，必然必然大范圍穩(wěn)定。大范圍穩(wěn)定。小范圍穩(wěn)定小范圍穩(wěn)定q小擾動恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，小擾動恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，大擾動不能恢復(fù)到原平衡狀大擾動不能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，系統(tǒng)為態(tài)，系統(tǒng)為小范圍穩(wěn)定。小范圍穩(wěn)定。q擾動消失后，輸出與原平衡擾動消失后，輸出與原平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，系統(tǒng)處于臨界維持等幅振蕩，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定狀態(tài)。q經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定視為不穩(wěn)定。視為不穩(wěn)定。圖示用曲線表示穩(wěn)定性的概念和定義圖示用曲線表示穩(wěn)定性的概念和定義注意：僅適用于線性定常系統(tǒng)注意：僅適用于線性定常系

3、統(tǒng)r(t)r(t)C(t)C(t)(c)(c)不穩(wěn)定不穩(wěn)定C(t)C(t)( (a)a)外加擾動外加擾動r(t)r(t)(b)(b)穩(wěn)定穩(wěn)定C(t)C(t)l li im m( ( ) ) 0 0t tg g t t 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部。 j 0穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域S平面平面 1 10 01 11 10 0( ( ) )0 0, ,0 0n nn nn nn nD D s sa a s sa a s sa as sa aa a 3.5.23.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的條件Atct)(

4、lim若若)(limtct若若非零常數(shù)非零常數(shù) 系統(tǒng)初始條件為零時，受到系統(tǒng)初始條件為零時，受到( t)( t)的作用，輸出的作用，輸出 為為單位脈沖響應(yīng)，這相當于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏單位脈沖響應(yīng)，這相當于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，當離平衡點的問題，當tt時，時，( )c tlim( )0tc t 若若（漸近）穩(wěn)定（漸近）穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定設(shè)設(shè)n階系統(tǒng)表達式為階系統(tǒng)表達式為nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCs11101110)()()(理想脈沖函數(shù)作用下理想脈沖函數(shù)作用下R(s)=1,輸出量的拉氏變換為輸出量的拉氏變換為(mn)

5、 qjrkkkkjmiiniiisssszsKssAsRssC112211)2()()()()()()(10knq2其中其中拉氏反變換為拉氏反變換為teBeAtckktkrktsjqjkkj)1cos()(211teBCkktkkkkkkrkkk)1sin(1221 (t0)若全部特征根有負實部，則若全部特征根有負實部，則lim ( )0tc t（漸近）穩(wěn)定（漸近）穩(wěn)定有一個或一個以上正實根或?qū)嵅繛檎墓曹棌?fù)根，其余有一個或一個以上正實根或?qū)嵅繛檎墓曹棌?fù)根，其余的根具有負實部的根具有負實部, ,則則系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定)(limtct有一個或一個以上零實部根，其余的具有負實部有一個或一個以上

6、零實部根，其余的具有負實部Atct)(lim臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定q穩(wěn)定性與零點無關(guān)穩(wěn)定性與零點無關(guān)q系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部，系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部，即即閉環(huán)系閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在統(tǒng)的極點全部在s s平面左半部。平面左半部。2ss s平面平面jO1s3s4s5s6sq穩(wěn)定的必要條件穩(wěn)定的必要條件0asa.sasa) s (Dn1n1n1n0各項系數(shù)有相同的符各項系數(shù)有相同的符號，無零系數(shù)號，無零系數(shù)特征方程特征方程q代數(shù)代數(shù)判據(jù)可以省略判據(jù)可以省略高階系統(tǒng)求征特根帶來的麻高階系統(tǒng)求征特根帶來的麻煩煩。常用的。常用的代數(shù)代數(shù)判據(jù)有判據(jù)有勞斯判

