換元積分法實用教案

1、 dxxxf)()( duuf)()(xu 由繁變簡)(xu 如何找如何找由簡變繁 設(shè)設(shè))(tx 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且0)( t ，又設(shè)，又設(shè))()(ttf 具有原函數(shù)，則有換具有原函數(shù)，則有換元公式元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其其中中)(tt 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù).定理2二、第二類換元法（變量(binling)代換法）第1頁/共30頁第一頁，共31頁。:)( 的步驟的步驟第二類換元法求第二類換元法求dxxf)(:. 1tx 尋尋求求適適當當?shù)牡闹弥脫Q換函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)鍵鍵求積分求積分. 2dtttf )()( )(求積分求積分關(guān)于關(guān)于

2、t特別提示代代入入所所得得結(jié)結(jié)果果中中將將)(. 3xt 1、三角(snjio)代換法三角(snjio)代換的目的是化掉根式.第2頁/共30頁第二頁，共31頁。例1 求解).0(22 adxxatdtadxcos taxsin 令令 22 t dxxa22dttataacossin222 dttatacos|cos| dtta22cos dtta22cos12 tdtadta2cos2222 tdtadta22cos4222Ctata 2sin4222 1cos22cos2tt第3頁/共30頁第三頁，共31頁。 tdtadta22cos4222Ctata 2sin4222taxsin axta

3、rcsin tax22xa Cttata cossin2222axaarcsin22Caxaaxa 2222axaarcsin22 Cxax 222第4頁/共30頁第四頁，共31頁。練習(xí) 求dxx 2111例2 求).0(122 adxax解tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 2,2 t令taxtan Ctt |tansec|ln dttsectax22ax Caaxax 22lnCaxx |ln22第5頁/共30頁第五頁，共31頁。練習(xí) 求 dxx 3211例3 求).0(122 adxax第6頁/共30頁第六頁，共31頁。解令taxsec 2, 0 ttdtt

4、adxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt |tansec|lnCaaxax 22lntax22ax .ln22Caxx 第7頁/共30頁第七頁，共31頁。.)ln(12222Caxxdxax 作代換作代換時時當被積函數(shù)含有當被積函數(shù)含有,)1(22xa taxtaxcossin 或或作代換作代換時時當被積函數(shù)含有當被積函數(shù)含有,)2(22xa taxtaxcottan 或或作代換作代換時時當被積函數(shù)含有當被積函數(shù)含有,)3(22ax taxtaxcscsec 或或總結(jié)第8頁/共30頁第八頁，共31頁。練習(xí)：求下列積分練習(xí)：求下列積分dxxxdxx

5、xdxxdxx 121441394129112222）（）（）（）（第9頁/共30頁第九頁，共31頁。練習(xí)(linx)： 求解.423dxxx 令txsin2 tdtdxcos2 2,2 tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 第10頁/共30頁第十頁，共31頁。2. 無理(wl)代換被積函數(shù)(hnsh)有簡單根式的積分( ,),nR xaxb令ntaxb( ,) ,ax bn

6、cx dR x令ax bncx dt( ,) ,nmR xaxbaxb,ptaxb令., 的最小公倍數(shù)為nmp被積函數(shù)(hnsh)變換第11頁/共30頁第十一頁，共31頁。求(1)dxxx1.例4(2).d4 xxx .d33xxxxx (3)第12頁/共30頁第十二頁，共31頁。例5 求求.d11xxxx解: 令1,xtx則,112tx22) 1(d2dtttx原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln221121tdtt 第13頁/共30頁第十三頁，共31頁。dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21

7、|ln1417.|21|ln1417Cx 例6 求dxxx )2(17令tx1 ,12dttdx 解3、倒代換(di hun)法當分母的階較高時, 可采用倒代換.1tx 回代回代第14頁/共30頁第十四頁，共31頁。4.其它(qt)換元法2100(1)xxdx例7. 求求.11dxex 例8第15頁/共30頁第十五頁，共31頁。解：xet 1令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx第16頁/共30頁第十六頁，共31頁。小結(jié)(xioji):1. 第二類換元法常見(chn jin)類型: ,d),

8、() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共30頁第十七頁，共31頁。xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 2. 常用基本常用基本(jbn)積分公式的補充積分

9、公式的補充 (7) 分母(fnm)中因子次數(shù)較高時, 可試用倒代換 ,d)()6(xafx令xat 第18頁/共30頁第十八頁，共31頁。xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第19頁/共30頁第十九頁，共31頁。一、一、 填空題：填空題：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 則則 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax時，可作變量代換時，可作變量代換_

10、 _，然后再求積分；，然后再求積分；3 3、 求求 dxxx211時可先令時可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；練 習(xí) 題第20頁/共30頁第二十頁，共31頁。7 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

11、 .第21頁/共30頁第二十一頁，共31頁。3 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin；7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491；9 9、 dxxx239； 10 10、 )4(6xxdx；1111、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1；1313、 dxxx2arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. .第22頁/共30頁第二十二頁，共31頁。三、三、 求下列不定積分：求下列不定積分： （第二類換元法

12、）（第二類換元法）1 1、 21xxdx；2 2、 32)1(xdx；3 3、 xdx21；4 4、 dxxaxx2；5 5、設(shè)、設(shè) xdxntan, ,求證：求證： 21tan11 nnnIxnI , , 并求并求 xdx5tan. .第23頁/共30頁第二十三頁，共31頁。練習(xí)題答案(d n)一一、1 1、CuF )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、- -2 2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、Ct cos2； 1 10 0、Cxaaxaxa )(arcsin22222. .二二、1 1、Cxaaxa 2

13、2arcsin； 2 2、Cx lnlnln； 3 3、Cx )1ln(cos2； 4 4、Cex arctan； 5 5、Cx 233)1(92； 6 6、Cx )arctan(sin212；第24頁/共30頁第二十四頁，共31頁。7 7、Cxx 32)cos(sin23；8 8、Cxx 44932arcsin212；9 9、Cxx )9ln(29222；1 10 0、Cxx 4ln24166；1 11 1、Cx 2)(arctan；1 12 2、Cxexexx )1ln()ln(；1 13 3、Cx 10ln210arccos2； 1 14 4、Cx 2)tan(ln21. .第25頁/共

14、30頁第二十五頁，共31頁。三、三、1 1、Cxxx )1ln(arcsin212； 2 2、Cxx 21； 3 3、Cxx )21ln(2； 4 4、)2(22arcsin32xaxaaxa + +Cxaxxa )2(2. .第26頁/共30頁第二十六頁，共31頁。1、無理(wl)代換法例1 求 xdx1)0( , ttx令令解tdtdx2 xdx1 ttdt122tx dttt 11121 2 tdtdtctt 1ln 2cxx 1ln 2第27頁/共30頁第二十七頁，共31頁。例2 求 )1(3xxdx解tx 6令令6tx dttdx56 )1(3xxdx )1(6235ttdtt )1(622tdttdttt )1(1)1(622)1(1(62dttdt ctt )arctan(6cxx )arctan(666第28頁/共30頁第二十八頁，共31頁。.,指指數(shù)數(shù)的的最最小小公公倍倍數(shù)數(shù)是是這這些些根根，其其中中根根指指數(shù)數(shù)的的根根式式，可可令令的的不不同同若若被被積積函函數(shù)數(shù)含含有有根根式式，再再設(shè)設(shè)法法計計