工學量子力學學習教案

1、會計學1工學量子力學工學量子力學(lin z l xu)第一頁，共172頁。（波）（波）（PlanckPlanck假設(shè)）假設(shè)）EinsteinEinstein關(guān)系關(guān)系 Ep Eh 第1頁/共171頁第二頁，共172頁。pk hP2k波數(shù)，()()i k rti p rEtAeAe 第2頁/共171頁第三頁，共172頁。第3頁/共171頁第四頁，共172頁。二、電子(dinz)雙縫實驗 用一電子槍(由一加熱的鎢絲和一加速電極構(gòu)成)向開有雙縫的屏發(fā)射電子，再后面是接受電子的后障，先在其上安裝一個可移動的檢測器，它可以是蓋革計數(shù)器，或者更好一點，與擴音器相連的電子倍增器，每當電子到來的時候(sh h

2、ou)，檢測器發(fā)出咔噠的聲響。 如圖a所示。第4頁/共171頁第五頁，共172頁。在實驗中我們會發(fā)現(xiàn)，咔噠聲出現(xiàn)的節(jié)奏是不規(guī)則的，但在每處較長時間內(nèi)的平均次數(shù)是近似不變的，它與電子槍發(fā)出的電子流強成正比。為了避免咔噠聲過分密集(mj)，不好計數(shù)，我們可以把電子槍的加熱電流減弱，以減少電子的流強。我們甚至可以設(shè)想，電子流強如此之弱，當前一個電子從電子槍出發(fā)通過雙縫屏到達后障之前，后一個電子不出發(fā)。每次只有單個電子通過儀器。這時如果我們在后障上各處布滿檢測器，則會發(fā)現(xiàn)，每次只有一個檢測器發(fā)出咔噠聲。 所有的咔噠聲都一樣強，從來不會發(fā)生兩個或兩個以上的檢測器同時發(fā)出(fch)哪怕是較弱的咔噠聲。這就

3、是說，猶如上述子彈實驗，電子是以“粒子”的形式被檢測到的。第5頁/共171頁第六頁，共172頁。 現(xiàn)在先把縫2遮住，只允許電子從縫1通過。記錄后障上各處檢測(jin c)到電子的數(shù)目。經(jīng)過長時間的數(shù)據(jù)積累，可得到如圖b所示的電子沿x方向的數(shù)密度分布曲線r1(x) 。 最后打開兩縫做實驗，起初后障上各處咔噠聲此起彼落(c q b lu)，貌似無規(guī)。經(jīng)過長時間的數(shù)據(jù)積累，可得到如圖c所示的電子數(shù)密度分布曲線r12(x) ，得到的強度分布I12(x) (見該圖c)，具有明顯(mngxin)的干涉效應(yīng)特征。直到1970年代才有人發(fā)表干涉實驗的結(jié)果。 遮住縫l，打開縫2，重復上述實驗，又可得到如圖b所示

4、的數(shù)密度分布曲線r2(x) 。這里得到的曲線r1(x)和r2(x) ,沒有干涉。r1r22112r rr rr r 12r r第6頁/共171頁第七頁，共172頁。 當實驗使電子從確定的狹縫通過(tnggu)時,電子表現(xiàn)得象粒子。當實驗不確定使電子從哪一條狹縫通過(tnggu)時,電子表現(xiàn)得象波。如果說電子是“粒子”，我們能否說：每個電子不是通過縫1，就是通過縫2，兩者必居其一。那么，干涉效應(yīng)是怎樣產(chǎn)生的呢?也許(yx)電子在通過雙縫時分成了兩半，每縫通過一半。為什么檢測器接受的總是整個的電子，從未發(fā)現(xiàn)半個? 怎樣(znyng)理解電子在上述雙縫干涉實驗中的這種行為?如果說電子是“波”，但實驗

5、測得的是一個一個的電子。第7頁/共171頁第八頁，共172頁。上世紀九十年代中后期的 “哪條路檢測器” 實驗結(jié)果是，每個電子都只穿過(chun u)一條縫,從未觀察到某個電子同時穿過(chun u)兩縫的情況。該實驗還表明,如果確定粒子從哪條路通過，那么就無干涉效應(yīng),即退相干,如果實驗不確定粒子從哪條路通過,那么就出現(xiàn)干涉效應(yīng)?！皐hich way”實驗(shyn)在一條縫后放置一個足夠強的照明光源。這樣，穿過該縫的電子必定同時散射光子。探測有無(yu w)散射光子原則上就可判定是從哪條縫穿過的。第8頁/共171頁第九頁，共172頁?？傊?，要設(shè)計出一種儀器，它既能判斷電子通過哪條縫又不干擾干涉

6、圖樣的出現(xiàn)，是絕對做不到的。這是微觀世界里的客觀規(guī)律，并非我們現(xiàn)在的實驗手段不夠高明。我們無法用我們的經(jīng)典觀念(gunnin)來解釋電子是怎樣通過雙縫而產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的，我們只好說當實驗確定(qudng)電子是從哪條縫穿過時，這個對電子位置的測量過程實際上已經(jīng)干擾了電子原來的狀態(tài)，使得電子由原來的具有波粒二象性的狀態(tài)突變到僅具有粒子性的狀態(tài)，因而沒有干涉現(xiàn)象發(fā)生。電子是以它自己的獨特方式(fngsh)穿過雙縫的。有關(guān)哪條路檢測器如何退相干的實驗，近來有很大的進展 。近年來的研究進展表明，哪條路檢測器的退相干作用，主要來自它與被探測客體量子態(tài)的交纏。第9頁/共171頁第十頁，共172頁。三、電子雙

