主成分分析法例子

1、一、主成分分析的基本原理 v假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個np階的數(shù)據(jù)矩陣npnnppxxxxxxxxxX212222111211（1） v降維處理！當(dāng)p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。降維是用較少的幾個綜合指標(biāo)代替原來較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨(dú)立的。定義：記x1，x2，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，zm（mp）為新變量指標(biāo)pmpmmmppppxlxlxlzxlxlxlzxlxlxlz22112222121212121111(2) v系數(shù)lij的確定原則： zi與zj（ ij；i，j=1，2

2、，m ）相互無關(guān)； z1是x1，x2，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，xP的所有線性組合中方差最大者； zm是與z1，z2，zm1都不相關(guān)的x1，x2，xP， 的所有線性組合中方差最大者。 則新變量指標(biāo)z1，z2，zm分別稱為原變量指標(biāo)x1，x2，xP的第一，第二，第m主成分。 從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2 ， p）在諸主成分zi（i=1，2，m）上的載荷 lij（ i=1，2，m； j=1，2 ，p）。 從數(shù)學(xué)上可以證明，載荷lij分別是相關(guān)矩陣的m個較大的特征值所對應(yīng)的特征向量。 二、計算步驟 （一）計算相關(guān)系數(shù)矩陣

3、（一）計算相關(guān)系數(shù)矩陣 rij（i，j=1，2，p）為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)， rij=rji，其計算公式為：pppppprrrrrrrrrR212222111211（3） nknkjkjikinkjkjikiijxxxxxxxxr11221)()()(（4） （二）計算特征值與特征向量：（二）計算特征值與特征向量： 解特征方程，求出特征值，并使其按大小順序排列 ； 0RI0,21p 分別求出對應(yīng)于特征值的特征向量 ，要求 =1，即，其中表示向量 的第j個分量。i), 2 , 1(piliil112pjijlijlil 計算主成分貢獻(xiàn)率及累計貢獻(xiàn)率 貢獻(xiàn)率:),2, 1(1pipkki累計

4、貢獻(xiàn)率: ),2, 1(11pipkkikk一般取累計貢獻(xiàn)率達(dá)8595%的特征值所對應(yīng)的第一、第二、第m（mp）個主成分。 m,21pnpnnppxxxlllllllllZ.21212222111211（6） 各主成分的得分三、 主成分分析方法應(yīng)用實例表表1 1 某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù)某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù) 668.3372.03276.2041540.29216.398.1284.0650.0114.861795.4160.80171.106926.35291.528.1354.0630.0124.862862.9011.65273.3071501.24225

5、.2518.3522.6450.0343.201986.6240.84168.904897.36196.3716.8615.1760.0556.1671091.3940.81266.502911.24226.5118.2795.6430.0764.4771176.9120.85850.302103.52217.0919.7934.8810.0016.1651251.2741.04164.609968.33181.384.0054.0660.0155.4021368.8310.83662.804957.14194.049.114.4840.0025.791477.3010.62360.10282

6、4.37188.0919.4095.7215.0558.4131576.9481.02268.0011255.42211.5511.1023.1330.013.4251699.2650.65460.7021251.03220.914.3834.6150.0115.59317118.5050.66163.3041246.47242.1610.7066.0530.1548.70118141.4730.73754.206814.21193.4611.4196.4420.01212.94519137.7610.59855.9011124.05228.449.5217.8810.06912.654201

7、17.6121.24554.503805.67175.2318.1065.7890.0488.46121122.7810.73149.1021313.11236.2926.7247.1620.09210.078步驟如下：（1）將表1中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式（4）計算相關(guān)系數(shù)矩陣（見表2）。x1x2x3x4x5x6x7x8x9x11-0.327 -0.714 -0.3360.3090.4080.790.1560.744x2-0.331-0.0350.6440.420.2550.009-0.0780.094x3-0.71-0.03510.07-0.74-0.755-0.93-

8、0.109-0.924x4-0.340.6440.0710.3830.069-0.05-0.0310.073x50.3090.42-0.740.38310.7340.6720.0980.747x60.4080.255-0.7550.0690.73410.6580.2220.707x70.790.009-0.93-0.0460.6720.6581-0.030.89x80.156-0.078 -0.109 -0.0310.0980.222-0.0310.29x90.7440.094-0.9240.0730.7470.7070.890.291表表2 2相關(guān)系數(shù)矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣 （2）由相關(guān)系數(shù)矩陣計

9、算特征值，以及各個主成分的貢獻(xiàn)率與累計貢獻(xiàn)率（見表3）。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累計貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。 表表3 3特征值及主成分貢獻(xiàn)率特征值及主成分貢獻(xiàn)率 （3）對于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量l1，l2，l3。表表4 4 主成分載荷主成分載荷 z1z2z3占方差的百分?jǐn)?shù)（%）x10.739-0.532-0.006182.918x20.1230.887-0.002880.191x3-0.9640.00960.009592.948x40.00420.8680.003775.346x50.8130.444-0.001185.811x60.8190.1790.12571.843x70.933-0.133-0.25195.118x80.197-0.10.9798.971x90.964-0.00250.009292.939 第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。 第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況