概率論與數(shù)理統(tǒng)計-章節(jié)總結-華南理工大學(1)

1、WORD格式PAGE30 / NUMPAGES30概率論與數(shù)理統(tǒng)計應用數(shù)學系陶志穗講課內(nèi)容與時間安排 ：內(nèi)容課時安排序言、預備知識1隨機事件與根本空間1隨機事件的概率統(tǒng)計，古典，4幾何，公理2條件概率、乘法定理全概率公式、 Bayes 公式4事件的獨立性、重復獨立試驗2一維隨機變量4二維隨機變量4隨機變量的函數(shù)及其分布2數(shù)學期望2方差、標準差、相關系數(shù)2車比雪夫不等式、 中心極限定理2樣本及其分布4參數(shù)點估計2參數(shù)區(qū)間估計2假設檢驗4數(shù)學實驗2復習2機動2合計： 32 學時作業(yè)要求：每周交作業(yè)，獨立完成?？荚囈螅航y(tǒng)考WORD格式1WORD格式序一、概率論研究的對象是什么？二類現(xiàn)象一定大氣壓下

2、，水加溫到1000C： 沸騰實彈射擊，打一發(fā)子彈：可能中或不中二類現(xiàn)象必然現(xiàn)象：一定條件下，結果是肯定的隨機現(xiàn)象：一定條件下，結果不肯定概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學。二、 隨機現(xiàn)象有規(guī)律性嗎？有。例如：兩人打槍。1 發(fā)兩種可能100 發(fā)甲：中、不中因為受訓中 97乙：中、不中中 35這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性：在大量試驗中才顯示出來，不是個別次數(shù)顯示的特性。例：從嬰兒出生的調(diào)查來看，男、女嬰孩的可能性各占一半。對某個對象不出現(xiàn)這一規(guī)律性規(guī)律性表達在結果發(fā)生可能性的差異上。三、規(guī)律性如何指導實踐根據(jù)實際判斷原理WORD格式2WORD格式1發(fā)生可能性小，結果少；發(fā)生可能性大，結果多在統(tǒng)計學中

3、，以“小概率事件判斷原理來進展假設檢驗，例如：廠方聲稱，產(chǎn)品的廢品率為5%隨機檢查，“5 個產(chǎn)品有 2 個次品這時，應當拒絕“廢品率為5%。為什么？因為“ 5 個產(chǎn)品有 2 個次品是小概率事件一般小于0.05用概率的方法可計算，C50 p0 q5C51 p1 q4C52 p2 q3C53 p3q2C54 p4q1C55 p50.77370.20360.0210.0011001在一次試驗中不可能發(fā)生，現(xiàn)在居然發(fā)生了，應疑心原假設。2可能性小的事屢次重復也必然發(fā)生把“南粵風采 36 選 7的一次選號看作一次試驗，“中獎是小概率事件，但屢次重復試驗， “中獎就有可能發(fā)生，事實上總有人中獎。股市中的新

4、股認購，買一手的中簽率很低，但屢次重復，一定會中簽。例如， 2006 年 9 月 22 日“XX宏寶發(fā)行 A 股 4,000 萬股，申購情況統(tǒng)計如下：有效申購股數(shù)為 17,302,89.1萬股，起始配號 00000001，截止配號 34605782。中簽率為 0.23%是小小概率事件，超額認購倍數(shù)為 433 倍。1甲、乙兩位棋手棋藝相當。他們在一項獎金為1000 元的比賽相遇。比賽為五局三勝制。已經(jīng)進展了三局的比賽，結果為甲二勝一負?，F(xiàn)因故要停頓比賽，問應該如何分配這1000 元比賽獎金才算公平？WORD格式3WORD格式獎金分配方法：平均分，對甲欠公平按一定的比例分配，甲拿大頭，乙拿小頭甲拿

