習題課磁場及電磁感應

1、電磁感應和電磁場理論的基本概念、電磁感應和電磁場理論的基本概念、電磁振蕩和電磁波電磁振蕩和電磁波電流電流 電流密度電流密度 電動勢電動勢電流強度電流強度電流密度電流密度jqnv0limtqIt ddqt( )dSIjS對任意曲面對任意曲面S：I 是是 的通量的通量j電流的連續(xù)性方程電流的連續(xù)性方程dSjSinddqt 電流穩(wěn)恒條件電流穩(wěn)恒條件d0SjS 歐姆定律歐姆定律電流電流1 lRSVIR電導率電導率電阻電阻歐姆定律的微分表達式：歐姆定律的微分表達式：jE 電功率和焦耳定律電功率和焦耳定律電功率電功率tAP VIRtIQ2 焦耳定律焦耳定律:焦耳定律的微分表達式：焦耳定律的微分表達式：2j

2、p2E 電源電動勢電源電動勢(2)dEr()電源內電動勢電動勢 磁現(xiàn)象本質：磁現(xiàn)象本質： 運動電荷對運動電荷的作用運動電荷對運動電荷的作用m axFBqv 磁感強度大小磁感強度大小 maxF沿著v的方向的方向 畢奧薩伐爾定律：電流元的磁場畢奧薩伐爾定律：電流元的磁場204 relIdBdr 真空磁導率真空磁導率 0=410-7N/A2rIB20nIB0024rqveBrRIB20 無限長直導線的磁場：無限長直導線的磁場： 圓環(huán)電流圓心位置磁場：圓環(huán)電流圓心位置磁場：載流長直螺線管內的磁場：載流長直螺線管內的磁場：運動電荷的磁場：運動電荷的磁場： 磁通量磁通量( )dmSBS通過通過 S 面的磁

3、通量面的磁通量均勻場均勻場非均勻場非均勻場cosBSB SmBS 磁場的高斯定理磁場的高斯定理通過任意閉合曲面的磁通量恒等于零通過任意閉合曲面的磁通量恒等于零( )d0SBS 安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理dLBl0()iLI包圍FIdlBSImBmM 安培力：安培力：電流元受磁場的作用力電流元受磁場的作用力 載流線圈的磁矩載流線圈的磁矩 線圈受磁場力矩線圈受磁場力矩 運動電荷在磁場中受力運動電荷在磁場中受力BqF v洛侖茲力洛侖茲力 運動電荷在電場磁場中受力運動電荷在電場磁場中受力FqEqBv 霍耳效應霍耳效應1HRnq霍耳霍耳系數(shù)系數(shù)H1 IBUnq d霍耳效應的應用霍耳效應的應用:判斷半導體的

4、類型判斷半導體的類型、測量磁場測量磁場等等 磁介質的一般分類：磁介質的一般分類： 抗磁質抗磁質 r 1 鐵磁質鐵磁質 r 1磁介質中磁場：磁介質中磁場：BBB0對各向同性磁介質對各向同性磁介質0rBB0BB0BB0BB如鋅如鋅,銅銅,水銀水銀,鉛等。鉛等。如錳如錳,鉻鉻,氧氧,氮等。氮等。如鐵如鐵,鈷鈷,鎳等。鎳等。超導材料超導材料 r = 0 B=0 完全抗磁性完全抗磁性磁導率：磁導率：r0 分子磁矩分子磁矩nmISe 電子軌道角動量與磁矩的關系：電子軌道角動量與磁矩的關系：eeLm m2 順磁質的磁化機理順磁質的磁化機理: 0 BBB0B 抗磁質的磁化機理（電子進動產生反向附加場）抗磁質的

5、磁化機理（電子進動產生反向附加場）: 0 BBB0BdLHl()()iLI包圍傳導 磁介質中的安培環(huán)路定理磁介質中的安培環(huán)路定理r0BH 鐵磁質鐵磁質特點：特點： r 1，且隨磁場改變，存在磁滯現(xiàn)象和居里點，且隨磁場改變，存在磁滯現(xiàn)象和居里點 鐵磁質的磁化機理鐵磁質的磁化機理 磁疇理論磁疇理論軟磁材料軟磁材料硬磁材料硬磁材料矩磁鐵氧體材料矩磁鐵氧體材料,ddt 其中為磁鏈()babavBdl22( )( )LsddEdlB dSEdtdt ，為感生電場強度 自感：自感： 自感系數(shù)：自感系數(shù)： 自感電動勢：自感電動勢： 自感磁能：自感磁能：Li()LdiLLdt 一定時212mWLI 與變化電場

