222函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

1、內(nèi)部資料，不得翻??！高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)講稿第 PAGE 6 頁(yè) 共 NUMPAGES 6 頁(yè)第 PAGE 5 頁(yè) 共 NUMPAGES 6 頁(yè)高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)本資源由專人彭劍平整理，未經(jīng)允許不得復(fù)制影印，資源僅供教師研習(xí)，歡迎批評(píng)指正說明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（?？家?guī)律總結(jié)），Level C為競(jìng)賽（拓展的課外知識(shí)）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto:anson_ anson_專題：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性 基本知識(shí)點(diǎn)（Level A）【1】函數(shù)

2、的單調(diào)性的定義及初步判定方法性質(zhì)定義圖象判定方法：?jiǎn)为?dú)列出函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值、,當(dāng)時(shí)，恒有，那么就說在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)yOx如果對(duì)于屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值、，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)yOx函數(shù)的單調(diào)性的初步判定方法注意：先求函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集定義法：利用定義判斷單調(diào)性；Step 1: （取值）設(shè)；Step 2: （作差）；Step 3: （化簡(jiǎn)）將的結(jié)果分解為若干個(gè)因式的乘積，且每一個(gè)因式的正或負(fù)號(hào)能清楚地判斷出）；Step 4: （定號(hào)）判斷所化簡(jiǎn)的解析式的正負(fù)號(hào)；Step 5: （下結(jié)論）根

3、據(jù)定號(hào)的結(jié)果得出正確結(jié)論【2】函數(shù)的最值（最大（小）值定義）函數(shù)的最大值定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作同理，函數(shù)的最小值定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作【3】函數(shù)的奇偶性定義及初步判定性質(zhì)定義圖象判定方法：?jiǎn)为?dú)列出函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)叫做奇函數(shù)yOx如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)叫做偶函數(shù)yxO注意：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，故先求函數(shù)的定

4、義域定義法：用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性Step 1: 求出定義域并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；Step 2: 若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價(jià)變形；Step 3: 求；Step 4: 比較或的關(guān)系 拓展知識(shí)點(diǎn)（Level B）【1】函數(shù)的單調(diào)性的判定方法（1）定義法設(shè)，那么：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)（2）等價(jià)定義法設(shè)那么：上是增函數(shù)；上是減函數(shù)（3）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（略）（4）圖像法利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間內(nèi)圖象升為增降則為減）；（5）導(dǎo)數(shù)法（導(dǎo)數(shù)單元專門研究）用求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性，一般用于多項(xiàng)式函數(shù)，具體步驟為：若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則 在內(nèi)為增函數(shù)； 在內(nèi)為

5、減函數(shù)在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請(qǐng)注意兩者的區(qū)別所在（6）復(fù)合函數(shù)法利用復(fù)合函數(shù)（根據(jù)同增異減判斷） 說明：具體在“復(fù)合函數(shù)”小節(jié)有所研究復(fù)合函數(shù)在公共定義域上的單調(diào)性：若與的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)； 若與的單調(diào)性相反，則為減函數(shù)例如：對(duì)于復(fù)合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減（7）一些有用的結(jié)論：奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；一個(gè)重要的函數(shù)：對(duì)勾函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上是單調(diào)遞減 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）（導(dǎo)數(shù)法）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的

6、取值范圍是 答案：（2）（圖像法）若函數(shù) 在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 答案：（3）（分離常數(shù)或?qū)?shù)法）已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍 答案：（4）（不等式法）若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是 答案：且（5）（復(fù)合函數(shù)法）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 答案：【2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的注意點(diǎn)求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào)“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍 答案：【3】函數(shù)的奇偶性的判定方法定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（1）定義法：對(duì)于定義域

7、內(nèi)任意的，都有，則是偶函數(shù)；對(duì)于定義域內(nèi)任意的，都有，則是奇函數(shù) 說明：這是最最基礎(chǔ)的方法，是實(shí)踐的首選（2）等價(jià)定義法：是奇函數(shù)；是偶函數(shù) 說明：一般用于對(duì)數(shù)函數(shù)（3）利用已知函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性：在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù) 拓展：推廣：多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性：，多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零 多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零（4）圖象法：作出函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的奇偶性，是最直觀的方法奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于

8、軸對(duì)稱 說明：一般用于分段函數(shù) 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）（定義域）若函數(shù)，為奇函數(shù)，其中，則的值是 答案：（2）（定義法）判斷函數(shù)的奇偶性 答案：奇函數(shù)（3）（等價(jià)定義）判斷的奇偶性 答案：偶函數(shù)【4】函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)20080515 注意：判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反. 奇函數(shù)在處有定義，則.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件； 對(duì)于偶函數(shù)的定義常可用到下面的形式： 奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；反過

9、來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”. 既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）. 任何一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)，總可以表示為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和，其中， 如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù). 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）（偶函數(shù)變形）若定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為 答案：（2）（奇函數(shù)）若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) 答案：（3）（奇偶構(gòu)造）若將函數(shù)，表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和，則 答案：【5】單調(diào)性與奇偶性的逆用比較大??；解不等式（這類不等式就稱為抽象不等式）；求參數(shù)范圍 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實(shí)數(shù)的取值范圍答案：【6】常見的奇函數(shù)與偶函數(shù)（1）奇函數(shù)：如：；（2）偶函數(shù)：如：；（3）非奇非偶函數(shù)：如：；（4）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)：僅有一類：在定義域關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱區(qū)間上恒有 深化知識(shí)點(diǎn)（Level C）交流、素材提