5、 2/3，乙拿 1/3，合理嗎？2 在第 43 屆世界乒乓球錦標賽中， 由于決策正確，中國隊戰(zhàn)勝瑞典隊 3：2，奪回了闊別六年之久的斯韋思林杯。當時瑞典隊上場隊員只有瓦爾德內(nèi)爾佩爾松2021奧運會仍出場 5 屆，與王皓半決賽卡爾松卡爾松怕削球手，于是中國隊排出了如下陣容：王濤馬文革丁松馬文革王濤瑞典隊有兩種選擇：或以卡爾松打第三單打去碰削球手丁松或以佩爾森打第三單打，以便卡爾松避開丁松即有兩種出隊的方法第一種瑞典瓦佩卡瓦佩中國王馬丁馬王瑞典獲勝的概率0.550.450.40. 550.45第二種瑞典瓦卡佩瓦卡中國王馬丁馬王瑞典獲勝的概率0.550.40.50. 550.4WORD格式4WORD

6、格式請計算中國隊勝的概率。(2004 年 8 月奧林匹克運動會，老瓦仍然出場，5 屆奧運元老，2021年奧運佩爾森出場，也是5 屆奧運元老四、工具數(shù)學是用定量方法研究問題的。如何描述、表現(xiàn)、模擬隨機現(xiàn)象及規(guī)律性？隨機的數(shù)學模型如何建立？自然涉及符號、工具預備知識：排列與組合集合論微積分例：以下式子的臺勞展開式ex11xWORD格式5WORD格式第 1 章隨機事件與概率1.1 隨機試驗我們說過，隨機現(xiàn)象有規(guī)律性，這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律，是隨機現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律，這種規(guī)律一般可在一樣條件下，通過大量重復試驗而獲得。這種試驗稱為隨機試驗。隨機試驗的 特征：. 試驗可在一樣條件下重復進展. 每次試驗的結果

7、可能不止一個. 試驗前不能預言哪一個結果會出現(xiàn)，但試驗的一切可能結果是的例1 擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面還是反面。所有可能發(fā)生的結果：正反2 擲三枚硬幣，觀察其出現(xiàn)的面。所有可能發(fā)生的結果：正，正，正 正，正，反 正，反，正 正，反，反 反，正，正 反，反，正 反，正，反 反，反，反 例 3一個有兩個小孩 的家庭，所有可能的結果是 boy, boyboy, girl ,girl , boy ,girl, girl WORD格式6WORD格式1.2 隨機事件在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事情，稱為這試驗的隨機事件。如上面例 1 中， A= 出現(xiàn)正面 為一隨機事件例 2 中，B= 恰出現(xiàn)兩個

8、正面為一隨機事件必然事件在一定條件下必定出現(xiàn)的事情稱為必然事件必然事件不可能事件在一定條件下，必定不出現(xiàn)的事情稱為不可能事件。樣本空間 根本空間隨機試驗所有可能發(fā)生的試驗結果組成的集合如在上述例 2 中， 8 個可能結果的全體是根本空間根本領件 根本空間中，單個元素組成的事件為根本領件如例 2 中，有 8 個根本領件要注意下面三點 ：弄清楚 每個根本領件是什么？根本空間是由多少個根本領件組成 ?2.隨機事件由根本領件組成3.在一定條件下和一定X圍中，不可能再分解的事件稱為根本領件。例 2 中， B= 恰出現(xiàn)兩個正面是一隨機事件由根本領件 正，反，正 反，正，正 正，正，反 組成例3任拋一個骰子

9、，觀察在上一面的點數(shù)。這是一個隨機試驗，條件定，結果不定WORD格式7WORD格式W i表示 i 點在上，可能的結果有 W i，i=1,2,3,4,5,6觀察雙數(shù)點在上面A 雙觀察單數(shù)點在上面A 單考察“ 8點在上面：不可能出現(xiàn)，因為沒有“8根本領件： W i，i=1,2,3,4,5,6WORD格式AA雙單W2，W4，W 6，：W1，W 3，W 5，WORD格式問題：兩個小孩 的家庭，有多少個根本領件？P17， 131.3 事件的關系和運算用集合論隨機試驗 E，可能結果中的根本結果的全體所成集合為 U，稱為根本空間樣本空間，復合結果隨機事件看作根本空間的子集。事件 A 發(fā)生了，表示A 所包含的

