蘇教版九年級數(shù)學(xué)下冊二次函數(shù)與圖形面積問題教案

1、第 PAGE14 頁 共 NUMPAGES14 頁蘇教版九年級數(shù)學(xué)下冊 二次函數(shù)與圖形面積問題 教案二次函數(shù)與圖形的面積問題 知識導(dǎo)圖 三角形 常見考查圖形 梯形 不規(guī)則圖形 直接計(jì)算 分割法 相似圖形 鉛垂高乘以水平寬 二次函數(shù)與圖形的面積問題 說明的順序和結(jié)構(gòu) 三點(diǎn)剖析 考點(diǎn) 能力要求 重難點(diǎn) 易錯點(diǎn) 識記理解 分析p 應(yīng)用 綜合表達(dá) 分割法求圖形的面積 利用圖形的相似求圖形的面積 鉛垂高乘以水平寬 知識精講 考點(diǎn) 1 利用分割法求圖形的面積 【考點(diǎn)解析：】 適用題型：1、矩形或者正方形中，計(jì)算不規(guī)則部分面積；2、一次函數(shù)和二次函數(shù)圖像中不規(guī)則三角形或者四邊形的面積 常見分割方法： 1、用

2、規(guī)則圖形面積減去規(guī)則圖形的面積；2、沿著_軸或者y軸將圖形分割成兩個(gè)三角形；3、過圖形上的點(diǎn)往_軸或者y軸作垂線，將圖形分割成三角形和直角梯形 【典型例題：】 例 1.1.1如圖，OAB是邊長為2的等邊三角形，過點(diǎn)A的直線與_軸交于點(diǎn)E （1） 求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2） 求過 A、O、E三點(diǎn)的拋物線解析式；（3） 若點(diǎn)P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點(diǎn)（不與A、E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值。 【答案解析】解：（1）作AF_軸于F，OF=OAcos60=1，AF=OFtan60= 點(diǎn)A（1，）代入直線解析式，得， m= 當(dāng)y=0時(shí)， 得_=4，點(diǎn)E（4，0） （2）設(shè)過A、

3、O、E三點(diǎn)拋物線的解析式為y=a_2+b_+c 拋物線過原點(diǎn) c=0 ， 拋物線的解析式為 （3）作PG_軸于G，設(shè)P（_0，y0） S四邊形OAPE=SAOF+S梯形AFGP+SPGE = = 當(dāng)時(shí)，S最大= 【解析】（1）（2）由圖可作AF_軸于F，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)和的拋物線解析式；（3）再作作PG_軸于G，將四邊形OAPE的面積S用_0來表示，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題 【針對練習(xí)：】 練 1.1.1 （20_蘇州中考第28題）如圖，直線l：y=3_+3與_軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=a_22a_+a+4（a0）經(jīng)過點(diǎn)B （1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

4、（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M 寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l，當(dāng)直線l與直線AM重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l與線段BM交于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)B、M到直線l的距離分別為d1、d2，當(dāng)d1+d2最大時(shí)，求直線l旋轉(zhuǎn)的角度（即BAC的度數(shù)） 【答案解析】解：（1）令_=0代入y=3_+3， y=3， B（0，3）， 把B（0，3）代入y=a_22a_+a+4， 3=a+4， a=1， 二

5、次函數(shù)解析式為：y=_2+2_+3；（2）令y=0代入y=_2+2_+3， 0=_2+2_+3， _=1或3， 拋物線與_軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1和3， M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)， 0m3， 過點(diǎn)M作MEy軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D， 由題意知：M的坐標(biāo)為（m，m2+2m+3）， D的縱坐標(biāo)為：m2+2m+3， 把y=m2+2m+3代入y=3_+3， _=， D的坐標(biāo)為（，m2+2m+3）， DM=m=， S=DMBE+DMOE =DM（BE+OE） =DMOB =3 = =（m）2+ 0m3， 當(dāng)m=時(shí)， S有最大值，最大值為；（3）由（2）可知：M的坐標(biāo)為（，）；過點(diǎn)M作直線l1l，過點(diǎn)B作BF

