第2課時(shí)　直角三角形

1、第2課時(shí)直角三角形直角三角形考試內(nèi)容考試要求概念有一個(gè)角是的三角形叫做直角三角形A性質(zhì)如圖，在ABC中，C90.1邊與邊的關(guān)系(勾股定理)：a2b2；2角與角的關(guān)系：AB；3邊與角的關(guān)系：若A30，則aeq f(1,2)c，beq f(r(3),2)c；若aeq f(1,2)c，則A30；若A45，則abeq f(r(2),2)c；若aeq f(r(2),2)c，則A45；4斜邊上的中線(xiàn)meq f(1,2)cR(其中R為三角形外接圓的半徑)C判定1.有一個(gè)角是或兩個(gè)銳角的三角形是直角三角形2如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的，那么這個(gè)三角形為直角三角形3勾股定理的逆定理：如果三角形的兩邊的等于

2、第三邊的，那么這個(gè)三角形是直角三角形拓展1.SRtABCeq f(1,2)cheq f(1,2)ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高；2RtABC內(nèi)切圓半徑req f(abc,2)；外接圓半徑Req f(c,2)，即等于斜邊的一半考試內(nèi)容考試要求基本方法面積法：用面積法證題是常用的方法之一，使用這種方法時(shí)一般是利用某個(gè)圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到要證明的結(jié)論如chab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高；C(2017紹興)如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯

3、子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為()A0.7米 B1.5米 C2.2米 D2.4米2(2017溫州)四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過(guò)各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線(xiàn)，圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為RtABM較長(zhǎng)直角邊，AM2eq r(2)EF，則正方形ABCD的面積為()A12S B10S C9S D8S第1題圖第2題圖(2016柳州模擬)如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行()A8米 B10米 C12米 D14米(2016大連模擬)如圖，ABC中，ABAC

4、8，BC6，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則CDE的周長(zhǎng)為()A10 B11 C12 D135(2016安順模擬)如圖，在RtABC中，C90，AB13，AC7，則sinB.第3題圖第4題圖第5題圖【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)D是RtABC斜邊的中點(diǎn) (1)你能從圖中得到哪些信息？(2)若A40，則DBC；(3)若BD5，AB8，則BC.【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理直角三角形有關(guān)知識(shí)類(lèi)型一直角三角形的性質(zhì)與判定eq avs4al(例1)(1)如圖，在RtABC中，ACB90，若A46，則B的度數(shù)為_(kāi)；若A3B，則B_；若B30，D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，CD6，則ACD_；AB_

5、；BC_如圖，已知AOD30，點(diǎn)C是射線(xiàn)OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AOC恰好是直角三角形，則此時(shí)A所有可能的度數(shù)為_(kāi)第（1）題圖第（2）題圖【解后感悟】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、以及斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)、含30角的直角三角形性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意分類(lèi)討論的運(yùn)用1(1)(2016黑龍江模擬)已知三組數(shù)據(jù)：2，3，4；3，4，5；1，eq r(3)，2.分別以每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)為三角形的三邊長(zhǎng)，構(gòu)成直角三角形的有()A B C D(2)(2016牡丹江模擬)如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，將BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則A等于()A25 B30 C45 D602(1

6、)(2017麗水模擬)如圖，在RtABC中，A30，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E為垂足，連結(jié)CD，若BD1，則AC的長(zhǎng)是_ 第(1)題圖 第(2)題圖 第(3)題圖(2)(2017衢州模擬)如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)若AD6，DE5，則CD的長(zhǎng)等于.(3)(2015福州)如圖，在RtABC中，ABC90，ABBCeq r(2)，將ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到MNC，連結(jié)BM，則BM的長(zhǎng)是.類(lèi)型二直角三角形的分類(lèi)討論eq avs4al(例2)(2016大連模擬)如圖，在ABC中，ABBC4，AOBO，P是射線(xiàn)CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AOC60，則當(dāng)PAB為直角三角形時(shí)，A

