高考文科數(shù)學函數(shù)專題講解與高考真題精選(含答案)

1、PAGE1 / NUMPAGES17函數(shù)【1.2.1】函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念設A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么這樣的對應（包括集合A，B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作f:AB函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)（2）區(qū)間的概念及表示法設a,b是兩個實數(shù)，且ab，滿足axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b；滿足axb的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足axb，或axb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做a,b

2、)，(a,b；滿足xa,xa,x,bx的b實數(shù)x的集合分別記做a,),a(,),(b,(b注意：對于集合x|axb與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須ab（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù)f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1ytanx中，xk(kZ)2零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對于

3、求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為a,b，其復合函數(shù)fg(x)的定義域應由不等式ag(x)b解出對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義（4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；k反比例函數(shù)(k

4、0)y的定義域為x|x0，值域為y|y0；x2bxca二次函數(shù)f(x)ax(0)的定義域為R，當a0時，值域為y|y(4ac4ab2)；當a0時，值域為y|y(4ac4ab2)配方法：判別式法：若函數(shù)yf(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關于x的二次2a(y)xb(y)xc(y)0，則在a(y)0時，由于x,y為實數(shù)，故必須有byaycy，從而確定函數(shù)的值域或最2()4()()02()4()()0值k不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值轉化成型如：(k0)yx，利用平均值x不等式公式來求值域；換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉化為三角函數(shù)的最

5、值問題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【1.2.2】函數(shù)的表示法（5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系（6）映射的概念設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則f，對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合A，B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到B的映射，記作f:AB給定一

6、個集合A到集合B的映射，且aA,bB如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象（7）求函數(shù)解析式的題型有：1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；2）已知f(x)求fg(x)或已知fg(x)求f(x)：換元法、配湊法；3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；4）f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)外還有其他未知量，需構造另個等式解方程組法；5）應用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等1.3函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大（小）值（1）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法如果對于屬于定義域I內(nèi)（1）利用定義某個區(qū)間上的任意兩個自變量的

7、值x1、x2,當x1yy=f(X)f(x)2（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的x)f(x)，12那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)of(x)1x1x2x（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象上升為增）（4）利用復合函數(shù)單調(diào)性（1）利用定義如果對于屬于定義域I內(nèi)yy=f(X)（2）利用已知函數(shù) 某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當xf(x)，1 2那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)f(x)1f(x)2oxx12x的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增

8、函數(shù)為減函數(shù)對于復合函數(shù)yfg(x)，令ug(x)，若yf(u)為增，ug(x)為增，則yfg(x)為增；若yf(u)為減，ug(x)為減，則yfg(x)為增；若yf(u)為增，ug(x)為減，則yyfg(x)為減；若yf(u)為減，ug(x)為增，則yfg(x)為減a（2）打“”函數(shù)f(x)x(a0)x的圖象與性質(zhì)oxf(x)分別在(,a、a,)上為增函數(shù)，分別在a,0)、(0,a上為減函數(shù)（3）最大（?。┲刀x一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在xI，使得f(x0)M那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作0fmax(

9、x)M一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)m滿足：（1）對于任意的xI，都有fxm；（2）存在x0I，使得f(x0)m那么，我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值，記作fmax(x)m1()（4）證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法:定義法：設x1,x2A且x1x2；作差f(x1)f(x2)，判斷正負號，（xA) 用導數(shù)證明：若f(x)在某個區(qū)間A內(nèi)有導數(shù)，則f(x)0f(x)在A內(nèi)為減函數(shù)f(x)在A內(nèi)為增函數(shù)；f(x)0，（xA)（5）求單調(diào)區(qū)間的方法：定義法、導數(shù)法、圖象法（6）復合函數(shù)yfg(x)在公共定義域上的單調(diào)性：若f與g的單調(diào)性相同，則fg(x)為增函數(shù)；若f與g的單調(diào)性相反，則fg

10、(x)為減函數(shù)注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集（7）一些有用的結論：奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；增函數(shù)f(x)減函數(shù)g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f(x)增函數(shù)g(x)是減函數(shù)bbbbb函數(shù)(a0,b0)或上單調(diào)遞增；在,00yax在,或，上xaaaa是單調(diào)遞減【1.3.2】奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法如果對于函數(shù)f(x)定義（1）利用定義（要域內(nèi)任意一個x，都有先判斷定義域是否x)=f(x),那么函數(shù)f(關于原點對稱）f(x)叫做奇函數(shù)（2）

11、利用圖象（圖象關于原點對稱）函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義（1）利用定義（要域內(nèi)任意一個x，都有先判斷定義域是否x)=f(x),那么函數(shù)f(關于原點對稱）f(x)叫做偶函數(shù)（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則f(0)0f(x)為偶函數(shù)f(x)f(|x|)奇函數(shù)在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式：f(x)f(x)0，f(x)f(x)1函數(shù)周期性定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使f(xT)f(x)恒成立，

12、則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期補充知識函數(shù)的圖象（1）作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換yfxyfxh()h0,h()()h0,h()左移個單位右移|個單位h0,h|()k0,k()上移個單位yfxyfxk下移|個單位k0,k|伸縮變換01,伸yf(x)yf(x)1,縮()A()01,縮yfxyAfxA1,伸對稱變換x軸yf(x)y軸yf(x) yf(x)yf(x)原點yf

