自動控制原理 第2章_控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（章節(jié)課程）

1、第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1基礎教育a教學重點簡單物理系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)的列寫及計算；非線性模型的線性化方法；方塊圖和信號流圖的變換與化簡；開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的推導和計算。2基礎教育a教學難點 動態(tài)微分方程的編寫，傳遞函數(shù)求解，系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖變換，信號流圖。3基礎教育a控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量之間關系的數(shù)學表達式，它是在系統(tǒng)分析和設計中首先要做的工作。建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法有機理分析法和實驗辨識法兩種。4基礎教育a機理分析法：依據(jù)描述系統(tǒng)運動規(guī)律的定律并通過理論推導來得到數(shù)學模型的方法 。實驗辨識法： 通過整理基于系統(tǒng)輸入輸出的實驗數(shù)據(jù)來得到系統(tǒng)的數(shù)學模型。本章

2、著重討論機理分析法。 5基礎教育a數(shù)學模型有多種形式，常用的有:微分方程（連續(xù)系統(tǒng)）、差分方程（離散系統(tǒng)）及狀態(tài)方程等。 本章主要研究:微分方程、傳遞函數(shù)、系統(tǒng)方框圖和信號流圖等。6基礎教育a2.1 系統(tǒng)的微分方程本節(jié)著重研究描述線性、定常、集中參數(shù)控制系統(tǒng)微分方程的建立和求解方法。為了說明線性元件微分方程的建立過程，我們以幾個例子加以說明。7基礎教育a例2-1 列寫RC電路微分方程，如圖2-1所示。圖2-1 RC電路系統(tǒng)8基礎教育a解 （1）確定輸入、輸出量為 、 。（2）根據(jù)電路原理列寫微分方程 （3）消去中間變量，可得電路微分方程 9基礎教育a例2-2 列寫電樞控制的他勵直流電動機的微分

3、方程，如圖2-2所示。圖2-2 他勵直流電動機10基礎教育a解 （1）確定輸入、輸出量為 、 。 （2）根據(jù)電路原理列微分方程根據(jù)電動機力矩平衡原理列微分方程 11基礎教育a（3）消去中間變量，可得電路微分方程 令 , 則得 12基礎教育a例2-3 列出具有質(zhì)量-彈簧-阻尼器的機械位移系統(tǒng)的微分方程，如圖2-3所示。圖2-3 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng) 13基礎教育a解 （1）確定輸入、輸出量為 、 。 （2）根據(jù)力學、運動學原理列微分方程（3）消去中間變量，可得電路微分方程14基礎教育a例2-4 列寫直流調(diào)速系統(tǒng)的微分方程，如圖2-4所示。圖2-4 直流調(diào)速系統(tǒng) 15基礎教育a解 （1）確定輸入、

4、輸出量為 、 。 （2）根據(jù)電路、電動機力矩平衡原理列微分方程16基礎教育a（3）消去中間變量，得直流調(diào)速系統(tǒng)的動態(tài)微分方程式中 ， 為正向通道電壓放大系數(shù)， ; 為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)，。17基礎教育a 通過以上例子，可以歸納出列寫微分方程的一般步驟：全面分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成及工作原理，確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量。從輸入端開始，按信號傳遞遵循的有關規(guī)律列出各元器件的微分方程。將所有微分方程聯(lián)立起來，消去中間變量，求得一個僅含系統(tǒng)的輸入、輸出變量的微分方程。整理方程，使得與輸入有關的項在方程的右邊，與輸出有關的項在方程的左邊，且各導數(shù)項按降冪排列。 注：如果在第(3)步結(jié)束時已經(jīng)得到符合第(4)步要求

5、的微分方程，則無須第(4)步。18基礎教育a引言：傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎上引申出來的復數(shù)域數(shù)學模型。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論中廣泛應用的根軌跡法和頻域法，就是以傳遞函數(shù)為基礎建立起來的。因此，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本也是最重要的數(shù)學模型。 2.2傳遞函數(shù)19基礎教育a2.2.1 傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)是指在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。線性定常系統(tǒng)的微分方程一般可寫為 (2-1) 20基礎教育a 在零初始條件下對式(2-1)兩端進行拉氏變換，可得相應的代數(shù)方程系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