7、縫實驗干涉圖樣(tyng)的Born幾率詮釋 電子通過雙縫后的數(shù)密度分布呈現(xiàn)干涉圖樣反映了電子的波粒二象性, 從而我們可得到物質(zhì)波的Born幾率(j l)詮釋。后障上某點x鄰域內(nèi)的干涉花樣(huyng)強度正比于該點x鄰域內(nèi)的電子數(shù)密度大小, 正比于出現(xiàn)在該點x鄰域內(nèi)的電子數(shù)目，正比于電子出現(xiàn)在該點x鄰域內(nèi)的幾率。后障上某點x鄰域內(nèi)的干涉花樣強度正比于電子出現(xiàn)在該點x鄰域內(nèi)的幾率電子物質(zhì)波在點x鄰域內(nèi)的強度 電子物質(zhì)波在點x鄰域內(nèi)的強度 正比于電子出現(xiàn)在該鄰域內(nèi)的幾率第10頁/共171頁第十一頁，共172頁。實物粒子物質(zhì)波在空間(kngjin)任一位置附近的強度 正比于粒子出現(xiàn)在該位置附近的幾

8、率。不難理解，對于其他(qt)實物粒子的物質(zhì)波，可以有與電子同樣的理解。即物質(zhì)波的Born幾率(j l)詮釋:物質(zhì)波是幾率波這就是說根據(jù)物質(zhì)波的這個幾率詮釋, 粒子的波動性體現(xiàn)在與粒子出現(xiàn)在空間各點的幾率相聯(lián)系的波的波動性上。這樣,粒子的波動性只是反映了微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性。在非相對論情況下,物質(zhì)波的幾率詮釋正確地把實物粒子的波動性與粒子性統(tǒng)一起來, 經(jīng)歷了無數(shù)的實驗檢驗(如，散射粒子的角分布觀測結(jié)果) 。第11頁/共171頁第十二頁，共172頁。1、物質(zhì)波的描述(mio sh)量波函數(shù)物質(zhì)波不是某種真實(zhnsh)可測物理量的振動在空間中的傳播！來描寫, 稱之為波函數(shù)。它是粒子位置

9、坐標和時間的復值函數(shù)，是不可測量的。描述物質(zhì)波的量不應(yīng)是一個可測的量。可測的量一般應(yīng)是實數(shù)，故描述物質(zhì)波的量不能取實數(shù)！假定一個微觀粒子的物質(zhì)波總可以用一個函數(shù)( , )r t象位矢作為時間的函數(shù)包含了經(jīng)典粒子運動的全部信息一樣，認為波函數(shù)完全描寫了微觀粒子的運動狀態(tài)。因此，波函數(shù)又叫態(tài)函數(shù)。第12頁/共171頁第十三頁，共172頁。自由(zyu)粒子的波函數(shù):具有(jyu)確定能量E和動量 (平面單色波)時:p3/2()/( , )(2)i p r Etr te 經(jīng)典平面(pngmin)單色波波動式為) cos(trkA i( )k rtAe 由de Broglie物質(zhì)波假設(shè), E pk可假

10、定（應(yīng)取實部）一維情形:()/1/2( , )(2)xi p x Etx tempE22 非相對論情形第13頁/共171頁第十四頁，共172頁。2 波函數(shù)的幾率(j l)詮釋物質(zhì)波的波強應(yīng)正比(zhngb)于波函數(shù)的模的平方),(),(| ),(|*2trtrtr 由物質(zhì)波的幾率詮釋(qunsh)就可知,2| ),(|tr 應(yīng)描寫了粒子出現(xiàn)在空間各點的幾率分布（或幾率密度）, 即2|( , )|r tx y z 點處的體積元xyz中r表示在t時刻在空間中粒子出現(xiàn)的幾率。這就是波函數(shù)的幾率詮釋,也就是物質(zhì)波的幾率詮釋，是M. Born研究散射問題時提出的。 它是量子力學的基本原理之一。第14頁/

11、共171頁第十五頁，共172頁。 按統(tǒng)計解釋，粒子出現(xiàn)在任何地點的幾率必須(bx)有確定的，唯一的而且是有限的數(shù)值。故波函數(shù)在其變量變化的全部區(qū)域內(nèi)通常應(yīng)滿足三個條件：平方可積性（有限性）、連續(xù)性和單值性。這三個條件稱為波函數(shù)的標準條件。當然，這是就一般情況而言的，在具體的問題中，還應(yīng)根據(jù)實際的物理情況，有具體的要求。 第15頁/共171頁第十六頁，共172頁。n 歸一化條件(tiojin)，歸一化常數(shù) 按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，很自然(zrn)地要求粒子（在非相對論情況下，沒有粒子產(chǎn)生和湮滅現(xiàn)象發(fā)生）必定要在空間中出現(xiàn)的，所以，在整個空間中粒子出現(xiàn)的幾率總和應(yīng)等于1，所以有2( , )1r td

12、r這稱之為波函數(shù)的歸一化條件(tiojin)。注意:體積元表示為下列四種形式均可dr3d rddV在直角坐標系中:ddxdydz在柱坐標系中:drdrd dz在球坐標系中:2sindrdrd d 第16頁/共171頁第十七頁，共172頁。與波函數(shù) 描述(mio sh)的相對幾率完全相同，換言之， 和 所描述(mio sh)的幾率波是完全相同的。因此，波函數(shù)有一個常數(shù)因子的不確定性。在這一點上，幾率波與經(jīng)典波有本質(zhì)上的差別，一個經(jīng)典波的波幅增加一倍，則相應(yīng)的波動的能量為原來的4倍，因而代表了完全不同的波動狀態(tài)。 所描述(mio sh)的相對幾率分布是完全相同的。例如，在空間點應(yīng)強調(diào)指出，對于幾率

13、分布來說，重要的是相對幾率分布。不難看出( ) r與( )Cr（C為常數(shù)）1r和的相對(xingdu)幾率，波函數(shù)( )Cr描述的粒子的相對幾率為22112222|()|()|()|()|CrrCrr( ) r( ) r( )Cr2r第17頁/共171頁第十八頁，共172頁。按上述(shngsh)解釋，我們得出結(jié)論( , )( , )r tCr t所描述(mio sh)的量子態(tài)與( , )r t所描述的量子態(tài)是相同(xin tn)的，其中21|( , ) |Cr tdr于是，2|( , ) |1r td r我們將滿足上式的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)，而該式稱為歸一化條件。 注意： 2( , )r