7、據(jù)勞斯判據(jù). .3.5.3 3.5.3 線性系統(tǒng)的代數(shù)判據(jù)線性系統(tǒng)的代數(shù)判據(jù) v勞斯勞斯(routh)(routh)判據(jù)判據(jù)v勞斯陣列勞斯陣列v勞斯勞斯(routh)(routh)判據(jù)的特殊情況判據(jù)的特殊情況重點重點v勞斯勞斯(routh(routh) )判據(jù)的應(yīng)用判據(jù)的應(yīng)用4s3s2s1 13 32 24 41 12 2 1 15 52 20 05 52 2 1234501s0s1 15 56 60 05 56 6 2 24 41 15 56 61 1 0解：解：第一列元素符號變化兩次，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定性第一列元素符號變化兩次，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定性。 設(shè)系統(tǒng)特征方程為：設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s

8、5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞勞 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=22710(6-14)/1= -8-82 41 21 1、勞斯穩(wěn)定判據(jù)（勞斯表介紹）、勞斯穩(wěn)定判據(jù)（勞斯表介紹）勞斯表特點勞斯表特點4 4 每兩行個數(shù)相等每兩行個數(shù)相等1 1 右移一位降兩階右移一位降兩階2 2 行列式第一列行列式第一列不動不動第二列第二列右移右移3 3 次次對角線對角線減減主主對角線對角線5 5 分母總是上一行第一個元素分母總是上一行第一個元素6 6 第一列出現(xiàn)零元素時，用第一列出現(xiàn)零元素時，用正正無無窮小量窮小量代替代替。7 7 一行可同乘以

9、或同除以某一行可同乘以或同除以某正正數(shù)數(shù)2+87-8(2 +8)-7271 2 7 -81246357120121( ).0nnnnnD sa sa sa sasa設(shè)系統(tǒng)的特征方程為設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 ccaaccccaaccccaaccs aaaaacaaaaacaaaaacs a a as a a a s1343171334133315132413231313143n1706133150412313021132n5311n420n 0sna勞斯陣列勞斯陣列第一列中各數(shù)第一列中各數(shù)符號不同符號不同 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定符號相同符號相同系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定的充要條件是勞思陣列第一列元素不改變符

10、號穩(wěn)定的充要條件是勞思陣列第一列元素不改變符號第一列符號改變的次數(shù)等于特征方程正實部根的個數(shù)第一列符號改變的次數(shù)等于特征方程正實部根的個數(shù)4s3s2s1324121520521234501s0s560651 241561 0例例3.123.12 特征方程為特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0; 用勞斯穩(wěn)定判據(jù)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解：解：勞斯表勞斯表符號改變一次符號改變一次符號改變一次符號改變一次符號改變兩次，符號改變兩次，s平面右側(cè)有兩個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。平面右側(cè)有兩個根，系統(tǒng)不穩(wěn)定性。動畫動畫系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的必要必要條件條件:有正有負一定不穩(wěn)定有正有負

11、一定不穩(wěn)定! !缺項一定不穩(wěn)定缺項一定不穩(wěn)定! !系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定的充分充分條件條件:勞斯表勞斯表第一列第一列元素元素不變號不變號!若變號系統(tǒng)不穩(wěn)定若變號系統(tǒng)不穩(wěn)定!變號的變號的次數(shù)次數(shù)為特征根在為特征根在s右右半平面的半平面的個數(shù)個數(shù)!特征方程各項系數(shù)特征方程各項系數(shù)全全00或或全全00-s2-5s-6=0穩(wěn)定嗎穩(wěn)定嗎？有兩個正實部根有兩個正實部根有兩個正實部根有兩個正實部根有兩個正實部根有兩個正實部根該系統(tǒng)不穩(wěn)定該系統(tǒng)不穩(wěn)定勞斯勞斯(routh)(routh)判據(jù)小結(jié)判據(jù)小結(jié)設(shè)系統(tǒng)特征方程為：設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0勞勞 斯斯 表表s6s5s0