7、P的長(zhǎng)為.【解后感悟】本題主要考查了勾股定理，含30直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線(xiàn)，分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵(2016山西模擬)如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)yx2x2過(guò)A、B、C三點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.4(2016安定模擬)如圖，在ABC中，ABAC10厘米，BC12厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)用t(秒)表示移動(dòng)的時(shí)間(0t6)(1)當(dāng)PQAC時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，

8、P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形類(lèi)型三勾股定理的應(yīng)用eq avs4al(例3)(2016孝感)如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周脾算經(jīng)時(shí)給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tanADE的值為_(kāi)【解后感悟】此題中沒(méi)有具體的數(shù)，故先設(shè)未知數(shù)，根據(jù)正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊，進(jìn)一步運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義求解5(1)下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段不能組成直角三角形的是()A7，24，25 B4，5，6 C5，12，13 D2，1.5，2.5(2016株洲)如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角

9、三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿(mǎn)足S1S2S3圖形個(gè)數(shù)有()A1 B2 C3 D4(3)如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準(zhǔn)備去書(shū)店，按圖中的街道行走，最近的路程約為()A600m B500m C400m D300m(4)如圖，四個(gè)全等的直角三角形紙片既可以拼成(內(nèi)角不是直角)的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，則菱形ABCD面積和正方形EFGH面積之比為_(kāi) 第（3）題圖 第（4）題圖類(lèi)型四直角三角形的探究問(wèn)題eq avs4al(例4)(2016桂林模擬)如圖1，在ABC中，ACB90，ACBCeq r(2)，點(diǎn)D在

10、AC上，點(diǎn)E在BC上，且CDCE，連結(jié)DE.(1)線(xiàn)段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_(2)如圖2，當(dāng)CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)繞點(diǎn)C繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)CDE，當(dāng)90180時(shí)，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)F，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并求出當(dāng)AF1eq f(r(3),3)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)【解后感悟】本題主要考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，從而能用(1)(2)中積累的經(jīng)驗(yàn)去解決第(3)題它是中考的熱點(diǎn)題型6(1)(2016錦州模擬)如圖，兩塊完全相同的含30角的直角三角板ABC和ABC重合在一

11、起，將三角板ABC繞其頂點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角(090)，有以下四個(gè)結(jié)論：當(dāng)30時(shí)，AC與AB的交點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)；當(dāng)60時(shí)，AB恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，存在某一時(shí)刻，使得AABB；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終存在AABB.其中結(jié)論正確的序號(hào)是.(2015宿遷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，4)，直線(xiàn)yeq f(3,4)x3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是直線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM長(zhǎng)的最小值為.類(lèi)型五直角三角形的綜合運(yùn)用eq avs4al(例5)(2016吉林)如圖，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，AC8eq r(2)cm，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向以eq

12、 r(2)cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)P作PQAB交BC于點(diǎn)Q，以線(xiàn)段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且PQM90(點(diǎn)M，C位于PQ異側(cè))設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，PQM與ADC重疊部分的面積為y(cm2)(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，x_；(2)當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，x_；(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍【解后感悟】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、分段函數(shù)、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖象，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論(1)(2016陜西)如圖，在ABC中，ABC90，AB8，BC6.若DE是ABC的中位線(xiàn)，延長(zhǎng)DE交ABC的外角ACM的平分線(xiàn)于點(diǎn)F，則線(xiàn)段DF

13、的長(zhǎng)為()A7 B8 C9 D10(2016淄博)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，AGCH8，BGDH6，連結(jié)GH，則線(xiàn)段GH的長(zhǎng)為()A.eq f(8r(3),5) B2eq r(2) C.eq f(14,5) D105eq r(2)(3)(2016邵陽(yáng)模擬)如圖，在等腰RtOAA1中，OAA190，OA1，以O(shè)A1為直角邊作等腰RtOA1A2，以O(shè)A2為直角邊作等腰RtOA2A3，則OA2016的長(zhǎng)度為.第（1）題 第（2）題第（3）題【課本改變題】教材母題浙教版八上第87頁(yè)，目標(biāo)與評(píng)定第28題小明和同桌小聰在課后復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道思考題進(jìn)行了認(rèn)真的探索【思考題】如圖，