6、為 (2-2) 21基礎教育a傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的。零初始條件有兩方面含義：一是指輸入是在 以后才作用于系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)輸入量及其各階導數(shù)在 時均為零；二是指輸入作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是“相對靜止”的，即系統(tǒng)輸出量及各階導數(shù)在 時的值也為零。22基礎教育a例2-5 試求如圖2-5所示RLC無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。圖2-5 RLC無源網(wǎng)絡23基礎教育a解 RLC無源網(wǎng)絡的微分方程為 在零初始條件下，對上式兩端進行拉氏變換，并整理得到其傳遞函數(shù)24基礎教育a例2-6 求圖2-3中機械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解 由例2-3可得系統(tǒng)的動態(tài)微分方程為 在零初始條件下，對上式兩端進行拉氏變換，整理得到傳遞函數(shù)

7、25基礎教育a2.2.2 傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，具有復變函數(shù)的所有性質(zhì)，nm且所有系數(shù)均為實數(shù)。傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與外作用及初始條件無關。傳遞函數(shù)與微分方程有直接聯(lián)系。傳遞函數(shù)的拉氏變換是脈沖響應。 傳遞函數(shù)與S平面上的零點、極點分布圖相對應。 26基礎教育a傳遞函數(shù)的零點和極點零點：傳遞函數(shù)中分子多項式為零的值稱為傳遞函數(shù)的零點，通常用Zi表示，在復平面坐標中用“0”表示。極點：傳遞函數(shù)中分母多項式為零的值，稱為傳遞函數(shù)的極點，通常用Pj表示，在復平面坐標中用“X”表示。27基礎教育a 零、極點可以是實數(shù)、復數(shù)（若為復數(shù)則共軛成對出現(xiàn)），在復平面上總

8、能找到相對應的一點，故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與復平面有相應的對應關系。因此在傳遞函數(shù)分子多項式和分母多項式互質(zhì)時，傳遞函數(shù)的零、極點分布圖也表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能。 28基礎教育a2.2.3 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 在控制系統(tǒng)的分析中，常常將一個系統(tǒng)分解成若干典型環(huán)節(jié)；或是在系統(tǒng)設計中，在系統(tǒng)某處增加若干環(huán)節(jié)。所謂典型環(huán)節(jié)就是構(gòu)成系統(tǒng)的一些基本要素，它們在系統(tǒng)分析和設計中起著重要作用。 29基礎教育a1.比例環(huán)節(jié) 又稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量以一定比例不失真也無時間滯后地復現(xiàn)輸入信號。 輸入量與輸出量之間的表達式為 其傳遞函數(shù)為30基礎教育a圖2-6 比例環(huán)節(jié)圖2-7 比例放大器31基礎教育a 2.慣性環(huán)節(jié)

9、慣性環(huán)節(jié)中因含有儲能元件，故突變的輸入信號不能立即復現(xiàn)。其運動方程如下 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為32基礎教育a圖2-8 慣性環(huán)節(jié)圖2-9由運算放大器構(gòu)成的慣性環(huán)節(jié)33基礎教育a3.積分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量的積分的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，其動態(tài)特性方程為傳遞函數(shù)為34基礎教育a圖2-10積分環(huán)節(jié)圖2-11積分電路35基礎教育a4.微分環(huán)節(jié)理想的微分環(huán)節(jié)，其輸出與輸入量的導數(shù)成比例，即其傳遞函數(shù)為36基礎教育a圖2-12 微分環(huán)節(jié)圖2-13 RC電路37基礎教育a 5.延時環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)也稱為時滯環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)，延時環(huán)節(jié)的輸出在經(jīng)過一段時間的延時后才復現(xiàn)輸入信號，即 延時環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 38基礎教育a 6

10、.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)有一對共軛復極點其傳遞函數(shù)為或39基礎教育a圖2-14 延時環(huán)節(jié)圖2-15 振蕩環(huán)節(jié) 40基礎教育a 2.3 控制系統(tǒng)的方框圖 系統(tǒng)方框圖是控制系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式，又稱為方塊圖、結(jié)構(gòu)圖、傳遞函數(shù)圖，或簡稱框圖。 41基礎教育a2.3.1方框圖的結(jié)構(gòu)要素一般認為系統(tǒng)方框圖由三種要素組成：函數(shù)方框、信號比較點和信號引出線。 圖2-16 控制系統(tǒng)方框圖的結(jié)構(gòu)要素 42基礎教育a1.函數(shù)方框 圖2-18 典型環(huán)節(jié)的函數(shù)方框圖 43基礎教育a2.比較點圖2-19基于比較點的信號變換44基礎教育a3.信號引出線圖2-20 基于引出點的信號變換45基礎教育a例2-7 試建立零初始條件下