12、s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=22710(6-14)/1= -8-82 41 21 1、勞斯穩(wěn)定判據(jù)（首項為）、勞斯穩(wěn)定判據(jù)（首項為）勞斯表特點勞斯表特點4 4 每兩行個數(shù)相等每兩行個數(shù)相等1 1 右移一位降兩階右移一位降兩階2 2 行列式第一列行列式第一列不動不動第二列第二列右移右移3 3 次次對角線對角線減減主主對角線對角線5 5 分母總是上一行第一個元素分母總是上一行第一個元素6 6 第一列出現(xiàn)零元素時，用第一列出現(xiàn)零元素時，用正正無無窮小量窮小量代替代替。7 7 一行可同乘以或同除以某一行可同乘以或同除以某正正數(shù)數(shù)2+87-8(2 +8)-7271

13、2 7 -81246357s4 111s3 33s2 01sD(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0特殊情況：第一列某行出現(xiàn)特殊情況：第一列某行出現(xiàn)0 0某行的第一列項為某行的第一列項為0，其余各項不為，其余各項不為0或不或不全為全為0。（）用（。（）用（s+a）因子乘原特征方）因子乘原特征方程（程（a為任意正數(shù)），（）或用很小的正為任意正數(shù)），（）或用很小的正數(shù)數(shù) 代替零元素。代替零元素。勞斯表勞斯表第一列為零第一列為零 方法方法：(s+3)(s+3)乘原式，得乘原式，得D(s)=sD(s)=s5 5+6s+6s4 4+10s+10s3 3+6s+6s2 2+10s+3=0+10s+3=0

14、 s5 11010s4 663s3 99.5s2 -0.333s1 91.40s0 3s4 111s3 33s2 1s2 s1代替代替了了(3 -3)/ 方法方法勞斯表出現(xiàn)零行勞斯表出現(xiàn)零行設(shè)系統(tǒng)特征方程為：設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞勞 斯斯 表表s0s1s2s3s4517566601 勞斯表何時會出現(xiàn)零行勞斯表何時會出現(xiàn)零行?2 出現(xiàn)零行怎么辦出現(xiàn)零行怎么辦?3 如何求對稱的根如何求對稱的根? 由零行的上一行構(gòu)成由零行的上一行構(gòu)成輔助方程輔助方程: 有大小相等符號相反的有大小相等符號相反的特征根時會出現(xiàn)零行特征根時會出現(xiàn)零行s2+1=0對其求導(dǎo)得零行系數(shù)對其求導(dǎo)得

15、零行系數(shù): 2s1繼續(xù)計算勞斯表繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯啦錯啦!2由綜合除法由綜合除法或或比較系數(shù)法比較系數(shù)法可得另兩個根可得另兩個根s3,4= -2,-3 解輔助方程得對稱根解輔助方程得對稱根: s1,2=j注意：注意：純虛根為重根純虛根為重根時，系統(tǒng)不再等幅振時，系統(tǒng)不再等幅振蕩，而是振蕩發(fā)散。蕩，而是振蕩發(fā)散。特殊情況特殊情況2 2：勞斯陣列出現(xiàn)全零行勞斯陣列出現(xiàn)全零行: :系統(tǒng)在系統(tǒng)在s s平面有對稱分布的根平面有對稱分布的根大小相等符號相反的實根大小相等符號相反的實根對稱于實軸的兩對共軛復(fù)根對稱于實軸的兩對共軛復(fù)根共軛虛根共軛虛根 解：

16、解：勞斯表勞斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 (取代取代0) 2 s1 2-4/ s0 2解解 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 輔助多項式輔助多項式A(sA(s) )的系數(shù)的系數(shù) s3 0 0 0：4s4242( )2840( )2840F sssF sss3 3( )/816( )/816dF sdsssdF sdsss s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 8 16 dA(s)/ds的系數(shù)的系數(shù) s2 4 4 s1 8 s0 4 1 1. .2 23 3. .4 40 0. .5 58 86 60 0. .7 76 66