14、t與 2( , )r t表示意義區(qū)別？第18頁/共171頁第十九頁，共172頁。將換成的步驟稱為歸一化，使換成的常數(shù)C( ) r，如滿足平方可積條件 稱為歸一化常數(shù)。很顯然，對任何一個波函數(shù)2|( , )|0r tdrA其中(qzhng)A為常數(shù)，則有 2( , )1r td rA第19頁/共171頁第二十頁，共172頁。即( , )r tA是歸一化的波函數(shù)，1A即歸一化常數(shù)(chngsh)。因此，歸一化條件相當于波函數(shù)的平方可積條件，這實質(zhì)上是要求2| dr為有限值，如該條件不能發(fā)散，則歸一化常數(shù)為零，( , )r t就不能被歸一化。滿足，即2| dr1A因此波函數(shù)第20頁/共171頁第二十

15、一頁，共172頁。 例：已知基態(tài)(j ti)氫原子的電子由波函數(shù)0( )exp()rrCa描寫，試計算(j sun)歸一化常數(shù)C。其中為常數(shù)(chngsh)，是玻爾半徑。 0a第21頁/共171頁第二十二頁，共172頁。 解：為使歸一化，要求(yoqi)22202223001|exp( 2)4|exp( 2)|rd rCr drdarCr drCaa于是(ysh)得301|Ca上式指出，歸一化常數(shù)只能確定到其絕對值。因此，即使(jsh)歸一化后，波函數(shù)仍有一不確定的相因子exp()i為了方面，可取C為正實數(shù)，于是歸一化波函數(shù)可寫作3001( )exp()rraa，第22頁/共171頁第二十三頁

16、，共172頁。 試對下列(xili)波函數(shù)進行歸一化 exp,0,0 xikxaxaka 22exp/,0 xxaxa第23頁/共171頁第二十四頁，共172頁。1( , )Nrrt3311|( , )|NNrrtd rd r表示(biosh)t時刻 111( ,)r rdr 粒子(lz)2出現(xiàn)在222(,)rrdr 粒子N出現(xiàn)在(,)NNNrrdr粒子1出現(xiàn)在 中 中 中的幾率。此時第24頁/共171頁第二十五頁，共172頁。歸一化條件(tiojin)表為23311|( , )|1NNrrtd rd r以后，為表達簡便(jinbin)，引進符號*2(,)|dd 這樣歸一化條件(tiojin)

17、就簡單地寫為(,)1 第25頁/共171頁第二十六頁，共172頁。 波函數(shù)、幾率密度的概念對于推動化學(huxu)由純經(jīng)驗學科向理論學科發(fā)展起著極為重要的作用. 現(xiàn)代化學(huxu)中廣泛使用的原子軌道、分子軌道, 就是描述原子、分子中電子運動的單電子波函數(shù):第26頁/共171頁第二十七頁，共172頁。而“電子云”就是(jish)相應(yīng)的幾率密度: 按照哥本哈根學派的觀點, 幾率在量子力學中是原則性的、基本的概念. 原因在于微觀世界中不確定(qudng)原理起著明顯的作用.第27頁/共171頁第二十八頁，共172頁。波函數(shù) 已經(jīng)歸一化，則 表示絕對幾率(j l)密度，否則為相對幾率(j l)密度

18、，以后無特殊說明，所求幾率(j l)密度和幾率(j l)都是絕對幾率(j l)密度和絕對幾率(j l) 量子力學基本假設(shè)之一： 在量子力學中，體系狀態(tài)用波函數(shù) （也稱為態(tài)函數(shù)）來描述，一般要求波函數(shù)是單值的、連續(xù)的、平方可積的，波函數(shù)一般是復數(shù)，波函數(shù)模的平方 給出體系的狀態(tài)的幾率(j l)分布（波函數(shù)統(tǒng)計詮釋）。22注意(zh y)：自由粒子波函數(shù)一般用平面波函數(shù)表示即： 1/21exp/2xipx 3/21exp/2rip r （一維）（三維）第28頁/共171頁第二十九頁，共172頁。, , , ,x y zx y zx y z dxdydz其次(qc)，在整個空間找到粒子的幾率之和為1

19、例題1：設(shè)粒子波函數(shù)為 ，求在 范圍內(nèi)找到粒子的幾率（或概率）書P8, ,x y z, x xdx解：首先(shuxin)波函數(shù)必須歸一化故在 范圍內(nèi)找到粒子的幾率，應(yīng)該將y，z兩個變量積分掉，即, x xdx22, , , ,x y zdydz dxx y zdydz dxx y z dxdydz如果波函數(shù) 是歸一化的，結(jié)果怎樣？, ,x y z第29頁/共171頁第三十頁，共172頁。2/22000, , ,sin, ,rrddrr dr 其次，在整個空間找到粒子(lz)的幾率之和為1解：首先(shuxin)波函數(shù)必須歸一化例題2：設(shè)粒子波函數(shù)為 ，求（a）粒子在球殼 中被測到的幾率；（b

20、）在 方向的立體角元 中找到粒子的幾率。書P8, ,r , r rdr, sindd d 故（a）粒子在球殼 中被測到的幾率，應(yīng)該將， 兩個變量積分掉，即, r rdr第30頁/共171頁第三十一頁，共172頁。2/222002/222002/22000, ,sin, ,sinsin, ,drdr drdrdr drddrr dr （b）同理在 方向上的立體角元 中找到粒子的幾率，應(yīng)該將r積分掉。sindd d , 第31頁/共171頁第三十二頁，共172頁。2202202/22000, ,sin, ,sinsin, ,rr drd drr drd dddrr dr 第32頁/共171頁第三十