13、(x)直線yxyf1(x) yf(x)yf(x)去掉軸左邊圖象yyf(x)yf(|x|)保留軸右邊圖象，并作其關于軸對稱圖象yy保留軸上方圖象xyf(x)y|f(x)|將軸下方圖象翻折上去xy=f(x)x軸y軸yx直線xa直線y=f(x);y=f(x)y=f(x);y=f(x)y=f(2ax);y=f(x)y=f1(x);原點y=f(x)y=f(x)（2）識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別X圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系（3）用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解

14、題途徑，獲得問題結果的重要工具要重視數(shù)形結合解題的思想方法第二章基本初等函數(shù)()2.1指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算（1）根式的概念n如果xa,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根當n是奇數(shù)時，a的n次方根用符號na表示；當n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示，負的n次方根用符號na表示；0的n次方根是0；負數(shù)a沒有n次方根式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)當n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當n為偶數(shù)時，a0根式的性質(zhì)：(na)na；當n為奇數(shù)時，nana；當n為偶數(shù)時，nna(a0)a|a|a(a0)（2）分數(shù)指數(shù)冪的概念mnmn正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的

15、意義是：aa(a0,m,nN,且n1)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：mm11ma()()(a0,m,nN,nnnaa且n1)0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)rsrsrsrsaaa(a0,r,sR)(a)a(a0,r,sR)rrr(ab)ab(a0,b0,rR)【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)x定義函數(shù)ya(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)a10a1yx yayaxy圖象y1y1(0,1)(0,1)OxOx 定義域R值域(0,)過定點圖象過定點(0,1)，即當x0時，y1奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上是增函數(shù)

16、在R上是減函數(shù)xa1(x0)xa1(x0)函數(shù)值的變化情況xa1(x0)xa1(x0)xa1(x0)xa1(x0)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低2.2對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算（1）對數(shù)的定義x若aN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogN，其中a叫做底數(shù)，N叫a做真數(shù)負數(shù)和零沒有對數(shù)x 對數(shù)式與指數(shù)式的互化：log(0,1,0)xNaNaaNa（2）幾個重要的對數(shù)恒等式loga10，logaa1，logbaab（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：lgN，即logN；自然對數(shù)：lnN，即logeN（其中e2.71828,）

17、10（4）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a0,a1,M0,N0，那么加法：logaMlogaNloga(MN)減法：logalogalogaMNMNn數(shù)乘：loglog()nMMnRaalogaNaNnnlogMlogM(b0,nR)baab換底公式：logNblog(0,1)Nb且balogab【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a10a1yx1ylogxayx1ylogax(1,0)O(1,0)Oxx定義域(0,)值域R過定點圖象過定點(1,0)，即當x1時，y0奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)log

18、x0(x1)alogx0(x1)a函數(shù)值的變化情況logx0(x1)alogx0(x1)alogx0(0 x1)alogx0(0 x1)aa變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高(6)反函數(shù)的概念設函數(shù)yf(x)的定義域為A，值域為C，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xfy，習慣上改1()1()寫成yfx1()1()（7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)f(x)

19、中反解出xfy；1()1()將xfy改寫成1()1()yfx，并注明反函數(shù)的定義域1()1()（8）反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)yf(x)與反函數(shù)yfx的圖象關于直線yx對稱1()1()函數(shù)yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yfx的值域、定義域1()1()若P(a,b)在原函數(shù)yf(x)的圖象上，則Pba在反函數(shù)(,)(,)yfx的圖象上1()1()一般地，函數(shù)yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)2.3冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第

20、一、二象限(圖象關于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限過定點：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(1,1)單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在0,)上為增函數(shù)如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)當qp（其中p,q互qq質(zhì)，p和qZ），若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則pyx是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則pyx是偶q函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則pyx是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)yx,x(0,)，當1時

21、，若0 x1，其圖象在直線yx下方，若x1，其圖象在直線yx上方，當1時，若0 x1，其圖象在直線yx上方，若x1，其圖象在直線yx下方補充知識二次函數(shù)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：2f(x)axbxc(a0)頂點式：2f(x)a(xh)k(a0)兩根式：f(x)a(xx)(xx)(a0)（2）求二次函數(shù)解析式的方法12已知三個點坐標時，宜用一般式已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（?。┲涤嘘P時，常使用頂點式若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求f(x)更方便（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)b2f(x)axbxc(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x,

22、2a頂點坐標是2b4acb(,)2a4ab當a0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(,2ab上遞減，在,)2a上遞增，當xb2a時，f(x)min24acb4ab；當a0時，拋物線開口向下，函數(shù)在(,2ab上遞增，在,)2a上遞減，當xb2a時，f(x)max24acb4a二次函數(shù)2f(x)axbxc(a0)當240bac時，圖象與x軸有兩個交點M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|x1x2|a|（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布設一元二次方程20(0)axbxca的兩實根為x1,x2，且x1x2令2f(x)axbxc，從以下四個方面來分析此類問題：開口方向：a對稱軸位置：值符號xb2a判別式：端點函數(shù)（5）二次函數(shù)2f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值設f(x)在區(qū)間p,q上的最大值為M，最小值為m