17、 63 3. .4 41 14 41 1. .8 84 48 8s sj jj js sj jj j 4242( )2840( )2840F sssF sss例例3.143.14 負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) )30()(6500)()(21ssKssHsG（1 1）求系統(tǒng)穩(wěn)定）求系統(tǒng)穩(wěn)定K K1 1的取值范圍；的取值范圍；（2 2）要求閉環(huán)極點全部位于）要求閉環(huán)極點全部位于s= -1s= -1垂線之左，求垂線之左，求K K1 1的取值范圍。的取值范圍。12316500650030)(6500)(KsssKss 解解：（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程

18、閉環(huán)特征方程 D(s)= s 3+30 s 2+6500 s +6500K1=0 勞斯表勞斯表6500K1 s 0 s 1 6500K30s 2 65001s 3 3065006500301KK1取值范圍是取值范圍是 K1 （2 2）將）將s=z-1s=z-1代入原式，新特征方程代入原式，新特征方程 D(z)=zD(z)=z3 3+27z+27z2 2+6443z+(6500K+6443z+(6500K1 1-6471)=0-6471)=0 勞斯表勞斯表6500K1-6471 z0 z16500K1-6471 27z2 64431z3 27647165006443271K76.2711 KK1

19、取值范圍是取值范圍是2627 1)E(s)=C希希-C實實穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的希望值與實際值之差穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的希望值與實際值之差lim( )lim( )sssst tee tee t E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(- -) 2)E(s)=R(s)-B(s)( ( ) )1 1( ( ) )( ( ) )1 1( ( ) )( ( ) )e eE E s ss sR R s sG G s s H Hs s 0 00 0( ( ) )l li im m( ( ) )l li im m( ( ) )l li im m1 1( ( ) )( ( ) )s ss st ts ss ss sR R

20、s se ee e t ts sE E s sG G s s H Hs s 誤差傳遞函數(shù)為誤差傳遞函數(shù)為：誤差定義誤差定義G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)輸輸入入端定義：端定義：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)輸輸出出端定義：端定義：E(s)=C希希-C實實= -C(s)R(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)誤差誤差E(s)=R(s)-C(s)誤差定義有兩種方式：誤差定義有兩種方式： 1)E(s)=C1)E(s)=C希希-C-C實實 2)E(s)=R(s)-B(s) 2)E(s)

21、=R(s)-B(s) 單位反饋時兩種定義相同。單位反饋時兩種定義相同。G1(s)H(s)C(s)G2(s)N(s)R(s)E(s)該公式使用條件該公式使用條件: :q滿足滿足sE(ssE(s) )在在s s右半平面及虛軸上解析的條右半平面及虛軸上解析的條件，即件，即 sE(ssE(s) )的極點均位于的極點均位于s s左半平面。左半平面。q當當sE(ssE(s) )在坐標原點有極點在坐標原點有極點 時，雖不滿足時，雖不滿足虛軸上解析的條件，但使用結(jié)果與實際結(jié)虛軸上解析的條件，但使用結(jié)果與實際結(jié)果一致，這時也可用此公式。果一致，這時也可用此公式。計算誤差公式計算誤差公式0lim ( )lim(

22、)sstsee tsE s例例3.153.15單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=1/TG(s)=1/Ts s, ,輸入分別輸入分別為為1)r(t)=t 1)r(t)=t ，2)r(t)=t2)r(t)=t2 2/2/2，3)r(t)=sint3)r(t)=sint，求穩(wěn)態(tài)誤差。，求穩(wěn)態(tài)誤差。 解：解：誤差閉環(huán)傳遞函數(shù)誤差閉環(huán)傳遞函數(shù)TsTssGsRsEse1)(11)()()(2 2） , , 符合終值定理應(yīng)用條件。符合終值定理應(yīng)用條件。)1()(,1)(23TssTsEssR )1(1lim)(lim00TssssEessss使用終值定理要注意條件。使用終值定