21、三頁，共172頁。五、動量(dngling)波函數(shù)和動量(dngling)分布幾率 當粒子的波函數(shù)為( , )r t時,若測量粒子的位置, 得結(jié)果是不確定的,但測得粒子在某個具體位置的幾率是確定的。那么,測量粒子的其它物理量例如動量,能量及角動量等,情況將如何?先討論動量。則一般來說,所若波函數(shù)為波包的電子垂直入射到單晶晶面上，衍射譜應(yīng)該(ynggi)測得動量的幾率分布，即2( , )p t第33頁/共171頁第三十四頁，共172頁。在前述電子在晶體(jngt)表面衍射的實驗中，粒子在晶體(jngt)表面反射后，得到了的動量運動。以一個確定的動量運動的狀態(tài)用波函數(shù)( , )exp()ir tA

22、tp r ( , )( )( , )r tpr t描寫。但當入射粒子以包含不同動量的波包入射到晶體上，粒子的狀態(tài) 可以表示(biosh)為取各種可能的動量值 的平面波的線性疊加：p第34頁/共171頁第三十五頁，共172頁。 粒子經(jīng)過晶體表面反射后所產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象，就是這許多平面波p相互干涉的結(jié)果。 可以連續(xù)地變化，因此上式中對 求和由于應(yīng)以對 px, py, pz 積分來代替。pp 都可以看成是各種不同動量的平面波的疊加。下面來證明：任何一個波函數(shù)( , )r t( , )( , )( )xyzpr tp tr dp dp dp (1)式中3/21( )exp(2)pirp r (2)第35

23、頁/共171頁第三十六頁，共172頁。這里我們(w men)已取平面波的歸一化常數(shù)A等于3/2(2)其理由(lyu)將在后面詳細討論。而(1)式中( , )p t3/21( , )( , )exp(2)xyzip tr tp r dp dp dp3/21( , )( , )exp(2)xyzir tp tp r dp dp dp為這個結(jié)論的證明(zhngmng)是很簡單的：事實上，將(2)代入(1)式后給出(3)(4)(3)和(4)式說明 ( , )r t和( , )p t互為傅立葉(Fourier)變換式，因而在一般情況下總是成立的。由以上討論可以看出： 第36頁/共171頁第三十七頁，共1

24、72頁。r當 ( , )r t給定后， ( , )p t就可由(3)式完全確定， 反之，當 ( , )p t給定后， ( , )r t就可由(4)式確定。由此可見， ( , )r t和( , )p t是同一狀態(tài)的兩種不同的描述方式，互相等效。 完全是量子態(tài)以 為自變量，在坐標空間的稱( , )r tr表示(波函數(shù))， ( , )p t是量子態(tài)在以 p在動量空間的表示（動量幾率分布函數(shù)）。這兩種表示是完全等價的 . 為自變量，關(guān)于表象理論，以及關(guān)于上述坐標空間和動量空間的嚴格意義(yy)，我們在后面將作深入討論。利用復變函數(shù)中的巴塞瓦等式，不難證明第37頁/共171頁第三十八頁，共172頁。22

25、| ( , )|( , )|1p tdpr tdr2( , ) |( , )|p tp t 我們稱在時刻t，在 點附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率為動量表象的幾率密度，并以( , ) t ( , )r t是已經(jīng)歸一化的波函數(shù)，則( , )p t這表明：如果也是歸一化的波函數(shù)。表示：p(6)(5）在一維情況(qngkung)下，(3)式和(4)式寫為1/21/21( , )( , )exp(2)1( , )( , )exp(2)ix tp tpx dpip tx tpx dx(7)第38頁/共171頁第三十九頁，共172頁。 時，量子力學將回到經(jīng)典力學，或者說量子效應(yīng)可以忽略。 微觀粒子不可能靜止,

26、靜止意味著粒子坐標和動量可以同時取確定值,違反(wifn)了測不準關(guān)系. /2,/2/2xyzpxpypz 上式表明微觀粒子的位置（坐標）和動量不可能同時取確定值，這是波粒二象性的反映，當000第39頁/共171頁第四十頁，共172頁。可以參看(cnkn)書P11例題1例題3我們考慮“方脈沖”作為(zuwi)另一個例子0exp/ | |( ) | |0ip xxaxforxa它延伸(ynshn)到在點 x = 0 周圍的一個 2a 的區(qū)域。在這種情況下，有 00()2 /( )sinpp appp2|( )|x以及2|( )|p的曲線。圖表示這兩個波包的第40頁/共171頁第四十一頁，共172

27、頁。函數(shù)2|( )|p在點 p0 出現(xiàn)十分尖銳的峰值，p0 的0(/ )ppna時達到），極小值被一些極201/()pp減小，人們可以( )p主要地集中在主|( )|p的第一對2/pa 之間。2xa 的光延越小，p兩邊圍繞著一些相繼減小的極小值大值分開，極大值高度按說波峰值兩邊的零點之間，亦即廣延于越大：（在4/2xp 第41頁/共171頁第四十二頁，共172頁。 迄今為止，測不準關(guān)系是作為數(shù)量級的關(guān)系表示出來的。當然，在我們還沒有對量度各種不確定度的量x,p，等等采用一種精確的定義之前，這是不可避免的。對這些量采用適當?shù)亩x以后(yhu)，我們將得到一種精確的陳述。但是，人們必須堅持這一事實

28、，即測不準關(guān)系的根本意義已經(jīng)包含在數(shù)量級的結(jié)果之中，這并未低估嚴格陳述可能有的優(yōu)點：在任何情況下，都不能認為量子粒子同時有嚴格精確的位置和嚴格精確的動量。賦予粒子以精確位置和動量的想法值在作用量子可以忽略的程度內(nèi)，也就是在經(jīng)典理論成立的范圍內(nèi)，才是正確的。第42頁/共171頁第四十三頁，共172頁。n 時間能量測不準(b zhn)關(guān)系/2tE 是處于某個能級的寬度， 是粒子呆在對應(yīng)能級上的平均時間（或壽命），原子在激發(fā)態(tài)上是不穩(wěn)定的，即只存在一定時間，因此根據(jù)時間能量測不準關(guān)系可知，激發(fā)態(tài)能級存在一定寬度，這就是原子光譜存在自然寬度的原因，也是激光所發(fā)出的光不可能只包含一種波長的原因。Et第4