6、l1于點(diǎn)F， 根據(jù)題意知：d1+d2=BF， 此時(shí)只要求出BF的最大值即可， BFM=90， 點(diǎn)F在以BM為直徑的圓上， 設(shè)直線AM與該圓相交于點(diǎn)H， 點(diǎn)C在線段BM上， F在優(yōu)弧上， 當(dāng)F與M重合時(shí)， BF可取得最大值， 此時(shí)BMl1， A（1，0），B（0，3），M（，）， 由勾股定理可求得：AB=，MB=，MA=， 過點(diǎn)M作MGAB于點(diǎn)G， 設(shè)BG=_， 由勾股定理可得：MB2BG2=MA2AG2， （_）2=_2， _=， cosMBG=， l1l， BCA=90， BAC=45 【解析】（1）利用直線l的解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；（2）過點(diǎn)M作

7、MEy軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，所以ABM的面積為DMOB，設(shè)M的坐標(biāo)為（m，m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范圍是0m3；（3）由（2）可知m=，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標(biāo)的值；過點(diǎn)M作直線l1l，過點(diǎn)B作BFl1于點(diǎn)F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由題意可知，點(diǎn)F在以BM為直徑的圓上，所以當(dāng)點(diǎn)F與M重合時(shí)，BF可取得最大值 考點(diǎn) 2 利用相似解決圖形的面積問題 【考點(diǎn)解析 ：】 例：如圖，DE/BC，如果ADAB=k呢？求SADESABC的值。 適用題型：圖形中涉及平行線、相似三角形 常見分割方法：

8、1、利用平行關(guān)系或者三角形的相似，計(jì)算出對應(yīng)的邊長；2、根據(jù)面積之比是相似比的平方直接表示出圖形的面積 【典型例題：】 例 2.1.1 已知：如圖一，拋物線y=a_2+b_+c與_軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=_2經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且AB=2 （1）求拋物線的解析式；（2）若直線DE平行于_軸并從C點(diǎn)開始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E，D，同時(shí)動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動，（如圖2）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O時(shí)，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t秒；設(shè)s=，當(dāng)t為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值 （3）在（2

9、）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 【答案解析】解：（1）由直線：y=_2知：A（2，0）、C（0，2）；AB=2，OB=OA+AB=4，即 B（4，0） 設(shè)拋物線的解析式為：y=a（_2）（_4），代入C（0，2），得： a（02）（04）=2，解得 a= 拋物線的解析式：y=（_2）（_4）=_2+_2 （2）在RtOBC中，OB=4，OC=2，則 tanOCB=2；CE=t，DE=2t；而 OP=OBBP=42t；s=（0t2）， 當(dāng)t=1時(shí)，s有最小值，且最小值為 1 （3）在RtOBC中，OB=4，OC=2，則

10、 BC=2；在RtCED中，CE=t，ED=2t，則 CD=t；BD=BCCD=2t；以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，已知OBC=PBD，則有兩種情況： =，解得 t=；=，解得 t=；綜上，當(dāng)t=或時(shí)，以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似 【解析】 （1）首先根據(jù)直線AC的解析式確定點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，已知AB的長，進(jìn)一步能得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；然后由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式 （2）根據(jù)所給的s表達(dá)式，要解答該題就必須知道ED、OP的長；BP、CE長易知，那么由OP=OBBP求得OP長，由CED的三角函數(shù)值可得到ED的長，再代入s的表達(dá)式中可得到關(guān)于s、t的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可

11、得到s的最小值 （3）首先求出BP、BD的長，若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，已知的條件是公共角OBC，那么必須滿足的條件是夾公共角的兩組對應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論即可 【針對練習(xí)：】練 2.1.1 如圖，ABC是一張直角三角形彩色紙，AC=15cm，BC=20cm若將斜邊上的高CD 分成n等分，然后裁出（n1）張寬度相等的長方形紙條則這（n1）張紙條的面積和是cm2 【答案解析】解：如圖，ACB=90，AC=15，BC=20， AB=25， CDAB=ACBC， CD=12， 斜邊上的高CD分成n等分， CH=， EFAB， CEFCAB， =，即=，解得EF=25， 即從上往下

12、數(shù)，第1個(gè)矩形的長為25， 同理可得從上往下數(shù)，第2個(gè)矩形的長為25， 從上往下數(shù)，第（n1）個(gè)矩形的長為25， 而所有矩形的寬都為12， 這（n1）張紙條的面積和是=25+25+25 12 =（1+2+n1）12 =（cm2） 故答案為 【解析】先利用勾股定理計(jì)算出AB=25，再利用面積法計(jì)算出CD=12，接著證明CEFCAB，則可計(jì)算出EF=25，同理可得從上往下數(shù)，第2個(gè)矩形的長為25，從上往下數(shù)，第（n1）個(gè)矩形的長為25，且所有矩形的寬的和為12，然后把所有矩形的面積相加即可 練 2.1.2 已知拋物線（a0），與_軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與拋