10、根本領件至少發(fā)生其一A 雙發(fā)生了，意味著 A2，A4，A 6之一發(fā)生A B表示 A 或 B 至少發(fā)生其一； A 發(fā)生或 B 發(fā)生A 雙A2A4A 6A B表示 A 和 B 同時發(fā)生A B=表示 A 與 B 不能同時發(fā)生A B 事件 A 發(fā)生，B不發(fā)生 A 與A稱為對立事件，互為對立的WORD格式8WORD格式例 用集合的式子描述隨機事件的運算(1)A 發(fā)生，那么 B 發(fā)生AB(2)A,B,C 至少發(fā)生其一ABC(3)A,B,C 不能同時發(fā)生例 1-3在射擊比賽中，一選手連續(xù)向目標射擊3 次，假設令Ai =第 i 次 命中目標 i=1,2,3試用 Ai 表示1B=3 次射擊都命中目標 2C=3

11、次射擊至少有 2 次命中目標 3D= 至少有 1 次命中目標 4E= 至少有 1 次未命中目標 5F= 恰有 1 次命中目標 14 頻率與概率概率的統(tǒng)計定義WORD格式r假設事件 A 在 n 次試驗中出現(xiàn)了r 次，那么稱n概率，記作 fn(A).為事件 A 在 n 次試驗中出現(xiàn)的WORD格式統(tǒng)計概率的性質(zhì)性質(zhì) 1 對于任一事件A，有0P( A)1性質(zhì) 2 必然事件的概率 P()1；不可能事件的概率 P()0 .性質(zhì) 3 如果兩個事件A與B互斥，那么有P(AB)P(A)P(B)WORD格式9WORD格式1.5 古典概型1古典概型的特征：有限性，等可能性222古典概型定義3典型例子取球問題，格子問

12、題, 隨機取數(shù)抽球問題袋中有 a 個白球， b 個黑球，從中依次任取一個球，且每次取出的球不再放回去，求第 m 次取出的球是白球的概率。 組合方法、排列方法Let A=a white ball is drawn in m-th timesPermutation用全排列的方法，球有區(qū)別:All ball is different and all balls are placed in the line.n= A a+b =(a+b)！r=aA a+b-1=a (a+b1)！ra(a b-1)(a b- 2) 32 1aP(A)= n(a b)( a b-1)( a b-2)3 2 1a bPer

13、mutation用有限排列的方法，球有區(qū)別:All ball is different, and m balls are drawn,n= A a+b,m =(a+b)(a+b1)(a+b2),(a+bm+1)r=aA a+b-1, m-1 =a(a+b1)(a+b11) ,(a+b1(m1)+1)ra(ab-1)( a b- 2)(ab 1-(m1)1)aP(A)= n(ab)(a b-1)( ab- 2)(a bm1)a bWORD格式10WORD格式a+b, aCombination用組合的方法，球沒有區(qū)別:The ball is no different except the colo

14、r,and all balls are placed in the line.Decide the white balls position確定白球的位置n = C= 1C a+b-1,a-1P(A)=r1 Ca b 1, a 1anCa b, aa bconclusionWORD格式Probability is unrelated to m.所求概率與次序m 無關此例用于生活之中就是抽簽問題：一個班亞運會開幕式入場券，那么每人取到票的概率為330人，用抽簽的方法分配三X，與各人抽簽的次序無關。WORD格式堂上練習： P18 7作業(yè) P18:習題 1：3, 4, 7，8WORD格式11WORD

15、格式續(xù)第 1 章隨機事件與概率 第 2 周1.5 古典概型典型例子格子問題n 個質(zhì)點在 N 個格子中的分布問題。設有n 個不同的質(zhì)點，每個質(zhì)點都以概率1落入 N 個 Nn格子的每一個之中，求以下事件的概率N指定 n 個格子中各有一個質(zhì)點。任意 n 個格子中各有一個質(zhì)點。C：指定的一個格子中恰有m (n)個質(zhì)點。根本領件總數(shù)N n(每個質(zhì)點都有 N 種不同的分布法， n 個質(zhì)點共有Nn種排法 )WORD格式所包含的根本領件數(shù)：所包含的根本領件數(shù)：所包含的根本領件數(shù)：n!CNn n!CnmN1 n mWORD格式n 個人看作質(zhì)點，一年的365 天看作格子，上面的問題看作生日問題.參加某次舞會的n