29、3頁/共171頁第四十四頁，共172頁。第44頁/共171頁第四十五頁，共172頁。111siisiiisiiiA NNANN12,.sA AA12,.sN NNN第45頁/共171頁第四十六頁，共172頁。111limlimsssiiiii inniiiNNAAAPNNiPiA( )Ax dxr( ) xr第46頁/共171頁第四十七頁，共172頁。( , )r t2( , )r tdrrr dr r2*( , )( , )( , )r t rr t drrrr tdr假設(shè)(jish)波函數(shù) 已經(jīng)歸一化，即 則上式可寫為( , )r t2( , )1r tdr*( , )( , )rrr t

30、 rr t dr第47頁/共171頁第四十八頁，共172頁。r( )F r*( )( )( , ) ( ) ( , )F rF rr t F rr t dr2( , )r t( )F r第48頁/共171頁第四十九頁，共172頁。pp 2( , )r tpdr 2( , )r tdrrrdr ppdp 要計算 ，就應(yīng)該先找出在t時刻在 中找到粒子的幾率(j l) 。而 由公式pppdp2(, )p tdp( , )p t第49頁/共171頁第五十頁，共172頁。2( , )p tp2*( , )( , )( , )pp tpdpp t pp t dp ( , )r t()321( , )( ,

31、 )(2)iEtp rp tr t edr 第50頁/共171頁第五十一頁，共172頁。*32321( , )(2)1(, )(2)ip rip rpdper t drpert dr ()*31( , )( , )(2)ip r rdrr tdrr tpedp ( , )r t第51頁/共171頁第五十二頁，共172頁。()*3*1( , )( , )()(2)( , ) ( , )() ()( , )()( , ) ()( , )() ( , )ip r rdrr tdrr tiedpdrdrr tr tirrdrr tidrr trrdrr tir t 利用(lyng)了()31()(2)

32、ip rrrredp第52頁/共171頁第五十三頁，共172頁。( , )r ti *( , )r tpi ( , )r t*( , )( , )ppr t pr t dr第53頁/共171頁第五十四頁，共172頁。xpix ypiy zpiz 第54頁/共171頁第五十五頁，共172頁。*( , )() ( , )xpr tir t drx*( , )( , )xr t pr t dr*( , )( , )yypr t pr t dr*( , )( , )zzpr t pr t dr第55頁/共171頁第五十六頁，共172頁。*( , )( , )nnxxpr t pr t drypzp()

33、nxnxnG pC p()xG pxpxp第56頁/共171頁第五十七頁，共172頁。*( )( )( , )( , )nnxxnxnxnnG pG pC pCr t pr t dr *( , )( , )nnxnr tC pr t dr*( , ) () ( , )xr t G pr t dr*( , ) () ( , )r t Gr t drix第57頁/共171頁第五十八頁，共172頁。*( )( , ) ( ) ( , )G pr t G pr t dr*( , ) () ( , )r t Gr t dri22*2()22pTTdrmm第58頁/共171頁第五十九頁，共172頁。*()

34、LLrpridr 第59頁/共171頁第六十頁，共172頁。第60頁/共171頁第六十一頁，共172頁。22()2()()()()xzyyxzzyxpiHVrmLriLypzpiyzzyLzpxpizxxzLxpypixyyx 第61頁/共171頁第六十二頁，共172頁。*oo dr( , )( ,)OO r pO ri p o o( , )O r p poo第62頁/共171頁第六十三頁，共172頁。( , )r t( , )p t,pxxirip第63頁/共171頁第六十四頁，共172頁。*(, )() (, )xxcp tic p t dpp*( , )() ( , )prcp t ic

35、 p t dp第64頁/共171頁第六十五頁，共172頁。( )F r( )()pF rF i*( )( , ) () ( , )pF rcp t F ic p t*( , )( , )Ar t Ar t dr第65頁/共171頁第六十六頁，共172頁。*( , )( , )pAp t Ap t dpApA第66頁/共171頁第六十七頁，共172頁。Schrdinger方程(fngchng)的引進 n 在經(jīng)典力學中，體系運動狀態(tài)隨時間的變化(binhu)遵循牛頓方程。牛頓方程是關(guān)于變量的二階全微分方程。方程的系數(shù)只含有粒子的質(zhì)量m。一旦初始條件給定，方程將唯一地決定以后任何時刻的運動狀態(tài)。 第

36、67頁/共171頁第六十八頁，共172頁。n 在量子力學中，體系(tx)的運動狀態(tài)由波函數(shù) 描述。換言之，我們就體系(tx)在給定時刻t 的性質(zhì)所能做出的所有預言，全都可以由該時刻的推得。因此，和經(jīng)典力學類似，理論的核心問題是：已知某一初始時刻 t0 的波函數(shù)，設(shè)法確定以后各時刻的波函數(shù)。為了做到這一點，我們必須知道決定 隨t變化規(guī)律的方程式。 ( , )r t( , )r t第68頁/共171頁第六十九頁，共172頁。n 自由粒子(lz)情形 對于自由粒子(lz)這一特殊情況，方程的解應(yīng)是平面波：( , )expir tArt 它是所要建立的方程(fngchng)的解。對時間求微商：it 因

37、它的系數(shù)中含有能量E，故不是所要求的方程。 （1）（2）第69頁/共171頁第七十頁，共172頁。再對（1）式求對坐標(zubio)的二次微商，得 222222222222xyzxyz 將以上(yshng)三式相加，得到222222222xyz （3） 第70頁/共171頁第七十一頁，共172頁。利用自由粒子的能量和動量(dngling)關(guān)系式（非相對論情形）22m 式中m是粒子(lz)質(zhì)量，并比較（2）和（3）式，即可得到222itm 上式表明，至少對自由粒子(lz)來說，平面波的解可由方程（5）的一個特解給出 。（4）（5）第71頁/共171頁第七十二頁，共172頁。描述自由(zyu)粒子