23、理要注意條件。3 3） , , 不符合應(yīng)用條件不符合應(yīng)用條件 。22221)(,)( sTsTssEssRq用終值定理將得出錯誤結(jié)論。用終值定理將得出錯誤結(jié)論。1 1） , , 符合終值定理應(yīng)用條件符合終值定理應(yīng)用條件)1()(,1)(2TssTsEssR TTsTssEessss 1lim)(lim00E(s)C(s)R(s)- -Ts11 1、影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素、影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素 開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成：開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成：njjmiinmsTssKsTsTsTssssKsHsG11221)1 ()1 ()1 ()1)(1 ()1 ()1)(1 ()()(1式中，式中，K K為開環(huán)增益。

24、為開環(huán)增益。 為開環(huán)系統(tǒng)在為開環(huán)系統(tǒng)在s s平面坐標原點平面坐標原點的極點重數(shù)，的極點重數(shù)， =0,1,2=0,1,2時，系統(tǒng)分別稱為時，系統(tǒng)分別稱為 0 0 型、型、型、型、型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。 sKsRssKsTsssRsTssHsGSsRsEsteessnjmjijnjjssstss010111000lim)(lim)1()1()()1(lim)()(1)(lim)(lim)(lim 穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)誤誤差差為為q 于是，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于原點處開環(huán)極點的于是，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于原點處開環(huán)極點的 階次階次 、開環(huán)、開環(huán)增益增益K K以及輸入信號的形式。以及輸入信號的形式。G0H0注意：注意：s

25、0s 0時，時，G G0 0H H0 0一定一定11s表示表示開環(huán)開環(huán)有有個極點在坐標原點個極點在坐標原點= 0稱為稱為0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng) 稱為稱為型系統(tǒng)型系統(tǒng)稱為稱為型系統(tǒng)型系統(tǒng)稱為稱為型系統(tǒng)型系統(tǒng)= 1= 2= 3注意注意！123系統(tǒng)型別系統(tǒng)型別設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=( is+1)i =1 m(Tjs+1) j=1n -ks0lim( )( )ss G s H s其實K此時的此時的k k為開環(huán)增益為開環(huán)增益vn1iivm1ii) 1sT(s) 1s(K) s (H) s (G100lim( )limsssssR seKs1.1.階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)階

26、躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)10011)()(11lim0KRKRsRsHsGsePsssq穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差10lim)()(lim00KsKsHsGKsspq靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)位置誤差系數(shù)時有差系統(tǒng)時有差系統(tǒng)0q階躍輸入要使穩(wěn)態(tài)誤差為零階躍輸入要使穩(wěn)態(tài)誤差為零, ,必必須使用須使用型或型或型以上系統(tǒng)型以上系統(tǒng),圖示圖示0型系統(tǒng)有誤差。型系統(tǒng)有誤差。vn1iivm1ii) 1sT(s) 1s(K) s (H) s (G100lim( )limsssssR seKs2.2.斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)2100)()(11lim20KRKRsRs

27、HsGsevsssq穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差2100lim)()(lim100KsKsHssGKssvq靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)q0型系統(tǒng)不能跟蹤型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入，斜坡輸入，型系存在有限誤差，型系存在有限誤差，要使穩(wěn)態(tài)誤要使穩(wěn)態(tài)誤差為零差為零, ,必須使用必須使用型或型或型以上型以上系統(tǒng)系統(tǒng), ,圖示圖示型有差系統(tǒng)型有差系統(tǒng)。一階一階有差系統(tǒng)有差系統(tǒng) =1vn1iivm1ii) 1sT(s) 1s(K) s (H) s (G100lim( )limsssssR seKs3.3.加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)加速度誤差系數(shù)加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)加速度誤差系數(shù)321 , 00)()(11li