14、一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時(shí)B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？(1)請(qǐng)你將小明對(duì)“思考題”的解答補(bǔ)充完整：解：設(shè)點(diǎn)B將向外移動(dòng)x米，即BB1x，則B1Cx0.7，A1CACAA1eq r(2.520.72)0.42.而A1B12.5，在RtA1B1C中，由B1C2A1C2A1Beq oal(2,1)得方程，解方程得x1，x2，點(diǎn)B將向外移動(dòng)米(2)解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個(gè)問(wèn)題：【問(wèn)題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會(huì)是0.9米嗎？為什么？【問(wèn)題二】在“思考題”中，梯子的

15、頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(diǎn)B向外移動(dòng)的距離有可能相等嗎？為什么？請(qǐng)你解答小聰提出的這兩個(gè)問(wèn)題【方法與對(duì)策】這題是探究性問(wèn)題，通過(guò)課本中作業(yè)完成后，進(jìn)行引申，用方程的思想繼續(xù)分析、探究，解決提出的猜想導(dǎo)向性：一方面要求同學(xué)們作業(yè)之后要反思，另一方面要求老師進(jìn)行變式教學(xué)，這是中考熱點(diǎn)題型【忽視直角三角形中直角邊不明確】(2016包頭模擬)已知直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)中考真題演練1（2016蘇州）如圖，長(zhǎng)4m的樓梯AB的傾斜角ABD為60，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角ACD為45，則調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為（）A2m B2m C（22）m D（22

16、）m（第1題）（第2題）（第3題）2（2016蘇州）矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A（3，1）； B（3，）； C（3，）； D（3，2）3（2016蘇州）如圖，在四邊形ABCD中，ABC=90，AB=BC=2，E、F分別是AD、CD的中點(diǎn)，連接BE、BF、EF若四邊形ABCD的面積為6，則BEF的面積為（）A2 B C D34（2016蘇州）如圖，在ABC中，AB=10，B=60，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，且BD=BE=4，將BDE沿DE所在直線(xiàn)折疊得到BDE（點(diǎn)B在四邊形ADEC內(nèi)

17、），連接AB，則AB的長(zhǎng)為 （第4題）（第5題）5（2018天津）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EFAC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，則DG的長(zhǎng)為 6（2018鹽城）如圖，在直角ABC中，C90，AC6，BC8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，則AQ （寫(xiě)出完整解題過(guò)程）參考答案第2課時(shí)直角三角形【考點(diǎn)概要】直角c290直角互余一半平方和平方【考題體驗(yàn)】1C2.C3.B4.B5.eq f(7,13)【知識(shí)引擎】【解析】(1)如：AB2BC2AC2，BDeq f(1,2)AC，AABD等；(2)50；(3)6

18、.【例題精析】例1(1)4422.560126eq r(3)(2)60或90例2當(dāng)ABP90時(shí)(如圖1)，AOCBOP60，BPO30，BPeq f(OB,tan30)eq f(2,f(r(3),3)2eq r(3)，在直角三角形ABP中，APeq r(（2r(3)）242)2eq r(7).當(dāng)APB90時(shí)，分兩種情況討論：情況一，如圖2，AOBO，POBO，AOC60，BOP60，BOP為等邊三角形，ABBC4，APABsin604eq f(r(3),2)2eq r(3)；情況二：如圖3，AOBO，APB90，POAO，AOC60，AOP為等邊三角形，APAO2，故答案為：2eq r(3)或

19、2eq r(7)或2. 例3設(shè)小正方形EFGH面積是a2，則大正方形ABCD的面積是13a2，小正方形EFGH邊長(zhǎng)是a，則大正方形ABCD的面積是eq r(13)a，圖中的四個(gè)直角三角形是全等的，AEDH，設(shè)AEDHx，在RtAED中，AD2AE2DE2，即13a2x2(xa)2，解得：x12a，x23a(舍去)，AE2a，DE3a，tanADEeq f(AE,DE)eq f(2a,3a)eq f(2,3)，故答案為：eq f(2,3).例4(1)ACBCeq r(2)，CDCE，BEAD，ACB90，ACBC，BEAD.(2)仍然成立如圖2，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)M.在BCE和ACD中，BCAC