38、的一般狀態(tài)的波函數(shù)是許多頻率為/ ，波矢為/ 的單色平面波的疊加：3/21( , )( )exp()(2)ir trtd 式中22m 。不難證明(zhngmng)3/21( ) exp()(2)iirt dt 2223/21( )exp()(2)irt d 第72頁/共171頁第七十三頁，共172頁。所以(suy)2223/21( )()exp()02(2)2iirt dtmm 回憶上述推導過程，可看出，它也滿足對應(yīng)原理的要求(yoqi)。的確，在一定意義上，方程（5）是經(jīng)典方程（4）過渡到量子力學的形式；在量子語言中，能量和動量是按對應(yīng)規(guī)則 , iit （6）由作用在波函數(shù)上的微分(wi f

39、n)算符表示的。 第73頁/共171頁第七十四頁，共172頁。通常(tngchng)我們稱it和i 分別為能量(nngling)和動量算符。關(guān)于(guny)算符的概念，將在后面章節(jié)中作系統(tǒng)介紹。第74頁/共171頁第七十五頁，共172頁。n 在勢場V中的粒子(lz)情形 現(xiàn)利用算符對應(yīng)關(guān)系(gun x)（6）來建立在某一標勢場 ( )V r中粒子(lz)波函數(shù)所滿足的方程。 此時粒子的非相對論能量動量關(guān)系為 2( )2V rm 由對應(yīng)規(guī)則（6）式，再作用于波函數(shù)( , )r t上，得 22( , )( )( , )( , )2ir tV rr tHr ttm （7）（8）第75頁/共171頁第

40、七十六頁，共172頁。 稱為系統(tǒng)(xtng)的Hamilton量算符，簡稱為系統(tǒng)(xtng)的哈密頓量。式（8）就是(jish)勢場( )V r作用(zuyng)下的薛定諤方程。22( )2HV rm 第76頁/共171頁第七十七頁，共172頁。在時變勢場中的運動與外界有能量交換，粒子的能量一般不守恒，相應(yīng)(xingyng)的問題為非定態(tài)問題（在后面的章節(jié)里我們會專門討論這類問題）。 我們也可重復上面的討論，在前一種(y zhn)情形 ( , )VV r t便是經(jīng)典的含時系統(tǒng)，對應(yīng)成為量子含時系統(tǒng)時，由于V中含有(hn yu)時間參數(shù)，量子系統(tǒng)的Hamilton量( )HH t， 含時，成為含

41、時量子系統(tǒng)，表明粒子第77頁/共171頁第七十八頁，共172頁。 薛定諤方程(fngchng)的討論 n 定域的幾率(j l)守恒 前面我們曾經(jīng)提出一個(y )問題：一旦將波函數(shù)歸一化后，能否保證永遠如此。這牽涉到能否保持總的幾率永遠是1，因而波函數(shù)統(tǒng)計解釋能否成立的問題。 第78頁/共171頁第七十九頁，共172頁。 從物理上看，薛定諤方程是非相對論性量子力學的基本方程（目前我們的討論局限于非相對論量子力學）。在非相對論（低能）情形下，實物粒子（m0）沒有產(chǎn)生或湮滅的現(xiàn)象，所以(suy)在隨時間變化的過程中，粒子數(shù)目將保持不變。對于一個單粒子來說，在全空間中找到它的幾率之和應(yīng)不隨時間改變，即

42、 第79頁/共171頁第八十頁，共172頁。2|( , )|0r tdrt這個結(jié)論不難從薛定諤方程加以(jiy)證明。事實上：*22*()()2()22VVVSdrttidrmidrmidSm 2|( , )|Vr tdrt第80頁/共171頁第八十一頁，共172頁。定義(dngy)：*()2iJm 利用上式，我們(w men)得到2|( , )|Sr tdrJ dSt 對于平方可積的波函數(shù)，在無窮遠處應(yīng)為零（數(shù)學上可證明，這種波函數(shù)在 r 時，漸近行為(xngwi)是 ，故令r時，曲面 S所有面元都被移到無窮遠處，因而上式右邊面積分為零，即2*|( , )|( , )( , )0r tdrr

43、 tr t drtt即波函數(shù)的歸一化不隨時間改變。（9）3 / 2,0r第81頁/共171頁第八十二頁，共172頁。n 幾率(j l)流密度（粒子流密度）守恒定律 我們知道在時刻t，在點 周圍單位體積(tj)內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度，它可表為*( , )( , )( , )r tr tr tr 于是，由上述推導可看出(kn ch)，顯然有*()Jtttr 0Jtr 即（10） r第82頁/共171頁第八十三頁，共172頁。此即幾率守恒的微分表達式，其形式與流體力學中的連續(xù)性方程一樣。為說明這個方程和矢量 的物理意義，我們回到幾率守恒的積分表達式（9）。從該式可看出：左邊表示單位時間內(nèi)體積V中

44、找到粒子的總幾率（或粒子數(shù)）的增量， 右邊是矢量 在體積V的邊界面S上內(nèi)法線方向上投影的面積分，代表單位時間內(nèi)通過封閉曲面S流入V的幾率（或粒子數(shù)），所以 具有(jyu)幾率流密度的意義。 J J 注意(zh y)：如 ()( )0,0Vtttdrrrrr()0SSJ dSJ dS 因而(yn r) J 第83頁/共171頁第八十四頁，共172頁。假如我們討論的是帶電粒子，它帶有電荷e，在歸一化和統(tǒng)計意義上，帶電粒子在點 處貢獻(gngxin)的等效電荷密度為ee，于是以e乘以幾率守恒的微分表達式（10），就得到量子力學的電荷守恒定律（微分形式）： r0eeJtr 式中 是帶電粒子運動所造成的