13、物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D （1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE一動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動過程中所用時(shí)間最少？ 【答案解析】解：（1）y=a（_+3）（_1）， 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為（1，0）， 直線y=_+b經(jīng)過點(diǎn)A， b=3， y=_3， 當(dāng)_=2時(shí)，y=5， 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，

14、5）， 點(diǎn)D在拋物線上， a（2+3）（21）=5， 解得，a=， 則拋物線的解析式為y=（_+3）（_1）=_22_+3；（2）作PH_軸于H， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）， 當(dāng)BPAABC時(shí)，BAC=PBA， tanBAC=tanPBA，即=， =，即n=a（m1）， ， 解得，m1=4，m2=1（不合題意，舍去）， 當(dāng)m=4時(shí)，n=5a， BPAABC， =，即AB2=ACPB， 42=， 解得，a1=（不合題意，舍去），a2=， 則n=5a=， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，）；當(dāng)PBAABC時(shí)，CBA=PBA， tanCBA=tanPBA，即=， =，即n=3a（m1）， ， 解得，m1=6，m2

15、=1（不合題意，舍去）， 當(dāng)m=6時(shí)，n=21a， PBAABC， =，即AB2=BCPB， 42=， 解得，a1=（不合題意，舍去），a2=， 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，）， 綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，）和（6，）；（3）作DM_軸交拋物線于M，作DN_軸于N，作EFDM于F， 則tanDAN=， DAN=60， EDF=60， DE=EF， Q的運(yùn)動時(shí)間t=+=BE+EF， 當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小， 則BEDM，y=4 【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線的解析式，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式；（2）作PH_軸于H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），分BP

16、AABC和PBAABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）作DM_軸交拋物線于M，作DN_軸于N，作EFDM于F，根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動時(shí)間t=BE+EF時(shí)，t最小即可 考點(diǎn) 3 利用鉛垂高和水平寬公式求解圖形的面積問題 公式：S=鉛垂高乘以水平寬 適用題型：多用于不規(guī)則三角形或者四邊形的面積計(jì)算，其中該圖形有至少兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上 常見分割方法：選用一條分割線作為底，分割線左右（上下）兩個(gè)頂點(diǎn)之間的間距作為高，其面積為S=鉛垂高乘以水平寬 【考點(diǎn)解析 ：】 【典型例題：】 例 3.1.1 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到

17、線段OB.（1） 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2） 求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3） 在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（4） 如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動點(diǎn)，且在_軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.C B A O y _ D B A O y _ P 【答案解析】 解：（1）B（1，） （2）設(shè)拋物線的解析式為y=a_(_+a)，代入點(diǎn)B（1, ），得，因此 （3）如圖，拋物線的對稱軸是直線_=1，當(dāng)點(diǎn)C位于對稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，BOC的周長最小.設(shè)

18、直線AB為y=k_+b.所以，因此直線AB為，當(dāng)_=1時(shí)，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，/3）.（4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D.當(dāng)_=時(shí)，PAB的面積的最大值為，此時(shí).【解析】求PAB 的面積的時(shí)候，過點(diǎn)P作_軸的垂線，將PAB 的面積分成左右兩個(gè)三角形，以PD為底，則AB為水平寬，利用公式表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵。 練 3.1.1 如圖1，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1，4)，交_軸于點(diǎn)A(3，0)， 交y軸于點(diǎn)B。 （1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）求CAB的鉛垂高CD及SCAB ；（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動點(diǎn)， 是否存在一點(diǎn)P，使SPABCAB ，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 【答案解析】 解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：把A（3,0）代入解析式求得所以設(shè)直線AB的解析式為：由求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為 把，代入中 解得：所以 (2)因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(,4)所以當(dāng)_時(shí)，y14，y22所以CD4-22(平方單位) (3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_，PAB的鉛垂高為h，則由SPAB=SCAB得化簡得：解得，將代入中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為 【解析】過點(diǎn)P作_軸的垂線，利用鉛垂高公式表示出PAB的面積是