28、m30KRKRsRsHsGseasssq穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差321 , 00lim)()(lim2020KsKsHsGsKssaq靜態(tài)加速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)q0， 型系統(tǒng)不能跟蹤型系統(tǒng)不能跟蹤加速度加速度輸輸入，入， 型系存在有限誤差，型系存在有限誤差，要使要使穩(wěn)態(tài)誤差為零穩(wěn)態(tài)誤差為零, ,必須使用必須使用型或型或型以上系統(tǒng)型以上系統(tǒng), ,圖示圖示型有差系統(tǒng)型有差系統(tǒng)。二階二階有差系統(tǒng)有差系統(tǒng) =2減小或消除誤差的措施減小或消除誤差的措施：提高開環(huán)積分環(huán)節(jié)的階次：提高開環(huán)積分環(huán)節(jié)的階次 、增加開環(huán)增益、增加開環(huán)增益 K K。表表3-1 3-1 輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)

29、誤差5 5、系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)與輸入信號行式之間的關(guān)系、系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)與輸入信號行式之間的關(guān)系 例例2 2 系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸入r(t)=(r(t)=( + + t+t+ t t2 2/2)1(t)/2)1(t)，求，求0 0 型、型、型、型、 型型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 型型系系統(tǒng)統(tǒng)型型系系統(tǒng)統(tǒng)型型系系統(tǒng)統(tǒng)I,kk00,k0,k1kkk1eavpss解：解：利用疊加原理，得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差利用疊加原理，得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差解解：誤差為誤差為 e(t)=r(t)-c(t)e(t)=r(t)-c(t)，(1)(1)(1)( )( )( )1(1)(1)ccK sK s TsK K s

30、C ssR sK s Tss TsKKTssKKTssssRsCsRsRsEsce) 1()1()(1)()()()()()(根據(jù)誤差定義根據(jù)誤差定義KKKsKTssKKTssssRsseccoseosss11) 1()1(lim)()(lim2應(yīng)用終值定理應(yīng)用終值定理若要若要e ess ss=0=0， K Kc c=1/K =1/K 。例例2 2如圖示如圖示B B，求，求K Kc c值使穩(wěn)態(tài)誤差為零。值使穩(wěn)態(tài)誤差為零。 R(s)C(s)B) 1(TssK1sKc_例例3 3已知單位反饋系統(tǒng)開已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函為環(huán)傳函為G(s)G(s)，輸入為，輸入為r(t)r(t)，試求，試求e es

31、s ss。s2(0.1s+1)8(0.5s+1)G3(s)=s(s+4)(s2+2s+2)7(s+3)G2(s)=(0.1s+1)(0.5s+1)10G1(s)=r1(t)=1(t)r2(t)=tr3(t)=t20 0型型型型型型k=10k=21/8k=8ess=1/11ess= 8/21ess=1/8解：解：系統(tǒng)系統(tǒng)2 2不穩(wěn)定，不穩(wěn)定，系統(tǒng)系統(tǒng)3 3的的=2=2， ess ess=1/4 3.6.33.6.3擾動作用下的誤差擾動作用下的誤差q擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差值反映了系統(tǒng)的擾干擾能力。擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差值反映了系統(tǒng)的擾干擾能力。q理想狀態(tài)下，系統(tǒng)對任意形式的擾動，穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)該為零，理想

32、狀態(tài)下，系統(tǒng)對任意形式的擾動，穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)該為零，但實際情況卻不是這樣。但實際情況卻不是這樣。00220012( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )1( )sNeNssssel imsE sl imss N sG s H sG s H sl imsN sl imsN sG s G s H sG s開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)N(s)C(s)擾動作用下的誤差傳函擾動作用下的誤差傳函擾動單獨作用時，輸出擾動單獨作用時，輸出( )( )( )NNCsEs H s例例3.223.22圖示，圖示，N(s)=2/sN(s)=2/s