6、相聯(lián)系的磁場與變化電場相聯(lián)系的磁場 位移電流：位移電流： 位移電流密度：位移電流密度： 全電流：全電流：I=Ic+Id，總是連續(xù)的，總是連續(xù)的LsDH dldStdsDIdStddDJdtLisiDIdHlStd 普遍的安培環(huán)路定理普遍的安培環(huán)路定理211212Mii121()diMMdt 一定時麥克斯韋方程組：0iSiSLsiLsiD dSqB dSBE dldStDH dlIdSt DEBHjE物質方程:在各向同性均勻介質中，運用在各向同性均勻介質中，運用MaxwellMaxwell方程組加上物質方程，并考慮初始和方程組加上物質方程，并考慮初始和邊界條件，可求解電磁場問題。邊界條件，可求解

7、電磁場問題。 電磁波電磁波平面電磁波的波函數(shù)平面電磁波的波函數(shù)001cos(/ );cos(/ ); /EEtr uHHtr uu其中，稱為電磁波的波速EH空間任一點E和H,在數(shù)值上的關系：2212emwwwEHSEH電磁波的能量：能量密度能流密度 坡印廷矢量1. 將一均勻分布著的電流的無限大載流平面放入均勻磁將一均勻分布著的電流的無限大載流平面放入均勻磁場中，電流方向與此磁場垂直。已知平面兩側的磁感應場中，電流方向與此磁場垂直。已知平面兩側的磁感應強度分別為強度分別為 B1 和和 B2，如圖所示，求該載流平面單位面，如圖所示，求該載流平面單位面積所受的磁場力的大小和方向。積所受的磁場力的大小

8、和方向。解解:載流平面自身在其兩側產生載流平面自身在其兩側產生的磁場為的磁場為1B 2B 0122jBB 方向相反。方向相反。均勻外磁場均勻外磁場 B0 在平面兩側方向在平面兩側方向相同。相同。 由圖，由圖，12BB 011022BBBBBB 載流平面產生磁場與外磁場在左側方向相反，在右載流平面產生磁場與外磁場在左側方向相反，在右側方向相同。側方向相同。122100,2BBBBBj j 載流平面單位面積所受的磁場力載流平面單位面積所受的磁場力2221002BBFjB 考慮長考慮長dl，寬，寬 dl 的電流元，的電流元，其在外磁場中受的磁場力其在外磁場中受的磁場力1B 2B j ljI dd00

9、dddddBlljBlIF 0Bjdldl方向：方向：由上圖中，磁力的方向向左由上圖中，磁力的方向向左2. 半徑為半徑為R的圓片上均勻帶電，面密度為的圓片上均勻帶電，面密度為 ，該圓，該圓片以勻角速度片以勻角速度 繞它的軸線旋轉，求圓片中心繞它的軸線旋轉，求圓片中心 O 處的處的磁感應強度的大小。磁感應強度的大小。 O解解:取取 r處處 dr 寬度的圓環(huán)寬度的圓環(huán),其以其以 作圓周運作圓周運動動,相當于一圓電流相當于一圓電流dI, dI 的大小為的大小為此圓電流在圓心處產生的磁場的磁感應強度為此圓電流在圓心處產生的磁場的磁感應強度為整個圓板在圓心處產生的磁場的磁感應強度為整個圓板在圓心處產生的

10、磁場的磁感應強度為rrrrId/2d2d 2d2dd00rrIB 2000RrBR 2d3.在均勻磁場中放置一半徑為在均勻磁場中放置一半徑為R的半圓形導線的半圓形導線, 電流強電流強度為度為I,導線兩端連線與磁感應強度方向夾角導線兩端連線與磁感應強度方向夾角 =30 ,求求此段圓弧電流受的磁力。此段圓弧電流受的磁力。 BIlIdab解：解：在電流上任取電流元在電流上任取電流元lId baBlIFd baBlI)d(BIab sinBabIF 30sin2 BRIIBR 方向方向 4. 如圖所示如圖所示,在均勻磁場中在均勻磁場中,半徑為半徑為R的薄圓盤以角速度的薄圓盤以角速度 繞中心軸轉動繞中心