20、，BCEACD，CECD，BCEACD.BEAD.12，CADCBE，AMBACB90.即BEAD. (3)如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CNAB于點(diǎn)N，ACBCeq r(2)，ACB90，CNANeq f(1,2)AB1，BCN45.AF1eq f(r(3),3)，F(xiàn)NAFANeq f(r(3),3).在RtCNF中，tanFCNeq f(FN,CN)eq f(r(3),3)，F(xiàn)CN30.BCFBCNFCN15.FCE90，BCEBCFFCE105.當(dāng)AF1eq f(r(3),3)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為105. 圖2 圖3例5(1)當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，四邊形AMQP是正方形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，APCP4eq r(

21、2)，所以xeq f(4r(2),r(2)4.故答案為4. (2)如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，作PEQC于E.MQP，PQE，PEC都是等腰直角三角形，MQPQPC，DQQEEC，PEAD，eq f(PA,AC)eq f(DE,DC)eq f(2,3)，AC8eq r(2)，PAeq f(16r(2),3)，xeq f(16r(2),3)eq r(2)eq f(16,3).故答案為eq f(16,3).(3)當(dāng)0 x4時(shí)，如圖2中，設(shè)PM、PQ分別交AD于點(diǎn)E、F，則重疊部分為PEF，APeq r(2)x，EFPEx，ySPEFeq f(1,2)PEEFeq f(1,2)x2.當(dāng)4xeq f

22、(16,3)時(shí)，如圖3中，設(shè)PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ.PQPC8eq r(2)eq r(2)x，PM162x，MEPMPE163x，ySPMQSMEGeq f(1,2)(8eq r(2)eq r(2)x)2eq f(1,2)(163x)2eq f(7,2)x232x64.當(dāng)eq f(16,3)x8時(shí)，如圖4中，則重合部分為PMQ，ySPMQeq f(1,2)PQ2eq f(1,2)(8eq r(2)eq r(2)x)2x216x64.綜上所述，yeq blc(avs4alco1(f(1,2)x2，（0 x4）,f(7,2)x232x64，blc(rc)(avs4

23、alco1(4xf(16,3),x216x64.blc(rc)(avs4alco1(f(16,3)x8) 圖1 圖2 圖3 圖4【變式拓展】1(1)D(2)B2.(1)2eq r(3)(2)8(3)eq r(3)13.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,4)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(7,4)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)4.PQAC，PBQABC，eq f(BP,BA)eq f(BQ,BC)，即eq f(10t,10)eq

24、 f(2t,12)，解得teq f(15,4)(秒)；(2)過(guò)點(diǎn)A作ADBC于D，如圖ABAC，ADBC，BDDCeq f(1,2)BC6.B90，P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形情況有兩種：PQB90，即PQAD.eq f(BP,BA)eq f(BQ,BD)，即eq f(10t,10)eq f(2t,6)，解得teq f(30,13)(秒)；QPB90，而ADB90，BB，BPQBDA，eq f(BP,BD)eq f(BQ,BA)，即eq f(10t,6)eq f(2t,10)，解得teq f(50,11)(秒)由、知，當(dāng)t為eq f(30,13)秒或eq f(50,11)秒時(shí)，P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)

25、成直角三角形5.(1)B(2)D(3)B(4)eq f(r(3),2)6(1)(2)eq f(28,5)7.(1)B(2)B(3)21008【熱點(diǎn)題型】【分析與解】(1)(x0.7)2222.52，0.8，2.2(舍去)，0.8. (2)不會(huì)是0.9米，若AA1BB10.9，則A1C2.40.91.5，B1C0.70.91.6，1.521.624.81，2.526.25.B1C2A1C2A1Beq oal(2,1)，該題的答案不會(huì)是0.9米有可能設(shè)梯子頂端從A處下滑x米，點(diǎn)B向外也移動(dòng)x米，則有(x0.7)2(2.4x)22.52，解得：x1.7或x0(舍)當(dāng)梯子頂端從A處下滑1.7米時(shí)，點(diǎn)B向