33、。求。求K=40K=40，K=20K=20時系統(tǒng)在擾動作用下時系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)輸出及穩(wěn)態(tài)誤差的穩(wěn)態(tài)輸出及穩(wěn)態(tài)誤差。)()()(1)()()()()(1)()()()(2122121sHsGsGsNsGsHsGsGsRsGsGsC解：解：E(s)=R(s)-H(s)C(s) E(s)=R(s)-H(s)C(s) 代入代入C(s)=GC(s)=G1 1(s)G(s)G2 2(s)E(s)+G(s)E(s)+G2 2(s)N(s) (s)N(s) 得得)()()()(1)()(212sNsHsGsGsGsCn 令令R(s)=0R(s)=0，得，得N(s)N(s)作用下的輸出作用下的輸出)()(

34、)()(1)()()()()()(212sNsHsGsGsHsGsCsHsRsEn誤差表達式誤差表達式2.5R(s) E(s)N(s)C(s)51s105. 0sK 擾動下的穩(wěn)態(tài)輸出擾動下的穩(wěn)態(tài)輸出)()()()(1)(lim)(lim)(21200sNsHsGsGssGssCcsnsn將將N(s)N(s)、G G1 1(s)(s)、G G2 2(s)(s)、H(s)H(s)的表達式代入上式，得的表達式代入上式，得Kcn5.252)(Kessn5 . 011019. 0)(nc048. 0ssne當當K=40K=40時時, , 036. 0)(nc091. 0ssne當當K=20K=20時，時

35、，K K減小使穩(wěn)態(tài)輸出增大，穩(wěn)態(tài)誤差的絕對值也增大減小使穩(wěn)態(tài)輸出增大，穩(wěn)態(tài)誤差的絕對值也增大. .總誤差總誤差e ess ss= e= essrssr+ e+ essnssn例例4 4求圖示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤求圖示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差差e ess ss 。其中其中 r(t)=t, n(t)= -1(t)r(t)=t, n(t)= -1(t)解：解：令令n(t)=0,n(t)=0,Er(s) = - H(s)C(s)R(s)因為系統(tǒng)穩(wěn)定因為系統(tǒng)穩(wěn)定, , essr=limsEr(s)=s01令令r(t)=0,r(t)=0,En(s) = -Cn(s)H(s) essn=limsEn(s) =10sess=4

36、145=+1s(s+1)(0.2s+1)+4 4(0.2s+1)s.1=s(s+1)(0.2s+1)+4s(s+1)(0.2s+1)s2.1= 2R(s)C(s)N(s)0.2s+11s(s+1)2(s)例例3.53.5)1s ( s2) s (G,50s250) s (G21 求求r(t)=1(t)+2t, n(t)=-1(t)時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。解：解：r(t)作用時：作用時：Kp=, Kv=K=10, essr=0+2/10=0.2 。500)1)(50()50(2)1(2502501)1(2)()(1)()()(212 ssssssssssGsGsGsNsEn(t)作用時：

37、作用時：2 . 0500)1)(50()50(2lim)(lim00 ssssssEessssn4 . 0 ssnssrsseee故故 對擾動作用來講，對擾動作用來講，減小或消除誤差的措施：減小或消除誤差的措施：增大擾增大擾動作用點之前的前向通路增益、增大擾動作用點之前的動作用點之前的前向通路增益、增大擾動作用點之前的前向通路積分環(huán)節(jié)數(shù)。前向通路積分環(huán)節(jié)數(shù)。 終值定理法不能表示穩(wěn)態(tài)誤差隨時間變化的規(guī)律。一、補償控制一、補償控制G(s)1G(s)(s)G1R(s)E(s)r 0)(,)(/1)( sEsGsGr時時當當1. 1. 按參考輸入補償按參考輸入補償2. 按擾動輸入補償按擾動輸入補償) s (G) s (G1) s (G) s (G) s (G) s (G) s (N) s (E2121f2 0)(,)(/1)(1 sEsGsGf時時當當3. 3. 等效傳遞函數(shù)等效傳遞函數(shù)) s (1) s () s (G) s (G1) s (G) s ( vnnnnvnnnnvKsasasasKssasasasKsG )1()()1()(111111則則設(shè)設(shè)vnnnnvKsasasassKs )1()1()(1111 )()(,/11211