11、軸轉動,圓盤電荷面密度為圓盤電荷面密度為 。求它的磁矩以及。求它的磁矩以及所受的磁力矩。所受的磁力矩。解解:取半徑為取半徑為r的環(huán)狀面元的環(huán)狀面元,圓盤轉動時圓盤轉動時,它相當于一個載流圓環(huán)它相當于一個載流圓環(huán),其電流：其電流：rrrrIdd22d 磁矩：磁矩：rrIrpddd32m RrdrS B受的力矩：受的力矩：圓盤磁矩：圓盤磁矩：4dd403mmRrrppR 4sin4mmBRBpBpM 方向向上方向向上mpBM5.一半徑為一半徑為R的無限長半圓柱面導體，其上電流與其的無限長半圓柱面導體，其上電流與其軸線上一無限長直導線的電流等值反向。電流軸線上一無限長直導線的電流等值反向。電流I在半

12、圓在半圓柱面上均勻分布。柱面上均勻分布。(1)求軸線上導線單位長度所受的力；求軸線上導線單位長度所受的力；(2)若將另一無限長直導線若將另一無限長直導線(通有大小、方向與半圓柱通有大小、方向與半圓柱面相同的電流面相同的電流I)代替圓柱面，產生同樣的作用力，該代替圓柱面，產生同樣的作用力，該導線應放在何處？導線應放在何處？ 解解:(1)在半圓柱面上沿母線取在半圓柱面上沿母線取寬為寬為dl的窄條，其電流的窄條，其電流IIR dddIlRII 它在軸線上一點產生的磁感它在軸線上一點產生的磁感應強度應強度:RIRIB2002d2dd 方向如圖方向如圖dIdl dxy Bd0 yB sinddBBBBx

13、xRIBIF220 由電流分布的對稱性可知：由電流分布的對稱性可知： 02020dsin2RIRI方向沿方向沿x軸軸方向沿方向沿y軸，是斥力軸，是斥力dIdl dxy Bd(2)另一無限長直導線應平行放置于另一無限長直導線應平行放置于y軸負半軸上以軸負半軸上以 d表示兩直導線間的距離，則表示兩直導線間的距離，則 dIRI 220220 2/Rd 軸線上導線單位長度受力為軸線上導線單位長度受力為6.長直導線中通有電流長直導線中通有電流I，另一寬另一寬a、長長b共共N匝的矩形匝的矩形線圈，以速度線圈，以速度v向右平動。設向右平動。設t=0時，線圈左邊與長直時，線圈左邊與長直導線重合。求：導線重合。

14、求：t 時刻線圈中的感應電動勢。時刻線圈中的感應電動勢。xIB 20 長直導線產生的磁感強度為長直導線產生的磁感強度為avIb解：解：xINbvbvNB 2011 方向如圖方向如圖)(202axNIbv 1方向如圖方向如圖 2 axxNIbvi112021 方向順時針方向順時針x0其中其中x=vt7.在半徑為在半徑為R的圓柱形體積內，充滿磁感強度為的圓柱形體積內，充滿磁感強度為B的的均勻磁場，有一長為均勻磁場，有一長為L的金屬棒放在磁場中的金屬棒放在磁場中,設磁場設磁場在增強，并且在增強，并且dB/dt已知，求金屬棒中的感生電動勢，已知，求金屬棒中的感生電動勢，并指出哪端電勢高。并指出哪端電勢

15、高。tBLRLStBSBttidd4/2dd)(dddd22 解解:由法拉第定律計算由法拉第定律計算, 設想一回路設想一回路, 如如OABO, 則該回則該回 路的感應電動勢大小為路的感應電動勢大小為LABO B均勻均勻因因 dB/dt 0,則回路中電動勢方向為逆時針則回路中電動勢方向為逆時針, B端高端高。由于由于OA和和OB兩段沿徑向兩段沿徑向,渦旋電場垂直于段元渦旋電場垂直于段元,這兩這兩段不產生電動勢。該電動勢就是金屬棒上的電動勢。段不產生電動勢。該電動勢就是金屬棒上的電動勢。x8.導體導體 CD 以恒定速率在一個三角形的導體框架以恒定速率在一個三角形的導體框架 MON上運動上運動,它的