11、如圖2-21所示RC無源網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)方框圖。圖2-21 RC網(wǎng)絡46基礎教育a解 根據(jù)系統(tǒng)的物理特性，可寫出以下微分方程進而可得47基礎教育a 根據(jù)各方程可繪出相應的子結(jié)構(gòu)圖，按信號的傳遞順序，將各子結(jié)構(gòu)圖依次連接起來，便得到無源網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)圖。 48基礎教育a圖2-22 無源網(wǎng)絡函數(shù)方框 圖2-23 無源網(wǎng)絡方框圖 49基礎教育a2.3.2系統(tǒng)方框圖的基本連接方式 方框圖的基本組成形式可分為三種：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接。 1.串聯(lián)連接 圖2-24 串聯(lián)環(huán)節(jié)的方框圖50基礎教育a 對于兩個環(huán)節(jié)相串聯(lián)，環(huán)節(jié)空載時的傳遞函數(shù)由定義可寫成則相互間無負載效應時，對應方框串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)可寫成 51基礎

12、教育a2.并聯(lián)連接 圖2-26 并聯(lián)環(huán)節(jié)的方框圖52基礎教育a可知， ，則消去中間變量，得53基礎教育a3.反饋連接 圖2-27 反饋連接方框圖 54基礎教育a對于如圖2-27所示典型負反饋連接系統(tǒng)，按信號傳遞的關系，可寫出由此可以得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)同樣推導過程，對于正反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為55基礎教育a2.3.3 系統(tǒng)方框圖的變換與簡化用一個簡單的系統(tǒng)方框圖去替換與之等價的一個復雜系統(tǒng)方框圖時，就是系統(tǒng)方框圖的變換，其目的是為了簡化方框圖的分析。 56基礎教育a圖2-28 引出點的等效移動圖2-29 比較點等效移動57基礎教育a引出點與比較點前后移動應滿足以下兩條等效原則，并用此原則檢驗變

13、換前后系統(tǒng)方框圖的等效性。變換前后，前向通道中傳遞函數(shù)的乘積應保持不變。 變換前后，回路中的傳遞函數(shù)的乘積應保持不變。 常用方框圖簡化規(guī)則見教材表2-1。58基礎教育a例2-8 試簡化如圖2-30所示的系統(tǒng)方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 。圖2-30例2-8系統(tǒng)方框圖 59基礎教育a圖2-31 系統(tǒng)方框圖的簡化60基礎教育a例2-9 試簡化如圖2-32所示的系統(tǒng)方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 。圖2-32 例2-9系統(tǒng)方框圖61基礎教育a圖2-33系統(tǒng)方框圖的簡化62基礎教育a 2.4 控制系統(tǒng)的信號流圖在控制工程中，信號流圖是表示控制系統(tǒng)各變量間相互關系及信號流程的另一種圖示方法。 信號流圖方法是S.J

14、.梅森(Mason)1953年首先提出的，故信號流圖又稱梅森圖。 符號簡單，便于繪制，可以通過梅森公式（不必經(jīng)過圖形簡化）直接求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。63基礎教育a 2.4.1 信號流圖的基本術語 信號流圖具有網(wǎng)絡形式，如圖2-34所示。 圖2-34 信號流圖64基礎教育a首先必須定義如下一些術語：節(jié)點。用來表示變量或信號的點。傳輸。兩個節(jié)點之間的增益叫傳輸。支路。支路是連接兩個節(jié)點的定向線段。支路的增益定義為傳輸。源點。源點又稱輸出節(jié)點，是只有輸出支路的節(jié)點，它對應于自變量。阱點。阱點又稱輸入節(jié)點，是只有輸入支路的節(jié)點，它對應于因變量?；旌瞎?jié)點。對應既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點。65基礎教育

15、a通道。沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑。如果通道與任一節(jié)點相交不多于一次，就叫做開通道。如果通道的終點就是通道的起點，并且與任何其他節(jié)點相交不多于一次，就叫做閉通道。如果通道通過某一節(jié)點多于一次，但是終點與起點在不同的節(jié)點上，那么這個通道既不是開通道，又不是閉通道?；芈贰；芈肪褪情]通道?；芈吩鲆??；芈分懈髦穫鬏?shù)某朔e。不接觸回路?；芈放c回路之間沒有任何公共節(jié)點。前向通道。從輸出節(jié)點（源點）到輸入節(jié)點（阱點）的通道上，通過任何節(jié)點不多于一次的通道。前向通道增益。前向通道中，各支路傳輸?shù)某朔e。66基礎教育a圖2-35 信號流圖及相關術語67基礎教育a信號流圖的重要性質(zhì)：支路表示了一個信號對