45、有效電流密度。電荷守恒定律表明，在全空間粒子的電荷總量不隨時間(shjin)變化。 eJeJ 第84頁/共171頁第八十五頁，共172頁。同理可得出(d ch)量子力學中（統(tǒng)計意義上）的質(zhì)量守恒定律：00mmmmSJtdrJdStrr （微分形式）（積分(jfn)形式） 第85頁/共171頁第八十六頁，共172頁。補記：只有大量相同粒子處在相同狀態(tài)，用同樣波函數(shù) 描述，才可以把 |2 解釋成粒子密度，如每個粒子帶電荷q，于是 q|2 代表電荷密度， 代表電流密度，故如有大量的粒子處于完全相同狀態(tài)，則波函數(shù)將具有實在的物理意義而伸展到宏觀領(lǐng)域。由于光子是玻色子，可有許多光子處于同一狀態(tài)。當大量光

46、子處于同一狀態(tài)時，其波函數(shù)就是矢勢 , 故可通過宏觀尺度上的測量直接認識到光子波函數(shù) 的性質(zhì)。而電子是費米子，不可能有兩個電子處于同一狀態(tài)（Pauli 原理)，故一般認為不會有宏觀體現(xiàn)，但低溫超導提供了反例：超導是金屬中大量的電子庫泊(Cooper)對的相干關(guān)聯(lián)產(chǎn)生(chnshng)的現(xiàn)象，此時電子對可近似地看成玻色子。 qJ 第86頁/共171頁第八十七頁，共172頁。例題(lt)1:求球面波波函數(shù) 1, ,Aexp/ri prEtr 的幾率(j l)密度和幾率(j l)流密度 解:幾率(j l)密度222*, , ,11exp/Aexp/*ArAAArri prEti prEtrrrr 第

47、87頁/共171頁第八十八頁，共172頁。幾率(j l)流密度 已知在球坐標系中211, ,sin1Aexp/AAexp/exp/rrrreeerrrrei prEtrripi prEtei prEterr 11sinrreeerrr *2ijm 先計算(j sun)第88頁/共171頁第八十九頁，共172頁。*2*32*1exp/AAexp/exp/AArrri prEtripi prEtei prEterrAAiperrA 這樣(zhyng)再計算(j sun)*32322AAAAA2rrrAAipAAipAipeeerrrrr 第89頁/共171頁第九十頁，共172頁。則幾率(j l)流

48、密度 *2222A22AvrrrijmiAipemrpeermr 結(jié)果說明由中心向外傳播(chunb)的球面波,幾率密度隨r增大而減小,粒子沿徑向傳播(chunb). 第90頁/共171頁第九十一頁，共172頁。例題(lt)2:在t=0時，自由粒子波函數(shù)為 ,022sin20 xbbxxbxb(1) 給出在該態(tài)中粒子動量的可能測得值及相應(yīng)的幾率幅；(2)求出動量幾率密度最大的動量值；(3)求出發(fā)現(xiàn)粒子 在區(qū)間中的幾率；(4) （積分形式即可）。,?x txbbdp第91頁/共171頁第九十二頁，共172頁。解:(1)動量(dngling)的幾率幅221222xbibxibxip xxbb ee

49、pedxi()(/ )1 21( )4xxi bxp xi bxp xbeedxi22()()221114()()xxbbi b pxi b pxxxbbbeeii b pi b p1 222212()( 2 )sin4()xxpbbibbp第92頁/共171頁第九十三頁，共172頁。該態(tài)中粒子動量(dngling)可能測得值為 (2)求出動量幾率(j l)密度最大的動量值xp 2222 2()210sin()xxxxxdppddpdpbbp222244cossin0()xxxxpppbbbbp2222()cossin0 xxxxppbpbpbb有解為 xpb 第93頁/共171頁第九十四頁，

50、共172頁。(3)發(fā)現(xiàn)(fxin)粒子 在區(qū)間中的幾率；xbbdp3 222cos()()2xxbxbpibbpbp21()xxbdpdpb(4)221 21( , )()(2)xxpi pitmxxx tpedp第94頁/共171頁第九十五頁，共172頁。3Ed r2*2Vm（能量密度）0st 2*2smtt （能流密度）第95頁/共171頁第九十六頁，共172頁。*3.aEHdr證 明 ：2*232Vd rm 2*2*32Vd rm2*32Vd rm 3d r3Ed r2*2Vm（能量密度）第96頁/共171頁第九十七頁，共172頁。*2 *3*ds0d r 0r 束縛態(tài)：時2*2*32V

51、d rm2*32Vd rm*3*23ddrr 第97頁/共171頁第九十八頁，共172頁。2*.2bVVtmtttt （）2*2*2*2smtttt *22*22sVVttmtm *iitttt00st 第98頁/共171頁第九十九頁，共172頁。n 初值問題，傳播(chunb)子 由于薛定諤方程只含有時間的一次微商，只要在初始時刻（t=0）的狀態(tài) 給定了，則以后任何時刻t的狀態(tài) 原則上就完全確定(qudng)了。換言之，薛定諤方程給出波函數(shù)（量子態(tài)）隨時間的因果關(guān)系。 在一般情況下，這個初值問題的求解是不容易的，往往要采用近似方法，但對于自由粒子容易嚴格求解。 ( ,0)r( , )r t第

52、99頁/共171頁第一百頁，共172頁。前已證明(zhngmng)，如下形式的解3/21( , )( )exp()(2)ir trt d （式中22m ）滿足(mnz)自由粒子的薛定諤方程。( , )r t的初態(tài)波函數(shù)為 3/21( ,0)( )exp(2)irr d （11） ( ) 正是(zhn sh)( ,0)r的Fourier展開的波幅，它并不依賴于t，上式逆變換為3/21( )( ,0)exp(2)irr dr （12） 第100頁/共171頁第一百零一頁，共172頁。將（12）代入上述(shngsh)形式解，得31( , )exp()( ,0)(2)iir tdrdrrtr 式中2