16、速度的方向垂直于它的速度的方向垂直于 CD 向右向右,磁場磁場的方向如圖的方向如圖, B = Kxcost, 求求CD運動到運動到 x 處時處時,框架框架 COD 內感應電動勢的大小、方向。內感應電動勢的大小、方向。(設設 t =0, x =0)解一：解一： 選定回路正向，順時針方向選定回路正向，順時針方向hdx SBddmxhtxK dcos xxtxK dtgcos xtxK dcostg2 xtxKx 02mdcostg tKx costg313 tiddm tvKxtxK costgsintg3123 xvCDMONBxBhSB dd9.一邊長為一邊長為 l 和和 b 的矩形線框。在其

17、平面內有一根平的矩形線框。在其平面內有一根平行于行于 AD 邊的長直圓柱面導線邊的長直圓柱面導線 OO，導線半徑為導線半徑為 a 。 求求:該系統(tǒng)的互感系數(shù)。該系統(tǒng)的互感系數(shù)。OOl32bl.I12rIB 20 解：解：21 21ddssSBSBdSrbrIrbrIlalad2d2310320 )31ln32(ln20alalIb 2ln20 Ib IM 2ln20 b ABCD10.傳輸線由兩個同軸圓筒組成傳輸線由兩個同軸圓筒組成, 內、外半徑分別為內、外半徑分別為R1,R2 其間介質的磁導率為其間介質的磁導率為 ,電流由內筒一端流入電流由內筒一端流入,由由外筒的另一端流回，當電流強度為外筒

18、的另一端流回，當電流強度為 I 時時, 求求: l 長度傳長度傳輸線內儲存的磁能。輸線內儲存的磁能。I解：解：IrHa drIH 2 rIB 2 BHw21m rIrI 2221 2228rI VVwWdmm 21d28222RRrrlrI 122ln4RRlI a2m21LIW 12ln2RRlL 單位長度單位長度L*12*ln2RRL lab tIvtiddm ：解求求: 任意時刻任意時刻t 在矩形線框內的感應電動勢在矩形線框內的感應電動勢 i 并討論并討論 i 的方向的方向. 11. 如圖如圖,真空中一長直導線通有電流真空中一長直導線通有電流 teItI 0有一帶滑動邊的矩形導線框與其平

19、行共面有一帶滑動邊的矩形導線框與其平行共面, 二者相二者相距距a, 滑動邊長為滑動邊長為b,以勻速以勻速 滑動滑動。若忽略線框中的若忽略線框中的自感電動勢自感電動勢, 并設開始時滑動邊與對邊重合并設開始時滑動邊與對邊重合。v tIvaoxya+bdS建立坐標建立坐標 xoy取取dS, ,其內的磁通量其內的磁通量為為SBSBdddm L 順時針順時針LyIB 20 yxSdd 在在t時刻時刻,矩形線框內的磁通量矩形線框內的磁通量: tm SSSBtddmmabaxIyxyIbaa ln2d200 txIxtIabatiddddln2dd0m vteIabat 1ln200 teItI0其中其中

20、x = v t abateIvti ln1200 tIvaoxya+b tIvaoxya+bii i 的方向的方向當當t 1時時, i為逆時針方向為逆時針方向當當t 1時時, i為順時針方向為順時針方向例例12、 正在研究的一種電磁導軌炮正在研究的一種電磁導軌炮(子彈的出口速度可達子彈的出口速度可達10 km/s)的原理如圖所示。子彈置于兩條平行導軌之間，通以電流的原理如圖所示。子彈置于兩條平行導軌之間，通以電流后子彈會被磁力加速而以高速從出口射出。以后子彈會被磁力加速而以高速從出口射出。以 I 表示電流，表示電流，r表表示導軌示導軌(視為圓柱視為圓柱)半徑，半徑，a表示兩軌面之間的距離。將導軌近似表示兩軌面之間的距離。將導軌近似地按無限長處理，證明子