16、個人當中沒有兩個人生日一樣的概率是多少？隨機取數(shù)問題從 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 共十個數(shù)字中任取一個，設每個數(shù)字都以1的概率被取中，取后復原。先后取出七個數(shù)字，試求以下各事件Ai 的10概率。WORD格式12WORD格式A1: 七個數(shù)字完全不同；10 710987654A2 ：不含 10 和 1；A3 ：10 恰好出現(xiàn)兩次；A4 ：至少出現(xiàn)兩次10；配對問題A hat-check, 100men, 100 hats mix up completely .The girl back these 100 hats to the men completely at random.W

17、hat is the probability that at least one of these men gets his own hat back? 至少有一人取回自己帽子的概率？Solution:1.2.3.WORD格式13WORD格式16 幾何模型約會問題 ，投針問題約會問題Example 2.3.7. Two personAandB, will arrived at the gate of a certain parktomorrow independently and they will arrived there equally likely at any time betwee

18、n 9 A.M., to 10 A.M., Each person will stay there 10 minutes and then leave the park. Find the probability that they will meet at the gate of the park.Solution. LettA,tBbe the time A, B arriving the gate, resp., then our samplespace is a squareS( tA , tB ) |9t A , tB10t B1099t A10Fig 2.3.1A sample s

19、pace contained in2 .WORD格式14WORD格式LetMbe the event that A and B will meet at the gate, thenMwill beoccur if and only if| tAtB |1 , i.e.(Fig 2.3.1)6M( t A , tB ) | 9tA ,t B10,| tAtB |16WORD格式In this problem, the expression probability that the sample point“equally likely to occur means that “The is l

20、ocated in a special region M C isWORD格式proportional to the area of M.Again, since the certain event S has area 1, thus the probability of M is equal to the area of M , i.e.WORD格式P(M)12511636WORD格式Example 2.3.8Buffons needle 蒲豐投針Consider a plane, ruled with equidistant parallel lines, where the dista

21、nce between the lines isa. A needle of length l (l0。在給定 A 發(fā)生的條件下B 的條件概率，記為P(B/A), 有P( AB)P(B | A).P( A)3例兩個小孩的家庭在兩個小孩的家庭中，其中一個是男孩，求另外一個也是男孩的概率?？蓮膬蓚€角度用不同的方法求解。首先明確兩個小孩的家庭的所有可能情況是：根本空間是什么 WORD格式20WORD格式b, b ，b, g ，g, b ，g, g ，方法一，用公式，根本空間有4 個樣本點。 A= 其中一個是男孩 ，B= 其中另一個是男孩 ，P(B/A) 為所求。方法二，在有條件的樣本空間中考慮問題，

22、即考慮樣本空間時已經(jīng)把條件包括進去，樣本空間有三個根本點。計算：在三個孩子的家庭中，其中一個是男孩，求另外兩個是女孩的概率。任意拋 2 個均勻硬幣，其中一個是正面向上，求另外一個也是正面向上的概率。4乘法公式定理 1：假設對于任意兩事件A,B, 都有 P(A)0, P(B) 0 , 那么P(AB)=P(A)P(B/A)2-2 P25設有 10 個球， 7 新 3 舊，分別放在三個盒子中， 圖 2-1現(xiàn)從中任取一球，問此球是新球的概率。定理 1 推廣， n 個事件的情形。2.3 事件的獨立性WORD格式21WORD格式定義 假設事件 A、B 滿足 PAB=P APB，那么稱 A、B 相互獨立，簡