53、2m （自由粒子(lz)）。這樣，體系的初始狀態(tài)( ,0)r完全決定了以后(yhu)任何時刻t的狀態(tài)( , )r t。 （13）第101頁/共171頁第一百零二頁，共172頁。更一般(ybn)地，取初始時刻為 ，則31exp()()( , )(2)( , ; , ) ( , )iidrdrrttr tdr G r t r tr t( , )r t（14） 式中231( , ; , )exp()()(2)2iipG r t r tdrrttm 3/22()exp2()2()mm rriitttt （15） t()tt第102頁/共171頁第一百零三頁，共172頁。 稱為傳播子。借助于稱為傳播子。

54、借助于體系在時刻體系在時刻 t 的狀態(tài)的狀態(tài) 可由時刻可由時刻 t(tt )的狀態(tài)的狀態(tài) 給出（見給出（見14式）。對于自由式）。對于自由(zyu)粒子粒子( ）這個傳播子由（這個傳播子由（15）式明顯給出，可以證明）式明顯給出，可以證明( , ; , )G r t r t( , ; , )G r t r t( , )r t( , )r t22m lim( , ; , )()ttG r t r trr（16）第103頁/共171頁第一百零四頁，共172頁。( , ; , )G r t r t的物理意義(yy)如下：設(shè)初始時刻 t 粒子處于空間點 ，按（14）式， 。所以 即 t 時刻在 點找到

55、粒子的幾率波幅(bf)。因此，可以一般地說，如在時刻 t 粒子位于點 ，則在 t 時刻在空間點 找到由 傳來的粒子幾率波幅(bf)就是 ，即粒子從 傳播到了 。式（14）則表示：在t時刻于空間點 找到粒子的幾率波幅(bf) 是時刻 t(t )粒子在空間中各 點的幾率波幅(bf)傳播到點 后的相干疊加。0,( , )() rr trr0( , )( , ;, )r tG r t rtr0( , ;, )G r t rtr r( , ; , )G r t r t( , )r t( , )r tr( , )r tr r( , )r t第104頁/共171頁第一百零五頁，共172頁。0 x，2,exp

56、 exp42mimxmxix tttt（）1,02ikxkxedx（ ）（）24limiiaxaaeex （ ）書中P26，第5題第105頁/共171頁第一百零六頁，共172頁。, x t1,exp ()2x tki kxt dk（）（ ）21exp ()22kki kxt dkm（ ）221mxmxexp()2tt2tkikdmk（ ）（）2212mxmx2exp()exp()exp() exp()442t2 t2tmtmiikikidktm（）212mxmxexp()exp()4t2 t2mikkidkt（）（）2exp exp42mimxmxittt（）E22pEmpk 第106頁/共1

57、71頁第一百零七頁，共172頁。 不含時間(shjin)的薛定諤方程，定態(tài) n 定態(tài)在一般(ybn)情況下，從初始狀態(tài)( ,0)r求( , )r t是不容易的（在后面將介紹近似方法求解它）。以下，我們考慮一個很重要的特殊情形假設(shè)勢場V不顯含時間 t（在經(jīng)典力學中，在這種勢場中運動的粒子(lz)，其機械能守恒），此時薛定諤方程（8）可以用分離變量數(shù)法求其特解。 令特解為( , )( ) ( )r tr f t（17） 第107頁/共171頁第一百零八頁，共172頁。代入（8）式，分離(fnl)變量后，得221( ) ( )( )2( )idfV rrf t dtmr 其中(qzhng)E是即不依

58、賴于t，也不依賴于的常量(chngling)，這樣 rdfifdt （18） 的解為( )exp/f tCi t 其中C為任意常數(shù)。因此特解可表為 ( , )( )exp/r tri t （19） 第108頁/共171頁第一百零九頁，共172頁。其中(qzhng)常數(shù)C已歸并到( ) r這個波函數(shù)與時間(shjin)的關(guān)系是正弦式的，其角頻率是/ 按照德布羅意關(guān)系，E就是該體系(tx)處于這個波函數(shù)所描寫狀態(tài)時的能量。由此可見，當體系(tx)處于（19）式所描寫狀態(tài)時，能量具有確定值E，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，這里與時間無關(guān)的波函數(shù)，是能量為E時的下列方程 之中。( ) r22( )( )( )

59、2V rrrm （20） 的解。該方程稱為不含時間的薛定諤方程。 第109頁/共171頁第一百一十頁，共172頁。n哈密頓算符、能量(nngling)本征值方程以( ) r乘以（18）兩邊(lingbin)，exp/ i t 乘以（20）兩邊(lingbin)，( , )r t滿足下列方程：didt （21）22( )2V rm 可以看出波函數(shù)由（19）式所定義的（22）這兩個方程類型相同，它們都是以一個算符，作用在波函數(shù)上得出一個數(shù)E乘以。 第110頁/共171頁第一百一十一頁，共172頁。這表明(biomng)，算符didt和22( )2V rm 是相當?shù)模@即可以從它們作用于定態(tài)（19）

60、式的結(jié)果看出，也可以從薛定諤方程（8）看出，它們作用于體系的任意一個波函數(shù)上都是相當?shù)?。這兩個(lin )算符都稱為能量算符。如前所述，因為算符是通過經(jīng)典力學(jn din l xu)中的哈密頓函數(shù)H=T+V代換而來的，所以這種算符又稱為Hamilton算符，通常以H表示，于是（22）又可寫為H （23）的作用效果22( )2V rm 第111頁/共171頁第一百一十二頁，共172頁。薛定諤方程的普遍(pbin)形式為diHdt當體系(tx)HamiltonHH ( )V r中運動的特殊(tsh)情況，22( )2HV rm （24）不顯含時間t時，（8）可以分離變量。此時，不含時薛定諤方程表