16、另一個信號的函數(shù)關系，對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。由于同一系統(tǒng)的方程組可以寫成不同的形式，因此對于給定的系統(tǒng)，可以畫出許多種不同的信號流圖。節(jié)點可以把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有支路?？刂葡到y(tǒng)方框圖與信號流圖是一一對應的，同時也是可以相互轉(zhuǎn)化的。68基礎教育a2.4.2 梅森增益公式計算任意輸入節(jié)點和輸出節(jié)點之間傳遞函數(shù)的梅森增益公式為 式中， 為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點間前向通道的條數(shù)； 為從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點間第 條前向通道的總傳輸； 為第 條前向通道的余子式，即把特征式 中與該前向通道相接觸回路的回路傳輸置為零后，所余下的部分； 為特征式。69基礎教育a 的計算公式

17、為式中， 為所有不同回環(huán)的回環(huán)傳輸之和； 為所有兩兩互不接觸回環(huán)的回環(huán)傳輸乘積之和； 為所有互不接觸回路中，每次取其中三個回環(huán)傳輸?shù)某朔e之和。70基礎教育a例2-10試應用梅森增益公式求圖2-36所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。圖2-36例2-10系統(tǒng)信號流圖71基礎教育a 解 由圖2-36可知，該信號流圖共有一條前向通道即 其通路傳輸為 三個回環(huán)的傳輸之和為由于三個回環(huán)之間都有公共節(jié)點，因此信號流圖特征式為三個回環(huán)均與前向通道P1接觸，所以 根據(jù)梅森公式，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為72基礎教育a例2-11 試應用梅森增益公式求如圖2-37所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。圖2-37系統(tǒng)信號流圖73基礎教育a解 由圖2-37

18、可知，信號流圖共有兩條前向通道,即第一條前向通道的傳輸為 第二條前向通道的傳輸為信號流圖共有6個回環(huán)，不同回環(huán)的傳輸之和為信號流圖含有兩兩互不接觸回路的傳輸增益乘積之和為信號流圖含有每三個互不接觸回環(huán)的傳輸增益乘積之和為74基礎教育a第一條前向通道與所有回環(huán)均有接觸，所以第二條前向通道與回環(huán)cd不接觸，所以應用梅森公式計算給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為75基礎教育a 2.5 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 實際控制系統(tǒng)通常會受到兩類外作用信號的影響。一類是有用信號，或稱為輸入信號、給定 值、參考輸入等，常用 表示。另一類則是擾動信號，或稱為干擾，常用 表示。 76基礎教育a圖2-38 控制系統(tǒng)方框圖77基礎教育a

19、1.系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)若 ，則系統(tǒng)反饋信號的拉氏變換與系統(tǒng)偏差信號的拉氏變換之比，稱為開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。假想系統(tǒng)從反饋端斷開，使系統(tǒng)變成開環(huán)狀態(tài)，按傳遞函數(shù)的相乘性，有據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的定義，得78基礎教育a 2.系統(tǒng)被控信號對控制信號的閉環(huán)傳遞函數(shù) 若 ，則系統(tǒng)的被控信號的拉氏變換 與控制信號的拉氏變換 之比，稱為被控信號 對于控制信號 的閉環(huán)傳遞函數(shù)，記作 ，即79基礎教育a設 ，在圖2-38中，則整理得即對于單位反饋系統(tǒng)有80基礎教育a3.被控信號對于干擾信號的閉環(huán)傳遞函數(shù)若 ，則系統(tǒng)的被控信號的拉氏變換 與干擾信號的拉氏變換 之比，稱為被控信號 對于干擾信號 的傳遞函數(shù)，記作 ，即81基礎教育a圖2-38系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可畫成如圖2-39所示的形式。 圖2-39 輸入信號為零的閉環(huán)方框圖82基礎教育a由結(jié)構(gòu)圖，得83基礎教育a即若 、 時，即控制信號 和干擾信號 同時作用于系統(tǒng)時，由疊加原理得到控制信號和干擾信