23、稱獨立?！笆录?A、B、C 相互獨立是指以下式子都成立PAB= PA PBPAC= PA P CPBC=PBPCPABC=PA PBPC定理 5四對事件獨立性的證明堂上作業(yè)P31 3, 4,7, 9作業(yè) P33第 2 章 1，2，5，6， 8, 1024 二項概率公式第四周2.2 全概率公式、貝葉斯公式引入例例 2-5 抽簽問題6 人分 2 X球票，抽簽決定。問：第1 人抽票的概率？第2 人抽票的概率？它們相等嗎？主要分析第2 人抽票情況。全概率公式WORD格式22WORD格式證明：全概率公式解釋 :原因： Bi結果： AA 的發(fā)生與原因 Bi有關，由于 Bi導致 A注意條件 完備事件群2-5

24、 某工廠有四條流水線生產(chǎn)用一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的 15% ，20% ，30% ，35% 。又知這四條流水線的產(chǎn)品不及格率依此為0.05,0.04,0.03,0.02.現(xiàn)從該工廠的這一產(chǎn)品中任取一件，問取到不合格品的概率是多少？例 2-5 中，如果任取一件是不合格品， 問這不合格品來自第k 條流水線，k=1,2,3,4WORD格式23WORD格式的概率是多少？已有結果，推斷某原因引起的可能性。例 打飛機03 年某日，XX衛(wèi)視新聞，西歐某國家某地區(qū)某人舉行婚禮，朝天開槍以示慶典，恰好有一架私人飛機飛過被打中，喜事中發(fā)生了悲劇。 甲、乙、丙三人向同一敵機射擊，設擊中概率分別是0.

25、4,0.5,0.7. 假設有一人擊中，那么飛機被擊落的概率是0.2, 假設有兩人擊中，那么飛機被擊落的概率是0.6；假設三人全擊中，那么飛機被擊落。試求飛機被擊落的概率。解：如果飛機被擊落，那么，是 3 人都擊中的概率是多少？已經(jīng)有結果，推斷某原因的可能貝葉斯公式2-6P18)某公司方案將一種無污染、無副作用的凈化設備投放市場。公司市場部事先估計該產(chǎn)品暢銷的概率是 0.5，一般為 0.3, 滯銷為 0.2。為測試銷路，公司決定進展試銷，并設定了以下標準：假設產(chǎn)品暢銷，那么在試銷期內(nèi)賣出70100 臺的概率為 0.9;假設產(chǎn)品的銷路一般，那么在試銷期內(nèi)賣出700100 臺的概率為 0.6；WOR

26、D格式24WORD格式假設產(chǎn)品的銷路為滯銷，那么在試銷期內(nèi)賣出70100 臺的概率為 0.2.假設在試銷期內(nèi)實際賣出90 臺，問該產(chǎn)品的銷路如何？銷路是指：暢銷、銷路一般、滯銷。先求 P賣出 70100 臺，再計算已“賣出70100 臺的條件下，是“暢銷 、“銷路一般、“滯銷的條件概率。3例某批元件有 100 個，當中有 4 次品，隨機抽取3 個進展檢驗，如果都驗出是正品，認為這批產(chǎn)品合格。由于檢驗誤差，假設元件是正品，被檢出是正品的概率為 0.99,假設元件是次品，被檢出是正品的概率為0.05。求這批元件是合格的概率 (B)。A3=3 個正品 0 次品A2=2 個正 1 次品 A1=1 個正

27、 2 次品 A0=0 個正 3 次品 問：抽到“ 2 個正 1 次品的概率是多少？軟件包維護問題假設要維護一個有3 個配置選項的軟件包用戶中用到A 項的有40% ，用到B項的有 30% ，用到 C 項的有 30% 。假設用戶每個時刻只能使用一種選項。通過對該軟件包支持經(jīng)歷的不斷積累發(fā)現(xiàn)，A 項用戶出現(xiàn)問題的概率為0.5%,B 項用戶出現(xiàn)問題的概率是0.75%C 項用戶出現(xiàn)問題的概率是 0.95% ，問維護的人力應該投向哪個選項？堂上練習P332-18，硬幣問題2-15， 醫(yī)檢問題WORD格式25WORD格式2.4 重復獨立試驗二項概率公式1、n 次獨立重復試驗定義1每次試驗條件一樣，各次試驗中同一個事件的出現(xiàn)概率相等；2各次試驗結果相互獨立例 從一批產(chǎn)品中逐件抽取產(chǎn)品